Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 3 bài toán liên quan đồ thị lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Sự tương giao: Cho đồ thị hàm số: y  f  x  , y  g  x  Phương trình hoành độ giao điểm: f  x   g  x   f  x   g  x  0 phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao Vơ nghiệm: khơng có điểm chung, nghiệm (đơn): cắt nhau, nghiệm kép: tiếp xúc, nghiệm phân biệt: giao điểm,… Chú ý: 1) Phương trình bậc 3: ax  bx  cx  d , a 0   Nếu có nghiệm x  x0 phân tích:  x  x0  Ax  Bx  C 0 Nếu đặt hàm số f  x  ax  bx  cx  d điều kiện: có nghiệm: đồ thị khơng có cực trị yC Ð yCT  , có nghiệm: yC Ð yCT 0 , có nghiệm phân biệt: yCÐ yCT   yC Ð yCT   Phương trình bậc có nghiệm dương khi:  xC Ð , xCT  a f     2) Hai điểm nhánh đồ thị y  g  x , ta thường lấy hai hoành độ k  a k  b với a, b  x k Góc khoảng cách:  cos u ,v  - Góc vectơ: xx ' yy '   x  y x '2  y '2      - Góc đường thẳng: cos   cos n, n '  - Khoảng cách AB   xB  x A    yB  y A  AA ' BB ' A  B A '2  B ' 2 - Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến    : Ax  By  C 0 : d Ax0  By0  C A2  B - Đồ thị hàm bậc 3: y  f  x  cắt trục hoành điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB BC tức nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng điểm uốn thuộc trục hồnh Trang - Phương trình trùng phương ax  bx  c 0, a 0 có nghiệm phân biệt lập cấp số cộng  t1  t2 , t2 9t1 Tiếp tuyến tiếp xúc: - Tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  đồ thị  C  : y  f  x  y  y0  f '  x0   x  x0  , hệ số góc: f '  x  k tan  x, t  - Điều kiện đồ thị y  f  x  y  g  x  tiếp xúc hệ phương trình:  f  x   g  x  có nghiệm   f '  x   g '  x  - Tiếp tuyến qua điểm K  a; b  : Lập phương trình tiếp tuyến x0 cho tiếp tuyến qua điểm K  a; b  tìm x0 Chú ý: Với hai đường thẳng d : y ax  b, d ' : y a ' x  b ' có: d d ' a a ' , b b ' ; d / / d ' a a ' , b b ' ; d  d ' a.a '  Yếu tố đối xứng: - Hàm số chẵn: x  D   x  D f   x   f  x  Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Hàm số lẻ: x  D   x  D f   x   f  x  Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc O  - Công thức chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI  Oxy    IXY   x  X  x0  y Y  y0 với I  x0 ; y0  :  - Điều kiện  C  nhận I  x0 , y0  tâm đối xứng y0  f  x0  x   f  x0  x  , x0  x, x0  x  D , chuyển trục phép tịnh tiến đến gốc I nói hàm số lẻ - Điều kiện  C  nhận d : x a làm trục đối xứng; f  a  x   f  a  x  , a  x, a  x  D , chuyển trục phép tịnh tiến đến S  a;0  hàm số chẵn Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y M, khử tham số x y Trang Giới hạn: Chuyể ndk có tham số điều kiện x (hay y) Đặc biệt: Nếu M  x; y    V  cần tìm x rút tham số để thế, khử tham số CÁC BÀI TOÁN Bài toán 3.1: Chứng minh đồ thị hàm số y  x  2m x  cắt đường thẳng y  x  hai điểm phân biệt với giá trị m Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x  2m x   x   x  x3  2m x  1 0  x 0 x  2m x  0 Xét hàm số f  x   x  2m x  Ta có f    0 f '  x  3 x  2m 0 nên hàm số đồng biến    f  x   lim x3  2m x    Vì lim x  x     f  x   lim x  2m x   xlim   x   nên phương trình f  x  0 ln có nghiệm x 0 : đpcm Bài tốn 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt: a) y  x   2m  1 x   3m   x  m  b) y  x3  3mx  m  Hướng dẫn giải a) Cho y 0  x   2m  1 x   3m   x  m  0   x  1  x  2mx  m   0  x  f  x   x  2mx  m  0  1 Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1  ' 0    f   1 0 m  m    m   m  2, m 3   m    b) D  Ta có y ' 3 x  3m, y ' 0  x m Điều kiện  