TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 44 TK2023 Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn 3( ) ( ) 4 4 2,f x xf x x x x Diện tích hình phẳn[.]
TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 31: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN – VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 44_TK2023 Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( x) xf ( x) 4 x3 x 2, x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f ( x) A y f ( x ) B C D Lời giải 3 f ( x ) x f ( x ) x x ( x ) f ( x ) x f ( x ) x 4x Ta có: [ x f ( x)] 4 x x x f ( x) x x x C Vì f x liên tục nên C 0 Do f ( x) x3 x f ( x) 3x Xét phương trình hồnh độ giao điểm y f ( x) y f ( x) , ta có: x 0 x x 3x x 1 x 2 Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y f ( x) 2 y f ( x ) là: Câu 1: Cho hàm S f ( x ) f ( x ) dx số f x 0, x 1; thị A f x thỏa f e mãn xf x ln x f x 2 x f x , x 1; , e Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ y xf x , y 0, x e, x e S S B C S D S 2 Lời giải f ' x xf ' x ln x f x 2 x f x x ln x 2 x x 1; f x f x Ta có: , g x xg x ln x g x 2 x , x 1; f x với g x g x g x ln x 2 x x 1; g x ln xdx dx 2 xdx x x , g x g x g x ln x dx dx x C g x ln x x C x 1; x x , f e g e e C 0 e Do Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Suy g x ln x x x 1; , x2 0, x 1; ln x x ln x y xf x g x x x 1; , g x Ta có e2 e2 e e ln x e2 dx ln x x 2 e S xf x dx Câu 2: Cho hàm số f x f x y f x có đạo hàm liên tục đoạn x3 x x x x 1 0;1 thỏa ; f 1 f 2 ; f x dx 0 Biết diện tích hình C : y f x phẳng giới hạn đồ thị , trục tung trục hoành có dạng S ln a ln b với a, b số nguyên dương Tính T a b A T 13 B T 25 f x f x Ta có f x dx x3 x x x x 1 D T 41 C T 34 Lời giải x 1 x x x 1 x x x 1 2x x2 x f x d x d x x x 1 x x dx 2x2 2x f x dx d x x 1 f x dx x x 1 x 1 dx x x 1 2x x2 x 1 d d x x 1 x 2x f x dx f x ln x x 1 C x x 1 x x 1 x2 x 1 2x Mặt khác, ta có 2x 1 dx ln x x 1 0 f x dx 0 x x 1 x 1 1 2 f 1 f x x 2x dx ln x x 1 C x x C 0 2x f x x x 1 nên suy 2x S dx ln x x 1 ln ln ln x x 1 0 Do Suy a 4 b 3 2 Vậy T a b 25 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 3: Cho hàm số y f x x x u f u du phẳng giới hạn x 1 A S có đồ thị C C , trục tung, tiếp tuyến C B S C S Khi diện tích hình điểm có hồnh độ S D Lời giải f x f x x ax b Hàm số có dạng , với a a a b 17 b b a b 17 f x x x ; f ( x) 2 x Suy a f (u )du b uf (u )du 41 M 1; C ; f (1) 6 C Phương trình tiếp tuyến M : Diện tích hình phẳng cần tìm là: y x 1 41 23 3x 6 17 23 S x x 3x dx x x 1 dx 0 Câu 4: Cho 2;3 f x ax bx cx d a 0 có đồ thị f x hàm số nhận giá trị khơng âm đoạn hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số g x xf x ; h x x f x f x đường thẳng x 2; x 3 72 Tính f 1 A f 1 2 B Từ hình vẽ ta có f 1 C Lời giải f 1 1 D f 1 f x 3x x 3 x x f x x 3x C 62 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Diện tích hình phẳng là: 3 S g x h x dx xf x x f x f x dx 2 Do xf x x f x f x 0, x 2;3 nên S xf x x f x f x dx 9 1 S x f x dx x f x f 3 f C C 2 2 2 