Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 9 ứng dụng tích phân lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Diện tích hình thang cong: Cho hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x a , x b ( a  b ) Giả sử f hàm số liên tục nhận giá trị dương đoạn  a; b  Diện tích S hình thang cong là: S F  b   F  a  Diện tích hình phẳng Từ định nghĩa tích phân, với y  f  x  0 liên tục đoạn  a; b  diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị y  f  x  , trục hoành đường b thẳng x a, x b là: S f  x  dx a Tương tự, diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị x  g  y  , trục tung d đường thẳng y c , y d là: S y  g  y  dy  c b Mở rộng cho y  f  x  liên tục đoạn  a; b  diện tích giới hạn là: S  f  x  dx  a Đối với đồ thị y  f  x  , y  g  x  liên tục đoạn  a; b  diện tích giới hạn đồ thị đường thẳng x a , x b là: b S f  x   g  x  dx a Chú ý: - Xác định theo định nghĩa gồm hàm y  f  x  trục Ox, chưa có hai biên phải tìm hồnh độ giao điểm - Xác định theo đồ thị phải đánh dấu miền diện tích giới hạn biên Phá dấu giá trị tuyệt đối xét dấu, chia miền so sánh dùng đồ thị - Ngồi cách tính trực tiếp ta chai nhiều phần diện tích để tính, lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư đổi vai trị x y; dựa vào tính đối xứng để tính gọn Trang Thể tích khối trịn xoay b Thể tích vật thể tổng quát V S  x  dx a Thể tích khối trịn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn y  f  x  , y 0 (trục hoành) x a, x b quanh trục hoành: b V  y dx a Tương tự, quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn x  g  y  , x 0 y c, y d tích: d V  x dy c Chú ý: - Xác định theo cơng thức hình giới hạn hàm y  f  x  trục Ox quay quanh trục Ox, chưa có hai biên phải tìm hồnh độ giao điểm - Xác định hình theo đồ thị phải đánh dấu miền diện tích giới hạn biên - Ngồi cách tính trực tiếp ta chai nhiều phần thể tích để tính tổng thể tích khối trịn xoay, liaasy thể tích lớn trừ bớt phần dư, dựa vào tính đối xứng để tính gọn CÁC BÀI TỐN Bài tốn 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x   e 2x , trục hoành đường thẳng x 0, x 3 Hướng dẫn giải 3 S  x   e dx   x   d  e x  30 2x 3 1 1   x   e x  e x dx   5e     e6  1   3e  1 (đvdt) 20 4 Bài tốn 9.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  1  x   trục hoành Hướng dẫn giải y 0  x  1, x 0, x 2 S  x  x  1  x   dx 1 Trang 2   x  x  x  dx    x  x  x  dx 1  37 (đvdt) 12 Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  C hàm số: x  10 x  12 trục hoành x2 Hướng dẫn giải y 0  x  1, x 6 Diện tích hình phẳng S cần tìm là: x  10 x  12 S  dx x2 1 16     14  x   dx x2  1  14 x  x  16ln x   1 63  16ln (đvdt) Bài tốn 9.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x  y 5  x Hướng dẫn giải Do tính đối xứng nên   S 2   x  x  dx 1  2    x   x  dx    x  x  1 dx  0       73   x  x  x     x  x  x    (đvdt) 2 0      Trang Bài tốn 9.