Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 11 PHÉP BIẾN HÌNH KHÔNG GIAN lê hoành phò file word

Chun đề 11: PHÉP BIẾN HÌNH KHƠNG GIAN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phép dời hình khơng gian - Một phép biến hình F khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm bất kỳ: Nếu F biến hai điểm M, N thành hai điểm M ', N ' M ' N ' = MN Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng thành mặt phẳng… - Hợp thành phép dời hình phép dời hình Các phép dời hình không gian v - Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ v phép biến hình biến điểm M thành điểm M' uuuuuv v cho MM ' = v - Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục): Cho đường thẳng d, phép đối xứng qua đường thẳng d phép biến hình biến điểm thuộc d thành biến điểm M không thuộc d thành điểm M' cho mặt phẳng (M,d), d đường trung trực đoạn thẳng MM' - Phép đối xứng qua điểm (phép đối xứng tâm): Cho điển O, phép đối xứng qua điểm O uuuu v uuuuv v phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' cho OM + OM ' = , hay O trung điểm MM' - Phép đối cứng qua mặt phẳng (P) phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M' cho (P) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MM ' - Hai hình H H ' gọi có phép dời hình biến hình thành hình Đối với khối đa diện lồi: Nếu phép dời hình F biến tập đỉnh khối đa diện lồi H thành tập đỉnh khối đa diện lồi H ' F biến H thành H ' Định lý: Hai hình tứ diện ABCD A ' B'C ' D ' chúng có cạnh tương ứng nhau, nghĩa AB = A ' B ', BC = B 'C ', CD = C ' D ', DA = D 'A ', AC = A 'C ', BD = B ' D ' Phép vị tự không gian - Cho số k không đổi khác điểm O cố định Phép biến hình không gian biến uuuuv uuuu v điểm M thành điểm M ' cho OM ' = kOM gọi phép vị tự Điểm O gọi tâm vị tự, số k gọi tỉ số vị tự uuuuuu v uuuu v Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M ', N ' M ' N ' = kMN M ' N ' = k MN Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng - Hình H gọi đồng dạng với hình H ' có phép vị tự biến hình H thành hình H1 mà hình H1 hình H ' CÁC BÀI TỐN Bài tốn 11.1: Cho hình tứ diện ABCD Chứng tỏ phép dời hình biến điểm A,B,C,D thành phải phép đồng Hướng dẫn giải Giả sử phép dời hình f biến điểm A,B,C,D thành điển đó, tức f (A) = A, f (B) = B, f (C) = C, f (D) = D Ta chứng minh f biến điểm M thành M Thật vậy, giả sử M ' = f (M) M ' khác với M Khi phép dời hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm nên AM = AM ', BM = BM ',CM = CM ', DM = DM ', suy bốn điểm A,B,C,D nằm mặt phẳng trung trực đoạn MM ' , điều trái với giả thiết ABCD hình tứ diện Vậy M ' trùng với M f phép đồng Bài tốn 11.2: Cho hai hình tứ diện ABCD A ' B 'C ' D ' có cạnh tương ứng nhau: AB = A ' B ', BC = B 'C ',CD = C 'D ', DA = D 'A ', DB = D 'B', AC = A 'C ' Chứng minh có khơng phép dời hình biến điểm A,B,C,D thành điểm A ' B 'C ' D ' Hướng dẫn giải Giả sử có hai phép dời hình f1 f2 biến điểm A,B,C,D thành điểm A ', B ',C ', D ' Nếu f1 f2 khác có điểm M cho M1 = f1 (M) M = f (M) M1 M2 hai điểm phân biệt Khi f f2 phép dời hình nên A 'M1 = AM A ' M = AM , A 'M1 = A 'M , tương tự B' M1 = B'M , C 'M1 = C 'M , D 'M1 = D ' M , bốn điểm A ', B', C ', D ' nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng M1M2, trái với giả thiết A ', B', C ', D ' hình tứ diện Do với điểm M ta có f1 (M) = f (M), tức hai phép dời hình f1 f2 trùng Vậy có khơng phép dời hình biến điểm A,B,C,D thành điểm A ', B ',C ', D ' Bài toán 11.3: Cho tam giác ABC phép dời hình f biến tam giác ABC thành nó, tức f (A) = A,f (B) = B, f (C) = C Chứng minh f biến điểm M mp(ABC) thành Hướng dẫn giải Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Vì f (A) = A, f (B) = B f (C) = C nên f biến mp(ABC) Bởi M thuộc mp(ABC) f (M) = M ' M ' thuộc mp(ABC) AM = AM ', BM = BM ', CM = CM ' Nếu M ' M phân biệt ba điểm