Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 1 tính đơn điệu và cực trị lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định lý Lagrange: Cho f hàm liên tục  a; b  , có đạo hàm  a; b  Lúc tồn c   a; b  để: f  b  f  a  f '  c  hay f  b   f  a   b  a  f '  c  b a Định lý Rolle: Cho f hàm liên tục  a; b  , có đạo hàm  a; b  f  a   f  b  Lúc tồn c   a; b  để f '  c  0 Định lý Cauchy: Cho f g hai hàm liên tục  a; b  , có đạo hàm  a; b  g '  x  0 x   a; b  Lúc tồn c   a; b  để f  b  f  a  f ' c   g  b  g  a  g ' c  Tính đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a; b  đó: - Nếu f đồng biến  a; b  f '  x  0 với x   a; b  - Nếu f nghịch biến  a; b  f '  x  0 với x   a; b  - Nếu f '  x  0 với x   a; b  f '  x  0 số hữu hạn điểm  a; b  hàm số đồng biến khoảng  a; b  - Nếu f '  x  0 với x   a; b  f '  x  0 số hữu hạn điểm  a; b  hàm số nghịch biến khoảng  a; b  - Nếu f đồng biến khoảng  a; b  liên tục  a; b  đồng biến  a; b  ; liên tục  a; b  đồng biến  a; b  ; liên tục  a; b  đồng biến  a; b  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang - Nếu f nghịch biến  a; b  liên tục  a; b  nghịch biến  a; b  ; liên tục  a; b  nghịch biến  a; b  ; liên tục  a; b  nghịch biến  a; b  - Nếu f '  x  0 với x  D hàm số f khơng đổi D Cực trị hàm số Cho hàm số f xác định tập hợp D x0  D x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng  a; b  chứa điểm x0 cho  a; b   D f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng  a; b  chứa điểm x0 cho  a; b   D f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm  a; b  Nếu f đạt cực trị điểm x0   a; b  f '  x0  0 - Cho y  f  x  liên tục khoảng  a; b  chứa x0 có đạo hàm khoảng  a; x0   x0 ; b  : Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y  f  x  có đạo hàm cấp hai khoảng  a; b  chứa x0 Nếu f '  x0  0 f ''  x0   f đạt cực tiểu x0 Nếu f '  x0  0 f ''  x0   f đạt cực đại x0 Ứng dụng vào phương trình - Nếu hàm số f đơn điệu K phương trình f  x  0 có tối đa nghiệm Nếu f  a  0 , a thuộc K x a nghiệm phương trình f  x  0 - Nếu f có đạo hàm cấp khơng đổi dấu K f ' hàm đơn điệu nên phương trình f  x  0 có tối đa nghiệm K Nếu f  a  0 f  b  0 với a b phương trình f  x  0 có nghiệm x a x b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang - Nếu f hàm liên tục  a; b  , có đạo hàm  a; b  phương trình f '  x   f  b  f  a có b a nghiệm c   a; b  Đặc biệt, f  a   f  b  0 phương trình f '  x  0 có nghiệm c   a; b  hay hai nghiệm f có nghiệm đạo hàm f ' Chú ý: 1) Tung độ cực trị y  f  x  x  x0 : Hàm đa thức: y q  x  y ' r  x   y0 r  x0  Hàm hữu tỉ: y  f  x   u  x0  u '  x0  u  x  y0   v  x v  x0  v '  x0  Đặc biệt: Với hàm y  f  x  bậc có CĐ, CT y q  x  y ' r  x  phương trình đường thẳng qua CĐ, CT y r  x  2) Số nghiệm phương trình bậc 3: ax  bx  cx  d 0, a 0 Nếu f '  x  0, x hay f '  x  0, x f  