Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT 1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm vô tỉ Với 1 thì 1 1 x x dx C ; 1 '''' 1 u u u dx C Các biến đổi chia tách, thêm bớt, khai t[.]
NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm vô tỉ: Với 1 thì: x 1 u 1 x dx C ; u u '.dx C m Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số n a m a n ,… Các dạng tích phân vơ tỉ: b dx : nhân hợp liên hiệp (trục mẫu) px q px r b xk dx : trục tử xk a a b dx x m x n : Đặt t xm xn a b a b px x2 m dx : Đặt u x m k x dx : Đặt x k sin t k cos t a b a x m :Đặt t x x m b x mdx : Đặt u x m , dv dx a b x a dx px qx r : Đặt t x R x, k x dx : Đặt x k sin t k cos t R x, k x dx : Đặt x k tan t k cot t b a b a Trang b 2 R x, x k dx : Đặt x a b R x; x x n a k k sin t cos t x dx : Đặt t n x R x, x x dx : Đặt x sin b t a R x, b px qx r dx : Đặt a px qx r t x p px qx r t x r Nguyên hàm mũ lôgarit: e dx e x x e u ' dx e c u ax c ln a x a dx u u a u '.dx c au c a 0, a 1 ln a Các dạng tích phân phần: b P x e x dx : Đặt u P x , dv e x dx a b x ln xdx : Đặt u ln x, dv x dx a b e x sin xdx : Đặt u e x , dv sin xdx a b e x cos xdx : Đặt u e x , dv cos xdx a CÁC BÀI TỐN Bài tốn 8.1: Tính a) x x dx b) x x x dx Hướng dẫn giải 12 32 34 x x dx x x dx x x C a) b) x 3 56 116 74 32 x x dx x x x dx x x x C 11 Trang Bài toán 8.2: Tính a) x x x dx x2 dx x x b) Hướng dẫn giải a) x x x dx x x2 x dx x x C 1 dx x dx x x C b) x x x Bài tốn 8.3: Tính a) I dx x3 x4 b) J dx , a 0, b c ax b ax c Hướng dẫn giải 7 a) I b) J x x dx 3 x 4 C x 21 bc 1 x dx x ax b ax c dx a b c ax b Bài tốn 8.4: Tính a) E ax c C x x 4 2dx b) F xdx x2 Hướng dẫn giải 1 1 x 2 dx x dx x3 C x x a) E x b) F x22 x dx 3 x 2 C dx x x x2 Bài tốn 8.5: Tính: a) A 2x 3 x 3dx b) B 1 x dx Hướng dẫn giải Trang a) Đổi biến: Đặt t x x t dx 2t.dt A 2 2t 3 dt 2t 3t dt t 2t C x 3 x 1 C 5 b) Đặt t x x 1 t dx 2 1 t dt Q 2 t 1 1 dt 2 1 dt t t t ln t C 2 Bài tốn 8.6: Tính: a) x ln x C dx x 1 x b) x2 dx Hướng dẫn giải a) Đặt t x x t dx 2t.dt 1 x t dt dx 2 1 dt x t 1 t 1 2 dt dt 2t ln t ln t C t 1 t x ln x 1 C 1 x 1 b) Đặt t x x t dx 2t.dt 1 x t dt dx 2 1 dt x t 1 t 1 2 dt dt 2t ln t ln t C t 1 t x ln x 1 C 1 x 1 b) Đặt t x x dt 1 dx x2 x dx x2 dt t Trang dx x2 dt ln t C ln x x C t 7/3 Bài tốn 8.7: Tính: a) K x 1 dx 3x b) L dx x 1 x 1 Hướng dẫn giải t3 1 a) Đặt t 3x x dx