Phuong trinh mu va logarit rsor1

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương pháp chung Đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, Lôgarit hóa, mũ hóa Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hà[.]

CHUN ĐỀ - PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương pháp chung: - Đưa số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích,… - Lơgarit hóa, mũ hóa - Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu hàm số, định lý Lagrange,… Phương trình mũ lơgarit - Dạng: a x  b  a  0, a  1 Nếu b  , phương trình vơ nghiệm Nếu b  , phương trình có nghiệm x  log a b - Dạng: log a x  b ( a  0, a  ) Phương trình ln có nghiệm x  ab f  x a g x a   a  1, f  x   g  x   a  0    a    f  x   hay g  x   log a f  x   log a g  x  ,  a  0, a  1     f  x  g  x Bất phương trình mũ lôgarit a x  m  x  log a m (với m  a  ) a x  m  x  log a m (với m   a  ) log a x  m   x  a m (với a  ) log a x  m  x  a m (với  a  ) f  x g x  g    f  x  g  x Nếu a  : a f  x g x  a    f  x  g  x Nếu  a  : a Nếu a  : log a f  x   log a g  x    f  x   g  x  Nếu  a  : log a f  x   log a g  x   f  x   g  x   Hệ phương trình mũ lơgarit Trang Việc giải hệ phương trình mũ lơgarit giống giải hệ phương trình đại số rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, đánh giá, tính chất đơn điệu hàm số, … phối hợp với biến đổi biểu thức mũ lơgarit, mũ hóa, lơgarit hóa CÁC BÀI TỐN Bài tốn 5.1: Giải phương trình sau: a) 3x1  18.3 x  29  b) 27 x  12x  2.8x Hướng dẫn giải a) Đặt t  3x , t  PT: 3t  18  29 t  3t  29t  18   t  t  Giải nghiệm x  c  log3  x x  27   12  b) Chia vế cho  PT:        8 x 3x x x 3 3 3         Đặt t    , t  2 2 2   PT: t  t     t  1 t  t    t   x  Bài toán 5.2: Giải phương trình sau: a)  4x 3x x b) x x1  36 Hướng dẫn giải a) Hai vế dương, lơgarit hóa theo số 10: x   log 4 log3  log      x  log  log  log3 3 x x x b) PT: 3x x 1 x2    x11    3.2    2 x 2 x 1 1 x2   x   3.2  x  x 1  x1 1  x  x  1  log3 Bài tốn 5.3: Giải phương trình sau: Trang a)  cos72    cos36   3.2 x x x b) e   sin  x    4  tan x Hướng dẫn giải a) Phương trình:  2cos72    2cos36   x Vì: 2cos 72.2cos36  x 2sin 36.cos36.cos 72 1 sin 36 t Đặt t   2cos 72  , t  PT: t   3   1  t  3t    t      2 1 suy nghiệm x  2 Ta có: 2cos 72  2sin18  b) Điều kiện cos x  , sin x  khơng thỏa mãn nên PT: e  sin x cos x   sin x 2 cos x sin x e e   cos x sin x cos x Đặt u  sin x, v  cos x, u, v   1;1 , u.v  PT: e 2u u  e 2v v  2t   1 e    y'  t Xét y  f  t   2t    2t  e e 2t t 2t 2t , với t   1;0    0;1  suy hàm số nghịch biến khoảng  1;0   0;1 Vì u , v dấu nên u , v thuộc khoảng  1;0   0;1 PT: f  u   f  v   u  v  tan x   x    k (chọn) Bài toán 5.4: Giải phương trình sau:   a) x.2x  x   x   2x  b) 2x  x  Hướng dẫn giải a) PT: x.2 x  x   x   2.2 x   x  x    x  3x    2x  x  2   x  1 x  2    x  2  2x  x  1  Trang  x   2x  x   x  x  (Vì f  x   x  x đồng