x  0 có nghiệm Nếu f '  x  0 có nghiệm phân biệt và: Với yC Ð yCT  : phương trình f  x  0 có nghiệm Với yC Ð yCT 0 : phương trình f  x  0 có nghiệm (1 đơn, kép) Với yC Ð yCT  : phương trình f  x  0 có nghiệm phân biệt CÁC BÀI TỐN Bài tốn 1.1: Chứng minh hàm số sau hàm không đổi   2 a) f  x  cos x  cos  x       cos x cos  x   3 3  2 b) f  x  2  sin x  sin  a  x   2cos a.cos x.cos  a  x  Hướng dẫn giải a)         f '  x   2cos x sin x  2cos  x   sin  x    sin x cos  x    cos x.sin  x   3  3 3 3    2   sin x  sin  x        sin  x   3   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang     sin x  2cos  x   sin 2     sin x  cos  x   0 , với x 2  Do f R nên f  x   f   1  1   4 b) Đạo hàm theo biến x (a số) f '  x   2sin x cos x  2cos  a  x  sin  a  x   2cos a  sin x cos  a  x   cos x sin  a  x    2sin x  sin  x  2a   2cos a.sin  x  a  0 2 Do f R nên f  x   f   2  sin a  2cos a sin a Bài toán 1.2: Cho đa thức P  x  Q  x  thỏa mãn: P '  x  Q '  x  với x P   Q   Chứng minh: P  x  Q  x  Hướng dẫn giải Xét hàm số f  x  P  x   Q  x  , D  Ta có f '  x  P '  x   Q '  x  0 theo giả thiết, f  x hàm nên f  x   f   P    Q   0 với x  f  x  0  P  x  Q  x  Bài toán 1.3: Chứng minh rằng:  a) arcsin x  arccos x  , x 1 b) 2arctan x  arcsin 2x   , x  1  x2 Hướng dẫn giải a) Nếu x 1, x  Nếu   x  xét hàm số f  x  arcsin x  arccos x  f ' x  1 x  1 1  0  f  x  C  f     2 1 x b) Với x  , xét f  x  2arctan x  arcsin 2x  x2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang  2x2  x2   2    0 (vì x  ) Ta có f '  x   2 1 x  x  x 2  1 x     1 x  Suy f  x  C  f   1       4 Bài toán 1.4: Tính gọn arctan x  arctan với x 0 x Hướng dẫn giải Xét f  x  arctan x  arctan D   ;0    0;   x Với x   0;   f liên tục có đạo hàm 1 x   0 f ' x    nên f  0;   x2  x2  x2  x2 x2 Do f  x   f  1       4 Với x    ;0  f liên tục có đạo hàm f '  x  0 nên f   ;0  Do f  x   f   1       4    x   Vậy arctan x  arctan  x  x   Bài tốn 1.5: Tìm số c định lý Lagrange: a) y  f  x  2 x  x    1;2 b) y  f  x  arcsin x  0;1 Hướng dẫn giải a) Hàm số y  f  x  2 x  x  liên tục   1;2 có đạo hàm f '  x  4 x  , theo định lý Lagrange tồn số c    1;2 cho: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang f    f   1 63  f ' c   4c   4c 2  c     1 b) Hàm số y  f  x  arcsin x liên tục  0;1 có đạo hàm f '  x   1  x2 , theo định lý Lagrange tồn số c   0;1 cho:  0 f  1  f    f ' c    1 1  c2   c2     c 1  Chọn c      Bài toán 1.6: Xét chiều biến thiên hàm số: b) y  a) y  x  x   x  4 Hướng dẫn giải   a) D  Ta có y ' 4 x  x 4 x x    x  Cho y ' 0  x x  0  x 0 x 1 BBT −1 y' − 0 + −  + y Vậy hàm số nghịch biến khoảng   ;  1  0;1 , đồng biến khoảng   1;0   1; b) D  \  4 Ta có y '  2  x  4 y '  khoảng  4;  nên y nghịch biến khoảng  4;  y '  khoảng   ;4  nên y đồng biến khoảng   ;4  Bài tốn 1.7: Tìm khoảng đơn điệu hàm số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang a) y  x3 b) y  x2  x 1 1 x Hướng dẫn giải    a) Tập xác định D   ;   Ta có: y '  x2  x2  9 x  6 x  6;   , y ' 0  x 3 BBT: x −3  y' +  6 − −  + y   Vậy hàm số đồng biến khoảng   ;  3 ,  3;   , nghịch biến khoảng  3;  ; 6;3  b) D   ;1 Ta có y '  3 x 1  x  0, x  b) y  x  sin x  0;2  a) y  x  cos x Hướng dẫn giải a) D  Ta có y ' 1  2cos x sin x 1  sin x  y ' 0  sin x 1  x   k , k   Hàm số liên tục đoạn     k  ,   k  1    4       k ;   k  1   nên đồng biến đoạn 4  y'  khoảng     k  ;   k  1   , k    4  Vậy hàm số đồng biến  b) y ' 1  cos x Ta có x  0;2   y ' 0 y ' 0  x 0 x 2 Vì hàm số liên tục đoạn  0;2  nên hàm số đồng biến đoạn  0;2  Bài toán 1.9: Chứng minh hàm số a) y cos x  x  nghịch biến  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang b) y  sin  x  a  sin  x  b   a b  k ; k   đơn điệu khoảng xác định Hướng dẫn giải a) x1 , x2  , x1  x2 Lấy hai số a, b cho a  x1  x2  b Ta có: f '  x    sin x  1 0 với x   a; b  Vì f '  x  0 số hữu hạn điểm khoảng  a; b  nên hàm số f nghịch biến khoảng  a; b   đpcm b) Điều kiện x  b  k y'   k   sin  x  b  cos  x  a   sin  x  a  cos  x  b  sin  b  a   sin  x  b  sin  x  b  Vì y ' liên tục điểm x  b  k , a  b k nên y ' giữ nguyên dấu khoảng xác định  đpcm Bài tốn 1.10: Tìm giá trị tham số để hàm số: a) y  m  3 x   2m  1 cos x nghịch biến  b) y  x3  x  mx  m nghịch biến đoạn có độ dài Hướng dẫn giải a) y ' m    2m  3 sin x Hàm số y không hàm nên y nghịch biến  : y ' 0, x  m    2m  1 sin x 0, x Đặt t sin x,  t 1 m    2m  1 sin x m    2m  1 t  f  t  Điều kiện tương đương: f  t  0, t    1;1  f   1 0    f  1 0  m  0   m   3m  0 b) D , y ' 3x  x  m,  ' 9  3m Xét  ' 0 y ' 0, x : Hàm đồng biến (loại) Xét  '   m  y ' 0 có nghiệm x1 , x2 nên x1  x2  2, x1 x2  m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang BBT: x x1  y' + x2 −  + y Theo đề bài: x2  x1 3   x2  x1  9  x12  x22  x1 x2 9   x2  x1   x1 x2 9   15 m 9  m  (thỏa) Bài tốn 1.11: Tìm cực trị hàm số sau: a) y  x    x  3 b) y  x  x   Hướng dẫn giải a) y ' 2  x    x  3   x    x  3 5 x  x    x  3 Ta có y ' 0  x  x 0 x 3 BBT x −2  y' + 0 − 0 y  + 0  +  −108 Vậy điểm cực đại   2;0  cực tiểu  0;  108  b) Hàm số y  f  x  liên tục  Ta có:   x  x  2 f  x    x  x   x  x 0 Với x  0, f '  x   x  2; f '  x  0  x  Với x  0, f '  x  2 x   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang BBT x −1  y' + 0 y  − + Vậy điểm CĐ   1;1 , CT  0;0  Bài tốn 1.12: Tìm cực trị hàm số x 1 a) y  x 8 b) y  x3 x2  Hướng dẫn giải a) D  Ta có y '  x   x  x  1 x  8   x2  2x  x  8 y ' 0  x  x 2 BBT x −4  y' − y + 0 Hàm số đạt CĐ x 2 , yC Ð  , đạt CT x  4; yCT     3x y'  2 x  6 − 1/4 −1/8 b) Tập xác định D   ;    6;   x4 2 2 x   3x  x    x  x  x   3 x2   x2  6  x2  6 y ' 0  x 0 x 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cập nhật Trang 10