1. Trang chủ
  2. » Tất cả

Tai lieu boi duong hoc sinh gioi chuyen de ham so mu va logarit

32 2 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 32
Dung lượng 790,28 KB

Nội dung

Trang 1 HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT 1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa và căn thức 1n n a a   (với 0a  và *n¥ ) m r mnna a a  (với 0a  và *, , m r n n n   ¢ ¥ ) lim nra a  (với 0, , na r  ¡ ¤ và[.]

HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa thức: an  (với a  n¥ * ) n a m n a  a  n a m (với a  v r r m ,n ,nƠ *) n a  lim arn (với a  0,  ¡ , rn Ô v lim rn ) Khi n lẻ, b  n a  bn  a (với a) b  Khi n chẵn, b  n a   n b  a (với a  ) - Biến đổi lũy thừa: Với số a  0, b  0,  tùy ý, ta có: a a   a   ; a : a   a   ;  a   a   a.b    a b ;  a : b   a : b  - So sánh: Nếu  a  b thì: a  b    0; a  b    Lôgarit: - Lôgarit số a:   log a b  a  b (  a  b  ) - Lôgarit số 10: log10 b  lg b hay logb - Lôgarit số e: log e b  ln b  e  2,7183 - Tính chất: log a  log a a b  b với a  0, a  aloga b  b với a  0, b  0, a  - Biến đổi lôgarit điều kiện xác định: log a  b.c   log a b  log a c log a b 1  log a b  log a c,log a     log a c c c log a b   log a b (với  ), log a n b  log a b ( n¥ * ) n - Đổi số điều kiện xác định: Trang logb x  log a x hay log a b.logb x  log a x log a b logb a  1 hay log a b.log b a  1;log a b  log a b  log a b Hàm số lũy thừa y  x : Liên tục tập xác định     Đạo hàm x '  ax 1 , u '   u 1u ' ;  x n /  n n x  x  0 ,  n u  n 1 /  u' n u n1 n , với u  u  x   Hàm số y  x đồng biến  0;    ; nghịch biến  0;    Hàm số mũ: Liên tục tập xác định ¡ , nhận giá trị thuộc  0;   lim a x   x  0 a  0 ; lim a x    a  x  a   a       a  '  a u 'ln a; e  '  e u ' với u  u  x  Đạo hàm: a x '  a x ln a; e x '  e x ; u u u u Đồng biến ¡ a  , nghịch biến ¡  a  Hàm số lôgarit y  log a x : Liên tục tập xác định  0;  , nhận giá trị thuộc ¡  lim log a x   x   Đạo hàm  log a x  '   log a u  '  a   ; lim log a x    a  x0  a   a  1 1 ;  ln a  '  ;  ln x  '  x ln a x x u' u' u' ;  ln u  '  ;  ln u  '  với u  u  x  u ln a u u Hàm số y  log a x đồng biến  0;  a  , nghịch biến  0;   a  Giới hạn: ln 1  x  ex 1  1 lim 1    e;lim  1;lim 1 x  x0 x x  x x x 0 Trang 2 CÁC BÀI TỐN Bài tốn 4.1: Thực phép tính    1 2  3  5 0,75 3 A  81      ; B  0,001   2  64      125   32  Hướng dẫn giải           A   3 4   3 B  10 3             1     3 1 80 1 1      58  3  27 27 27 5 2 3     2 3   2    10  22  24    111  16 16 Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức điều kiện xác định: a 1 P a a  a a a a a a a  1; Q    a 1 a3  a3 a3  a 4 Hướng dẫn giải  P   a  a  1 a  a  1  a  1 a 1 4 Q a 1 a 1  a a 1  a 1 1  a   a 1  a   1  a   1  a   2a a 1  a   a   a  1 Bài toán 4.3: Trục mẫu a) 233 b)  13  48 Hướng dẫn giải a) 3   233 2 b) Vì  13  48      33    2  1     32  Trang nên   13  48 3 1     1 1    Bài tốn 4.4: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng: 15  6  15  6 a) b) 5  5 Hướng dẫn giải  a) Ta có    18  12  12  30  12 15  6  15  6  nên 2 3 2  6 2 15  6  15  6  x; x  Cách khác: Đặt Ta có x  30  225  216  36 nên chọn x   b) Ta có:      2    Tương tự    Do   3       1  1  2 Cách khác: Đặt x     Ta có:   x3       10                      10  3x Ta có phương trình:    x3  3x  10   x  2 x  2 x    x  2 Bài tốn 4.5: Tính gọn a) 49  20  49  20 b) 2 2 2  2 2 2 Hướng dẫn giải a) Ta có 49  20  25  10 24  24  5   Trang 4 Tương tự: Suy  3   3 49  20   (do 3 2) 49  20  49  20  4 b) Đặt M    2  , N    2  Ta có: MN   2      1 M  N    M  N  2M N      1  1  M  N    M  N  MN        Vậy 2 2 2 2 2  2 2 2  M  N  1 Bài toán 4.6:   23  513 23  513   1 Tính A  x3  x2   3 4   a) Cho x   4 6 2k  k  200  9999 b) Tính B       1 2 k 1  k  99  101 Hướng dẫn giải a) Đặt a  23  513 23  513 ,b  4  a  b3  23 , ab  x   a  b Vì  3x  1  27 