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: x 4  y x 1  y Hướng dẫn giải Do tính đối xứng nên S 2  S1  S2  1   x 2 dx 2  dx   x      2 16 56    (đvdt) 15 Cách khác: S 2    y     y  dy 4 2 Bài tốn 9.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y 2 px, x 2 py  p   Hướng dẫn giải Hoành độ giao điểm:  x2    2 px  x 0, x 2 p  2p  2p  x2  S   px   dx  p (đvdt) 2p   Bài toán 9.7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y  x y   x  Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm hai đường cong nghiệm hệ phương trình:  y  x   y   x   x3   x   x 1, y 1 Nhánh nằm trục hoành hai đường cong tương ứng x  y y 2  y Theo tính chất đối xứng Trang 2    S 2   y   y dy  (đvdt)    0  Bài tốn 9.8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  1 3  x trục hồnh Hướng dẫn giải Ta có: y  x  1 3  x   x 0    x 1 3  4  Với x   ;1   x  1 3  x 0 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  1 3  x Ox: S  x  1  xdx Đặt 3  x t  x  3  t  nên dx  t dt  4 Khi x   t 0; x 1  t  0 3 1  S  t   t  dt   t  t   (đvdt)  16  16    448 Bài tốn 9.9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x x  x trục hoành Hướng dẫn giải  x 0 Cho y 0  x x  x 0    x 2 Vì x x  x 0 với x   0;2 nên diện tích giới hạn là: 2 S x x  x dx x   x  1 dx 0    ; dx cos udu  2  Đặt x  sin u, u    Khi x 0 u    , x 2 u  2 Trang   S    sin u  cos u.cos udu  cos udu        2 cos u  d cos u       cos 2u   u sin 2u   du  cos3 u    0     2    2 Vậy S   (đvdt) x3 x x2 2x Bài tốn 9.10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số f  x    g  x    3 3 Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm x3 x x 2 x f  x  g  x      3 3  x  x  x   0  x1  2, x2 0, x3 3 Do đó: 3 S   f  x   g  x  dx   f  x   f  x   dx   g  x   f  x   dx 2 2 x3  x  x  dx  2 x3  x  6x 16 21 253 dx    (đvdt)  36 Bài toán 9.11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x, y 1 y  x2 miền x 0, y 1 Hướng dẫn giải Với x 0,0  y 1 x  y , x 2 y   S  y  y dy  32   y  y   (đvdt) 0 3 Trang Bài toán 9.12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , y 4 x  y  x  Hướng dẫn giải Hai đường thẳng y 4 x  , y  x  tiếp tuyến  P  : y  x S   x  x   dx   x  x  dx 2 8 16    (đvdt) 3 Bài tốn 9.13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y 3x x2 y  x 1 Hướng dẫn giải 3x x2   Phương trình hồnh độ giao điểm x 1  x    x  x    x 0  x 3  3x x2 Với x   0;3 Diện tích hình giới hạn  x 1 3  3x 3x x2 x2  S   dx   dx x 1 x 1  0 3x  dx  27   3 x2   dx  x  x     dx =  x 1  x 1  0 3 15 1  x  x  ln x    2ln (đvdt)   2 0 Bài tốn 9.14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  e x  1, y  ex 1 x ln Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong: ex 1  Ta có x e 1  e x  2  e x 1  x 0 ex 1   ex 1 ; x   0;ln 3 nên diện tích hình giới hạn Trang ln  S   e x     dx x e 1  e x dx x Đặt t  e   dt  x e 1  dx  2tdt t2  Khi x 0  t  2; x ln  2 2  1    2tdt   S   t       dt   t    dt t t  t  t  t        2  2t  ln t   ln t   2   4  2  ln  (đvdt) Bài tốn 9.15: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y  x  x tiếp tuyến qua B  2;   Hướng dẫn