Đang tải... (xem toàn văn)
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I Phương pháp giải Bất phương trình lôgarit Nếu a a f ( x ) 0 a 1 log f ( x ) log g( x ) g( x ) 0 0 f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Nếu a a f ( x ) 0 0[.]
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I Phương pháp giải - Bất phương trình lơgarit: f(x)0 Nếu a : log a f ( x ) log a g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f(x)0 Nếu a : loga f ( x ) log a g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) - Bất phương trình: loga x m x a m (với a 1) loga x m x a m (với a 1) Chú ý: Đưa số, đặt ẩn phụ, mũ hóa, tính chất đơn điệu hàm số, đánh giá hai vế,… II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Giải bất phương trình: b) log 0,2 ( x 4) 1 a) log (3 x) Giải a) Điều kiện: x x Vì nên bất phương trình tương đương với 2x x 3 (thỏa mãn) b) ĐK: x 2 x 2, 0,2 < nên BPT: x (0, 2)1 x x x Kết hợp điều kiện nghiệm 3 x 2 x Bài tốn 2: Giải bất phương trình: a) log log 0,5 x 15 2 16 b) log3 (16x 2.12x ) x Giải a) Vì số > nên BPT tương đương: 15 15 31 log 0,5 x x 0,54 x 16 16 16 log 31 x x log 31 16 b) Vì số > nên BPT tương đương: 2x 16 2.12 x x x1 x 4 4 3 3 x Đặt t , t t 2t 3 t 2t 1 t Chọn t t hay t t 2t x Do log x log 3 3 Bài tốn 3: Giải bất phương trình: b) ln x ln x 3ln 2 x log 0,2 x a) log 0,2 Giải a) ĐK x 0, đặt t log0,2 x ta có BPT: t t 2 t 2 log 0,2 x (0, 2)3 x 25 (vì số 0,2 < 1) b) ĐK: x 4, x 2, BPT: ln ( x 2)( x 4) ln x x 8 x x x2 x x 2 hay x 1 17 x 1 17 x x 16 1 17 x 2 x 1 17 : chọn Bài tốn 4: Giải bất phương trình: a) log3 x log x b) log( x x 2) log(3 x) Giải a) ĐK: x 0, x 1, BPT log3 x log x log x log 32 x 1 0 0 log x log x 1 log3 x log3 x x x 3 x 1 hay x x2 x 11 b) BPT: 3 x x x 1 x x x (3 x)2 11 x Bài tốn 5: Giải bất phương trình: a) log3 1 2x 0 x b) (1, 25)1(log x )2 (0, 64) log x Giải a) Vì > nên BPT 2x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x x b) ĐK: x 0, BPT tương đương: 1 (log x )2 5 4 5 4 4(1 log x ) (vì số 1) (log2 x)2 4(1 log2 x) (log2 x)2 4log x log x 1 log x x x 32 Bài toán 6: Giải bất phương trình: a) (2 x 7) ln( x 1) b) 2.x log2 x 22 log2 x Giải x 2 x x x x ln( x 1) a) BPT: x 2 x x 1 x ln( x 1) 1 x 0 x Vậy tập nghiệm S (1; 0) ( ; ) b) ĐK: x 0, lơgarit hóa theo số > 1: 12 log2 x 32 log2 x log 2.x log log x log x 2 log22 x 3log2 x log2 x hay log x x x Bài toán 7: Giải bất phương trình: a) log ( x2 x 5) 2log3 (2 x) b) log ( x 2) log x Giải a) ĐK: x2 x x x x BPT: log ( x x 5) log3 (2 x)2 log ( x x 5) log (2 x) 3 x x (2 x)2 x x b) ĐK: x 2, BPT: log2 ( x 2) 6log 3x 3 log ( x 2) log (3x 5) log (( x 2)(3x 5)) log ( x 2)(3x 5) 3x 11x Giải chọn nghiệm x Bài tốn 8: Giải bất phương trình: b) log (6 x 1 36 x ) 2 a) 4log x 33log x Giải a) Điều kiện x 0, x 1, đặt t log x, BPT: 4t 33 1 t 4t t 33 (4t 11)(t 3) 0 0 t t 11 11 log x 11 x t t 0 log x 1 x 64 b) Đặt t x , t BPT: 6t t t log (6t t ) 2 6t t 5 t Từ giải tập nghiệm S ; 0 (log 5; 1) Bài toán 9: Giải bất phương trình: a) 1 log x log x b) log ( x2 x 3) log ( x 3) log 22 ( x 1) Giải a) Đặt t log x, t 5, t 1, BPT: t 10 2t t 5t 1 0 t 1 t 4t t t 4t (t 2)(t 3) t 1 t t (t 1)(t 5) Do log x 1 log x log x Vậy nghiệm x 100 x 1000 x 100 000 10 b) ĐK: x x 0, x 0, x 1 x BPT: log2 ( x 1)( x 3) log2 ( x 3) log 22 ( x 1) log22 ( x 1) log ( x 1) log ( x 1) x x (chọn) Bài tốn 10: Giải bất phương trình: a) log x 4x 1 5x b) log x[log2 (4x 6)] Giải a) ĐK: x 0, x 1, Nếu x 4x x , x 5x 4x BPT 5x x 4x x2 5x 5x 0 0 5x x (6 x) x x 10 x x 10 x 3 x (loại) (6 x) x x 10 x Nếu x BPT chọn x (6 x) x 2 Vậy tập nghiệm S ( ; 1) b) ĐK: x 0, x 1, 4x x log4 Vì x log nên BPT: log2 (4x 6) x x x x x 2 2x x log Kết hợp tập nghiệm S (log 7; log 3] Bài tốn 11: Giải bất phương trình: log ( x 3) log ( x 3)3 a) log x x b) x 1 Giải a) ĐK: x Xét x log x x (loại) Xét x log x x nên BPT nghiệm Vậy tập nghiệm S (0; 4] b) ĐK: x 3, x 1 Nếu 3 x 1 BPT: log ( x 3) 3log ( x 3) 3log ( x 3) log ( x 3) 3log3 ( x 3) 2log 3log ( x 3) log ( x 3)[3 log 9] log3 ( x 3) x Do 2 x 1 Nếu x 1 BPT log3 ( x 3) x 2 (loại) Vậy tập nghiệm S (2; 1) Bài toán 12: Giải bất phương trình: a) log 4( x 1) 2( x x ) x 2 b) log (4 x) log (4 16 x ) 2 Giải a) Điều kiện x Bất phương trình tương đương với log ( x 1) 2( x x ) log ( x 2) log ( x 1) x log ( x 2) 2( x 1) Ta có x, x thuộc 0; , Xét hàm số f (t ) log (t 1) 2t , t 0; f '(t ) 1 (t 1)2ln 2 (t 1) ln (t 1) ln Vì (t 1)2ln 2ln 1, với t 0; nên f '(t ) 0, với t 0; Suy f (t ) hàm số nghịch biến 0; Bất phương trình: f ( x) f ( x 1) x x x x 1 1 1 3 x , x00 x 2 Vậy nghiệm bất phương trình cho x 4 x 16 b) Điều kiện: 4 16 x 3 4 x 16 BPT: log x log (4 16 x ) x 16 x x x 4 x (2 16 x )(4 16 x ) x (2 16 x )(4 16 x ) ( x 2) Với 4 x 16 ta có (2 16 x )(4 16 x ) x nên (2 16 x )(4 16 x ) ( x 2) Do x Kết hợp nghiệm bất phương trình 4 x Bài tốn 13: Tìm tham số m để bất phương trình: a) x2 (m 3) x 3m (m 2)log2 x có nghiệm b) log5 ( x2 1) log5 (mx2 x m) có nghiệm với x Giải a) BPT: ( x m)( x 3) (m x) log x ( x m)( x log x) Để ý: f ( x) x log x, x f '( x) nên f ( x) đồng biến (0; ) f (2) x ln Do đó, bất phương trình tương đương: x m, x log x x m, x x m, x log x x m, x Từ suy điều kiện có nghiệm m b) BPT: log5 5( x2 1) log5 (mx2 x m) 5( x 1) mx x m (hàm đồng biến) mx x m (5 m) x x m (1) (2) mx x m Ta tìm m để hệ thỏa mãn với x Xét m (1) : 4 x 0, x : loại Xét m (2) :4 x 0, x : loại Xét m 5, m điều kiện 1 0, m 4 (5 m) 0, m 2m3 m0 0, m 4 m 0,