t dt 3 t Khi x t 1, x K t 2t dt 31 b) L 22 t5 t3 46 15 15 3 1 3 2 x x dx x 1 x 1 3 1 a /2 a Bài toán 8.8: Tính: a) A a x dx 2 b) B dx a2 x2 Hướng dẫn giải a) Đặt x a sin t với t dx a cos t Khi x t 0, x a t /2 Aa /2 cos t cos tdt a a2 cos tdt 2 /2 1 cos 2t dt /2 a sin 2t a2 t 2 0 b) Đặt x a sin t với Khi x t 0; x /6 B a cos tdt a cos t /6 t dx a cos tdt a t dt Trang b Bài tốn 8.9: Tính: a) C b dx b) D x2 b x b dx Hướng dẫn giải dx x2 b x a) Đặt t x x b dt 1 b 2b C b dt ln t t b 2b b b b) D ln x bdx x x b b b 2 x2 b b x b b b nên D 2 b x2 x2 b b dx b D b x2 b dx dt t dx x b dx b ln 2 x2 dx x4 Bài tốn 8.10: Tính: a) K x2 b b b dx b) L x 1/2 1 dx x x4 Hướng dẫn giải t a) Đặt x dx 1/2 1 dt t2 K t t dt 1/2 2 b) L 1/2 2 5 1 t d 1 t 2 2 1 x dx dx x 1/2 1 x2 x x x 1 2 1 13 ln x x ln x x 13 1/2 1 Bài toán 8.11: Tính: a) A x x dx b) B x5 x dx Hướng dẫn giải Trang t dx cot dt 2 a) Đặt x sin t Khi x t 0, x t /2 A sin t cos2 tdt /2 /2 sin 2tdt /2 cos 4t sin 4t t 8 0 16 b) Đặt t x x t xdx tdt Khi x t 1, x t B 1 t 2 1 t7 t t dt t 2t 1 t dt t t 105 7 Bài tốn 8.12: Tính: a) I a/ x dx b) J x x 1 xdx a2 x2 a x2 Hướng dẫn giải 1 x x x , x x 1 ' x 2 a) Ta có 1 3 Đặt x A x B x 1 C Đồng A 1, B 2, C nên 1 2x 1 I x 2 0 1 1 x x 2 dx 2x x x ln x x x Trang 3 1 ln 1 3 a/ xdx b) J a2 x2 a2 x2 xdx Đặt t a x dt a 1 dt t t J a 1 a 1 a 1 2 a2 x2 2a a 4096 Bài tốn 8.13: Tính: a) K xdx t 1 dt xdx 128 x2 x b) L dx x2 5x Hướng dẫn giải a) Đặt x t12 dt 12t11dt Khi x 128 t 2, x 4096 t t14 t4 K 12 dt 12 t t dt t 1 t 1 2 t10 t 12 ln t 10 5 b) Đặt t 2 464 31 12 ln 5 1 x 2 x 3 1 x x dt dx x 2 x 3 1 dt dx x 2 x 3 L 2 dx 2dt ln t t 1 x x 3 : dx x x 3 2 1 ln 2dt t 2 1 Bài tốn 8.14: Tính: a) A x 1 dx x2 2x 1/2 b) B x dx 1 x Hướng dẫn giải Trang 1 dt x dx x 1 t t a) Đặt t 1/2 dt A Đặt u t t t 1 1 /2 Do A 1 dt t 1 du u 1 du 1 /2 ln u 1 ln u 1 b) Đặt t x2 x2 3/2 3/2 dt D 3t t 1 ln t 2t 2dx dt 1 t x2 2 x2 1 dt 1 t 1 t 3/2 6 12 3 ln 23 Bài tốn 8.15: Tính: a) I n 1 1 x n n xn b) J n x n xdx dx Hướng dẫn giải a) I n xn xn 1 x n n 1 xn dx n xn dx xn n n n 1 x x dx xn xd dx n x n 0 n x n 1 x n n x n x 1 1 xn xn dx dx n n n n n 1 x n n x n 1 x x b) u x n , dv xdx Khi du nx n 1dx, v Jn x 1 x 3 1 x 2n n1 x x 1 xdx 0 Trang 0 2n 2n J n1 J n1 J n J n 2n 2n n 1 2n1.n! Vậy J n J 2n n 3.5 2n 3 x Bài toán 8.16: Tìm hàm số f số thực a thỏa mãn điều kiện: a f t dt