Tai lieu boi duong hoc sinh gioi chuyen de nguyen ham vo ti va ham logarit

Trang 1 NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT 1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm vô tỉ Với 1   thì 1 1 x x dx C        ; 1 '''' 1 u u u dx C        Các biến đổi chia tách, thêm bớt, khai t[.]

NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm vô tỉ: Với   1 thì: x 1 u 1   x dx     C ;  u u '.dx     C  m Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số n a m  a n ,… Các dạng tích phân vơ tỉ: b  dx : nhân hợp liên hiệp (trục mẫu) px  q  px  r b xk dx : trục tử xk a  a b dx   x  m  x  n  : Đặt t  xm  xn a b  a b  px x2  m dx : Đặt u  x  m k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t a b  a x m :Đặt t  x  x  m b  x  mdx : Đặt u  x  m , dv  dx a b   x    a dx px  qx  r : Đặt t  x     R  x, k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t  R  x, k  x dx : Đặt x  k tan t k cot t b a b a  Trang   b 2  R x, x  k dx : Đặt x  a  b  R  x; x    x  n a k k sin t cos t  x    dx : Đặt t  n  x    R  x,  x      x  dx : Đặt x         sin b t a   R  x, b px  qx  r dx : Đặt a px  qx  r  t  x p px  qx  r  t  x r Nguyên hàm mũ lôgarit:  e dx  e x x  e u ' dx  e c u ax c ln a x  a dx  u u  a u '.dx  c au  c  a  0, a  1 ln a Các dạng tích phân phần: b  P  x  e x dx : Đặt u  P  x  , dv  e x dx a b x  ln xdx : Đặt u  ln x, dv  x dx a b e x sin  xdx : Đặt u  e x , dv  sin  xdx a b e x cos  xdx : Đặt u  e x , dv  cos  xdx a CÁC BÀI TỐN Bài tốn 8.1: Tính a)   x  x dx b)  x  x  x  dx Hướng dẫn giải  12  32 34 x  x dx    x  x  dx  x  x  C   a)  b)  x 3   56  116 74 32 x  x  dx    x  x  x  dx  x  x  x  C 11    Trang Bài toán 8.2: Tính a)  x x x dx x2     dx x x  b)  Hướng dẫn giải a)    x x x dx   x  x2   x  dx  x  x  C    1     dx     x  dx  x  x  C b)   x  x  x  Bài tốn 8.3: Tính a) I   dx x3 x4 b) J   dx , a  0, b  c ax  b  ax  c Hướng dẫn giải 7 a) I   b) J    x   x  dx  3     x  4  C x      21   bc   1     x   dx x           ax  b  ax  c dx a b  c    ax  b  Bài tốn 8.4: Tính a) E     ax  c  C x  x 4  2dx b) F   xdx x2 Hướng dẫn giải 1 1   x 2  dx    x   dx  x3   C x  x  a) E   x b) F  x22      x   dx   3 x  2  C dx  x  x        x2    Bài tốn 8.5: Tính: a) A    2x  3 x  3dx b) B  1 x dx Hướng dẫn giải Trang a) Đổi biến: Đặt t  x   x  t   dx  2t.dt A  2  2t  3 dt    2t  3t  dt  t  2t  C   x  3  x  1  C 5 b) Đặt t   x  x  1  t   dx  2 1  t  dt Q  2 t 1  1 dt  2 1   dt t  t   t  ln t   C  2 Bài tốn 8.6: Tính: a)     x  ln  x  C dx x 1 x  b)  x2  dx Hướng dẫn giải a) Đặt t   x  x  t   dx  2t.dt  1 x t dt   dx  2  1   dt x t 1  t 1     2 dt      dt  2t  ln t   ln t   C  t 1 t     x  ln  x 1 C 1 x 1 b) Đặt t   x  x  t   dx  2t.dt  1 x t dt   dx  2  1   dt x t 1  t 1     2 dt      dt  2t  ln t   ln t   C  t 1 t     x  ln  x 1 C 1 x 1  b) Đặt t  x  x   dt  1     dx  x2   x dx x2   dt t Trang  dx x2   dt  ln t  C  ln x  x   C t 7/3  Bài tốn 8.7: Tính: a) K  x 1 dx 