Tai lieu boi duong hoc sinh gioi chuyen de ham so mu va logarit

Trang 1 HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT 1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa và căn thức 1n n a a   (với 0a  và *n¥ ) m r mnna a a  (với 0a  và *, , m r n n n   ¢ ¥ ) lim nra a  (với 0, , na r  ¡ ¤ và[.]

HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa thức: an  (với a  n¥ * ) n a m n a  a  n a m (với a  v r r m ,n ,nƠ *) n a  lim arn (với a  0,  ¡ , rn Ô v lim rn ) Khi n lẻ, b  n a  bn  a (với a) b  Khi n chẵn, b  n a   n b  a (với a  ) - Biến đổi lũy thừa: Với số a  0, b  0,  tùy ý, ta có: a a   a   ; a : a   a   ;  a   a   a.b    a b ;  a : b   a : b  - So sánh: Nếu  a  b thì: a  b    0; a  b    Lôgarit: - Lôgarit số a:   log a b  a  b (  a  b  ) - Lôgarit số 10: log10 b  lg b hay logb - Lôgarit số e: log e b  ln b  e  2,7183 - Tính chất: log a  log a a b  b với a  0, a  aloga b  b với a  0, b  0, a  - Biến đổi lôgarit điều kiện xác định: log a  b.c   log a b  log a c log a b 1  log a b  log a c,log a     log a c c c log a b   log a b (với  ), log a n b  log a b ( n¥ * ) n - Đổi số điều kiện xác định: Trang logb x  log a x hay log a b.logb x  log a x log a b logb a  1 hay log a b.log b a  1;log a b  log a b  log a b Hàm số lũy thừa y  x : Liên tục tập xác định     Đạo hàm x '  ax 1 , u '   u 1u ' ;  x n /  n n x  x  0 ,  n u  n 1 /  u' n u n1 n , với u  u  x   Hàm số y  x đồng biến  0;    ; nghịch biến  0;    Hàm số mũ: Liên tục tập xác định ¡ , nhận giá trị thuộc  0;   lim a x   x  0 a  0 ; lim a x    a  x  a   a       a  '  a u 'ln a; e  '  e u ' với u  u  x  Đạo hàm: a x '  a x ln a; e x '  e x ; u u u u Đồng biến ¡ a  , nghịch biến ¡  a  Hàm số lôgarit y  log a x : Liên tục tập xác định  0;  , nhận giá trị thuộc ¡  lim log a x   x   Đạo hàm  log a x  '   log a u  '  a   ; lim log a x    a  x0  a   a  1 1 ;  ln a  '  ;  ln x  '  x ln a x x u' u' u' ;  ln u  '  ;  ln u  '  với u  u  x  u ln a u u Hàm số y  log a x đồng biến  0;  a  , nghịch biến  0;   a  Giới hạn: ln 1  x  ex 1  1 lim 1    e;lim  1;lim 1 x  x0 x x  x x x 0 Trang 2 CÁC BÀI TỐN Bài tốn 4.1: Thực phép tính    1 2  3  5 0,75 3 A  81      ; B  0,001   2  64      125   32  Hướng dẫn giải           A   3 4   3 B  10 3             1     3 1 80 1 1      58  3  27 27 27 5 2 3     2 3   2    10  22  24    111  16 16 Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức điều kiện xác định: a 1 P a a  a a a a a a a  1; Q    a 1 a3  a3 a3  a 4 Hướng dẫn giải  P   a  a  1 a  a  1  a  1 a 1 4 Q a 1 a 1  a a 1  a 1 1  a   a 1  a   1  a   1  a   2a a 1  a   a   a  1 Bài toán 4.3: Trục mẫu a) 233 b)  13  48 Hướng dẫn giải a) 3   233 2 b) Vì  13  48      33    2  1     32  Trang nên   13  48 3 1     1 1    Bài tốn 4.4: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng: 15  6  15  6 a) b) 5  5 Hướng dẫn giải  a) Ta có    18  12  12  30  12 15  6  15  6  nên 2 3 2  6 2 15  6  15  6  x; x  Cách khác: Đặt Ta có x  30  225  216  36 nên chọn x   b) Ta có:      2    Tương tự    Do   3       1  1  2 Cách khác: Đặt x     Ta có:   x3       10                      10  3x Ta có phương trình:    x3  3x  10   x  2 x  2 x    x  2 Bài tốn 4.5: Tính gọn a) 49  20  49  20 b) 2 2 2  2 2 2 Hướng dẫn giải a) Ta có 49  20  25  10 24  24  5   Trang 4 Tương tự: Suy  3   3 49  20   (do 3 2) 49  20  49  20  4 b) Đặt M    2  , N    2  Ta có: MN   2      1 M  N    M  N  2M N      1  1  M  N    M  N  MN        Vậy 2 2 2 2 2  2 2 2  M  N  1 Bài toán 4.6:   23  513 23  513   1 Tính A  x3  x2   3 4   a) Cho x   4 6 2k  k  200  9999 b) Tính B       1 2 k 1  k  99  101 Hướng dẫn giải a) Đặt a  23  513 23  513 ,b  4  a  b3  23 , ab  x   a  b Vì  3x  1  27 x3  27 x  x   27  x3  x2  1  3 3x  1  29 nên  3x  1 A   x  1  29  a  