giải Hai tiếp tuyến qua B là: y  x  có tiếp điểm E   1;3 y 8 x  25 có tiếp điểm F  5;15  S S1  S   x  x    x  1  dx   x  x   x  25   dx 18 1 Bài toán 9.16: Tính diện tích hình Elip (E) có phương trình đường biên:  E  : x2 y2  1 a b2 Giải Trang x2 y2 b Ta có  1  y  a  x a b a  E Phương trình góc phần tư thứ I là: y  b a  x Theo tính đối xứng a a 4b S 4S1   a  x dx a Đặt: x a sin t , với t    dx a cos t.dt Đổi cận: x 0  t 0; x a  t   Khi đó:  /2  /2 2  /2 S 4ab  a  a sin t cos tdt 4ab  cos t cos tdt 4ab cos tdt 0  /2  /2   2ab   cos 2t  dt 2ab  t  sin 2t   ab (đvdt)  0 Đặc biệt: a b  R có diện tích hình trịn  R Bài toán 9.17: Cho elip với PT:  3 x2  y 1 điểm A  1;  nằm elip Gọi d tiếp tuyến với elip   A Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng d, trục hoành đường elip Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến d x  y 1 d cắt Ox B  4;0  Hạ AK vng góc với trục hồnh Ta có AK  3 ; KB 3 nên S AKB  Diện tích tam giác cong AKC S0   x dx  21 Đổi biến x 2sin t dx 2cos tdt  2 Ta S0  2cos tdt      Trang Vậy S S AKB  S0    (đvdt) Bài toán 9.19: Cho  P  : y  x đường thẳng d qua A  1;3 có hệ số góc k Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn d  P  có diện tích nhỏ Hướng dẫn giải d : y k  x  1  PT hoành độ giao điểm: x k  x  1  x  kx  k  30   k  4k  12  0, k Gọi nghiệm x1 , x2 thì: x2 S   k  x  1   x dx x1 x2 k x3  1 2  x   k  3 x     x2  x1   k  4k  12    k  4k  12  6   x1 2 nên S k 2    k    8   6 x Bài tốn 9.20: Một hình phẳng giới hạn y  f  x  e , y 0, x 0 x 1 Ta chia đoạn  0;1 thành n phần tạo thành hình bậc thang có tổng diện tích S n Chứng minh lim S n f  x  dx Hướng dẫn giải n Ta có S n   e  e  n 2 n n  n  n 1  1 e   e   e   n 1 e n 1  e   n n e 1 Trang 10 S n 1  e  e  x dx 1  e   đpcm Do nlim   Bài tốn 9.21: Tính thể tích vật thể: a) Giữa hai mặt phẳng: x 0, x 2 thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (  x 2 ) nửa hình trịn đường kính 5x b) Mỗi thiết diện vng góc với trục Ox hình vng có đáy tam giác cho y  x, y 0 x 1 Hướng dẫn giải b a) Ta có V   f  x   a 2 5x4 x5 dx  dx  4 (đvtt) 8 0 b) Thiết diện x   0;1 hình vng cạnh x có diện tích S  x   x 1 Vậy V  S  x  dx  x dx    0 (đvtt) Bài tốn 9.22: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox, giới hạn đường y cos x, y 0, x 0 x   Hướng dẫn giải  /4  /4     2   /4   V  cos xdx    cos x  dx   x  sin x   (đvtt) 2 0 Bài tốn 9.23: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox: x a) Giới hạn đường y  xe , y 0, x 0 x 1 Trang 11 b) Giới hạn đường y 0, y   x2 Hướng dẫn giải 1 1 x x x x a) V  x e dx  x d  e    x e   2 xe dx 0 0  x1 x   e  2  xe  e dx    e  1 (đvtt) 0   b) Do tính đối xứng hình phẳng qua trục tung nên: 8 V 2    x  dx  9 3 8   x  x    27   16 0  Bài tốn 9.24: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x e3 x trục tọa độ, quanh trục hồnh Hướng dẫn giải 3x Cho y 0 y   x e 0  x  Vì    x e3 x 0 , với x    ;0 nên thể tích khối trịn xoay là:   V    x  e 6x dx  6x Đặt u 1  x, dv e x dx Khi du 