Ta có: C 4 2 S 72 C C 72 C 52 Mà Do f x 0, x 2;3 f x x 3x f 1 2 Câu 5: Cho hàm số f x 2 x mx nx 2021 g x f x f x f x với m , n số thực Biết hàm số 2022 có hai giá trị cực trị e 12 e 12 Diện tích y f x g x 12 hình phẳng giới hạn đường y 1 A 2019 B 2020 C 2021 D 2022 Lời giải f x 6 x 2mx n f x 12 x 2m f 3 x 12 , , g x 2 x3 m x n 2m 12 x 2021 n 2m Suy g x 0 x m x n m 12 0 g x Vì hàm số có hai giá trị cực trị nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 Ta có Ta có bảng biến thiên hàm số g x1 e 2022 12 Từ suy g x sau: g x2 e 12 g x f x f x f x g x f x f x f 3 x f x f x 12 Mặt khác g x g x f x 12 g x g x f x 12 Xét phương trình hồnh độ giao điểm: Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT g x f x 12 0 g x 0 f x x x1 1 g x 12 g x 12 g x 12 x x2 y Khi diện tích hình phẳng giới hạn đường f x g x 12 y 1 x2 x2 x2 f x g x f x 12 g x dx S 1 dx dx ln g x 12 g x 12 g x 12 g x 12 x1 x1 x1 ln g x2 12 ln g x1 12 2022 2021 Câu 6: Cho hàm số số f x x ax3 bx cx d g x f x f x f x y phẳng giới hạn đường B ln A ln x2 x1 với a, b, c, d số thự C Biết hàm có giá trị cực trị Diện tích hình f x g x 24 y 1 C 3ln Lời giải D ln f x 4 x 3ax 2bx c, f x 12 x 6ax 2b, f x 24 x 6a, f 4 x 24 g x f x f x f 4 x g x f x f x 24 g x f x 24 g x f x f x f x g x f f x g x g x 24 1 g x 24 g x 24 y f x g x 24 Phương trình hồnh độ giao điểm y 1 : f x x m 1 g x 0 g x 24 x n g x f x f x f x Với hàm bậc ba với hoành độ cực trị x m, x n Giả sử hàm g x có giá trị cực trị tương ứng y Khi diện tích hình phẳng đường g m 0, g n 4 f x g x 24 y 1 là: n n n f x g x g x 24 g x S dx dx dx ln g x 24 g x 24 g x 24 g x 24 m m m n m ln Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT f x x3 ax bx c Câu 7: Cho hàm số g x f x f x f x có hai giá trị cực trị Diện tích hình y phẳng giới hạn đường A ln B ln Xét hàm số Ta có với a, b, c số thực Biết hàm số f x g x y 1 C 3ln Lời giải D ln10 g x f x f x f x g x f x f x f x f x f x g m g n 2 g x 0 m , n Theo giả thiết ta có phương trình có hai nghiệm Xét phương trình f x 1 g x g x f x 0 f x f x 0 g x 0 g x 0 x m x n Diện tích hình phẳng cần tính là: n n n n f x g x f x f x f x g x S dx dx dx dx g x g x g x g x m m m m ln g x Câu 8: Cho hàm số n m ln g n ln g m ln 3ln f x e3 x ae x be x g x f x f x C Biết hàm số có hai giá trị cực trị Diện tích hình phẳng giới hạn đường A 21 với a , b số thự y g x B f x f x 2e g x 3x C 107 Lời giải 117 D Ta có f x 3e3 x 2ae x be x g x 4e3 x 3ae x 2be x g ' x 12e3 x 6ae x 2be x Ta có g x 2e x 6e x 3ae x b g x 0 6e x 3ae x b 0 , x g x phương trình bậc hai với e nên có tối đa nghiệm, suy có tối đa cực trị Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT g n 2 g x 0 m , g m 5 n Theo giả thiết ta có phương trình có hai nghiệm lim g x lim e3 x ae x be x 0 x x hàm số g x ; lim g x lim e3 x ae x be x x x , mặt khác có tối đa cực trị có giá trị nên phương trình g x 0 vơ nghiệm Xét phương trình 3x f x f x 2e g x g x f x f x 2e3 x g x e3 x ae x be x 3e x ae x be x 2e x 4e3 x 3ae x 2be x 12e3 x 6ae x 2be x 0 x m g