3x  b) L   dx x 1  x 1 Hướng dẫn giải t3 1 a) Đặt t  3x   x   dx  t dt 3 t  Khi x  t  1, x  K    t  2t  dt  31 b) L   22   t5 t3  46      15  15 3 1 3  2  x   x  dx    x  1   x  1   3 1  a /2 a Bài toán 8.8: Tính: a) A   a  x dx 2 b) B   dx a2  x2 Hướng dẫn giải a) Đặt x  a sin t với   t   dx  a cos t Khi x  t  0, x  a t   /2 Aa   /2 cos t cos tdt  a   a2 cos tdt  2  /2  1  cos 2t  dt  /2 a  sin 2t   a2  t    2 0 b) Đặt x  a sin t với   Khi x  t  0; x   /6 B  a cos tdt  a cos t  /6 t   dx  a cos tdt a  t    dt  Trang b Bài tốn 8.9: Tính: a) C  b dx  b) D  x2  b  x  b dx Hướng dẫn giải    dx  x2  b  x a) Đặt t  x  x  b  dt  1   b  2b  C b dt  ln t t b  2b b  b b) D     ln  x  bdx  x  x  b b b 2  x2  b  b x b b b nên D   2 b   x2 x2  b b dx  b  D  b  x2  b dx   dt t dx x b  dx b  ln  2  x2 dx x4 Bài tốn 8.10: Tính: a) K  x2  b   b   b dx b) L   x 1/2   1 dx x x4  Hướng dẫn giải t a) Đặt x   dx  1/2 1 dt t2 K    t  t dt   1/2 2 b) L   1/2 2  5  1  t  d 1  t      2   2  1  x dx  dx   x  1/2  1 x2  x     x x  1 2   1 13      ln x    x      ln   x x 13     1/2 1  Bài toán 8.11: Tính: a) A  x  x dx b) B   x5  x dx Hướng dẫn giải Trang     t    dx  cot dt 2  a) Đặt x  sin t   Khi x  t  0, x  t   /2 A  sin t cos2 tdt    /2    /2  sin 2tdt  /2  cos 4t  sin 4t    t    8 0 16 b) Đặt t   x  x   t  xdx  tdt Khi x  t  1, x  t  B   1  t  2 1  t7  t  t  dt    t  2t  1 t dt    t  t    105 7 Bài tốn 8.12: Tính: a) I  a/ x dx  b) J  x  x 1  xdx a2  x2  a  x2  Hướng dẫn giải 1  x  x    x    ,  x  x  1 '  x  2  a) Ta có  1 3 Đặt x  A   x      B  x  1  C     Đồng A  1, B  2, C   nên   1 2x  1   I    x      2 0  1  1  x   x    2         dx     2x     x  x   ln  x   x  x       Trang  3 1    ln 1    3 a/ xdx  b) J  a2  x2  a2  x2 xdx Đặt t   a  x  dt  a 1   dt  t t  J a 1 a 1 a 1 2 a2  x2  2a   a  4096 Bài tốn 8.13: Tính: a) K    xdx   t  1 dt xdx 128 x2  x  b) L   dx x2  5x  Hướng dẫn giải a) Đặt x  t12 dt  12t11dt Khi x  128 t  2, x  4096 t   t14 t4  K  12  dt  12   t  t   dt t 1 t 1  2  t10 t   12    ln t    10 5  b) Đặt t  2  464  31   12   ln  5 1   x 2  x 3  1  x   x   dt    dx  x 2 x 3   1   dt     dx   x 2 x 3  L 2 dx 2dt  ln t t 1  x   x  3  : dx  x   x  3 2 1  ln  2dt t 2 1 Bài tốn 8.14: Tính: a) A    x  1 dx x2  2x  1/2 b) B   x dx  1 x  Hướng dẫn giải Trang 1 dt  x    dx   x 1 t t a) Đặt t  1/2 dt A  Đặt u  t  t   t 1 1 /2  Do A   1 dt t 1  du u  1 du 1 /2    ln u  1  ln u 1 b) Đặt t  x2   x2  3/2 3/2 dt D   3t   t 1    ln   t    2t 2dx  dt  1 t  x2  2 x2   1   dt 1 t 1     t  3/2  6  12 3 ln  23  Bài tốn 8.15: Tính: a) I n  1  1  x  n n  xn  b) J n  x n  xdx dx Hướng dẫn giải a) I n   xn  xn  1  x  n n 1  xn dx   n  xn dx   xn n n n 1  x   x dx   xn    xd  dx  n  x n 0  n  x n  1  x n  n  x n x 1  1 xn xn  dx  dx    n n n n n 1  x n  n  x n 1  x   x b) u  x n , dv   xdx Khi du  nx n 1dx, v   Jn   x  1 x  3 1  x  2n n1  x  x  1  xdx 0 Trang  0 2n 2n J n1  J n1  J n   J n  2n  2n  n  