Dang bai tap bat phuong trinh logarit

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I Phương pháp giải Bất phương trình lôgarit Nếu a a f ( x ) 0 a 1 log f ( x ) log g( x ) g( x ) 0 0 f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )            Nếu a a f ( x ) 0 0[.]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I Phương pháp giải - Bất phương trình lơgarit: f(x)0 Nếu a  : log a f ( x )  log a g( x )   g( x )    f ( x )  g( x )  f ( x )  g( x )  f(x)0 Nếu  a  : loga f ( x )  log a g( x )   g( x )   f ( x )  g( x )   f ( x )  g( x )  - Bất phương trình: loga x  m   x  a m (với a  1) loga x  m  x  a m (với  a  1) Chú ý: Đưa số, đặt ẩn phụ, mũ hóa, tính chất đơn điệu hàm số, đánh giá hai vế,… II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Giải bất phương trình: b) log 0,2 ( x  4)  1 a) log (3  x)  Giải a) Điều kiện:  x   x  Vì  nên bất phương trình tương đương với  2x   x  3 (thỏa mãn) b) ĐK: x  2 x  2, 0,2 < nên BPT: x   (0, 2)1  x    x   x  Kết hợp điều kiện nghiệm 3  x  2  x  Bài tốn 2: Giải bất phương trình: a) log log 0,5  x   15  2 16  b) log3 (16x  2.12x )  x  Giải a) Vì số > nên BPT tương đương: 15  15 31   log 0,5  x      x   0,54   x  16  16 16   log 31  x    x  log 31  16 b) Vì số > nên BPT tương đương: 2x  16  2.12  x x x1 x 4 4         3 3 x Đặt t    , t   t  2t  3  t  2t   1  t    Chọn  t   t  hay t  t  2t  x Do      log  x  log 3 3 Bài tốn 3: Giải bất phương trình: b) ln x   ln x   3ln 2 x  log 0,2 x   a) log 0,2 Giải a) ĐK x  0, đặt t  log0,2 x ta có BPT: t  t    2  t   2  log 0,2 x   (0, 2)3  x  25 (vì số 0,2 < 1) b) ĐK: x  4, x  2, BPT: ln ( x  2)( x  4)  ln  x  x    8  x  x    x2  x   x  2 hay x     1  17  x  1  17  x  x  16     1  17  x  2  x  1  17 : chọn Bài tốn 4: Giải bất phương trình: a) log3 x  log x b) log( x  x  2)  log(3  x) Giải a) ĐK: x  0, x  1, BPT  log3 x   log x  log x log 32 x  1 0 0 log x log x  1  log3 x  log3 x    x  x  3   x  1 hay x   x2  x    11  b) BPT:  3  x   x   x  1  x   x  x   (3  x)2  11  x   Bài tốn 5: Giải bất phương trình: a) log3 1 2x 0 x b) (1, 25)1(log x )2  (0, 64)  log x Giải a) Vì > nên BPT    2x 1 x 1  x 1  x  x   x  1    x 1  x   1  x   x  x b) ĐK: x  0, BPT tương đương: 1 (log x )2 5   4 5   4 4(1 log x ) (vì số  1)   (log2 x)2  4(1  log2 x)  (log2 x)2  4log x    log x  1 log x    x  x  32 Bài toán 6: Giải bất phương trình: a) (2 x  7) ln( x  1)  b) 2.x log2 x  22 log2 x Giải  x     2 x   x       x   x   ln( x  1)    a) BPT:       x  2 x      x     1  x     ln( x  1)  1  x   0  x      Vậy tập nghiệm S  (1; 0)  ( ;  ) b) ĐK: x  0, lơgarit hóa theo số > 1:  12 log2 x   32 log2 x  log  2.x   log     log x  log x 2      log22 x  3log2 x    log2 x  hay log x    x  x  Bài toán 7: Giải bất phương trình: a) log ( x2  x  5)  2log3 (2  x)  b) log ( x  2)   log x  Giải a) ĐK: x2  x    x   x  x  BPT: log ( x  x  5)   log3 (2  x)2  log ( x  x  5)  log (2  x) 3  x  x   (2  x)2  x    x  b) ĐK: x  2, BPT: log2 ( x  2)   6log 3x  3  log ( x  2)  log (3x  5)   log (( x  2)(3x  5))  log  ( x  2)(3x  5)   3x  11x   Giải chọn nghiệm x  Bài tốn 8: Giải bất phương trình: b) log (6 x 1  36 x )  2 a) 4log