Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 4 hàm số mũ và lôgarit lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa thức: a n  (với a 0 n  * ) n a m n r n a a  a m (với a  r  m , n  , n  * ) n a lim a rn (với a  0,  , rn   lim rn  ) Khi n lẻ, b  n a  b n a (với a) b 0 Khi n chẵn, b  n a   n b a (với a 0 ) - Biến đổi lũy thừa: Với số a  0, b  0,   tùy ý, ta có:  a a  a  ; a : a  a   ;  a  a  a.b    a b ;  a : b  a : b - So sánh: Nếu  a  b thì: a  b    0; a  b    Lôgarit:  - Lôgarit số a:  log a b  a b (  a 1 b  ) - Lôgarit số 10: log10 b lg b hay log b - Lôgarit số e: log e b ln b  e 2,7183 b - Tính chất: log a 0 log a a b với a  0, a 1 a log a b b với a  0, b  0, a 1 - Biến đổi lôgarit điều kiện xác định: log a  b.c  log a b  log a c log a b 1 log a b  log a c,log a    log a c c c log a b  log a b (với  ), log a n b  log a b ( n  * ) n - Đổi số điều kiện xác định: Trang log b x  log a x hay log a b.log b x log a x log a b log b a  1 hay log a b.log b a 1;log a b  log a b log a b  Hàm số lũy thừa y  x : Liên tục tập xác định      1  1 Đạo hàm x ' ax , u '  u u ' ;  x n /  n n x  x  0 ,  n u  n u' /  n n u n , với u u  x   Hàm số y  x đồng biến  0;    ; nghịch biến  0;    Hàm số mũ: Liên tục tập xác định  , nhận giá trị thuộc  0;  a   ; lim a x   a  x      lim a x  x   a   a       a  ' a u 'ln a;  e  ' e u ' với u u  x  x x x x Đạo hàm: a ' a ln a; e ' e ; u u u u Đồng biến  a  , nghịch biến   a  Hàm số lôgarit y log a x : Liên tục tập xác định  0;  , nhận giá trị thuộc   lim log a x  x     Đạo hàm  log a x  '   log a u  '  a    ; lim log a x   a  x 0  a   a  1 1 ;  ln a  '  ;  ln x  '  x ln a x x u' u' u' ;  ln u  '  ;  ln u  '  với u u  x  u ln a u u Hàm số y log a x đồng biến  0;  a  , nghịch biến  0;   a  Giới hạn: x ln   x  ex   1 lim    e;lim 1;lim 1 x   x x x x  x Trang 2 CÁC BÀI TỐN Bài tốn 4.1: Thực phép tính  0,75 A 81      125   3  1 2   3    ; B 0,001     64    90   32   Hướng dẫn giải 4  1    5    A   3  3 B  10 3     1  1     2      3 1 80 1 1             27 27 27  5  2 3     2 3   2   10  22  2  7  111  16 16 Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức điều kiện xác định: a P a a  a a a a a a a  1; Q    a 1 a3  a a  a 4 Hướng dẫn giải  P   a  a  1 a  a  1  a  1 a 1 4 Q a1 a 1  a  a 1  a  1  a   a   a    a     a  2a a3 1  a a   a  1 Bài toán 4.3: Trục mẫu a) 233 b)  13  48 Hướng dẫn giải a) 3   233 9 b) Vì  13  48 5   3  33    2  1  4   3  Trang nên   13  48 3 3     3 31  1  Bài toán 4.4: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng: a) b) 15  6  15  6 5  7 Hướng dẫn giải  a) Ta có 2  18  12 12 30 12 15  6  15  6  nên Cách khác: Đặt 2 3   6 2 15  6  15  6  x; x  Ta có x 30  225  216 36 nên chọn x 6  b) Ta có:  1    2    Tương tự    Do 5    Cách khác: Đặt x     x 7     10   5  3   1       3 2  Ta có: 7               10  3x Ta có phương trình:    x  3x  10 0  x  2 x  2 x  0  x 2 Bài tốn 4.5: Tính gọn a) 49  20  49  20 b) 2 2 2  2  2 Hướng dẫn giải a) Ta có  49  20  25  10 24  24    Trang 4 Tương tự: Suy 4  3 49  20     3 2 (do 3 2) 49  20  49  20 2 b) Đặt M    2  , N    2   Ta có: MN        1  M  N 4   M  N  2M N 6    1  1   M  N    M  N  2MN       Vậy 2 2 2   2     2  M  N  1 Bài toán 4.6:   23  513 23  513   Tính A  x  x  x    a) Cho  3 4   b) Tính B  4 6 2k  k  200  9999      1 2 k   k 1 99  101 Hướng dẫn giải a) Đặt a  23  513 23  513 ,b 3 4  a  b3  23 , ab 1 x  a  b Vì  x  1 27 x  27 x  x  27  x3  x  1   x  1  29 nên  3x  1 A 3   x  1  29  a  b    a  b   29  27 27 23 a  b3  3ab  a  b    a  