A,B,C thuộc đường thẳng trung trực đoạn thẳng MM ' mp(ABC), trái với giả thiết ABC tam giác Vậy f (M) = M Bài toán 11.4: Cho hai tam giác ABC A ' B 'C ' (AB = A ' B', BC = B 'C ', AC = A 'C ') Chứng minh có hai phép dời hình, phép biến tam giác ABC thành tam giác A ' B'C ' Có phép dời hình biến tam giác ABC thành nó? Hướng dẫn giải Trên đường thẳng a vng góc với mp(ABC) A lấy điểm D khác A, đường thẳng a ' vuông góc với mp(A 'B'C ') A ' có hai điểm phân biệt D D2 cho A 'D1 = A 'D = AD Ta có hình tứ diện ABCD, A 'B 'C 'D1 A ' B 'C 'D có cạnh tương ứng Nếu f phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A ' B'C ' f biến D thành D1 f biến D thành D2 Vậy có hai phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A ' B'C ' Đó phép dời hình f1 biến tứ diện ABCD thành tứ diện A 'B 'C 'D1 phép dời hình f2 biến tứ diện ABCD thành tứ diện A 'B 'C ' D Đây trường hợp riêng hai tam giác ABC A ' B'C ' trùng Vậy ta có hai phép dời hình biến ABCD thành nó: phép đồng phép đối xứng qua mp(ABC) Bài toán 11.5: Chứng minh phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm phép dời hình Hướng dẫn giải v - Nếu phép tịnh tiến theo vectơ v biến hai điểm M,N thành hai điểm M ', N ' uuuuuv uuuuv v uuuu v uuuuuu v MM ' = NN ' = v , suy MN = M ' N ' MN = M ' N ' Vậy phép tịnh tiến phép dời hình - Nếu phép đối xứng tâm O biến hai điểm M,N thành hai điểm M ', N ' uuuuv uuuu v uuuv uuuv OM ' = −OM, ON = −ON uuuuuu v uuuuv uuuuv uuuv uuuu v uuuu v Suy ra: M ' N ' = ON ' − OM ' = −ON + OM = NM Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Do M ' N ' = MN , suy phép đối xứng tâm O phép dời hình Bài toán 11.6: Chứng minh phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng phép dời hình Hướng dẫn giải - Giả sử phép đối cứng qua đường thẳng d biến hai điểm M,N thành hai điểm M ' N ' Gọi H K trung điểm MN ' NN ' , ta có: uuuu v uuuuuu v uuuv uuuu v uuuuuu v MN + M ' N ' = 2HK, MN − M ' N ' uuuv uuuu v uuuuv uuuuv uuuuu v uuuuuv = HN − HM − HM ' + HM ' = N ' N + MM ' uuuuv uuuuuv uuuv Vì hai vectơ MM ' NN ' vng góc với HK nên: uuuu v uuuuuu v uuuu v uuuuuu v uuuv uuuuu v uuuuuv MN + M ' N ' MN − M ' N ' = 2HK N ' N + MM ' = ( )( ) ( ) 2 Suy MN = M ' N ' hay MN = M ' N ' Vậy phép đối cứng qua d phép dời hình - Giả sử phép đối cứng qua mặt phẳng (P) biến M,N thành M ', N ' Nếu M,N thuộc (P) M ' ≡ M, N ' ≡ N nên M ' N ' = MN Nếu có hai điểm M,N khơng nằm (P) qua bốn điểm M,N, M ', N ' có mặt phẳng (Q) ( MM ' NN ' vng góc với (P) nên song song với nhau) Gọi ∆ giao tuyến (P) (Q) mp(Q), phép đối cứng qua đường thẳng ∆ biến hai điểm M,N thành hai điểm M ' N ' nên MN = M ' N ' Bài toán 11.7: Gọi Đ phép đối xứng qua mặt phẳng (P) a đường thẳng Giả sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng a ' Trong trường hợp thì: a) a trùng với a ' b) a song song với a ' c) a cắt a ' d) a a ' chéo nhau? Hướng dẫn giải a) a trùng với a ' a nằm mơ(P) a vng góc với mp(P) b) a song song với a ' a song song với mp(P) c) a cắt a ' cắt mp(P) khơng vng góc với (P) d) a a ' khơng cắt Bài tốn 11.8: Cho hai đường thẳng song song a a ' , hai mặt phẳng (P) (P ') vng góc với a Tìm phép tịnh tiến biến a thành a ' biến (P) thành (P ') Hướng dẫn giải Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Gọi O giao điểm a (P), O ' giao điểm a ' (P) Khi phép tịnh tiến vectơ v uuuuv v = OO ' biến a thành a ' biến (P) thành (P ') Bài toán 11.9: Cho tứ diện ABCD Gọi A1,B1,C1,D1 trọng tâm tam giascc BCD, ACD, ABD, ABC Với điểm M không gian ta gọi M ảnh M qua phép tịnh uuuuv uuuu v tiến AA1 , M ảnh M1 qua phép tịnh tiến theo BB1 , M3 ảnh M2 qua phép tịnh tiến uuuu v uuuuv theo CC1 , M4 ảnh M3 qua phép tịnh tiến theo DD1 Chứng minh M trùng với M4 Hướng dẫn giải Ta có M4 ảnh M qua phép tịnh tiến lien tiếp Hợp thành phép tịnh tiến phép tịnh tiến theo vectơ v uuuuv uuuu v