x với x t2 Hướng dẫn giải Gọi F t nguyên hàm hàm số f t t2 Theo định nghĩa tích phân, ta có với x F x F a x Cho x a ta a F x F x nên F ' x f x 1 f x x3 x x x Bài tốn 8.17: Tính: a) 2 x 3 x dx b) 5x 1 5 x 3x dx Hướng dẫn giải a) 2 x 3 x 4x 6x 9x dx 2.6 dx 2 C ln ln ln x x x x 5 x x x 5x 1 5 x 1 5 x 3 C b) dx dx 3x ln 3x ln Bài tốn 8.18: Tính: a) e sin x cos xdx b) e x dx e x Hướng dẫn giải a) e sin x cos xdx esin x d sin x esin x C t b) Đặt t e x dt e x dx dx dt e x 1 1 1 dx dt dt dt x 1 e t 1 t 1 t 1 t t t Trang 10 1 ex 1 ln t ln t C ln C 2 ex Bài tốn 8.19: Tính: a) 1 tan x e x dx b) x 1 dx x 1 xe x Hướng dẫn giải a) 1 tan e2 x dx 1 tan x tan x e2 x dx tan x.e2 x dx tan x.e2 x C b) Đặt t xe x dt x 1 e x dx x 1 dx x 1 xe x t 1 xe x 1 dt ln C ln C t xe x t 1 t b) J e Bài toán 8.20: Tính: a) I x3.e x dx x 9 dx Hướng dẫn giải a) Đặt u x3 , v ' e x J x3.e x dx e x x3 x e x dx Đặt u x , v ' e x x e dx x e x x 2 xe x dx 2xe x I Do J e x x3 3x x C b) Đặt t 3x 3x t dx J tdt t te dt Đặt u t , v ' et tet dt t.et et C nên J 3x 9e x 9 e Bài toán 8.21: Tính: a) ln xdx x 9 C b) x ln xdx Hướng dẫn giải a) Đặt u ln x, dv dx Khi du dx, v x Ta có: x ln xdx x ln x x x dx x ln x dx x ln x x C Trang 11 b) Đặt u ln x, v ' x u ' , v x Ta có: x 32 12 23 23 x ln xdx x ln x x dx x ln x x C 3 Bài tốn 8.22: Tính: a) ln x x dx b) x ln x dx 1 x Hướng dẫn giải a) ln x x dx ln x d ln x ln x C x x2 , du xdx Khi du b) Đặt u ln ,v 1 x x 1 x x ln x x2 x x dx ln dx 1 x 1 x 1 x x2 x x2 x 1 ln 1 dx ln ln x x C 1 x 1 x 1 x 2 Bài tốn 8.23: Tìm ngun hàm a) I x3 ln x dx b) J x2 cos x dx Hướng dẫn giải x4 a) Đặt u ln x , dv x dx Khi du dx, v x Ta có: I x ln x x ln x x x3 dx C 4 16 b) Đặt u x , dv cos x dx Khi du xdx, v sin x x sin x x sin x dx Ta có: J Đặt u x, dv sin x dx Khi du dx, v x sin x dx cos x : x cos x cos x x cos x sin x dx C 2 Trang 12 nên J x sin x x cos x sin x C 2 Bài tốn 8.24: Tính: a) I sin ln x dx b) J e x cos x x sin x dx Hướng dẫn giải a) Đặt u ln x x eu nên dx eu du A sin u.eu du sin ud eu sin u.eu cos u.eu du sin u.eu cos u.d eu sin u.eu cos u.eu sin u.eu du Từ suy A x sin ln x cos ln x C b) Đặt u e x , dv cos x Khi du xe x dx, v sin x 2 e x2 cos xdx e x sin x xe x sin xdx 2 nên J e x cos x x sin x e x sin x C 2 x Bài tốn 8.25: Tính: a) K x 1 e dx b) L x x e x dx Hướng dẫn giải a) Đặt u x2 x 1, dv e x dx Khi du x 1 dx, v e x 1 0 K x 21 x 1 e x x 1 e x dx 3e x 1 e x dx Đặt tiếp u x 1, dv dx K e 1 b) Đặt u x3 2, dv e x dx Khi du 3x dx, v e x L e x 3 x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A ln dx ex 1 b) B xe x 1 x dx Hướng dẫn giải a) Đặt u x2 x 1, dv e x dx Khi du x 1 dx, v e x Trang 13 1 0 K x x 1 e x x 1 e x dx 3e x 1 e x dx Đặt tiếp u x 1, dv dx K e 1 b) Đặt u x3 2, dv e x dx Khi du 3x dx, v e x L e x 3 x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A dx ex 1 ln b) B xe x 1 x dx Hướng dẫn giải a) Đặt t e x e x t dx A t dt Đặt t tan u B 1 b) B 2tdt t2 1 ex ex dx 0 x 0 1 x 2 dx e x 1 e x e ex dx dx 1 x 0 1 x 1 x Bài tốn 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J e2 x sin xdx x 0 Hướng dẫn giải a) Đặt u cos x, dv e x , du sin x, v e x 0 I cos x.e x e x sin xdx 1 e sin xd e x 1 e sin x.e x e x cos xdx 1 e I Do I 1 e I e Trang 14 1 b) J 1 cos x d 22 x e x 1 cos x e x sin xdx 40 20 Dùng phần lần liên tiếp J 2 e 1 x 1x 1 x x e dx 0.5 Bài tốn 8.28: Tính a) I b) J 3x 0 3x 3 x dx Hướng dẫn giải a) I e x x x 0,5 x x e x dx dx 0,5 Đặt u e x x 1 x , dv dx Khi du x e x dx, v x x 1 x x Ta có: x e x dx xe x x 0,5 Suy I xe x x 0,5 0,5 e x x dx 0,5 e 2,5 3 x 0 3x 3 x dx J E 0 dx 1 b) Xét E 3x 3 x 1 dx ln 3x 3 x ln J E x x 3 ln ln 3 0 1 Do đó: J 1 5 ln 1 ln 3 Bài tốn 8.29: Tính: a) A 1 x2 dx 2x b) B x 2e x sin xdx Hướng dẫn giải a) A 1 x2 x2 dx dx 2x 2x Đặt x t 1 x2 2t t 2x x2 dx dt dx 2x 2t 2x 0 1 Trang 15 Do A 1 x2 x 1 dx x dx x Đặt x sin t A b) Đặt u x2 sin x, dv e x dx B e x sin x e x x sin x x cos x dx x 0 1 e sin1 2 xe sin xdx x 2e x cos xdx x 0 Từ tính B e sin1 sin x b) J x dx 1 dx Bài tốn 8.30: Tính a) I x 1 e 1 x 1 Hướng dẫn giải a) Đặt x t dx dt Khi x 1 t 1, x 1 t 1 Ta có I dx dt et 1 e x 1 x 1 1 et 1 t 1 1 et 1 t 1dt ex I x dx 1 e 1 x 1 nên I I I t 1 dt Vậy I 1 2 b) Đặt x t dx dt nên: J Do J sin xdx sin t 3x.sin x dt dx x 1 1 3t 1 cos x dx J Bài tốn 8.31: Tính a) A ln x x dx b) B x5 ln xdx 2 Hướng dẫn giải 2x 1 dx 3ln 2ln dx 3ln x x 2 a) A x ln x x 3 Trang 16 b) Đặt u ln x, dv x5dx Khi du dx , v x6 x 2 x ln x x dx 32 B ln 1 e e x b) D Bài tốn 8.32: Tính a) C x ln xdx x 1 ln xdx 1 Hướng dẫn giải a) Đặt u ln x, dv xdx Khi du 2ln x dx, v x x e e e x2 e2 C ln x x ln xdx x ln xdx 1 dx x2 Đặt u ln x, dv xdx Khi du ,v x e x2 e2 e2 x ln xdx ln x xdx e C 1 2 1 4 e e b) Đặt u ln x, dv x x dx