1 2n1.n! Vậy J n  J  2n  n  3.5  2n  3 x Bài toán 8.16: Tìm hàm số f số thực a  thỏa mãn điều kiện:  a f t  dt   x với x  t2 Hướng dẫn giải Gọi F  t  nguyên hàm hàm số f t  t2 Theo định nghĩa tích phân, ta có với x  F  x  F a   x Cho x  a ta a  F  x   F     x nên F '  x   f  x 1    f  x   x3 x x x Bài tốn 8.17: Tính: a)  2 x 3  x dx b)  5x 1  5 x  3x dx Hướng dẫn giải a)  2 x 3  x 4x 6x 9x dx     2.6   dx  2  C ln ln ln x x x x 5 x x x   5x 1  5 x    1 5 x 3  C b)  dx    dx     3x      ln 3x   ln Bài tốn 8.18: Tính: a) e sin x cos xdx b) e x dx  e x Hướng dẫn giải a) e sin x cos xdx   esin x d  sin x   esin x  C t b) Đặt t  e x dt  e x dx  dx  dt e x 1 1  1  dx   dt   dt     dt x 1 e t 1  t 1 t 1  t t  t  Trang 10  1 ex 1 ln t   ln t   C  ln C   2 ex  Bài tốn 8.19: Tính: a)  1  tan x  e x dx b)  x  1 dx  x 1  xe  x Hướng dẫn giải a)  1  tan  e2 x dx   1  tan x  tan x  e2 x dx    tan x.e2 x  dx  tan x.e2 x  C b) Đặt t   xe x dt   x  1 e x dx  x  1 dx  x 1  xe  x t 1 xe x  1     dt  ln  C  ln C t  xe x  t 1 t    b) J  e Bài toán 8.20: Tính: a) I  x3.e x dx x 9 dx Hướng dẫn giải   a) Đặt u  x3 , v '  e x J  x3.e x dx  e x x3  x e x dx Đặt u  x , v '  e x  x e dx  x e x  x  2 xe x dx  2xe x  I  Do J  e x x3  3x  x   C b) Đặt t  3x   3x  t   dx  J tdt t te dt Đặt u  t , v '  et  tet dt  t.et  et  C  nên J   3x  9e x 9  e Bài toán 8.21: Tính: a) ln xdx x 9 C b)  x ln xdx Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln x, dv  dx Khi du  dx, v  x Ta có: x  ln xdx  x ln x   x x dx  x ln x   dx  x ln x  x  C Trang 11 b) Đặt u  ln x, v '   x  u '  , v  x Ta có: x 32 12 23 23 x ln xdx  x ln x   x dx  x ln x  x  C 3 Bài tốn 8.22: Tính: a)   ln x  x dx b)  x ln x dx 1 x Hướng dẫn giải a)   ln x  x dx    ln x  d  ln x   ln x  C x x2 , du  xdx Khi du  b) Đặt u  ln ,v  1 x x 1  x   x ln x x2 x x dx  ln   dx 1 x 1 x 1 x x2 x  x2 x 1   ln    1 dx  ln  ln  x  x  C 1 x 1 x  1 x 2 Bài tốn 8.23: Tìm ngun hàm a) I  x3 ln  x  dx b) J  x2 cos  x  dx   Hướng dẫn giải x4 a) Đặt u  ln  x  , dv  x dx Khi du  dx, v  x Ta có: I  x ln  x  x ln  x  x x3   dx   C 4 16 b) Đặt u  x , dv  cos  x  dx Khi du  xdx, v   sin  x  x sin  x    x sin  x  dx Ta có: J  Đặt u  x, dv  sin  x  dx Khi du  dx, v   x sin  x  dx   cos  x  : x cos  x  cos  x  x cos  x  sin  x   dx   C 2 Trang 12 nên J  x sin  x  x cos  x  sin  x    C 2 Bài tốn 8.24: Tính: a) I  sin  ln x  dx b) J  e x  cos x  x sin x  dx   Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln x x  eu nên dx  eu du A   sin u.eu du   sin ud  eu   sin u.eu   cos u.eu du  sin u.eu   cos u.d  eu   sin u.eu  cos u.eu   sin u.eu du Từ suy A  x  sin  ln x   cos  ln x    C b) Đặt u  e x , dv  cos x Khi du  xe x dx, v  sin x 2 e x2 cos xdx  e x sin x   xe x sin xdx 2 nên J  e x  cos x  x sin x   e x sin x  C  2 x Bài tốn 8.25: Tính: a) K   x  1 e dx b) L  x x   e x dx Hướng dẫn giải a) Đặt u  x2  x  1, dv  e x dx Khi du   x  1 dx, v  e x 1 0 K   x 21  x  1 e