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt đồ thị có CĐ, CT yC Ð yCT  Trang    m 0  m  yC Ð yCT   f  m f     m   2m m m   2m m    m  1  4m    4m3  m  2m     m  1  4m  3m  1   m  (vì  9  16  nên 4m  3m   0, m ) Bài tốn 3.3: Tìm giá trị m để đường thẳng  d m  qua điểm A   2;2  có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số: y  2x  x 1 a) Tại hai điểm phân biệt? b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị? Hướng dẫn giải Phương trình  d m  : y m  x    mx  2m  Phương trình hồnh độ giao điểm  d m  đường cong: mx  2m   2x    mx  2m    x  1 2 x  1, x  x 1  mx  3mx  2m  0, x   1 a) Đường thẳng  d m  cắt đường cong cho hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 a 0     0, g      m 0  m  m  12  m  12 m   b) Hai nhánh đường cong cho nằm hai bên đường tiệm cận đứng x  đồ thị Đường thẳng  d m  cắt đường cong cho hai điểm thuộc hai nhánh phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 x1    x2 Đặt x t  x1    x2  t1   t2 Phương trình trở thành: m  t  1  3m  t  1  2m  0  mt  mt  0   ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  P   m  Bài tốn 3.4: Tìm tham số để đường thẳng Trang a) y m, m  cắt đồ thị  C  hàm số y  x  x  hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O b) y 3 x  m cắt đồ thị  C  hàm số y  x2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 x1  x2 đạt x giá trị nhỏ Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x  3x  m  x  3x   m 0 Với m  đường thẳng y m cắt  C  hai điểm phân biệt A  x A ; m  B  xB ; m  đối xứng qua Oy, x A  xB   Tam giác OAB vuông O nên OA.OB 0  x A xB  m 0 Mà x A  xB 0 nên x A  m; xB m   Do m  3m  m  0   m   m  2m  m  0  m 2 (vì m  ) b) Phương trình hoành độ giao điểm: x2 3x  m  x   m  3 x  m 0, x 1 x Điều kiện có nghiệm phân biệt khác 1:      g  1 0  m  2m   : Đúng m   0 Ta có: x1  x2    b    b      2a 2a m  2m   4  m  1 8  2 Vậy giá trị x1  x2 nhỏ m  Bài tốn 3.5: Tìm giá trị m cho a) Đồ thị hàm số y  x   m  1 x  m cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài b) Đường thẳng d : y  x  m cắt  C  : y  2x  hai điểm A, B mà AB  10 x Hướng dẫn giải Trang a) Hoành độ giao điểm đường cong trục hoành nghiệm phương trình: x   m  1 x  m 0  x 1 x m Điều kiện m  m 1 Khi đó, phương trình có nghiệm x  1, x 1, x  m , x  m Đường cong cắt trục hoành điểm tạo thành ba đoạn thẳng khi: m 3 1 m   m 9 m  (chọn) b) Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  : 2x   x  m  x  x   m  1 x  m  0   x 1 Đường thẳng d cắt  C  điểm A, B phân biệt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác   m  1   m  1  m  6m        0,  m  1   m  1  m  0  m 1 m 5  Khi A  x1;  x1  m  , B  x2 ;  x2  m  x1  x2 m  1; x1.x2 m  2 Ta có AB  10   x2  x1    x2  x1  10   x2  x1  5 2   x1  x2   x1 x2 5   m  1   m  1  0  m     m     m 0  m 6 (thỏa mãn)  Vậy m 0 hay m 6 Bài toán 3.6: Chứng minh đường thẳng d : y m  x cắt đồ thị  C  : y  x  3x điểm M, N x cắt tiệm cận  C  P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có trung điểm Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  : x  3x m  x  x   m   x  m 0, x 1 x Trang Ta có x 1 không nghiệm  m  16  , m nên d cắt  C  điểm phân biệt M, N Ta có y  x  3x nên TCĐ: x 1 , TCX: y  x  x   x x Do xP 1 , hoành độ giao điểm Q d với TCX: m  x  x   xQ  xP  xQ m  xM  xN m2 Do : đpcm   2 2 Bài tốn 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a) y  x  biết tung độ tiếp điểm y0 2 b) y  3 x  x  3x  song song với d : y  x  Hướng dẫn giải   a) Ta có phương trình tiếp tuyến điểm x0 , f  x0  : y  f '  x0   x  x0   f  x0  Vì y0 2  f ' x   x  2  