b    a  b   29  27 27 23 a  b3  3ab  a  b    a  b   29  29    27 27 Trang b) Với k    2k  k   k 1  k   B    k  1  k 1  k 1   k  1   k  1   k  1 k  1   k 1  k 1  k 1  k 1  k 1   Do 1 3  13  43  23  53  33  63  43   1013  993    1 999  1013  3 3  1   101  100   2 999  101 101  2  a x  a x a x  a x a x  a x với a  0, a  Chứng minh ; ch  x   ; th  x   x 2 a  a x 2th  x  ch2  x   sh2  x   , th  x    th2  x  Bài toán 4.7: Cho sh  x   Hướng dẫn giải  a x  a x   a x  a x  Ta có ch  x   sh  x       2     2 a x  a 2 x   a x  a 2 x    1 4  a x  a 2 x   a x  a x   2x Ta có:  th  x     x x  a  a a  a 2 x    2 nên  2th  x  a x  a  x a x  a 2 x    th  x  a x  a  x  a x  a 2 x   a x  a  x  a x  a  x  2  a x  a  x  a x  a 2 x   a x  a 2 x  th  x  a x  a 2 x Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: a) Nếu 1 1 1 1    n  n  n  n a b c a  bn  cn a b c abc Trang b) Nếu ax n  by n  cz n , 1    thì: x y z ax n1  by n1  cz n1  n a  n b  n c n Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết suy 1 1    a b abc c   a  b   a  b  c  c  abc  ab  a  b  c    a  b  b  c  c  a    có số đối mà ta có n lẻ  đpcm b) VT = n 1 1 ax n by n cz n    n ax n      n ax n  x n a  y n b  z n c x y z x y z 1 1  VT      n a  n b  n c  đpcm x y z Bài tốn 4.9: Tính: a) 3log3 18  18;35log3  3log3  25  32 1   8 log      32  b)   23  log0,5 log  2   5           3 log 3  2log2  53  125 log 25  25  32   2 log 36  log 14  3log 21  log    log 7  2  14.21  Bài toán 4.10: Rút gọn biểu thức: a) A  log3 2.log 3.log 5.log 6.log8 b) B  a log a b b logb a Hướng dẫn giải a) A  log3 2.log 3.log5 4.log 5.log 6.log8  log log log log log log log 1   log8  log 2  log log log log log log8 log8 3 b) Đặt x  log a b  log a b  x  b  a x Mặt khác log b a  1  log b a  x x Trang Do đó: B  a  a x x2 x  Bài toán 4.11: a) Cho log 15  x,log12 18  y , tính log 25 24 theo x, y b) Cho a  log 3, b  log3 5, c  log , tính log140 63 theo a, b, c Hướng dẫn giải log 2.32  2log log 3.5 log  log  a) Ta có x  y   log 22.3  log log 2.3  log y 1 x   y  xy ;log  2 y 2 y Suy log  log 23.3 5 y Do log 25 24   log  x   y  xy    b) log140 63  log140 32.7  2log140  log140  2    log 140 log 140 log  22.5.7  log  22.5.7    2log3  log3  log 2log  log  Ta có log3  log3  1  ,log  log 2.log 3.log3  cab ; log a 1   log log 2.log ca Vậy log140 63  b a ca  2ac   2c  cab  abc  2c  Bài toán 4.12: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a log3  27, blog7 11  49, c log11 25  11 Tính T  a  log3 2  b log7 11  c log11 25 Hướng dẫn giải Ta có:  T  a log3  log3   blog7 11  log7 11   c log11 25  log11 25 Trang  27 log3  49 log7 11   11 log11 25   11  25  469 Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) alogc b  blogc a b) n  n  1 1 1      log a b log a2 b log a3 b log an b 2log a b Hướng dẫn giải a) alogc b  blogb a b) VT = logc b  blogc b.logb a  blogc a n     log a b log a b log a b log a b  1     n  n  n  1  log a b 2log a b Bài tốn 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a2  c2  b2 logbc a  log bc a  2log bc a.log bc a b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân log a d  logb d log a d  logb d  log c d log c d Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết: a   b  c  b  c  Xét a  : Xét a  log a  b  c   log a  b  c    1  2 logbc a logbc a nên logbc a  log bc a  2log bc a.log bc a c log d   1 b b) Ta có log a d  logb d    log d a log d b  log d a  log d b  c log d   1 a Tương tự: logb d  log c d    log d b log d c  log d b  log d c  Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên Do c b c b   log d    log d   a a b a log a d  logb d log d c log a d   logb d  log c d log d a log c d Trang Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a số thực dương đôi khác khác Chứng minh: a) Nếu log a x   log a x.log a z , log a y   log a y.log a x thì: a A  log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a  x y z b) Nếu x  y  z  x y  z  x  y z  x  y  z    x y y x  y z z y  z x x z log x log y log z Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết, ta có: log a x   log a x.log a z  log a x  1   log a z  log a z log a z a z Do đó: log x a log a z  Tương tự log y a log a x  x z Mà log a y   log a y.log a z , nên log a y   log a y log a y   log a z   log a z log a y   log a z   log a y.log a z Tương tự trên, ta có log z a log a y  Do y     A   log a x.log y a   log a y.log z a   log a z.log x a     x y z     b) Nếu số x  y  z, y  z  x, z  x  y ba số dẫn đến x  y  z  , mâu thuẫn Do x  y  z, y  z  x, z  x  y khác  x  log y   y  z  x   y  log x   z  x  y   Từ giả thiết thì:  y  log z   z  x  y   z  log y   x  y  z    z  log x   x  y  z   x  log z   y  z  x  Ta có: x  log y   y  z  x   y  log x  z  x  y   x log y  y  log x  zx y yzx  zx y   x log y  y log x  y  log x    1 y  z  x   Trang 10 b) Với x   1 x  : y  ln   x  1 3x  1   ln x   ln 3x   y'  1  x  3x    Ta chứng minh quy nạp    ax  b  Suy y  n  m 1 m!a m   m 1  ax  b  m 1  n  1!2n1  1  n  1!3n1    n n  x  1  3x  1 n 1 n 1 Bài tốn 4.31: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: ex a) y  x b) y  x e x Hướng dẫn giải e x  x  1 , y '   x  a) D  ¡ \ 0 , y '  x2 BBT  x − y' − +    y   e Vậy hàm số nghịch biến khoảng  ;0   0;1 đồng biến khoảng 1;   , đạt CT 1;e    b) D  ¡ , y '  x  x e x , y '   x  x  BBT x  − y' y 0   + − 4e2  Trang 18 Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;2  , nghịch biến khoảng  ;0   2;  , đạt CĐ  2;4e  , CT  0;0 2 Bài tốn 4.32: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số:   b) y  x  ln 1  x  a) y  ln x2  Hướng dẫn giải a) D   ; 1  1;   , y '  2x x 1 Khi x  1 y '  nên hàm số nghịch biến  ; 1 Khi x  y '  nên hàm số đồng biến 1;   Hàm số khơng có cực trị b) D   1;   , y '   y  , y'   x  1 x 1 x y '  0, x   0;   nên hàm số đồng biến  0;  y '  0, x   1;0  nên hàm số nghịch biến  1;0  Ta có y ''  1  x   nên đạt cực tiểu x  0, yCT  Bài toán 4.33: Cho a, b, c thực dương Chứng minh hàm số f  x  ax bx cx đồng biến với x dương   bx  cx cx  a x a x  bx x x x x x x  a x  a ln a  b  c   a  b ln b  c ln c  ' Ta có  x x  b c  bx  c x   a xb x  ln a  ln b   a x c x  ln a  ln c  b x  cx  /  a xb x ln a  ln b  a x c x ln a  ln c   ax        Do f '  x     x  x   sym  b  c  sym  bx  c x     a xb x ln a  ln b a xb x ln a  ln b        2 x x sym   a x  c x    b  c  Trang 19  a b x sym  a  b  a  b  2c    ln a  ln b   a  c  b  c  x x x x x x x x x x Bài toán 4.34: So sánh số: a) 13 23 b)  15 10  28 Hướng dẫn giải a) 13  20 135  20 371293; 23  20 234  20 279841 Ta có 371293  279841 nên b) 13  23  15      10  28 Bài toán 4.35: So sánh số: 600 a)   b)    3 400 5 33 Hướng dẫn giải   a) Ta có: 3600  33 5400   52    b) Ta có    3 200 200  27 200  25200 Vậy 3600  5400 1    3 3  Ta có   1 Vì số   nên    3 1   3    5 1    3  3  18  20 :      3  33 Bài toán 4.36: Hãy so sánh số: a) log3 log b) 3log6 11 7log6 0,99 Hướng dẫn giải a) Ta có log  log 1  , suy log  log 3 b) Ta có log 1,1  nên 3log6 1,1  30  (vì  ) log 0,99  nên 7log6 0,99  70  (vì  1) log 1,1 Suy  log 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: Trang 20 ... 4.34: So sánh số: a) 13 23 b)  15 10  28 Hướng dẫn giải a) 13  20 135  20 371293; 23  20 234  20 279841 Ta có 371293  279841 nên b) 13  23  15      10  28 Bài toán 4.35: So sánh...  3 1   3    5 1    3  3  18  20 :      3  33 Bài toán 4.36: Hãy so sánh số: a) log3 log b) 3log6 11 7log6 0,99 Hướng dẫn giải a) Ta có log  log 1  , suy log ...  (vì  ) log 0,99  nên 7log6 0,99  70  (vì  1) log 1,1 Suy  log 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: Trang 20