Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 1 tính đơn điệu và cực trị lê hoành phò file word

37 2 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi   chuyên đề 1   tính đơn điệu và cực trị   lê hoành phò   file word

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CHUYÊN ĐỀ - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định lý Lagrange: Cho f hàm liên tục  a; b  , có đạo hàm  a; b  Lúc tồn c   a; b  để: f  b  f  a  f '  c  hay f  b   f  a   b  a  f '  c  b a Định lý Rolle: Cho f hàm liên tục  a; b  , có đạo hàm  a; b  f  a   f  b  Lúc tồn c   a; b  để f '  c  0 Định lý Cauchy: Cho f g hai hàm liên tục  a; b  , có đạo hàm  a; b  g '  x  0 x   a; b  Lúc tồn c   a; b  để f  b  f  a  f ' c   g  b  g  a  g ' c  Tính đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a; b  đó: - Nếu f đồng biến  a; b  f '  x  0 với x   a; b  - Nếu f nghịch biến  a; b  f '  x  0 với x   a; b  - Nếu f '  x  0 với x   a; b  f '  x  0 số hữu hạn điểm  a; b  hàm số đồng biến khoảng  a; b  - Nếu f '  x  0 với x   a; b  f '  x  0 số hữu hạn điểm  a; b  hàm số nghịch biến khoảng  a; b  - Nếu f đồng biến khoảng  a; b  liên tục  a; b  đồng biến  a; b  ; liên tục  a; b  đồng biến  a; b  ; liên tục  a; b  đồng biến  a; b  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang - Nếu f nghịch biến  a; b  liên tục  a; b  nghịch biến  a; b  ; liên tục  a; b  nghịch biến  a; b  ; liên tục  a; b  nghịch biến  a; b  - Nếu f '  x  0 với x  D hàm số f khơng đổi D Cực trị hàm số Cho hàm số f xác định tập hợp D x0  D x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng  a; b  chứa điểm x0 cho  a; b   D f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng  a; b  chứa điểm x0 cho  a; b   D f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm  a; b  Nếu f đạt cực trị điểm x0   a; b  f '  x0  0 - Cho y  f  x  liên tục khoảng  a; b  chứa x0 có đạo hàm khoảng  a; x0   x0 ; b  : Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y  f  x  có đạo hàm cấp hai khoảng  a; b  chứa x0 Nếu f '  x0  0 f ''  x0   f đạt cực tiểu x0 Nếu f '  x0  0 f ''  x0   f đạt cực đại x0 Ứng dụng vào phương trình - Nếu hàm số f đơn điệu K phương trình f  x  0 có tối đa nghiệm Nếu f  a  0 , a thuộc K x a nghiệm phương trình f  x  0 - Nếu f có đạo hàm cấp khơng đổi dấu K f ' hàm đơn điệu nên phương trình f  x  0 có tối đa nghiệm K Nếu f  a  0 f  b  0 với a b phương trình f  x  0 có nghiệm x a x b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang - Nếu f hàm liên tục  a; b  , có đạo hàm  a; b  phương trình f '  x   f  b  f  a có b a nghiệm c   a; b  Đặc biệt, f  a   f  b  0 phương trình f '  x  0 có nghiệm c   a; b  hay hai nghiệm f có nghiệm đạo hàm f ' Chú ý: 1) Tung độ cực trị y  f  x  x  x0 : Hàm đa thức: y q  x  y ' r  x   y0 r  x0  Hàm hữu tỉ: y  f  x   u  x0  u '  x0  u  x  y0   v  x v  x0  v '  x0  Đặc biệt: Với hàm y  f  x  bậc có CĐ, CT y q  x  y ' r  x  phương trình đường