x    x  1 e x dx  3e     x  1 e x dx Đặt tiếp u  x  1, dv  dx K   e  1 b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx Khi du  3x dx, v  e x L  e  x    3 x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L  ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A   ln dx ex 1 b) B  xe x  1  x  dx Hướng dẫn giải a) Đặt u  x2  x  1, dv  e x dx Khi du   x  1 dx, v  e x Trang 13 1 0 K   x  x  1 e x    x  1 e x dx  3e     x  1 e x dx Đặt tiếp u  x  1, dv  dx K   e  1 b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx Khi du  3x dx, v  e x L  e  x    3 x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L  ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A  dx  ex 1 ln b) B  xe x  1  x  dx Hướng dẫn giải a) Đặt t  e x   e x  t   dx  A t dt  Đặt t  tan u B  1 b) B  2tdt t2 1 ex ex dx  0  x 0 1  x 2 dx  e x 1 e x  e ex  dx    dx    1 x 0 1 x  1 x       Bài tốn 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J  e2 x sin xdx x 0 Hướng dẫn giải a) Đặt u  cos x, dv  e x , du   sin x, v  e x   0 I  cos x.e x   e x sin xdx  1  e   sin xd  e x    1  e   sin x.e  x    e  x cos xdx  1  e  I Do I  1  e  I    e Trang 14    1 b) J   1  cos x  d  22 x   e x 1  cos x    e x sin xdx 40 20 Dùng phần lần liên tiếp J  2  e  1  x 1x   1  x  x  e dx 0.5  Bài tốn 8.28: Tính a) I  b) J  3x 0 3x  3 x dx Hướng dẫn giải a) I  e x x  x  0,5  x  x  e x dx dx  0,5 Đặt u  e x x 1  x  , dv  dx Khi du   x   e x dx, v  x x  1 x  x  Ta có:   x   e x dx  xe x x 0,5  Suy I  xe x x 0,5  0,5 e x x dx 0,5  e 2,5 3 x 0 3x  3 x dx J  E  0 dx  1 b) Xét E  3x  3 x 1 dx  ln  3x  3 x   ln J  E   x x 3 ln ln 3 0 1 Do đó: J  1 5 ln  1   ln 3  Bài tốn 8.29: Tính: a) A   1  x2 dx  2x  b) B  x 2e x sin xdx Hướng dẫn giải a) A   1  x2  x2 dx   dx  2x  2x Đặt x  t  1  x2 2t  t 2x  x2 dx   dt   dx  2x  2t  2x 0 1 Trang 15 Do A   1    x2 x 1 dx    x dx x  Đặt x  sin t A  b) Đặt u  x2 sin x, dv  e x dx B  e x sin x   e x  x sin x  x cos x  dx x 0 1  e sin1  2 xe sin xdx   x 2e x cos xdx x 0 Từ tính B  e sin1  sin x b) J   x dx 1  dx Bài tốn 8.30: Tính a) I   x 1  e  1 x  1 Hướng dẫn giải a) Đặt x  t dx   dt Khi x  1  t  1, x  1  t  1 Ta có I  dx dt et    1  e x  1 x  1 1  et  1 t  1 1  et  1 t  1dt ex I x dx 1  e  1 x  1 nên I  I  I  t 1 dt    Vậy I  1 2  b) Đặt x  t dx   dt nên: J      Do J   sin xdx    sin t 3x.sin x dt   dx x 1    1 3t   1  cos x  dx  J        Bài tốn 8.31: Tính a) A  ln x  x dx b) B  x5 ln xdx 2 Hướng dẫn giải 2x 1   dx  3ln  2ln      dx  3ln  x  x    2 a) A  x ln  x  x    3 Trang 16 b) Đặt u  ln x, dv  x5dx Khi du  dx , v  x6 x 2  x ln x  x dx 32 B  ln     1 e e  x b) D  Bài tốn 8.32: Tính a) C  x ln xdx  x  1 ln xdx 1 Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln x, dv  xdx Khi du  2ln x dx, v  x x e e e  x2  e2 C   ln x    x ln xdx    x ln xdx  1 dx x2 Đặt u  ln x, dv  xdx Khi du  ,v  x e x2 e2 e2  x ln xdx  ln x  xdx   e   C    1 2 1 4 e e   b) Đặt u  ln x, dv  x  x  dx thì: e e  x3 x   x3 x 1 D     x  ln x      x  dx   x 1 e  x2 x  e3 e 2e3 e2 31    e      1 dx    3  36 1 e Bài tốn 8.33: Tính: a) I   1  ln x ln x dx b) J   dx x x Hướng dẫn giải e a) I   1  ln x   b) J  ln xd e  x   2  4ln    d 1  ln x   1  ln x   2    x x ln x  4  2 dx x   ln  1 Trang 17  /2 Bài tốn 8.34: Tính: a) A   cos x ln  sin x  dx  b) B  ln  /4 x 1 dx x 1 Hướng dẫn giải  /2 a) A   /2  ln sin x  d sin x   sin x.ln sin x   /4  /2  /4  cos xdx /4  /2 2 2  ln  sin x  ln  4  /4 x 1  2x  b) B   x ln    dx  3ln  6ln x 1  2 x 1  3 Bài tốn 8.35: Tính: a) C   ln x   x  1 b) D  dx   x ln x  x  x2  dx Hướng dẫn giải  ln x dx  1   a) C     ln x  d   x  1 x  x  1  x 1 3 3  ln 3 dx 1 27      dx      ln  1x x 1  16  3   x b) Đặt u  ln x  x  , dv   D  x  1.ln x  x  2  x 1 thì:   dx  2ln  Bài toán 8.36: Tính: e a) I   1  x  ln x  dx b) I   x ln x x  2ln x   x  1 dx Hướng dẫn giải e a) Ta có I   1  x  ln x  dx  e 1  x ln x   1  ln x  dx  x ln x e  x ln x 1  ln x  ln x e dx  x   dx   e  1  J  x ln x  x ln x 1 e  2 dx    e Trang 18  ln x e   x ln x dx Tính J  Đặt t   x ln x  dt  1  ln x  dx Khi x  t  , x  e t   e 1 e nên J   b) I  dt 1 e  ln t  ln 1  e  nên I   e  1  ln 1  e  t x  2ln x   x  1  1 2ln x  dx      dx 3    x  1  x  1    x  1 2 2 1 ln x ln x    2 dx   2 dx 3 x  1  x  1 12  x  1  x  1 Tính J  ln x   x  1 dx Đặt u  ln x, dv  dx  x  1 J  ln x  x  1 Khi du  dx 1 ,v   x  x  12 2 dx ln  1           dx x  x  12 18 1  x x   x  12  ln  x  ln      ln    ln     18  x  x   18    ln  ln  18 12 Suy I  ln  ln   2   ln    ln   12 72  18 12  ln Bài tốn 8.37: Tính: a) I    xe x 0 x2  x  1dx x dx e x  e x  b) I  Hướng dẫn giải ln a) Ta có I   x dx  x e  e x  ln  e xe x x  1 dx Trang 19 Đặt u  x, dv  e ex x  1 ln x  Ta có: I   x e 1 ln Tính J  e dx Khi du  dx, v   ln  dx ln   x e 1 ln e e 1 x dx 1 x dt dx Đặt e x  t x  ln t  dx  t 1 x Khi x   t  1; x  ln  t  2 dt 1  J      dt  ln t  ln t  1 t t  1  t t    2  2ln  ln nên I  ln  ln 2 xe x xe x dx   dx   dx    dx b) Ta có I   2 x  0  x  12  x  1  x  1  x  1 1 Tính xe x xe x dx   x  1 dx Đặt u  xe , dv   x  1 x 2 1 Khi du   x  1 e x dx; v   1 x 1 xe x 1 dx    Ta có:   x  1 e x dx x  x   x  1 0 xe x 1 e e e     e x dx    e x dx   2 Thay vào ta I  e 2 Bài toán 8.38: Chứng minh F  x  nguyên hàm f  x  :   a) F  x   ln x   x  C; f  x   1  x2 x     C; f  x   cos x 2 4 b) F  x   ln tan  Hướng dẫn giải Trang 20 ... 1 dx, v  e x 1 0 K   x 21  x  1 e x    x  1 e x dx  3e     x  1 e x dx Đặt ti? ??p u  x  1, dv  dx K   e  1 b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx Khi du  3x dx, v  e x L... dx, v  e x Trang 13 1 0 K   x  x  1 e x    x  1 e x dx  3e     x  1 e x dx Đặt ti? ??p u  x  1, dv  dx K   e  1 b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx Khi du  3x dx, v  e x L... 1 b) J   1  cos x  d  22 x   e x 1  cos x    e x sin xdx 40 20 Dùng phần lần liên ti? ??p J  2  e  1  x 1x   1  x  x  e dx 0.5  Bài tốn 8.28: Tính a) I  b) J  3x 0