biến ¡ f    ) b) PT  2x  x   Xét f  x   x  x  , D  ¡ Ta có: f '  x   x.ln  , f ''  x   x.ln x  0, x Vậy f  x   có tối đa nghiệm mà f    f 1  nên tập nghiệm S  0;1 Bài tốn 5.5: Giải phương trình sau: 5x  x  x   x.5x  x   52 x a)     b) 4x  2x1  2x  sin x  y    Hướng dẫn giải a) Điều kiện x  Phương trình tương đương với   1   log x  2log x  x  xx  x       1   1  1  1 x 1  x  x log x log x      1 log x  1  1 log x      x  1 1 log x   x  1 1 log x   x  1  1  1  1   log x  log x log x   x  1 1 log x log x a  b a  b2  Ta có:    a  b  ab  1    a b  ab  - Nếu x    1 log x  log x  log    log x  log x   x  1: chọn - Nếu x   1 log x  log x 1  log     log x  log x.log   1       log x   x  : chọn  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Trang Cách khác: đặt t    1  log x   1 log x  x t  Phương trình: xt  x  t  x        b) PT: 22 x  2.2x   2x  sin x  y      x  1   x  1 sin  x  y  1  sin  x  y  1  cos  x  y  1    x   sin  x  y  1   cos  x  y  1  2 x  sin  x  y  1    x cos   y  1      Vì cos 2x  y    sin 2x  y   1  - Nếu sin    y  1  1 - Nếu sin 2x  y   x  , vô nghiệm x Suy sin  y  1  1  y   Vậy nghiệm là: x  1, y    x   x 1    k 2   k , k   Bài tốn 5.6: Giải phương trình:   a) 1  cos x   4cos x  3.4cos x  b)   sin x   2  cos x   2  cos x  2  1     cos x Hướng dẫn giải a) Đặt cos x  y; 1  y  Phương trình: 1  y    y   3.4 y hay f  y   với f  y   Ta có: f '  y   6.ln 4.4 y 2   y 3.4 y  y 1   4y  1, f '  y    6ln 4.4 y    y  Trang Đây phương trình bậc hai theo y nên có khơng q hai nghiệm Theo định lý Rolle phương trình f  y   có khơng ba nghiệm Mặt khác ta thấy y  0, y  Suy PT cho có nghiệm x  2k , x   b) PT:   sin x   2  cos x   k , x    2  1     cos x  , y  ba nghiệm f  y    k  k  ¢    2  cos x - Nếu cos2 x   cos2 x  sin x ,   nên  VT    sin x  2 VP = 1          2 cos x  2 cos2 x 0 cos x  : loại - Nếu cos x  , lập luận tương tự trường hợp trên: loại - Nếu cos x  PT thỏa mãn phương trình cho có nghiệm x   k  ,k ¢ Bài tốn 5.7: Giải phương trình sau: a) 5x  x  3x  x  1  x  x  x3  x  x  16 x b) 2x  6x  3x  5x Hướng dẫn giải  1 1  x  x   x3  x  x  16, x  ¡ x 2  a) Xét f  x   5x  x  3x  x    ln ln ln   x  x   12 x  x   x   f '  x   5x ln  x ln  3x ln  x ln   Nên f đồng biến f 1  nên phương trình cho có nghiệm x  b) Ta có 2x  6x  3x  5x  6x  5x  3x  2x Gọi a nghiệm phương trình có 3a  2a  6a  5a Xét hàm số f  t    t  1  t a , f  t  liên tục  2;5 a f '  t   a  t  1  a 1  t a 1  Ta có f    f    Trang Áp dụng định lý Rolle a  c  1  a 1  2;5  2;5 tồn số c thuộc cho f '  c    c a1     a   c  1 a 1  c a 1 Vì c thuộc  2;5  nên a  a  Thử lại đúng, phương trình có nghiệm x  x  Bài tốn 5.8: Giải phương trình: a) 4ln x1  6ln x  2.3ln x 2 log x  0 b) log x  3  x Hướng dẫn giải a) ĐK: x  , PT: 4.22ln x  6ln x  18.32ln x  2ln x Chia hai vế cho 2 , đặt t    3 4t  t  18  Chọn nghiệm t  ln x PT:  x  e2 b) ĐK: x  , đặt t  log x x  4t PT: 