thẳng qua CĐ, CT y r  x  2) Số nghiệm phương trình bậc 3: ax  bx  cx  d 0, a 0 Nếu f '  x  0, x hay f '  x  0, x f  x  0 có nghiệm Nếu f '  x  0 có nghiệm phân biệt và: Với yC Ð yCT  : phương trình f  x  0 có nghiệm Với yC Ð yCT 0 : phương trình f  x  0 có nghiệm (1 đơn, kép) Với yC Ð yCT  : phương trình f  x  0 có nghiệm phân biệt CÁC BÀI TỐN Bài tốn 1.1: Chứng minh hàm số sau hàm không đổi   2 a) f  x  cos x  cos  x       cos x cos  x   3 3  2 b) f  x  2  sin x  sin  a  x   2cos a.cos x.cos  a  x  Hướng dẫn giải a)         f '  x   2cos x sin x  2cos  x   sin  x    sin x cos  x    cos x.sin  x   3  3 3 3    2   sin x  sin  x        sin  x   3   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang     sin x  2cos  x   sin 2     sin x  cos  x   0 , với x 2  Do f R nên f  x   f   1  1   4 b) Đạo hàm theo biến x (a số) f '  x   2sin x cos x  2cos  a  x  sin  a  x   2cos a  sin x cos  a  x   cos x sin  a  x    2sin x  sin  x  2a   2cos a.sin  x  a  0 2 Do f R nên f  x   f   2  sin a  2cos a sin a Bài toán 1.2: Cho đa thức P  x  Q  x  thỏa mãn: P '  x  Q '  x  với x P   Q   Chứng minh: P  x  Q  x  Hướng dẫn giải Xét hàm số f  x  P  x   Q  x  , D  Ta có f '  x  P '  x   Q '  x  0 theo giả thiết, f  x hàm nên f  x   f   P    Q   0 với x  f  x  0  P  x  Q  x  Bài toán 1.3: Chứng minh rằng:  a) arcsin x  arccos x  , x 1 b) 2arctan x  arcsin 2x   , x  1  x2 Hướng dẫn giải a) Nếu x 1, x  Nếu   x  xét hàm số f  x  arcsin x  arccos x  f ' x  1 x  1 1  0  f  x  C  f     2 1 x b) Với x  , xét f  x  2arctan x  arcsin 2x  x2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang  2x2  x2   2    0 (vì x  ) Ta có f '  x   2 1 x  x  x 2  1 x     1 x  Suy f  x  C  f   1       4 Bài toán 1.4: Tính gọn arctan x  arctan với x 0 x Hướng dẫn giải Xét f  x  arctan x  arctan D   ;0    0;   x Với x   0;   f liên tục có đạo hàm 1 x   0 f ' x    nên f  0;   x2  x2  x2  x2 x2 Do f  x   f  1       4 Với x    ;0  f liên tục có đạo hàm f '  x  0 nên f   ;0  Do f  x   f   1       4    x   Vậy arctan x  arctan  x  x   Bài tốn 1.5: Tìm số c định lý Lagrange: a) y  f  x  2 x  x    1;2 b) y  f  x  arcsin x  0;1 Hướng dẫn giải a) Hàm số y  f  x  2 x  x  liên tục   1;2 có đạo hàm f '  x  4 x  , theo định lý Lagrange tồn số c    1;2 cho: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang f    f   1 63  f ' c   4c   4c 2  c     1 b) Hàm số y  f  x  arcsin x liên tục  0;1 có đạo hàm f '  x   1  x2 , theo định lý Lagrange tồn số c   0;1 cho:  0 f  1  f    f ' c    1 1  c2   c2     c 1  Chọn c      Bài toán 1.6: Xét chiều biến thiên hàm số: b) y  a) y  x  x   x  4 Hướng dẫn giải   a) D  Ta có y ' 4 x  x 4 x x    x  Cho y ' 0  x x  0  x 0 x 1 BBT −1 y' − 0 + −  + y Vậy hàm số nghịch biến khoảng   ;  1  0;1 , đồng biến khoảng   1;0   1; b) D  \  4 Ta có y '  2  x  4 y '  khoảng  4;  nên y nghịch biến khoảng  4;  y '  khoảng   ;4  nên y đồng biến khoảng   ;4  Bài tốn 1.7: Tìm khoảng đơn