uuuu v uuuuv v = AA1 + BB1 + CC1 + DD1 Gọi G trọng tâm tứ diện, theo tính chất trọng tâm : v uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv v v = − GA − GB − GC − GD = − GA + GB + GC + GD = 3 3 ( ) Do M trùng với M4 Bài toán 11.10: Chứng minh phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song trùng với mặt phẳng Hướng dẫn giải - Giải sử phép vị tự V tỉ số k biến đường thẳng a thành đường thẳng a ' Lấy hai điểm phân biệt M,N nằm a ảnh chúng điểm M ', N ' nằm a ' Theo tính chất phép vị uuuuuu v uuuu v tự M ' N ' = kMN Do hai đường thẳng a a ' song song trùng - Giả sử phép vị tự V biến mp ( α ) thành mp ( α ' ) Lấy ( α ) hai đường thẳng cắt a b ảnh chúng qua V hai đường thẳng a ' b ' nằm ( α ') song song trùng với a b Từ suy hai mặt phẳng ( α ) ( α ') song song trùng Bài tốn 11.11: Cho hai hình tứ diện ABCD A ' B 'C ' D ' có cạnh tương ứng song song: AB// A 'B', AC // A 'C ', AD // A 'D ',CB // C ' B', BD // B 'D ', DC // D 'C ' Chứng minh có phép tịnh tiến phép vị tự biến tứ diện thành tứ diện Hướng dẫn giải uuuv uuuuuv Vì AB// A 'B ' nên có số k ≠ cho AB = KA 'B ' Ta chứng minh ta có uuuv uuuuu v uuuv uuuuuv uuu v uuuuu v uuuv uuuuu v uuuv uuuuuu v AC = kA 'C ', AD = kA 'D ', CB = kC ' B', BD = kB' D ', DC = kD 'C ' Thật vậy, xem xét tam giác ABC A 'B 'C ' có cạnh tương ứng song song nên ta phải có số n m cho Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải uuuv uuuuu v AC = nA 'C ' uuu v uuuuu v CB = mC ' B' Khi đó: uuuv uuuuuv uuuv uuuv uuuuuv uuuuu v AB = kA 'B' ⇔ AC − BC = k A 'C ' − B'C ' uuuuuv uuuv uuuuuv uuuuu v uuuuuv uuuuu v ⇔ nA 'C ' − BC = k A 'C ' − B 'C ' ⇔ ( n − k ) A 'C ' = ( m − k ) B'C ' ( ( ) ) uuuuu v uuuuu v Vì hai vectơ A 'C ' B'C ' không phương nên đẳng thức xảy uuuv uuuuu v uuu v uuuuu v n − k = m − k = , tức n = m , AC = kA 'C ' BC = kB 'C ' Các đẳng thức lại chứng minh tương tự Xét trường hợp k = uuuv uuuuu v uuu v uuuuu v uuuuv uuuu v uuuu v Khi AB = A ' B', BC = B'C ', nên AA ' = BB' = CC ' = v uuuuv Suy phép tịnh tiến theo vectơ v = AA ' biến tứ diện ABCD thành tứ diện A ' B 'C ' D ' Nếu k≠1 hai đường thẳng AA ' BB ' cắt điểm O Khi phép vị tự V tâm O tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A ' B 'C ' D ' Bài toán 11.12: Chứng minh hợp thành phép tịnh tiến phép tịnh tiến Hướng dẫn giải uu v uu v Giả sử T1 T2 phép tịnh tiến theo vectơ v1 v Nếu T1 biến điểm M thành điểm M1 T2 biến điểm M1 thành M2 hợp thành T2 o T1 biến điểm M thành điểm M2 uuuuuv uu v uuuuuuv uu v uuuuuv uuuuuv uu v uu v Vì MM1 = v1 M1M = v nên MM = MM1 = v1 + v uu v uu v Vậy T2 o T1 phép tịnh tiến vectơ v1 + v Tổng quát : Hợp thành n phép tịnh tiến cho phép tịnh tiến có vectơ tịnh tiến tổng vectơ phép tịnh tiến cho Bài toán 11.13 : Cho phép dời hình j thoả mãn điều kiện phép hợp thành f f ' phép đồng : f o f = e, biết có điểm I cho f biến I thành Chứng minh f phép đối xứng tâm Hướng dẫn giải Với điểm M khác I, ta gọi M ' ảnh M qua f, M M ' khơng trùng Vì f o f = e nên f biến M ' thành M, f biến đoạn thẳng MM ' thành đoạn thẳng M 'M Từ suy f biến trung điểm đoạn thẳng MM ' thành vậy, theo giả thiết trung điểm MM ' phải điểm I Vậy f phép đối xứng qua tâm I Bài toán 11.14 :Chứng minh : a) Hợp thành số chẵn phép đối xứng tâm phép tịnh tiến b) Hợp thành số lẻ phép đối xứng tâm phép đối xứng tâm Hướng dẫn giải Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Giải sử Đ1 Đ2 phép đối xứng tâm có tâm O O2 Gọi M điểm bất kỳ, M1 = Đ1(M) M ' = Đ2(M1) phép hợp thành Đ1 o Đ2 biến M thành M ' uuuuuv uuuuuv uuuuuu v uuuuuv uuuuuu v Ta có : MM ' = MM1 + M1M ' = 2O1M1 + 2M1O v uuuuuv Suy Đ1 o Đ2 phép tịnh tiến theo vectơ v = 2O1O Vì hợp thành hai phép đối xứng tâm hợp thành n phép tịnh tiến phép tịnh tiến uuuuuu v v b) Với điểm M ta lấy M1 đối xứng với M qua O, lấy M ' cho M1M ' = v Khi hợp thành TvvoĐ o