b   29  29    27 27 Trang b) Với k 2 2k  k   k   k 1       k 1  k  1 k1   k  1   k  1   k  1  k  1   k 1   k 1  k1 k1   23  53  Do 33  63  1 999  1013  3 3     101  100   2 999  101 101  2  Bài toán 4.7: Cho sh  x   k 1  B   33  13  43  2 43   1013  993   a x  a x a x  a x a x  a x với a  0, a 1 Chứng minh ; ch  x   ; th  x   x 2 a  a x 2th  x  ch  x   sh  x  1 , th  x    th  x  Hướng dẫn giải  a x  a x   a x  a x  Ta có ch  x   sh  x      2      2 a2 x  a 2x   a2x  a 2x   1 4 2  a2x  a x   a x  a x  Ta có:  th  x  1   x  2x x  a  a 2x   a a  2th  x  a x  a x a2x  a 2x   nên  th  x  a x  a x  a2 x  a 2x    a x  a x   a x  a x  2  a x  a x   a2 x  a 2x   a2x  a 2x th  x  a2x  a 2x Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: a) Nếu 1 1 1 1    n  n  n  n a b c a b c a b c a  bn  cn Trang b) Nếu ax n by n cz n , 1   1 thì: x y z ax n   by n   cz n   n a  n b  n c n Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết suy 1 1    a b a b c c   a  b   a  b  c  c abc  ab  a  b  c    a  b   b  c   c  a  0  có số đối mà ta có n lẻ  đpcm b) VT = n  1 1 ax n by n cz n    n ax n      n ax n  x n a  y n b  z n c x y z  x y z  1 1  VT      n a  n b  n c  đpcm  x y z Bài tốn 4.9: Tính: a) 3log3 18 18;35log3 3log3 25 32  1    8 log      32  b)  2  log 0,5 log 2   5       2     3 log 3 2log2 5  125 log 25 25 32   2 log 36  log 14  3log 21 log   log 7   14.21  Bài toán 4.10: Rút gọn biểu thức: a) A log 2.log 3.log 5.log 6.log8 b) B a log a b b logb a Hướng dẫn giải a) A log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log  log log log log log log log 1  log  log 2  log3 log log log log log8 log8 3 b) Đặt x  log a b  log a b  x  b a x Mặt khác log b a   x2 log b a  x Trang Do đó: B a x  a x x 0 Bài toán 4.11: a) Cho log 15  x,log12 18  y , tính log 25 24 theo x, y b) Cho a log 3, b log 5, c log , tính log140 63 theo a, b, c Hướng dẫn giải log 3.5 log  log log 2.32  2log   a) Ta có x  y  log 2.3  log log 22.3  log Suy log  2y  x   y  xy ;log  2 y 2 y log 23.3 5 y  Do log 25 24  log  x   y  xy    b) log140 63 log140 2log140  log140  2    log 140 log 140 log  2.5.7  log  2.5.7    2log  log3  log 2log  log  Ta có log  log  Vậy 1  ,log log 2.log 3.log cab ; log a 1   log log 2.log ca log140 63  b a ca  2ac   2c  cab  abc  2c  Bài toán 4.12: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a log3 27, blog7 11 49, c log11 25  11 2 Tính T a  log3   b log7 11  c  log11 25 Hướng dẫn giải Ta có:  T  a log3  log3   b log7 11  log 11  c log11 25   log11 25 Trang 27 log  49 log 11   11  log11 25 7  11  25 469 Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) a logc b b logc a b) n  n  1 1 1      log a b log a b log a3 b log an b 2log a b Hướng dẫn giải a) a logc b blogb a b) VT = logc b blogc b.logb a blog c a n     log a b log a b log a b log a b      n  n  n  1  log a b 2log a b Bài tốn 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a  c b log b c a  log b  c a 2log b c a.log b  c a b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân log a d  log b d log a d  log b d  log c d log c d Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết: a  b  c   b  c  Xét a 1 : Xét a 1 log a  b  c   log a  b  c  2  1  2 log b  c a log bc a nên log b c a  logb  c a 2log b c a.logb  c a c log d   1 b) Ta có b log a d  log b d    log d a log d b  log d a   log d b  c log d   1 Tương tự: a log b d  log c d    log d b log d c  log d b   log d c  Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên Do c b c b   log d   log d   a a b a log a d  log b d