điệu hàm số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang a) y  x3 b) y  x2  x 1 1 x Hướng dẫn giải    a) Tập xác định D   ;   Ta có: y '  x2  x2  9 x  6 x  6;   , y ' 0  x 3 BBT: x −3  y' +  6 − −  + y   Vậy hàm số đồng biến khoảng   ;  3 ,  3;   , nghịch biến khoảng  3;  ; 6;3  b) D   ;1 Ta có y '  3 x 1  x  0, x  b) y  x  sin x  0;2  a) y  x  cos x Hướng dẫn giải a) D  Ta có y ' 1  2cos x sin x 1  sin x  y ' 0  sin x 1  x   k , k   Hàm số liên tục đoạn     k  ,   k  1    4       k ;   k  1   nên đồng biến đoạn 4  y'  khoảng     k  ;   k  1   , k    4  Vậy hàm số đồng biến  b) y ' 1  cos x Ta có x  0;2   y ' 0 y ' 0  x 0 x 2 Vì hàm số liên tục đoạn  0;2  nên hàm số đồng biến đoạn  0;2  Bài toán 1.9: Chứng minh hàm số a) y cos x  x  nghịch biến  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang b) y  sin  x  a  sin  x  b   a b  k ; k   đơn điệu khoảng xác định Hướng dẫn giải a) x1 , x2  , x1  x2 Lấy hai số a, b cho a  x1  x2  b Ta có: f '  x    sin x  1 0 với x   a; b  Vì f '  x  0 số hữu hạn điểm khoảng  a; b  nên hàm số f nghịch biến khoảng  a; b   đpcm b) Điều kiện x  b  k y'   k   sin  x  b  cos  x  a   sin  x  a  cos  x  b  sin  b  a   sin  x  b  sin  x  b  Vì y ' liên tục điểm x  b  k , a  b k nên y ' giữ nguyên dấu khoảng xác định  đpcm Bài tốn 1.10: Tìm giá trị tham số để hàm số: a) y  m  3 x   2m  1 cos x nghịch biến  b) y  x3  x  mx  m nghịch biến đoạn có độ dài Hướng dẫn giải a) y ' m    2m  3 sin x Hàm số y không hàm nên y nghịch biến  : y ' 0, x  m    2m  1 sin x 0, x Đặt t sin x,  t 1 m    2m  1 sin x m    2m  1 t  f  t  Điều kiện tương đương: f  t  0, t    1;1  f   1 0    f  1 0  m  0   m   3m  0 b) D , y ' 3x  x  m,  ' 9  3m Xét  ' 0 y ' 0, x : Hàm đồng biến (loại) Xét  '   m  y ' 0 có nghiệm x1 , x2 nên x1  x2  2, x1 x2  m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang BBT: x x1  y' + x2 −  + y Theo đề bài: x2  x1 3   x2  x1  9  x12  x22  x1 x2 9   x2  x1   x1 x2 9   15 m 9  m  (thỏa) Bài tốn 1.11: Tìm cực trị hàm số sau: a) y  x    x  3 b) y  x  x   Hướng dẫn giải a) y ' 2  x    x  3   x    x  3 5 x  x    x  3 Ta có y ' 0  x  x 0 x 3 BBT x −2  y' + 0 − 0 y  + 0  +  −108 Vậy điểm cực đại   2;0  cực tiểu  0;  108  b) Hàm số y  f  x  liên tục  Ta có:   x  x  2 f  x    x  x   x  x 0 Với x  0, f '  x   x  2; f '  x  0  x  Với x  0, f '  x  2 x   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang BBT x −1  y' + 0 y  − + Vậy điểm CĐ   1;1 , CT  0;0  Bài tốn 1.12: Tìm cực trị hàm số x 1 a) y  x 8 b) y  x3 x2  Hướng dẫn giải a) D  Ta có y '  x   x  x  1 x  8   x2  2x  x  8 y ' 0  x  x 2 BBT x −4  y' − y + 0 Hàm số đạt CĐ x 2 , yC Ð  , đạt CT x  4; yCT     3x y'  2 x  6 − 1/4 −1/8 b) Tập xác định D   ;    6;   x4 2 2 x   3x  x    x  x  x   3 x2   x2  6  x2  6 y ' 0  x 0 x 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang 10

Ngày đăng: 18/10/2023, 19:34

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan