HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I Phương pháp giải Việc giải hệ phương trình mũ và lôgarit về cơ bản cũng giống như giải các hệ phương trình đại số với các biến đổi về biểu thức mũ và lôgarit Phương phá[.]
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I Phương pháp giải Việc giải hệ phương trình mũ lơgarit giống giải hệ phương trình đại số với biến đổi biểu thức mũ lôgarit Phương pháp chung giải hệ: Rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ Chú ý: 1) Dùng định nghĩa, biến đổi thành phương trình tích số, dùng bất đẳng thức, đạo hàm,… ax by c 2) Hệ phương trình bậc hai ẩn: ax by c Phương pháp thế, cộng đại số, dùng định thức, dùng máy tính,… Hệ có phương trình bậc nhất: ta chọn rút ẩn theo ẩn lại, vào phương trình giải phương trình ẩn F1 ( x, y ) , F2 ( x, y ) 3) Hệ đối xứng loại I Đặt x y S xy P với điều kiện S P F1 ( x, y ) F2 ( y, x) Hệ đối xứng loại II Trừ hai phương trình đưa tích số ( x y) A( x, y) ax bxy cy d Hệ đẳng cấp (thuần nhất): 2 a ' x b ' xy c ' y d ' Xét x 0, xét x 0, đặt y kx, đưa giải theo ẩn k Hoặc ngược lại, xét y 0, xét y 0, đặt x ky II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Giải hệ phương trình: 2 x 2.3x y 55 a) x x y 1 3.2 x y b) 84 4 2 x Giải a) Đặt u x , v 3x y u, v u 2v 55 u x 3u 3v 84 v 27 y Ta có hệ: y 1 x b) Hệ 4 2 x 2 x 1 x y 4 0,5 y 1 x 2 2x 42 y 0,5 Cách khác: Đặt u x , v y x y uv Bài toán 2: Giải hệ phương trình: log ( y x) log y b) x y 25 x y 20 a) log x log y log (1) (2) Giải x y 20 x y 20 a) ĐK x 0, y 0, hệ tương đương: xy 36 log xy log 36 Từ giải nghiệm (2; 18) (18; 2) b) ĐK; y x, y Ta có: (1): log ( y x) log 4 1 log ( y x) log y y log yx 3y 1 x y Thế vào (2) giải y 4, chọn y Vậy hệ có nghiệm (3; 4) Bài tốn 3: Giải hệ phương trình: 9 x y a) log (3 x y ) log (3 x y ) x2 y b) log ( x y ) log ( x y ) Giải 9 x y 9 x y 3x y 0,3x y a) Hệ: log5 (3x y ) log 5(3x y ) 3x y 5(3x y ) 3x y 0, 3x y 3x y x (3x y )(3x y ) 3x y y 3x y 5(3x y ) b) ĐK: x y Hệ tương đương: x log ( x y ) log ( x y ) log ( x y ) (chọn) log ( x y ) log 2.log ( x y) log ( x y ) y Bài toán 4: Giải hệ phương trình: log ( x y) log ( x y ) a) log x log log y log 1 2log x 3y 15 b) y y 1 3 log x 2log x Giải a) ĐK: x y Hệ tương đương: 12 x 12 x y 32 y x y xy 12 144 y 22 y 22 y 144 y 2 Từ giải nghiệm x 6, y b) ĐK x 0, đặt u log x v y ( y 0) Hệ tương đương: v 2u 15 2u v 15 u u (loại) v u 23 u 45 uv 2u 3v v 10 Từ giải nghiệm (512; 1) Bài toán 5: Giải hệ phương trình: log (6 x y) b) x log ( x y ) a) log x log y log y (6 y x) Giải a) ĐK x, y log ( x y ) x y 32 xy 16 log x log y Hệ tương đương: ( x y ) xy 32 ( x y ) 64 x y xy 16 xy 16 b) ĐK: x, y 0, x, y 6 x y x 6 x y x Hệ tương đương: ( x y)( x y 2) 6 y x y y 2 x y x x 2x x 10 x Từ giải nghiệm (5; 5) Bài tốn 6: Giải hệ phương trình: 3 x.2 y 1152 (1) a) log ( x y) (2) 2 x.8 y 2 (1) b) 1 log9 log (9 y) (2) x 2 Giải a) ĐK: x y Ta có (2) x y y x Thế vào (1): 3 x.25 x 1152 6 x 36 x 2 Do y Thử lại Vậy nghiệm (2; 7) b) ĐK: x, y Ta có (1) 2x3 y 2 x y 3 (2) log3 x log3 (9 y) log3 ( xy) 1 xy Từ có S {(2; )} Bài tốn 7: Giải hệ phương trình: x x y y12 a) x y y x 2 log ( x y ) log ( xy) b) x2 xy y2 81 3 (1) (2) Giải a) ĐK: x, y Ta có (2) x y (1) y ( x y )2 x y nên y12 Xét y x 1: Xét y ( x y)2 12 x y Do y x3 x y nên y y Chọn y x Vậy S {(1; 1), (4; 2)} x y xy b) ĐK: xy 0, hệ tương đương: 2 x xy y x y x y x y (chọn) y 2 x y 2 y Bài toán 8: Giải hệ phương trình: 2 x x y