3.3t  t  2t  4.3t  3.2t t log 3 3 Vậy x      t  log 2 4 Bài tốn 5.9: Giải phương trình: x2 2 a) log  x   x  3   log 2 x3 b) log x log 27 x  log9 3x log81 27 x Hướng dẫn giải  x   x  3   x  3   a) ĐK:  x  0 x   x3   x  2 PT: log  x   x  3  log 16  x   16  x3  Trang  x2  20  x  2 (chọn) b) ĐK: x  , x  1 ,x  , đặt t  log x PT: 27 22  t  t   t  3t    t  t  4  t 33  t  Suy nghiệm x  x  81 Bài toán 5.10: Giải phương trình sau: a) log1 x  x   log x   x      2log  1  log 3x 1 b) x Hướng dẫn giải a) Điều kiện  x  Đặt a  log 1  x  , b  log x Ta có 1 a  b  log 1  x   log x  log  x 1  x   log    2 4  ab2 PT:  log 2  log x log 2  log 1  x   0 log 1  x  log x 1 b 1 a    a  b2  a  b  a b   a  1   b  1  a  b  2   a  1   b  1   a  b  1 2  log 1  x   log x  1  x  1 Vậy nghiệm x  2 b) Điều kiện 3x    x  Đặt a  log 3, y  x   PT: 3x  log   x  1 log3 1   y  1   y  1   a a a  y 1 1 1  y a a a   Xét hàm số f  t   t a  1, t  PT f f f  y    y Khảo sát hàm số f  t   t  t a  t  1, t  ta suy f  t   t , t  2; f  t   t ,0  t  2; f    Trang   Suy phương trình f f f  y     y có nghiệm y  , suy x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài tốn 5.11: Giải phương trình  a) log x  log  x     b) log  x  x  log x Hướng dẫn giải a) ĐK: x  Ta có f  x   log3 x  log  x   hàm đồng biến nên f  x   f  3  với x  f  x   f  3  với  x  Vậy x  nghiệm b) ĐK: x  , đặt x  212 y PT: log3 1  26 y  24 y   log 26 y  log 1  26 y  24 y   y y  1  6y 4y y y    64   16          1  81   81   81  4y y y y    64   16  Ta có y  thỏa mãn hàm số f  y           nghịch biến ¡ nên y   81   81   81  nghiệm nhất, PT cho có nghiệm x  212 Bài tốn 5.12: Giải phương trình sau:      a) log x  x   log x  x   log x  x   b) log  log  log x    log  log  log x   Hướng dẫn giải a) Điều kiện x  Đặt t  x  x   x  x   t t t PT: log t  log  log  log t  log t  log t   log t 1  log3  log6 2   log t   t  Do đó: x  x    x   x2   x2  2x   x2   x  : chọn Vậy nghiệm x  b) Điều kiện x  Phương trình tương đương với Trang log  log3  log x    log  log3  log x     log3  log x    log3  log x    log3  log x    log3  2log4 x  2   log3  log x    log3  log x   log3   log3  log x     4log Từ suy nghiệm x Bài tốn 5.13: Giải phương trình sau: a)   1 log x x   1 log x  x2  b)  x   log  x  3  log  x     15  x  1 Hướng dẫn giải a) Điều kiện 5x  x, x   Đặt a  x  x , b  x  1, a, b  Ta có a2  5x  x, b2  x   a  b2  5x  x  1, a  b2  5x   Do a  b2   a PT: a  b  a  b2  b2    5x  1 5x  x  1  52 x  x.5x  x   a    b2    a  b    a  b2   a  b   - Nếu a  b   a  b 5x  x  x   5x  x  Xét f  x   5x  x  1, D  ¡ f '  x   5x.ln  4, f ''  x   5x.ln  Do phương trình có tối đa nghiệm mà f    0, f 1  nên phương trình có hai nghiệm x  0, x   - Nếu a  b Vì   a  b     5x  1  5x  x  x   5 x  5x  x  x    x    x  1  5x  5x   nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  b) Điều kiện x  PT: log  x  3  log  x    15 x  0 x2 Trang 10