x3  27 x  x   27  x3  x2  1  3 3x  1  29 nên  3x  1 A   x  1  29  a  b    a  b   29  27 27 23 a  b3  3ab  a  b    a  b   29  29    27 27 Trang b) Với k    2k  k   k 1  k   B    k  1  k 1  k 1   k  1   k  1   k  1 k  1   k 1  k 1  k 1  k 1  k 1   Do 1 3  13  43  23  53  33  63  43   1013  993    1 999  1013  3 3  1   101  100   2 999  101 101  2  a x  a x a x  a x a x  a x với a  0, a  Chứng minh ; ch  x   ; th  x   x 2 a  a x 2th  x  ch2  x   sh2  x   , th  x    th2  x  Bài toán 4.7: Cho sh  x   Hướng dẫn giải  a x  a x   a x  a x  Ta có ch  x   sh  x       2     2 a x  a 2 x   a x  a 2 x    1 4  a x  a 2 x   a x  a x   2x Ta có:  th  x     x x  a  a a  a 2 x    2 nên  2th  x  a x  a  x a x  a 2 x    th  x  a x  a  x  a x  a 2 x   a x  a  x  a x  a  x  2  a x  a  x  a x  a 2 x   a x  a 2 x  th  x  a x  a 2 x Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: a) Nếu 1 1 1 1    n  n  n  n a b c a  bn  cn a b c abc Trang b) Nếu ax n  by n  cz n , 1    thì: x y z ax n1  by n1  cz n1  n a  n b  n c n Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết suy 1 1    a b abc c   a  b   a  b  c  c  abc  ab  a  b  c    a  b  b  c  c  a    có số đối mà ta có n lẻ  đpcm b) VT = n 1 1 ax n by n cz n    n ax n      n ax n  x n a  y n b  z n c x y z x y z 1 1  VT      n a  n b  n c  đpcm x y z Bài tốn 4.9: Tính: a) 3log3 18  18;35log3  3log3  25  32 1   8 log      32  b)   23  log0,5 log  2   5           3 log 3  2log2  53  125 log 25  25  32   2 log 36  log 14  3log 21  log    log 7  2  14.21  Bài toán 4.10: Rút gọn biểu thức: a) A  log3 2.log 3.log 5.log 6.log8 b) B  a log a b b logb a Hướng dẫn giải a) A  log3 2.log 3.log5 4.log 5.log 6.log8  log log log log log log log 1   log8  log 2  log log log log log log8 log8 3 b) Đặt x  log a b  log a b  x  b  a x Mặt khác log b a  1  log b a  x x Trang Do đó: B  a  a x x2 x  Bài toán 4.11: a) Cho log 15  x,log12 18  y , tính log 25 24 theo x, y b) Cho a  log 3, b  log3 5, c  log , tính log140 63 theo a, b, c Hướng dẫn giải log 2.32  2log log 3.5 log  log  a) Ta có x  y   log 22.3  log log 2.3  log y 1 x   y  xy ;log  2 y 2 y Suy log  log 23.3 5 y Do log 25 24   log  x   y  xy    b) log140 63  log140 32.7  2log140  log140  2    log 140 log 140 log  22.5.7  log  22.5.7    2log3  log3  log 2log  log  Ta có log3  log3  1  ,log  log 2.log 3.log3  cab ; log a 1   log log 2.log ca Vậy log140 63  b a ca  2ac   2c  cab  abc  2c  Bài toán 4.12: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a log3  27, blog7 11  49, c log11 25  11 Tính T  a  log3 2  b log7 11  c log11 25 Hướng dẫn giải Ta có:  T  a log3  log3   blog7 11  log7 11   c log11 25  log11 25 Trang  27 log3  49 log7 11   11 log11 25   11  25  469 Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) alogc b  blogc a b) n  n  1 1 1      log a b log a2 b log a3 b log an b 2log a b Hướng dẫn giải a) alogc b  blogb a b) VT = logc b  blogc b.logb a  blogc a n     log a b log a b log a b log a b  1     n  n  n  1  log a b 2log a b Bài tốn 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a2  c2  b2 logbc a  log bc a  2log bc a.log bc a b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân log a d  logb d log a d  logb d  log c d log c d Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết: a   b  c  b  c  Xét a  : Xét a  log a  b  c   log a  b  c    1  2 logbc a logbc a nên logbc a  log bc a  2log bc a.log bc a c log d   1 b b) Ta có log a d  logb d    log d a log d b  log d a  log d b  c log d   1 a Tương tự: logb d  log c d    log d b log d c  log d b  log d c  Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên Do c b c b   log d    log d   a a b a log a d  logb d log d c log a d   logb d  log c d log d a log c d Trang Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a số thực dương đôi khác khác Chứng minh: a) Nếu log a x   log a x.log a z , log a y   log a y.log a x thì: a A  log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a  x y z b) Nếu x  y  z  x y  z  x  y z  x  y  z    x y y x  y z z y  z x x z log x log y log z Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết, ta có: log a x   log a x.log a z  log a x  1   log a z  log a z log a z a z Do đó: log x a log a z  Tương tự log y a log a x  x z Mà log a y   log a y.log a z , nên log a y   log a y log a y   log a z   log a z log a y   log a z   log a y.log a z Tương tự trên, ta có log z a log a y  Do y     A   log a x.log y a   log a y.log z a   log a z.log x a     x y z     b) Nếu số x  y  z, y  z  x, z  x  y ba số dẫn đến x  y  z  , mâu thuẫn Do x  y  z, y  z  x, z  x  y khác  x  log y   y  z  x   y  log x   z  x  y   Từ giả thiết thì:  y  log z   z  x  y   z  log y   x  y  z    z  log x   x  y  z   x  log z   y  z  x  Ta có: x  log y   y  z  x   y  log x  z  x  y   x log y  y  log x  zx y yzx  zx y   x log y  y log x  y  log x    1 y  z  x   Trang 10 b) Với x   1 x  : y  ln   x  1 3x  1   ln x   ln 3x   y'  1  x  3x    Ta chứng minh quy nạp    ax  b  Suy y  n  m 1 m!a m   m 1  ax  b  m 1  n  1!2n1  1  n  1!3n1    n n  x  1  3x  1 n 1 n 1 Bài tốn 4.31: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: ex a) y  x b) y  x e x Hướng dẫn giải e x  x  1 , y '   x  a) D  ¡ \ 0 , y '  x2 BBT  x − y' − +    y   e Vậy hàm số nghịch biến khoảng  ;0   0;1 đồng biến khoảng 1;   , đạt CT 1;e    b) D  ¡ , y '  x  x e x , y '   x  x  BBT x  − y' y 0   + − 4e2  Trang 18 Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;2  , nghịch biến khoảng  ;0   2;  , đạt CĐ  2;4e  , CT  0;0 2 Bài tốn 4.32: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số:   b) y  x  ln 1  x  a) y  ln x2  Hướng dẫn giải a) D   ; 1  1;   , y '  2x x 1 Khi x  1 y '  nên hàm số nghịch biến  ; 1 Khi x  y '  nên hàm số đồng biến 1;   Hàm số khơng có cực trị b) D   1;   , y '   y  , y'   x  1 x 1 x y '  0, x   0;   nên hàm số đồng biến  0;  y '  0, x   1;0  nên hàm số nghịch biến  1;0  Ta có y ''  1  x   nên đạt cực tiểu x  0, yCT  Bài toán 4.33: Cho a, b, c thực dương Chứng minh hàm số f  x  ax bx cx đồng biến với x dương   bx  cx cx  a x a x  bx x x x x x x  a x  a ln a  b  c   a  b ln b  c ln c  ' Ta có  x x  b c  bx  c x   a xb x  ln a  ln b   a x c x  ln a  ln c  b x  cx  /  a xb x ln a  ln b  a x c x ln a  ln c   ax        Do f '  x     x  x   sym  b  c  sym  bx  c x     a xb x ln a  ln b a xb x ln a  ln b        2 x x sym   a x  c x    b  c  Trang 19  a b x sym  a  b  a  b  2c    ln a  ln b   a  c  b  c  x x x x x x x x x x Bài toán 4.34: So sánh số: a) 13 23 b)  15 10  28 Hướng dẫn giải a) 13  20 135  20 371293; 23  20 234  20 279841 Ta có 371293  279841 nên b) 13  23  15      10  28 Bài toán 4.35: So sánh số: 600 a)   b)    3 400 5 33 Hướng dẫn giải   a) Ta có: 3600  33 5400   52    b) Ta có    3 200 200  27 200  25200 Vậy 3600  5400 1    3 3  Ta có   1 Vì số   nên    3 1   3    5 1    3  3  18  20 :      3  33 Bài toán 4.36: Hãy so sánh số: a) log3 log b) 3log6 11 7log6 0,99 Hướng dẫn giải a) Ta có log  log 1  , suy log  log 3 b) Ta có log 1,1  nên 3log6 1,1  30  (vì  ) log 0,99  nên 7log6 0,99  70  (vì  1) log 1,1 Suy  log 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: Trang 20 ... 4.34: So sánh số: a) 13 23 b)  15 10  28 Hướng dẫn giải a) 13  20 135  20 371293; 23  20 234  20 279841 Ta có 371293  279841 nên b) 13  23  15      10  28 Bài toán 4.35: So sánh...  3 1   3    5 1    3  3  18  20 :      3  33 Bài toán 4.36: Hãy so sánh số: a) log3 log b) 3log6 11 7log6 0,99 Hướng dẫn giải a) Ta có log  log 1  , suy log ...  (vì  ) log 0,99  nên 7log6 0,99  70  (vì  1) log 1,1 Suy  log 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: Trang 20

Ngày đăng: 15/02/2023, 15:13

w