x 0 x n Diện tích hình phẳng cần tính n S f x f x 2e3 x g x g x dx m n g x f x f x 2e3 x g x dx m n n g x g x dx m g x dg x m n 117 g3 x g n g3 m m 3 Câu 9: Cho hàm số f x f x y f x có đạo hàm liên tục đoạn x3 x x x x 1 0;1 thỏa ; f 1 f 2 ; f x dx 0 Biết diện tích hình C : y f x phẳng giới hạn đồ thị , trục tung trục hồnh có dạng S ln a ln b với a, b số nguyên dương Tính T a b A T 13 B T 25 f x f x Ta có f x dx x3 x x x x 1 D T 41 C T 34 Lời giải x 1 x x x 1 x x x 1 2x x2 x f x d x d x x x 1 x x dx Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2x2 2x d x x 1 x 1 f x dx f x dx dx x x 1 x x 1 2x x2 x 1 d d x x 1 x 2x f x dx f x ln x x 1 C x x 1 x x 1 x2 x 1 2x Mặt khác, ta có 2x 1 dx ln x x 1 0 f x dx 0 x x 1 x 1 1 2 f 1 f x x 2x dx ln x x 1 C x x 1 C 0 2x f x x x 1 nên suy 2x a 4 S dx ln x x 1 ln ln ln x x 0 Do Suy b 3 2 Vậy T a b 25 Câu 10: Cho hai hàm g ( x) mx nx px số f ( x) ax bx cx dx ( a , b, c , d ) m, n, p Đồ thị hai hàm số f ( x) g ( x) cho hình bên Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y f ( x) y g ( x) 175 A 45 x 2 biết AB 4 14848 B 1215 14336 C 1215 Lời giải 512 D 45 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Ta thấy đồ thị hàm số y f ( x) đồ thị hàm số y g ( x) cắt ba điểm phân biệt với hồnh độ 1, 1, nên phương trình f ( x) g ( x) 0 có ba nghiệm phân biệt 1, 1, Do ta có f ( x) g ( x) 4a( x 1)( x 1)( x 2) Theo đề AB 4 f (0) g (0) 4 8a 4 a Suy x x3 x f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) dx 2( x 1)( x 1)( x 2)dx 2 2x C 4 f (0) g (0) C nên Theo đề x4 x3 x f ( x ) g ( x ) 2 2x Suy h( x ) g ( x ) x Đặt , xét phương trình f ( x ) h( x) 0 Ta có f ( x) h( x ) 0 f ( x ) g ( x ) x 0 x x 2x x 2 2 x x 0 x 3 3 x 2 ss Diện tích hình phẳng cho x4 2x3 x S f x h x dx 2 x x dx 3 2 2 x 4 x x 16 x x 4 x x 16 x dx dx 3 3 3 3 2 2 x 4 x x 16 x 3 dx 2 3 3 Câu 11: x 4 x x 16 x 23 dx 14336 512 14848 1215 1215 1215 Cho hàm số điểm cực đại trị đồ thị y f x A y f x ax bx c có hai điểm cực tiểu 0;3 Hàm số y g x mx nx p y f x y g x 1; ; 1; có đồ thị qua điểm cực Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số gần giá trị giá trị sau B C D Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Lời giải Ta có y f x ax bx c y ' 4ax 2bx x 0 y ' 0 2ax b Theo hàm số điểm cực đại y f x ax bx c có hai điểm cực tiểu 1; ; 1; 0;3 suy y ' 1 0 4a 2b 0 y 3 c 3 a b y 1 c 3 a 5 y f x 5 x 10 x b 10 y g x mx nx p Theo đồ thị hàm số qua điểm cực trị 1; ; 1; 0;3 suy y 3 p 3 y 1 m n m n y 1 p 3 m y g x x n 0 y f x Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y g x x 0 x 10 x x x x 0 x 1 x Diện tích hình phẳng cần tìm 2 f x g x d x 5x 1 1 Cho hàm số 5x 5x d x 5x 5x d x 5x 5x d x 1 x x d x số 1 Câu 12: x d x 0 f x 2 x mx nx 2022 g x f x f x f x với m , n số thực Biết hàm 2022 có hai giá trị cực trị e 12 e 12 Diện y f x g x 12 tích hình phẳng giới hạn đường A 2023 B 2020 C 2021 Lời giải Ta có y 1 D 2022 f x 12 x 2m f x 12 , , g x 2 x m x n 2m 12 x 2022 n 2m f x 6 x 2mx n Suy g x 0 x m x n 2m 12 0 Page 10 Sưu tầm biên soạn