v uuv v biến M thành M ' Nếu gọi I trung điểm MM ' OI = Vậy điểm I cố định Suy TvvoĐ o phép đối xứng qua I v uuu v v Tương tự ĐO o TVuuv phép đối xứng qua điểm I ' mà OI ' = − Hợp thành 2n + phép đối xứng tâm hợp thành phép tịnh tiến phép đối xứng tâm nên phép đối xứng tâm Bài toán 11.15 : Chứng minh a) Hợp thành hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song phép tịnh tiến b) Hợp thành phép đối xứng trục phép tịnh tiến theo vectơ vng góc với trục đối xứng phép đối xứng trục Hướng dẫn giải a) Giả sử Đa Đb phép đối xứng trục có trục đường thẳng a b song song với Lấy hai điểm I J nằm a b cho IJ ⊥ a Với điểm M bất kỳ, ta gọi M1 = Đa(M) M ' = Đb(M1) phép hợp thành Đb o Đa biếm M thành M ' Nếu gọi H trung điểm MM ' K trung điểm M1M ' : uuuuuv uuuuuv uuuuuu v uuuuu v uuuv uv MM ' = MM1 + M1M ' = 2HM1 + 2HK = 2IJ Vậy hợp thành Đb o Đa phép tịnh tiến theo vectơ v uv v = 2IJ v v b) Giả sử Da phép đối xứng qua đường thẳng a, T phép tịnh tiến theo vectơ phép v v tịnh tiến Tvv hợp thành hai phép đối xứng Đ b Đa qua đường thẳng a b : Tvv = Đb o Đa Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bởi TvvoĐ a = Đ bo Đ ao Đ a = Đb oe = Đb v v Gọi b ' ảnh a qua phép tịnh tiến theo vectơ − phép tịnh tiến Tvv hợp thành hai phép đối xứng Đb’ Đa qua đường thẳng b ' a : Tvv = Đa o Đb ' Do : Đa oTvv = Đa o Đa o Đb ' = e o Đb ' = Đb ' Bài toán 11.16 : Chứng minh : a) Hợp thành hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) (Q) phép tịnh tiến b) Hợp thành hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với phép đối xứng qua đường thẳng Hướng dẫn giải a) Lấy hai điểm A B nằm (P) (Q) cho AB ⊥ (P) Với điểm M bất kì, ta gọi M1 điểm đối xứng với M qua mp(P) M ' điểm đối xứng với M1 qua mp(Q) Gọi H K trung điểm MM1 M1M ' ta có : uuuuuv uuuuuv uuuuuu v uuuuu v uuuuu v uuuv uuuv MM ' = MM1 + M1M ' = HM1 + M1K = 2HK = 2AB ( ) uuuv Vậy phép hợp thành phép tịnh tiến theo vectơ 2AB b) Gọi d giao tuyến (P) (Q) Với điểm M bất kỳ, ta gọi M 1là điểm đối xứng với m qua mp(P) M ' điểm đối xứng M1 qua mp(Q) Nếu M nằm (P) (Q) thấy M ' điểm đối xứng M qua d Nếu M nằm (P) (Q) ba điểm M,M M ' xác định mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q), vng góc với d Gọi giao tuyến (R) với (P) (Q) p,q, O giao điểm p q Xét mặt phẳng (R) điểm M ' ảnh điểm M qua hợp thành phép đối xứng qua đường thẳng p phép đối xứng qua đường thẳng q Suy O trung điểm MM ' Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Mặt khác MM ' ⊥ d nên phép hợp thành phép đối xứng qua đường thẳng d Bài toán 11.17 : Cho mặt phẳng (P) cho phép dời hình f có tính chất : f biến điểm M thành điểm M M nằm (P) Chứng tỏ f phép đối xứng qua mặt phẳng (P) Hướng dẫ giải Phép dời hình f biến điển M nằm (P) thành M Với điểm A không nằm (P) ta gọi a đường thẳng qua A vng góc với (P) Nếu H giao điểm a (P), f (H) = H nên f biến a thành đường thẳng qua H vng góc với (P), f (a) = a Từ suy điểm A biến thành điểm A ' nằm a, A ' khác với A HA = HA ' Vậy (P) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AA ' Suy f phép đối xứng qua mp(P) Bài toán 11.18 : Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k ≠ phép vị tự V ' tâm O ' tỉ số k ' Chứng minh kk ' = phép hợp thành V 'oV phép tịnh tiến Hướng dẫn giải Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số k, V ' phép vị tự tâm O ' tỉ số k ' Với điểm M ta lấy M1 uuuuu v uuuu v cho OM1 = kOM lấy điểm M ' uuuuuv uuuuuu v uuuuu v uuuu v uuuuuu v   uuuuu v uuuuuv Ta có : MM ' = MM1 + M1M ' = OM1 − OM − O ' M1 = 1 − ÷OM1 + ( + k ' ) M1O '  k Vì kk ' = nên k ' = đẳng thức trở thành : k uuuuuv   uuuuu v uuuuuv k − uuuuv MM ' = 1 − ÷ OM1 + M1O ' = OO ' k  k ( ) v k − uuuuv OO ' Từ suy V 'oV phép tịnh tiến theo vectơ v = k Bài toán 11.19 : Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k phép vị tự V ' tâm O ' tỉ số k ' với