x  33log x  Giải a) Điều kiện x  0, x  1, đặt t  log x, BPT: 4t  33 1 t 4t  t  33 (4t  11)(t  3)  0 0 t t 11 11    log x   11 x    t   t     0  log x  1  x  64 b) Đặt t  x , t  BPT: 6t  t  t   log (6t  t )  2    6t  t  5  t   Từ giải tập nghiệm S   ; 0  (log 5; 1) Bài toán 9: Giải bất phương trình: a)  1  log x  log x b) log ( x2  x  3)  log ( x  3)  log 22 ( x  1) Giải a) Đặt t  log x, t  5, t  1, BPT: t   10  2t t  5t   1    0  t 1 t  4t  t t  4t   (t  2)(t  3)   t  1  t  t  (t  1)(t  5) Do log x  1  log x  log x  Vậy nghiệm x  100  x  1000 x  100 000 10 b) ĐK: x  x   0, x   0, x 1   x  BPT: log2 ( x 1)( x  3)  log2 ( x  3)  log 22 ( x 1)  log22 ( x 1)  log ( x 1)    log ( x  1)    x     x  (chọn) Bài tốn 10: Giải bất phương trình: a) log x 4x   1  5x b) log x[log2 (4x  6)]  Giải a) ĐK: x  0, x  1, Nếu  x  4x     x  , x   5x 4x  BPT    5x x 4x  x2  5x   5x   0 0  5x x (6  x) x x  10 x     x  10 x    3  x  (loại) (6  x) x x  10 x  Nếu  x  BPT   chọn  x  (6  x) x 2 Vậy tập nghiệm S  ( ; 1) b) ĐK: x  0, x  1, 4x    x  log4 Vì x  log  nên BPT: log2 (4x  6)  x  x   x  x  x    2  2x   x  log Kết hợp tập nghiệm S  (log 7; log 3] Bài tốn 11: Giải bất phương trình: log ( x  3)  log ( x  3)3 a) log x   x b) x 1  Giải a) ĐK: x  Xét x  log x   x  (loại) Xét  x  log x    x nên BPT nghiệm Vậy tập nghiệm S  (0; 4] b) ĐK: x  3, x  1 Nếu 3  x  1 BPT: log ( x  3)  3log ( x  3)   3log ( x  3)  log ( x  3)   3log3 ( x  3)  2log 3log ( x  3)   log ( x  3)[3  log 9]   log3 ( x  3)   x   Do 2  x  1 Nếu x  1 BPT  log3 ( x  3)   x  2 (loại) Vậy tập nghiệm S  (2;  1) Bài toán 12: Giải bất phương trình: a) log 4( x  1)  2( x  x ) x 2 b) log (4  x)  log (4  16  x )  2 Giải a) Điều kiện x  Bất phương trình tương đương với  log ( x  1)  2( x  x )  log ( x  2)  log ( x  1)  x  log ( x  2)  2( x  1) Ta có x, x  thuộc  0;    , Xét hàm số f (t )  log (t  1)  2t , t  0;    f '(t )  1  (t  1)2ln 2 (t  1) ln (t  1) ln Vì (t  1)2ln  2ln  1, với t  0;    nên f '(t )  0, với t  0;    Suy f (t ) hàm số nghịch biến  0;    Bất phương trình: f ( x)  f ( x  1)  x  x   x  x 1   1 1 3  x , x00 x 2 Vậy nghiệm bất phương trình cho  x  4  x  16 b) Điều kiện:  4  16  x  3  4  x  16 BPT: log  x  log (4  16  x )    x    16  x x x  4  x  (2  16  x )(4  16  x )  x (2  16  x )(4  16  x )  (  x  2)  Với 4  x  16 ta có (2  16  x )(4  16  x )    x  nên (2  16  x )(4  16  x )  (  x  2)  Do x  Kết hợp nghiệm bất phương trình 4  x  Bài tốn 13: Tìm tham số m để bất phương trình: a) x2  (m  3) x  3m  (m  2)log2 x có nghiệm b)  log5 ( x2  1)  log5 (mx2  x  m) có nghiệm với x Giải a) BPT: ( x  m)( x  3)  (m  x) log x  ( x  m)( x   log x)  Để ý: f ( x)  x   log x, x  f '( x)    nên f ( x) đồng biến (0;  ) f (2)  x ln Do đó, bất phương trình tương đương:  x  m, x   log x   x  m,  x   x  m, x   log x    x  m, x    Từ suy điều kiện có nghiệm m  b) BPT: log5 5( x2  1)  log5 (mx2  x  m) 5( x  1)  mx  x  m (hàm đồng biến)  mx  x  m   (5  m) x  x  m   (1)  (2)  mx  x  m  Ta tìm m để hệ thỏa mãn với x Xét m  (1) : 4 x  0, x : loại Xét m  (2) :4 x  0, x : loại Xét m  5, m  điều kiện 1  0,  m   4  (5  m)  0, m   2m3  m0    0, m  4  m  0,