2dx, v  e   0  1  2x  6x  1  1 6x  e  e dx      e       Ta có: V       17   18e          1   (đvtt)  18e  Vậy V   Bài tốn 9.25: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox: a) Giới hạn y    x, y sin x, x   0;    2 Trang 12 b) Giới hạn bởi: y  x  3x  3, y  x,0  x 3 Hướng dẫn giải a) V V1  V2  /2  4x2    sin x  dx     2 2 2 (đvtt)   12 b) V  V1  V2    V3  V4         x  3x  3  x dx    x   x  3x  3 dx  2 7 64 233   (đvtt) 15 30 Bài tốn 9.26: Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn x trục Ox đường thẳng x 2, x 4 quay quanh trục Ox 1 x đồ thị  C  : y  Hướng dẫn giải V   x2 1 x dx 4 2x       dx   x    2  2x       dx  1  x 1  x  2   8    x  ln   x      2 ln (đvtt) 1 x   Bài tốn 9.27: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y xe x , trục hoành đường thẳng x 1 xung quanh trục hoành ex 1 Hướng dẫn giải Trang 13 Ta có y  xe x  x 0 ex 1 Do hình phẳng hình thang cong giới hạn đường cong y  1 Thể tích khối trịn xoay V  y dx   Đặt u  x, dv  e xe x x  1 xe x , y 0, x 0 x 1 ex 1 dx ex dx Khi du dx, v   ex 1  e 1 x 1  x dx 1 ex  dx       dx Ta có:  x x x x   e  e  e  e    e  1 0 xe x 1 1 e e 1   x  ln  e x  1   ln e 1 e 1 e 1   e  ln  (đvtt)   e 1 Vậy thể tích khối trịn xoay V   Bài tốn 9.28: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y   x 3 x , y 0, x 1 xung quanh trục hồnh Hướng dẫn giải x Ta có y   x 0  x  Thể tích khối trịn xoay V  1 y dx    x     2x Đặt u 2 x  1, dv 3 x dx Khi du 2dx; v  1  2x 2ln 1  2x Ta có:   x  dx  2ln 3   x   ln   2x  2 1   3 x 6ln 2ln Vậy V    dx 3  2x dx  26  3ln 18ln 26  3ln  (đvtt) 18ln Trang 14 Bài tốn 9.29: Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng quanh trục Oy: a) Giới hạn bởi: y  x  1 , x 0, y 3 b) Giới hạn bởi: y ln x, y 0, x e Hướng dẫn giải y3  a) x 0  y  x  1 1, y  x  1  x  1  y3   1 480 V    (đvtt)  dy   y  y  1 dy    0 b) x e  y ln x 1, y ln x  x e y V V1  V2   e  e y  dy 1      e y  e y    e  1 (đvtt)  0 Bài tốn 9.30: Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh Oy: a) Giới hạn đường y 2 x  x y 0 b) Giới hạn đường y  x , x 0 tiếp tuyến x 1 Hướng dẫn giải a) Ta có x  x 0  x 0 x 2 y 2 x  x   x  1 1  y  x 1   y V V1  V2     y      1 1 y   dy   1 8 4   ydy     y   y  (đvtt) 3 0 b) Phương trình tiếp tuyến y  x  Trang 15 1  2 3 V  y 3dy    y   dy   2 1/3  1 3  y  2 2 31  1/3  (đvtt) 36 Bài toán 9.31: Giả sử  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 4  x   y  x  x  Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục tung Hướng dẫn giải Hình  H1  giới hạn đường cong x 2  y y , x 2  2 hai đường thẳng y 0, y 4  y V1           4  4 ydy  Hình  H2   y      dy    64 giới hạn hai đường cong x 2  y  , x 2  y hai đường thẳng y 3, y 4 V2    y       2 16 y   dy  8 y  3dy    Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm là: V V1  V2 16 (đvtt) Bài tốn 9.32: Tính thể tích hình xuyến quay hình trịn  C  có phương trình: x   y   1 quanh trục Ox Hướng dẫn giải Đường tròn: x   y   1 có tâm I  0;2  , bán kính R 1  y  