kk ' ≠ Gọi F = V 'oV Chứng minh : a) Có điểm I cho F(I) = I b) F phép vị tự tâm I tỉ số kk ' Hướng dẫn giải Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Giả sử F ( I ) = I Điều xảy V biến I thành I V’ biến I1 thành I, uuur uur uuuu r uuuur tức là: OI1 = kOI O ' I = k ' O ' I1 hay: uur uuuur uuur uuuur uur uuuur OI − OO ' = k ' OI1 − OO ' = k ' kOI − OO ' ( ) ( ) uuuur uur uuuur uur ( − k ) OO ' ⇔ ( − kk ') OI = ( − k ' ) OO ' ⇔ OI = − kk ' Vậy điểm I xác định với kk ' ≠ b) Với điểm M bất kì, gọi M1 ảnh M qua phép vị tự V, M’ ảnh M1 qua phép vị tự uuuur uuuu r uuuuuu r uuuuuu r V’, F biến M thành M’ Khi ta có OM = kOM O ' M ' = k ' O ' M Từ ta có: uuuu r uuuuuu r uuuu r uuuuuu r uuuu r IM ' = O ' M ' − O ' I = k ' O ' M − O ' I uuuur uuuur uuuu r uuuu r uuuur uuuu r = k ' OM − OO ' − O ' I = k ' kOM − OO ' − O ' I ( ) ( ) uuuu r uuuur uuuu r uur uuur uuuur uuuu r = kk ' OM − k ' OO ' − O ' I = kk ' OI + IM − k ' OO ' − O ' I ( ) uuur uur uuuur uur uuuur uuur = kk ' IM + kk ' OI − k ' OO ' − OI + OO ' = kk ' IM Vậy F phép vị tự tâm I tỉ số kk’ r Bài toán 11.20: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k ≠ phép tịnh tiến T theo vectơ v Đặt F = T oV F ' = V oT Chứng minh rằng: a) Có điểm I cho F ( I ) = I điểm I cho F ' ( I ') = I ' b) F phép vị tự tâm I tỉ số k, F’ phép vị tự tâm I’ tỉ số k Hướng dẫn giải a) Giả sử F ( I ) = I Điều xảy V biến I thành I1 T biến I1 thành I, tức r uuur uur uur r uur uuur r uur uur uur r v là: OI1 = kOI I1 I = v từ suy ra: OI − OI1 = v hay OI = kOI = v , OI = 1− k Vậy điểm I xác định nhất, với k ≠ Giả sử F ( I ') = I ' Điều xảy T biến I’ thành I '1 V biến I '1 thành I’, uuuuu r r uuur uuuur tức là: I ' I '1 = v OI ' = kOI '1 r uuur uuur uuuuu r uuur uuuuu r r uuur kv Từ suy : OI ' = k OI ' + I ' I '1 hay ( − k ) OI ' = k I ' I '1 = kv , OI ' = 1− k ( ) Vậy điểm I’ xác định nhất, với k ≠ Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải uuuur uuuu r b) Với điểm M ta lấy điểm M1 cho OM = kOM , lấy điểm M’ cho uuuuuur r M 1M ' = v Khi phép hợp thành F = T oV biến M thành M’ Ta xác định điểm O’ cho r uuuur v O’ điểm cố định khơng phụ thuộc M có: OO ' = 1− k uuuu r uur uuuur uuuuuur uur uuuu r r uur uuur uur r IM ' = IO + OM + M 1M ' = IO + kOM + v = IO + k IM − IO + v uur r uuur uuur = ( − k ) IO + v + k IM = k IM ( ) Suy F = T oV phép vị tự tâm I tỉ k Chứng minh tương tự F ' = V oT phép vị tự tâm I’ tỉ k Bài tốn 11.21: Chứng minh hình tứ diện khơng thể có tâm đối xứng, tổng qt hình chóp khơng có tâm đối xứng Hướng dẫn giải Trước hết ta thấy hình chóp có tâm đối xứng O, số mặt chẵn Thật M điểm thuộc mặt hình chóp, điểm M’ đối xứng với M phải thuộc mặt hình chóp (vì phép đối xứng biến mặt thành mặt, cạnh thành cạnh đỉnh thành đỉnh) Điều chứng tỏ cặp mặt hình chóp ứng với đoạn thẳng MM’ Vì số đoạn nguyên, nên số mặt chẵn Vậy đáy hình chóp có tâm đối xứng đa giác với số lẻ cạnh nên O không thuộc mặt phẳng đáy không thuộc mặt bên Gọi (T) thiết diện hình chóp qua O song song với đáy ((T) tồn phép đối xứng qua O biến đỉnh hình chóp thành điểm thuộc đáy chóp), (T) đa giác có tâm đối xứng lại có số lẻ cạnh (vì cạnh (T) nằm mặt xung quanh hình chóp) Mâu thuẫn chứng minh toán, suy cho tứ diện Bài toán 11.22: Tìm mặt phẳng đối xứng hình sau đây: a) Hình chóp tứ giác b) Hình chóp cụt tam giác c) Hình hộp chữ nhật mà khơng có mặt hình vng Hướng dẫn giải a) Hình chóp tứ giác S.ABCD có mặt phẳng đối xứng: mp(SAC), mp(SBD), mặt phẳng trung trực AB (đồng thời CD) mặt phẳng trung trực AD (đồng thời BC) b) Hình chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’ có ba mặt phẳng đối xứng, ba mặt phẳng trung trực ba cạnh AB, BC, CA c) Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (mà khơng có mặt hình vng) có ba mặt phẳng đối xứng, ba mặt phẳng trung trực ba cạnh AB, AD, AA’ Trang 