x0 2 1 nên f '  x0   x2 Thế vào: y  1  x  2   x  4 b) y '  x  x  Đường thẳng d có hệ số góc k  Tiếp tuyến song song với nên y '    x  x    x  16 x  15 0  x0  x0  2 Với x0  29 37 f  x0   nên có tiếp tuyến y  x  24 12 Với x0  f  x0   nên có tiếp tuyến y  x  4 Vậy có tiếp tuyến y  x  37 y  x  12 Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị: Trang a) y 2 x  x  có hệ số góc bé b) y  f  x  thỏa mãn f   x   x  f   x  x 1 Hướng dẫn giải a) Ta có hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm y ' 6 x  12 x    x  1  , dấu = x0 1 nên max y '  , tiếp tuyến A  1;  1 y  x  b) Lấy đạo hàm vế, ta có: f   x  f '   x  1  f   x  f '   x  Thế x 0 : f  1 f '  1 1  f  x  f '  1  * 3 Thế x 0 vào f   x   x  f   x   f  1  f  1  f  1   f  1  0  f  1 0 f  1  Với f  1 0  * : 1 (loại) Với f  1 1  * :  f '  1 1  f '  1  f '  1  Vậy phương trình tiếp tuyến y  1  x  1 Bài toán 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến  C  hàm số: a) y  x biết khoảng cách từ tâm đối xứng  C  đến tiếp tuyến 2 x 1 b) y  x3  x  biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB 9OA Hướng dẫn giải a) Ta có y '   x  1 , x  Phương trình tiếp tuyến d M  x0 ; y0    C  , x0  y  x0  1 x x0   x0  x0   x   x0  1 y   x02  x0  3 0 nên Trang    x0  1   x02  x0  3 d  I ,   2  16   x0  1 2 2 2   x0  1   x0  1  16 0    x0  1   0    x0 1   x0  1 4    x0  Với x0 1 ta có phương trình tiếp tuyến y  x  Với x0  , ta có phương trình tiếp tuyến y  x  b) Ta có y ' 3 x  x Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB 9OA nên hệ số góc tiếp tuyến d là: OB k tan OAB  9 OA Do y ' 9  x  x 9  x  x  0  x0     x0 3  x  x  0  VN  Với x0 1 , phương trình d y 9 x  Với x0 3 , phương trình d y 9 x  25 Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến  C  hàm số: y  x 1 điểm M có hoành độ âm, biết tiếp x tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích S  Hướng dẫn giải Ta có y '  3  x  2 , x 2 Tiếp tuyến d với  C  M  x0 ; y0  , x0  d:y 3  x0   x x0   x0  x0  Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy Trang  x  x0    x02  x0    Ta có A ;0  , B  0;  x0       1 1 x02  x0  x02  x0  S   OA.OB    6  x0    x02  x0 0   x  x   0   x0   x0 0  x   x 1  Chọn x0  nên có hai tiếp tuyến là: d1 : y  1  x  1 ; d2 : y  x  12 Bài tốn 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến  C  hàm số: a) y  x3  x  qua A  0;2  b) y    m  x   m , m 0 qua M   1;  1 mx  m  Hướng dẫn giải a) Ta có: y ' 3 x  10 x Phương trình tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  y  f '  x0   x  x0   y0 y  3x03  10 x0   x  x0    x03  x02    Cho tiếp tuyến qua A  0;2  :  x0  10 x0 0 x   x  x03  x02 0  x02  x0   0  x0 0 x0   x02   Với x0 0 có tiếp tuyến y 2 Với x0  25 x2 có tiếp tuyến y  b) Ta có y '  1 1 m ,x  m  mx  m  1 Gọi d tiếp tuyến với  Cm  điểm T  x0 ; y0  d : y  y '  x0   x  x0   y0 Trang 10 x02   AO : đpcm 16  x0  x02  Bài tốn 3.28: Tìm điểm M thuộc  C  : y  x 1 cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm x cận  C  ngắn Hướng dẫn giải Đồ thị  C : y  x 1 có TCĐ: x 1 , TCN: y 1 nên giao điểm tiệm cận I  1;1 Ta có x  x 1  M  x;    C  nên khoảng cách:  x  1  x 1  IM   x  1    1   x  Dấu = xảy  x  1    x  1   x  1 4  x  1  2  Vậy M 1  2;1  , M    x  1 2  x 1  2;1   x 1 có đồ thị  C  Tìm điểm M đồ thị  C  cho tổng khoảng cách x từ M đến đường thẳng 1 : x  y  0  : x  y  0 nhỏ Bài toán 3.29: Cho hàm số: y  Hướng dẫn giải  Giả sử M  x0 ;  x0  d x0      C  , x0 1 Tổng khoảng cách x0   3 x0  x0   x0       x0   x0   x0  x0   5  2 x0    x0   x0   x0  x0  x0  5 Trang 20