2 1  x  y 2   x Nửa  C  ứng với  y 4 có phương trình: y  f1  x  2   x với x    1;1 Nửa  C  ứng với  y 2 có phương trình: y  f  x  2   x với x    1;1 Trang 16 Khi thể tích khối trịn xoay cần tính là:  V V1  V2     x 1       x2    dx 8   x dx 1 Đặt x sin t dx cos tdt   ; x 1 t  2 Đổi cận: x  t   /2 Khi đó: V 8   /2 cos t cos tdt 4   /2    cos 2t  dt   /2  /2   4  t  sin 2t  4 (đvtt)     /2   Bài tốn 9.33: Chứng minh thể tích V khối chỏm cầu bán kính R chiều cao h V  h  R  h  3 Hướng dẫn giải Xét cung tròn  O; R  : y  R  x thể tích chỏm cẩu cần tìm là: R R  x3  V   R  x  dx   R x    R h  R h 2  R3 R  h   h 2   R   R  R  h    h  R   3  3     Kết quả: Thể tích khối cầu V 2 R  R  R    R (đvtt) 3 Bài toán 9.34: Đường thẳng d qua y kx   k cắt Ox, Oy M, N Tìm k  để thể tích khối trịn xoay tạo quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé Hướng dẫn giải y y kx   k , k   x    k k Thể tích khối nón tạo thành: 1 k 1  y  V  k           k   , k  k k 3k k   Trang 17   V '  k       1 ,V '  k  0  k  3 k k  Lập BBT V  k  V     9 (đvtt) BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x3  x , trục hoành đường thẳng x  2; x 4 Hướng dẫn Dùng công thức S trực tiếp Kết 44 (ddvdt) Bài tập 9.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 4  x , y  x  Hướng dẫn Tìm giao điểm PT hồnh độ giao điểm Kết (đvdt) Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y  x3  tiếp tuyến điểm A   1;   Hướng dẫn Lập phương trình tiếp tuyến điểm A   1;   tìm thêm giao điểm khác A Kết 27 (đvdt) Bài tập 9.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y x  x4 , y 0 x 0, x  Hướng dẫn Dùng công thức S trực tiếp Đổi biến số t  x t sin u Kết  (đvdt) 12 Bài tập 9.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong: y 2 x, 27 y 8  x  1 Hướng dẫn Vẽ hình xác định miền giới hạn Kết 88 (đvdt) 15 Bài tập 9.6: Tìm m để diện tích giới hạn đồ thị: y  x  y mx  bé Hướng dẫn Trang 18 Tìm giao điểm PT hồnh độ giao điểm ý ln có nghiệm phân biệt Kết m 0 Bài tập 9.7: Cho hàm số y  f  x  đơn điệu từ  a; b  vào  c; d  có hàm ngược x  g  y  Chứng minh thể b tích quay quanh Oy hình phẳng giới hạn đồ thị, trục Ox, x a, x b là: VOy 2 xf  x  dx  a Hướng dẫn Dùng định nghĩa diện tích minh họa đồ thị Bài tập 9.8: Tính thể tích vật thể hai mặt phẳng: x 0, x  thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (  x  ) tam giác cạnh sin x Hướng dẫn b Dùng cơng thức thể tích vật thể tổng quát V  S  x  dx  a Kết (đvtt) Bài tập 9.9: Cho hình phẳng S mặt phẳng Oxy giới hạn đường y  x  x, y  x  x  Tính thể tích khối trịn xoay S quay quanh trục Ox Hướng dẫn Tìm giao điểm PT hoành độ giao điểm Kết 3 (đvtt) x2 Bài tập 9.10: Cho hình phẳng S giới hạn đường: y  ; y  Tính thể tích khối trịn xoay x 1 S quay quanh Ox Hướng dẫn Tìm giao điểm PT hoành độ giao điểm  3 Kết V   (đvtt) 10 Bài tập 9.11: Tính thể tích khối quay quanh Ox, Oy hình phẳng S giới hạn bởi: y  x , y 0 y 2  x Hướng dẫn Tìm giao điểm PT hoành độ giao điểm Kết 5 32 (đvtt) (đvtt) 15 Trang 19