thì: e e x3 x x3 x 1 D x ln x x dx x 1 e x2 x e3 e 2e3 e2 31 e 1 dx 3 36 1 e Bài tốn 8.33: Tính: a) I 1 ln x ln x dx b) J dx x x Hướng dẫn giải e a) I 1 ln x b) J ln xd e x 2 4ln d 1 ln x 1 ln x 2 x x ln x 4 2 dx x ln 1 Trang 17 /2 Bài tốn 8.34: Tính: a) A cos x ln sin x dx b) B ln /4 x 1 dx x 1 Hướng dẫn giải /2 a) A /2 ln sin x d sin x sin x.ln sin x /4 /2 /4 cos xdx /4 /2 2 2 ln sin x ln 4 /4 x 1 2x b) B x ln dx 3ln 6ln x 1 2 x 1 3 Bài tốn 8.35: Tính: a) C ln x x 1 b) D dx x ln x x x2 dx Hướng dẫn giải ln x dx 1 a) C ln x d x 1 x x 1 x 1 3 3 ln 3 dx 1 27 dx ln 1x x 1 16 3 x b) Đặt u ln x x , dv D x 1.ln x x 2 x 1 thì: dx 2ln Bài toán 8.36: Tính: e a) I 1 x ln x dx b) I x ln x x 2ln x x 1 dx Hướng dẫn giải e a) Ta có I 1 x ln x dx e 1 x ln x 1 ln x dx x ln x e x ln x 1 ln x ln x e dx x dx e 1 J x ln x x ln x 1 e 2 dx e Trang 18 ln x e x ln x dx Tính J Đặt t x ln x dt 1 ln x dx Khi x t , x e t e 1 e nên J b) I dt 1 e ln t ln 1 e nên I e 1 ln 1 e t x 2ln x x 1 1 2ln x dx dx 3 x 1 x 1 x 1 2 2 1 ln x ln x 2 dx 2 dx 3 x 1 x 1 12 x 1 x 1 Tính J ln x x 1 dx Đặt u ln x, dv dx x 1 J ln x x 1 Khi du dx 1 ,v x x 12 2 dx ln 1 dx x x 12 18 1 x x x 12 ln x ln ln ln 18 x x 18 ln ln 18 12 Suy I ln ln 2 ln ln 12 72 18 12 ln Bài tốn 8.37: Tính: a) I xe x 0 x2 x 1dx x dx e x e x b) I Hướng dẫn giải ln a) Ta có I x dx x e e x ln e xe x x 1 dx Trang 19 Đặt u x, dv e ex x 1 ln x Ta có: I x e 1 ln Tính J e dx Khi du dx, v ln dx ln x e 1 ln e e 1 x dx 1 x dt dx Đặt e x t x ln t dx t 1 x Khi x t 1; x ln t 2 dt 1 J dt ln t ln t 1 t t 1 t t 2 2ln ln nên I ln ln 2 xe x xe x dx dx dx dx b) Ta có I 2 x 0 x 12 x 1 x 1 x 1 1 Tính xe x xe x dx x 1 dx Đặt u xe , dv x 1 x 2 1 Khi du x 1 e x dx; v 1 x 1 xe x 1 dx Ta có: x 1 e x dx x x x 1 0 xe x 1 e e e e x dx e x dx 2 Thay vào ta I e 2 Bài toán 8.38: Chứng minh F x nguyên hàm f x : a) F x ln x x C; f x 1 x2 x C; f x cos x 2 4 b) F x ln tan Hướng dẫn giải Trang 20 ... 1 dx, v e x 1 0 K x 21 x 1 e x x 1 e x dx 3e x 1 e x dx Đặt ti? ??p u x 1, dv dx K e 1 b) Đặt u x3 2, dv e x dx Khi du 3x dx, v e x L... dx, v e x Trang 13 1 0 K x x 1 e x x 1 e x dx 3e x 1 e x dx Đặt ti? ??p u x 1, dv dx K e 1 b) Đặt u x3 2, dv e x dx Khi du 3x dx, v e x L... 1 b) J 1 cos x d 22 x e x 1 cos x e x sin xdx 40 20 Dùng phần lần liên ti? ??p J 2 e 1 x 1x 1 x x e dx 0.5 Bài tốn 8.28: Tính a) I b) J 3x 0