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 11.23: a) Tìm trục đối xứng hình tứ diện ABCD b) Tìm tất mặt phẳng đối xứng hình tứ diện ABCD Hướng dẫn giải a) Giả sử d trục đối xứng tứ diện ABCD, tức ghép đối xứng qua đường thẳng d biến đỉnh tứ diện thành đỉnh tứ diện Trước hết ta nhận thấy trục đối xứng d đường thẳng qua hai đỉnh hình tứ diện, hiển nhiên phép đối xứng qua đường thẳng d khơng biến hình tứ diện thành Bây ta chứng tỏ trục đối xứng d không đỉnh tứ diện Thật vậy, d qua A B khơng thể nằm d nên B biến thành C D Nếu B biến thành C C biến thành B nên D biến thành D d qua A D, vơ lí Nếu B biến thành D D biến thành B C biến thành C d qua A C, vơ lí Vậy phép đối xứng Đ qua đường thẳng d biến điểm A thành ba điểm B, C D Do tứ diện có trục đối xứng đường thẳng qua trung điểm cạnh đối diện (đường trung bình) b) Giả sử α mặt phẳng đối xứng tứ diện ABCD, tức phép đối xứng Đ α biến tập hợp {A, B, C, D} thành Vì Đ α khơng thể biến đỉnh thành (vì Đ α phép đồng nhất) nên phải có đỉnh, A chẳng hạn, biến thành đỉnh khác, B chẳng hạn Khi α mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB (hiển nhiên α qua C D) Vậy tứ diện ABCD có mặt phẳng đối xứng, mặt phẳng trung trực cạnh Trang 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 11.24: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm a) Tâm đối xứng b) Mặt đối xứng c) Trục đối xứng Hướng dẫn giải a) Tâm đối xứng O giao điểm đường chéo AC’, BD’ CA’ DB’ b) Gọi α mặt đối xứng hình lập phương phép đối xứng qua α biến hình vng ABCD thành nó, thành hình vng chung cạnh thành hình vng A’B’C’D’ Từ hình lập phương có mặt phẳng đối xứng mặt phẳng trung trực cạnh mặt phẳng chứa hai cạnh đối c) trục đối xứng gồm trục mặt đường thẳng qua trung điểm hai cạnh đối Bài tốn 11.25: Cho hình bát diện Tìm: a) Tâm đối xứng b) Mặt đối xứng c) Trục đối xứng Hướng dẫn giải a) Hình bát diện ABCDEF có tâm đối xứng O giao điểm đường chéo AC, BD EF b) Hình bát diện ABCDEF có tất mặt phẳng đối xứng: ba mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) mặt phẳng, mặt phẳng mặt phẳng trung trực hai cạnh song song (chẳng hạn AB CD) c) Hình bát diện ABCDEF có trục đối xứng: ba trục mặt (ABCD), (BEDF), (AECF) đường thẳng qua trung điểm cạnh song song Bài tốn 11.26: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh: a) Các hình chóp A.A’B’C’D’ C’.ABCD b) Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ AA’D’.BB’C’ Hướng dẫn giải a) Gọi O tâm hình lập phương Vì phép đối xứng tâm O biến đỉnh hình chóp A.A’B’C’D’ thành đỉnh hình chóp C’ABCD Vậy hai hình chóp b) Phép đối xứng qua mp(ADC’B’) biến đỉnh hình lăng trụ ABC.A’B’C’ thành đỉnh hình lăng trụ AA’D’.BB’C’ nên hai hình lăng trụ Bài tốn 11.27: Chứng minh hình lập phương có cạnh Hướng dẫn giải Giả sử ABCD.A’B’C’D’ MNPQ.M’N’P’Q’ hai hình lập phương có cạnh a Hai tứ diện ABDA’ MNQM’ có cạnh tương ứng nên nhau, tức có phép dời Trang 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải hình F biến điểm A, B, D, A’ thành M, N, Q, M’ Vì F phép dời hình nên F biến hình vng thành hình vng, F biến điểm C thành điểm P, biến điểm B’ thành N’ biến điểm D’ thành Q’ biến điểm C’ thành P’ Vậy hai hình lập phương cho Bài toán 11.28: Cho hai tứ diện ABCD A’B’C’D’ có cạnh tương ứng tỉ lệ: A ' B ' B 'C ' C ' D ' D ' A ' A 'C ' B ' D ' = = = = = = k Chứng minh hai tứ diện đồng dạng AB BC CD DA AC BD Hướng dẫn giải Xét phép vị tự V tâm O có tỉ k Gọi A1 B1C1 D1 ảnh ABCD qua V Ta có: A1 B1 = kAB, B1C1 = kBC , C1D1 = kCD, D1 A1 = kDA , A1C1 = kAC , B1 D1 = kBD Theo giả thiết A1 B1 = A ' B ', B1C1 = B ' C ', C1D1 = C ' D ', D1 A1 = D ' A ', A1C1 = A ' C ', B1D1 = B ' D ' , hai tứ diện A1 B1C1 D1 A’B’C’D’ Vậy hai tứ diện ABCD A’B’C’D’ đồng dạng Bài toán 11.29: Chứng minh hai hình lập phương đồng dạng với Hướng dẫn giải Giả sử hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a hình lập phương MNPQ.M’N’P’Q’ cạnh b Xét phép vị tự V tâm O tỉ k = b Khi ảnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a cạnh a thành hình lập phương EFGH.E’F’G’H’ có cạnh ka = b Do hai hình lập phương EFGH.E’F’G’H’ MNPQ.M’N’P’Q’ có cạnh b nên Vậy hai hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ MNPQ.M’N’P’Q’ đồng dạng Bài toán 11.30: Cho hình tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh hai tứ diện ABCD A’B’C’D’ đồng dạng Suy ABCD tứ diện A’B’C’D’ tứ diện Hướng dẫn giải Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD uuur r uuuu r r uuu uuur uuuu uuur uuuur uuur Ta có: GA ' = − GA, GB ' = − GB ; GC ' = − GC , GD ' = − GD 3 3 Suy phép vị tự tâm G, tỉ số k = − biến điểm A, B, C, D thành điểm A’, B’, C’, D’ Vậy V biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ nên tứ diện đồng dạng Trang 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 11.31: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S) bán kính R = AB , điểm M thay uuuu r uuuur uuuuur uuur đổi mặt cầu Gọi C’, D’, M’ điểm cho: CC ' = DD ' = MM ' = AB Chứng minh BC’D’M’ hình tứ diện tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nằm (S) Hướng dẫn giải r uuu r Phép tịnh tiến T theo vectơ v = AB biến A thành B, C thành C’, D thành D’ M thành M’, tức biến tứ diện ACDM thành tứ diện BC’D’M’ Do T biến tâm O mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ACDM thành tâm O’ mặt cầu ngoại uuuur r uuur tiếp tứ diện BC’D’M’, tức OO ' = v = AB Vì OO ' = AB = R nên điểm O’ nằm mặt cầu (S) Bài toán 11.32: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD Gọi O trung điểm đoạn MN Chứng minh với điểm K nằm tứ diện ta có: KA + KB + KC + KD ≥ OA + OB + OC + OD Hướng dẫn giải Ta có MN trục đối xứng tứ diện ABCD Gọi K’ điểm đối xứng với K qua MN, H giao KK’ MN Ta có: KA + KB = AK + AK ' > AH KC + KD = CK + CK ' > 2CH Ta chứng minh AH + CH > OA + OC Xét mặt phẳng (MCD), điểm A’ cho tia MA’ vng góc với MN, ngược chiều với tia NC độ dài MA ' = MA Ta có HA ' = HA nên HA + HC = HA '+ HC > A ' C Vì A’C qua O nên A ' C = OC + OA ' = OC+ OA Vậy KA + KB + KC + KD ≥ OA + OB + OC + OD Bài toán 11.33: Cho tứ diện ABCD phép dời hình f biến ABCD thành nó, nghĩa biến đỉnh tứ diện thành đỉnh tứ diện Tìm tập hợp điểm M không gian cho M = f ( M ) trường hợp sau đây: a) f ( A ) = B, f ( B ) = C , f ( C ) = A b) f ( A ) = B, f ( B ) = A, f ( C ) = D c) f ( A ) = B, f ( B ) = C , f ( C ) = D Hướng dẫn giải Trang 15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Theo giả thiết f ( A ) = B f ( B ) = C , f ( C ) = A Do f ( M ) = M MA = MB = MC Suy tập hợp điểm M trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Theo giả thiết f ( A ) = B, f ( B ) = A, f ( C ) = D Do f ( M ) = M MA = MB MC = MD , tức M đồng thời nằm mặt phẳng trung trực AB CD Suy tập hợp điểm M đường thẳng qua trung điểm AB CD c) Theo giả thiết f ( A ) = B, f ( B ) = C , f ( C ) = D Do f ( M ) = M MA = MB = MC = MD Suy tập hợp điểm M gồm điểm trọng tâm tứ diện ABCD Bài toán 11.34: Cho mặt phẳng (P) tứ diện ABCD Với điểm M thuộc (P) ta xác định uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r điểm N theo công thức: MA + MB + MC + MD = 2MN Tìm tập hợp N, M di động (P) Hướng dẫn giải Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD G cố định uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r Ta có MA + MB + MC + MD = 2MN uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur ⇔ 4MG = 2MN ⇔ MG = GN ⇔ GM = −GN Do N ảnh M qua phép đối xứng tâm G Vậy tập hợp N mặt phẳng đối xứng với (P) qua G Bài tốn 11.35: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy tam giác cân ABC ( AB = AC ) Trên cạnh AC A’B’ ta lấy điểm tương ứng M M’ cho AM = A ' M ' Tìm tập hợp trung điểm đoạn MM’ Hướng dẫn giải Gọi I, J trung điểm cạnh bên