a) y 2 y x x y 3 (ln y ln x)( xy x 1) b) x y (1) (2) Giải a) Trừ phương trình vế theo vế được: x 3x y y Xét f (t ) 2t 36, t R f (t ) 2t.ln 0, x nên f đồng biến R Ta có PT: f ( x) f ( y) x y Do 2x x x 2x x Xét hàm g ( x) x x 3, x R, từ suy hệ có nghiệm (1; 1) b) ĐK: x, y nên xy x Vì số 1, e nên với (1): Nếu x y VT > > VP, Nếu x y VT < < VP, Nếu x y thỏa mãn Do (2) x x 0, chọn x y Vậy hệ có nghiệm (2; 2) Bài tốn 9: Giải hệ phương trình: log3 x log3 y log3 ( x 2) b) ( x x )( y y ) (1) a) 4 x y 2 x y 3 y 1 5.3 x (2) Giải a) PT (1) biến đổi thành: x x y y y y x x Cộng lại 2( x y) y x Do (2) 3x 223 x 8x (3x 1) PT có nghiệm x 1 nên S {( ; )} 3 b) Điều kiện x 0, y Từ phương trình thứ hệ ta có log3 ( xy) log3 ( x 2) xy x y x Thay vào phương trình thứ hai ta được: x x x x 5.3 x x log Vậy nghiệm hệ phương trình là: x 1, y x log 3, y 2log3 Bài toán 10: Giải hệ phương trình: x y ( x 1)( y 2) a) 1 log ( y 1) log x 3x 31 y b) log x log y 3 2 Giải x a) Điều kiện: x x Từ phương trình thứ hai hệ: 2 log ( y 1) log y hay y x 3x x x x y xy x y Hệ trở thành y x 3x Trừ hai phương trình: x y xy x y y x 3x x( x y ) y ( y x) x y x y ( x y )( x y 1) x 1 y Với x y ta có x y 1 x y Với x y ta có ( x 1) x 3x x x x 1 x 1 Suy nghiệm ( x; y) hệ là: (1; 1), (2; 2), (1 3; ), (1 3; ) b) Điều kiện x 0, y Ta có x y log x log y log x log y x y x y Với x y, thay vào phương trình thứ ta được: 3x x 3x 31 x 32 x 4.3x x 3 x Chọn x nên y Với x y, thay vào phương trình thứ ta 3x 31 x 3x x (loại) Vậy nghiệm hệ phương trình x y Bài toán 11: Giải hệ phương trình: x y xy a) x y 1 xy x y 2 x x2 4 log3 y b) x log y log y 3 Giải a) Điều kiện: xy xy Đặt u x y, v xy 2v u u 1 2v u 2 u u u 2v Khi hệ trở thành: u 1 2 Giải phương trình thứ hai: 2u 1 u u 2u 1 Xét hàm f (u) 2u u u 2u u2 u u u R f (u ) 2u ( u u ) ln 0, với u u 4 Suy hàm f đồng biến R Mà f (0) nên u nghiệm phương trình Suy v x y x 1, y 1 xy 1 x 1, y Do Vậy nghiệm hệ phương trình (1, 1), (1,1) b) Điều kiện: y Đặt u 2x , v log3 y, u u 2uv u 2uv u v(v 1) v u v Hệ trở thành: Cộng hai phương trình ta u 2uv v u v (u v)2 (u v) u v u v 3 Với u v 2, ta có v x 0, y u 1, v Do nên x log 3, y u 3, v u 3 Với u v 3, ta có v2 u 3 Vậy nghiệm hệ (0; 3), log 3; 3 (loại) log (3x my) Bài tốn 12: Tìm m để hệ có nghiệm: x log y (3 y mx) Giải ĐK: x 0, x y 0, y 3x my x Hệ ( x y)(3 m) x y 2 3 y mx y ( x y)( x y m 3) y x y x m Xét y x ta có phương trình: x (3 m) x nên chọn x m Điều kiện có nghiệm m 3, m 2 (1) Xét y x m ta có phương trình: x (m 3) x m(m 3) Vì 3(m 3)(m 1) 1 m thỏa (1) nên suy điều kiện có nghiệm m 3 m 2 x 2 x y x 2m Bài tốn 13: Tìm m để hệ có nghiệm nhất: 2 x y Giải: Giả sử ( x, y) nghiệm ( x, y) nghiệm, mà hệ có nghiệm nên x0 1 y 2m Do đó: y 1 y 1 2m y Khi y 1 m Khi y m x 2 x y x Đảo lại, với m hệ: 2 x y Hệ không nghiệm (0; 1), (1; 0) nghiệm x 2 x y x (1) Với m hệ: 2 (2) x y Từ (2) x 1, y Và (1) : y x x x2 x x (1 x ) x Do y x : nghiệm Vậy m Bài toán 14: Tìm m để hệ sau có nghiệm: x x 1 72 x 1 2017 x 2017 7 x (m 2) x 2m (1) (2) Giải a) Điều kiện x 1 (1) : 2 x 1 (7 x 1) 2017(1 x) - Nếu x bất phương trình thỏa - Nếu x 72 x2 0, x BPT thỏa - Nếu x 72 x2 0, x BPT khơng thỏa x2 x - Nếu 1 x (2): m x2 Xét f ( x) x2 x , x 1;1 x2 Lập BBT f (x) 2 nên bất phương trình có nghiệm m 2 Vậy điều kiện cần tìm m 2 ... x x y 3 (ln y ln x)( xy x 1) b) x y (1) (2) Giải a) Trừ phương trình vế theo vế được: x 3x y y Xét f (t ) 2t 36, t R f (t ) 2t.ln 0, x nên f đồng biến