log d c log a d   log b d  log c d log d a log c d Trang Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a số thực dương đôi khác khác Chứng minh: a) Nếu log a x 1  log a x.log a z , log a y 1  log a y.log a x thì: a A log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a 1 x y z b) Nếu x  y  z  x y  z  x  y  z  x  y  z    x y y x  y z z y  z x x z log x log y log z Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết, ta có: log a x 1  log a x.log a z 1  log a x   log a z  log a z log a z a z Do đó: log x a log a z 1 Tương tự log y a log a x 1 z x Mà log a y 1  log a y.log a z , nên log a y 1  log a y log a y   log a z   log a z log a y   log a z 1  log a y.log a z Tương tự trên, ta có log z a log a y 1 y Do     A  log a x.log y a   log a y.log z a   log a z.log x a  1   x y z     b) Nếu số x  y  z , y  z  x, z  x  y ba số dẫn đến x  y  z 0 , mâu thuẫn Do x  y  z , y  z  x, z  x  y khác  x  log y   y  z  x   y  log x   z  x  y   Từ giả thiết thì:  y  log z   z  x  y   z  log y   x  y  z    z  log x   x  y  z   x  log z   y  z  x  Ta có: x  log y   y  z  x   y  log x   z  x  y   x log y  y  log x  zx y yz x  zx y   x log y  y log x  y  log x    1  yz x  Trang 10 b) Với x   1 x  : y ln   x  1  x  1  ln x   ln x   y'  1  x  3x    Ta chứng minh quy nạp    ax  b   m m  1 m !a m   m 1  ax  b  n Suy y  n n  1  n  1 !2n   1  n  1 !3n     n n  x  1  3x  1 Bài tốn 4.31: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: ex a) y  x b) y  x e  x Hướng dẫn giải a) D  \  0 , y '  e x  x  1 , y ' 0  x 1 x2 BBT x  y' − y −   +   e  Vậy hàm số nghịch biến khoảng   ;0   0;1 đồng biến khoảng  1;  , đạt CT  1;e    x b) D , y '  x  x e , y ' 0  x 0 x 2 BBT x y' y  −  +  − 4e   Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;2  , nghịch biến khoảng   ;0   2;  , đạt CĐ  2;4e  , CT  0;0 2 Trang 18 Bài tốn 4.32: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số:   a) y ln x  b) y  x  ln   x  Hướng dẫn giải a) D   ;  1   1;   , y '  2x x 1 Khi x   y '  nên hàm số nghịch biến   ;  1 Khi x  y '  nên hàm số đồng biến  1;  Hàm số khơng có cực trị b) D   1;   , y ' 1  y  , y ' 0  x 0 1 x 1 x y '  0, x   0;   nên hàm số đồng biến  0;  y '  0, x    1;0  nên hàm số nghịch biến   1;0  Ta có y ''  1  x  nên đạt cực tiểu x 0, yCT 0 Bài toán 4.33: Cho a, b, c thực dương Chứng minh hàm số ax bx cx đồng biến với x dương f  x  x   b  cx cx  ax ax  bx  ax Ta có  x x  b c  x x x x x x  a ln a  b  c   a  b ln b  c ln c  '    bx  cx  a xb x  ln a  ln b   a x c x  ln a  ln c  b x  cx  /  a xb x ln a  ln b  a x c x ln a  ln c   ax        Do f '  x    x x   sym  b  c  sym   bx  cx     a xb x ln a  ln b a xb x ln a  ln b        2 x x sym   a x  c x    b c   a  b   a  b  2c    ln a  ln b  a c  b c  x x  a b sym x x x x x x x x x Bài toán 4.34: So sánh số: Trang 19 a) 13 b) 23  15 10  28 Hướng dẫn giải a) 13 20 135 20 371293; 23 20 234 20 279841 Ta có 371293  279841 nên b) 13  23  15   3   10  28 Bài toán 4.35: So sánh số: 600 a)   b)    3 400 3 Hướng dẫn giải   a) Ta có: 3600  33 5400  52    b) Ta có    3 200 200 27 200 25200 Vậy 3600  5400  1    3 3   1    3 Ta có      5  1 Vì số   nên    3  1    3 3  18  20 :       3  3 Bài toán 4.36: Hãy so sánh số: a) log log b) 3log6 11 log6 0,99 Hướng dẫn giải a) Ta có log  log 1  , suy log  log 3 b) Ta có log 1,1  nên 3log6 1,1  30 1 (vì  ) log 0,99  nên log6 0,99  1 (vì  ) log 1,1 Suy  log 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: a) log8 27  log 25 b) log  log 25 Hướng dẫn giải a) log8 27  log 25  log 25 Trang 20