AA’ giao đường chéo hình chữ nhật BCC’B’ Ta có IJ trục đối xứng hai đoạn AC A’B’, M M’ đối xứng với IJ Vậy tập hợp trung điểm MM’ thuộc đoạn IJ Bài toán 11.36: Cho tứ diện ABCD Điểm M lưu động tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ thuộc mặt (BCD), (CAD), (ABD) cho MA’ // AD, MB’ // BD, MC’ // CD Tìm tập hợp trọng tâm tam giác A’B’C’ Hướng dẫn giải uuuu r uuuu r uuuur uuuur Ta chứng minh: DA ' + DB ' + DC ' = DM Vì G trọng tâm tam giác A’B’C’ nên: uuuu r uuuu r uuuur uuur DA ' + DB ' + DC ' = 3DG uuur uuuur uuur uuuur Do đó: 3DG = DM nên DG = DM Trang 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Phép vị tự tâm D tỉ số k = biến M thành G nên tập hợp điểm G ảnh tam giác ABC qua phép vị tự BÀI LUỆN TẬP Bài tập 11.1: Cho tứ diện ABCD có cạnh đối Gọi M, N trung điểm AB CD Gọi A’, B’ hình chiếu A, B lên CD C’, D’ hình chiếu C, D lên AB Chứng minh đoạn A ' C ' = B ' D ' A ' D ' = B ' C ' Hướng dẫn Dùng phép đối xứng trục Bài tập 11.2: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) qua đường thẳng d Với điểm M thuộc (R), gọi M’ ảnh M qua phép đối xứng mặt phẳng (P), gọi M” ảnh M’ qua phép đối xứng mặt phẳng (Q) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MM” Hướng dẫn Dùng tính chất phép phép đối xứng qua mặt phẳng Kết quả: mặt phân giác Bài tập 11.3: Cho điểm I nằm đường thẳng d, đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) Chứng minh phép dời hình f biến (P) thành (P), d thành d có điểm bất động I phép đối xứng tâm I Hướng dẫn Dùng định nghĩa phép dời hình Bài tập 11.4: Cho hai đường thẳng chéo a b, a’ b’ có góc khoảng cách cặp đường thẳng chéo nhau Chứng minh có phép dời hình biến đường thẳng a thành a’ đường thẳng b thành b’ Hướng dẫn Gọi đoạn vng góc chung AB A’B’, từ dựng tứ diện hai đường thẳng chéo cho có cạnh tương ứng Bài tập 11.5: Cho tứ diện ABCD có diện tích hai tam giác ACD BCD, ABC ABD Chứng minh tứ diện ABCD có trục đối xứng Hướng dẫn Hai tam giác đáy có diện tích chiều cao tương ứng Kết quả: trục đối xứng qua trung điểm AB CD Bài tập 11.6: a) Dựng điểm A, B, C, D không gian cho biết trung điểm đoạn AB, BC, CD, DA I, J, K, L Trang 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) Dựng điểm A, B, C, D, E không gian cho biết trung điểm đoạn AB, BC, CD, DE, EA I, J, K, L, M Hướng dẫn a) Lý luận IJKL hình bình hành b) Dùng hợp thành phép đối xứng tâm phép đối xứng tâm Bài 11.7: Cho mặt cầu S ( O; R ) S ( O '; R ') Tìm phép vị tự biến mặt cầu thành mặt cầu Hướng dẫn Dùng đường nối tâm đường thẳng qua mút vectơ bán kính hướng ngược hướng Kết có phép vị tự Bài 11.8: Cho tứ diện ABCD Chứng minh: a) Bán kính mặt cầu qua trọng tâm mặt khơng nhỏ bán kính mặt cầu nội tiếp b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khơng nhỏ lần bán kính mặt cầu nội tiếp Hướng dẫn a) Dùng phép vị tự tâm hay so sánh cách vẽ mặt song song với tiếp diện b) Dùng phép vị tự tâm G trọng tâm tứ diện tỉ k = − Bài tập 11.9: Cho tia Ox, Oy, Oz điểm M Tìm điểm A, B, C tia để M trọng tâm tam giác ABC Hướng dẫn Tìm giao điểm mặt Oxy, Oyz, Ozx với đường thẳng qua M song song với Oz, Ox,Oy Dùng phép vị tự tâm O tỉ k = Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... Vậy ta có hai phép dời hình biến ABCD thành nó: phép đồng phép đối xứng qua mp(ABC) Bài toán 11. 5: Chứng minh phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm phép dời hình Hướng dẫn giải v - Nếu phép tịnh tiến... – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Do M ' N ' = MN , suy phép đối xứng tâm O phép dời hình Bài tốn 11. 6: Chứng minh phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng phép dời hình Hướng... Vì F phép dời hình nên F biến hình vng thành hình vng, F biến điểm C thành điểm P, biến điểm B’ thành N’ biến điểm D’ thành Q’ biến điểm C’ thành P’ Vậy hai hình lập phương cho Bài tốn 11. 28: