Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 2 KHẢO sát và vẽ đồ THỊ hàm số lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Tính lồi lõm đồ thị: Hàm số f xác định K khoảng, đoạn nửa khoảng f gọi lõm K ∀α , β , α + β = 1: f ( α x + β y ) ≤ α f ( x ) + β f ( y ) , ∀x, y ≥ f gọi lồi K ∀α , β , α + β = 1: f ( α x + β y ) ≥ α f ( x ) + β f ( y ) , ∀x, y ≥ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đạo hàm cấp K f lõm K ⇔ f '' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K f lồi K ⇔ f '' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K Điểm uốn đồ thị: ( Điểm U x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm uốn đường cong ( C ) : y = f ( x ) tồn khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 cho khoảng ( a; x0 ) , ( x0 ; b ) tiếp tuyến điểm U nằm phía đồ thị cịn khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 Nếu f '' ( x0 ) = f '' ( x ) ( đổi dấu x qua điểm x0 U x0 ; f ( x0 ) ) điểm uốn đường cong ( C ) : y = f ( x ) Chú ý: 1) Nếu y = p ( x ) y ''+ r ( x ) tung độ điểm uốn x0 y0 = r ( x0 ) { 2) Nếu f lồi đoạn [ a; b ] GTLN = max f ( a ) ; f ( b ) { } 3) Nếu f lõm đoạn [ a; b ] GTNN = f ( a ) ; f ( b ) } Khảo sát vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm bước: Bước 1: Tập xác định - Tập xác định D = ¡ Trang - Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Sự biến thiên - Tính giới hạn - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để điểm uốn hàm đa thức - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đồ thị Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d , a ≠ có tâm đối xứng điểm uốn Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương: y = ax + bx + c, a ≠ Đường tiệm cận - Đường thẳng x = x0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = +∞; lim− f ( x ) = −∞; lim+ f ( x ) = −∞ x → x0− x → x0 x → x0 x → x0 f ( x ) = y0 - Đường thẳng y = y0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) xlim →+∞ lim f ( x ) = y0 x →−∞ - Đường thẳng y = ax + b, a ≠ gọi tiệm cận xiên đồ thị y = f ( x) lim  f ( x ) − ( ax + b )  = lim  f ( x ) − ( ax + b )  = x →−∞ x →+∞ Chú ý: r ( x ) = tiệm cận xiên: y = ax + b 1) Nếu chia tách y = f ( x ) = ax + b + r ( x ) xlim →±∞ 2) Biểu thức tiệm cận x → ±∞ : x + bx + c ≈ x + b Khảo sát vẽ đồ thị hàm hữu tỉ: gồm bước: Trang Bước 1: Tập xác định - Tìm tập xác định - Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Chiều biến thiên - Tính giới hạn, tìm tiệm cận - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đồ thị, lưu ý tâm đối xứng giao điểm tiệm cận Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: y = Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ: y = ax + b với c ≠ 0, ad − bc ≠ cx + d ax + bx + c a'x + b' ( a ≠ 0, a ' ≠ ) Chú ý: 1) Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) suy đồ thị: y = − f ( x ) cách lấy đối xứng qua trục hoành y = f ( − x ) cách lấy đối xứng qua trục tung y = − f ( − x ) cách lấy đối xứng qua gốc y = f ( x ) cách lấy phần đồ thị phía trục hồnh, cịn phần phía trục hồnh đối xứng qua trục hoành y = f ( x ) hàm số chẵn, cách lấy phần đồ thị phía bên phải trục tung, lấy đối xứng phần qua trục tung Trang 2) Bài toán biện luận số nghiệm phương trình dạng g ( x, m ) = Đưa phương trình dạng f ( x ) = h ( m ) vế trái hàm số xét, vẽ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) Số nghiệm số giao điểm đồ thị ( C ) với đường thẳng y = h ( m ) 3) Điểm đặc biệt họ đồ thị: ( Cm ) : y = f ( x, m ) - Điểm cố định họ điểm mà đồ thị qua: M ( x0 ; y0 ) ∈ ( Cm ) , ∀m ⇔ y0 = f ( x0 , m ) , ∀m - Điểm mà họ không qua điểm mà khơng có đồ thị họ qua với tham số: M ( x0 ; y0 ) ∉ ( Cm ) , ∀m ⇔ y0 ≠ f ( x0 , m ) ∀m Nhóm theo tham số áp dụng mệnh đề sau: Am + B = 0, ∀m ⇔ A = 0, B = Am + Bm + C = 0, ∀m ⇔ A = 0, B = 0, C = Am + B ≠ 0, ∀m ⇔ A = 0, B ≠ Am + Bm + C ≠ 0, ∀m ⇔ A = 0, B = 0, C ≠ A ≠ 0, ∆ = B − AC < CÁC BÀI TỐN Bài tốn 2.1: Tìm điểm uốn khoảng lồi lõm đồ thị: a) y = x − x + x + b) y = x + x + Hướng dẫn giải a) D = ¡ Ta có y ' = x − x + 1, y '' = x − 2 y '' = ⇔ x = ; y '' > ⇔ x > ; y '' < ⇔ x < 3  29  ÷, hàm số lồi khoảng  37  Vậy điểm uốn I  ; 2   −∞; ÷ lõm khoảng 3  2   ; +∞ ÷ 3  b) D = ¡ Ta có y ' = x3 + 16 x, y '' = 12 x + 16 > 0∀x Vậy đồ thị khơng có điểm uốn hàm số lõm ¡ Bài tốn 2.2: Tìm điểm uốn khoảng lồi lõm đồ thị: a) y = x2 − 2x + x +1 b) y = 2x + x−5 Hướng dẫn giải Trang a) D = ¡ \ { −1} Ta có y = Nên y ' = − ( x + 1) x2 − 2x + = x −3+ x +1 x +1 , y '' = 12 ( x + 1) ≠ 0, ∀x ≠ −1 y '' > ⇔ x > −1; y '' < ⇔ x < −1 Vậy đồ thị khơng có điểm uốn, hàm số lồi khoảng ( −∞; −1) lõm khoảng ( −1; +∞ ) b) D = ¡ \ { 5} Ta có y ' = −11 ( x − 5) , y '' = 22 ( x − 5) ≠ 0, ∀x ≠ y '' > ⇔ x > 5; y '' < ⇔ x < Vậy đồ thị khơng có điểm uốn, hàm số lồi khoảng ( −∞;5 ) lõm khoảng ( 5;+∞ ) Bài toán 2.3: Chứng minh với a, đồ thị hàm số y = x+a ln có ba điểm uốn thẳng hàng x + x +1 Hướng dẫn giải Ta có: y '' = (x y' = + x + 1) − ( x + a ) ( x + 1) ( x + x + 1) = x + 2ax + a − (x + x + 1) 2 ( x + 3ax + ( a − 1) x − 1) (x + x + 1) y '' = ⇔ x + 3ax + ( a − 1) x − = Đặt f ( x ) = x + 3ax + ( a − 1) x − 1, x ∈ ¡ Ta có: f ( ) = −1 < 0, f ( −1) = > lim f ( x ) = −∞, lim f ( x ) = +∞ đồng thời hàm số liên tục tập số thực nên phương trình x →+∞ x →−∞ f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −∞; −1) , ( −1;0 ) , ( 0; +∞ ) Giả sử hoành độ điểm uốn x0 nên x03 + 3ax02 + ( a − 1) x0 − = Ta có: x0 + 3ax0 + 3ax0 + 3a − = x0 + 3a ⇔ ( x0 + 3a − 1) ( x02 + x0 + 1) = ( x0 + a ) Trang ( x0 + 3a − 1) ( x02 + x0 + 1) x0 + 3a − x0 + a = = Suy y0 = x0 + x0 + 3 ( x02 + x0 + 1) Vậy điểm uốn đồ thị thuộc đường thẳng y = x + 3a − nên chúng thẳng hàng Bài toán 2.4: Cho hàm số: y = x − x + 3mx − m + , m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m cho đồ thị hàm số cho có điểm cực đai, cực tiểu A B mà khoảng cách AB = 65 Hướng dẫn giải a) Khi m = hàm số trở thành y = x3 − x + x − • Tập xác định D = ¡ • Sự biến thiên: y ' = x − 12 x + y ' = ⇔ x = 1∨ x = Bảng biến thiên: x −∞ y' + y +∞ − +∞ −∞ + −1 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 3; +∞ ) , nghịch biến ( 1;3) Hàm số đạt cực đại x = , yC Ð = đạt cực tiểu x = 3, yCT = −1 • Đồ thị: y '' = x − 12 , y '' = ⇔ x = nên tâm đối xứng điểm uốn I ( 2;1) Cho x = y = −1 b) Ta có y ' = x − 12 x + 3m Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 36 − 9m > ⇔ m < Gọi điểm cực trị A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) Trang  x1 + x2 =  x1 x2 = m Theo định lý Viet  Ta có y1 = ( 2m − ) x1 + m + 2, y2 = ( 2m − ) x2 + m + AB = ( x1 − x2 ) + ( 2m − ) ( x2 − x1 ) 2 = + ( 2m − ) ( x1 + x2 ) − x1 x2    = ( 4m − 32m + 65 ) ( 16 − 4m ) ( ) + 193m = ⇔ m ( 4m nên AB = 65 ⇔ 4m − 32m + 65 ( 16 − 4m ) = 1040 ⇔ 4m3 − 48m 2 − 48m + 193) = ⇔ m = (thỏa mãn) Vậy m = Bài toán 2.5: Cho hàm số: y = − x + ( m − 1) x + ( 3m − ) x − có đồ thị ( Cm ) với m tham số 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị ( Cm ) có hai điểm phân biệt có hồnh độ dấu tiếp tuyến ( Cm ) điểm vng góc với đường thẳng d : x − y + = Hướng dẫn giải a) Khi m = hàm số trở thành y = − x + x2 + 4x − 3 • Tập xác định D = ¡ • Sự biến thiên: y ' = −2 x + x + ; y ' = ⇔ x = −1 ∨ x = Bảng biến thiên x −∞ y' y −1 − +∞ +∞ + + −4 −∞ Trang Hàm số đồng biến khoảng ( −1;2 ) nghịch biến khoảng ( −∞; −1) , ( 2; +∞ ) Hàm số đạt cực tiểu x = −1 yCT = −4 , đạt cực đại x = yC Ð = • Đồ thị:   5 3 Đồ thị cắt Oy  0; − ÷, y '' = −4 x + , y '' = ⇒ x = nên đồ thị nhận điểm uốn 1 1 I  ; ÷ làm tâm đối xứng 2 2 b) y ' = −2 x + ( m − 1) x + 3m − Hệ số góc d : x − y + = k = Tiếp tuyến ( Cm ) điểm vng góc với đường thẳng d : x − y + = y ' = −3 ⇔ −2 x + ( m − 1) x + 3m − = −3 ⇔ x − ( m − 1) x − 3m − = Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 > ∆ ' = ( m − 1) + ( 3m + 1) >  m + 4m + >  m < −3   ⇔  −3m − ⇔ ⇔  −1 < m < − >0  m < −    Vậy m < −3 hay −1 < m < − Bài toán 2.6: Cho hàm số y = 3 x − x − x + Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị ( C ) có tung độ m 2 gốc O tạo thành tam giác OAB cân O Hướng dẫn giải Hai điểm A, B thuộc đồ thị ( C ) có tung độ m nên thuộc đường thẳng d : y = m Hoành độ giao điểm d đồ thị ( C ) nghiệm phương trình Phương trình ⇔ x3 − x − x + 12 − 6m = 3 x + x − x+2=m 2 (1) Trang 17  − ≤ m ≤ Đường thẳng d cắt ( C ) A, B thỏa mãn tam giác OAB cân O  phương trình (1) m ≠ có nghiệm x1 , − x1 , x2 (trong x1 , − x1 hoành độ A, B) ( 2 Khi x1 , x2 nghiệm phương trình x − x1 )( x−x ) =0 2 Phương trình ⇔ x − x2 x − x1 x + x1 x2 = (2)  x2 =  Đồng hệ số (1) (2):  x1 =  x x = 12 − 6m  Suy 12 − 6m = 27 ⇔ m = − Bài toán 2.7: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a) y = − x + x − x + b) y = x − x + x + Hướng dẫn giải a) y = − x + x − x + • Tập xác định D = ¡ • y = −∞ lim y = +∞ Sự biến thiên xlim →−∞ x →+∞ Ta có y ' = −3 x + x − < 0, ∀x nên hàm số nghịch biến ¡ Hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên x −∞ y' y +∞ − +∞ −∞ • Đồ thị: y '' = −6 x + 6, y '' = ⇔ x = nên đồ thị có điểm uốn I ( 1;0 ) Cho x = ⇒ y = Cho y = ⇔ − x3 + 3x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x + ) = ⇔ x = b) y = x − x + x + Trang • Tập xác định D = ¡ • y = −∞ lim y = +∞ Sự biến thiên: xlim →−∞ x →+∞ Ta có y ' = x − x + = ( x − 1) ≥ 0, ∀x nên hàm số đồng biến ¡ , hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên: −∞ x y' +∞ + − y +∞ −∞ • Đồ thị: y '' = x − 6, y '' = ⇔ x = nên đồ thị có điểm uốn I ( 1;2 ) Cho x = ⇒ y = −1 ( ) 2 Bài toán 2.8: Cho hàm số: y = x − ( m − 3) x + m − 3m + x + , m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 − x1 x2 < Hướng dẫn giải D=¡ , y ' = x − ( m − 3) x + ( m − 3m + ) y ' = ⇔ x − ( m − 3) x + ( m − 3m + ) = Hàm số cực đại, cực tiểu x1 , x2 ⇔ ∆ ' = −3m + > ⇔ m < x1 , x2 phương trình có nghiệm phân biệt Ta có x1 + x2 = ( m − 3) ; x1 x2 = m − 3m + Do x1 + x2 − x1 x2 < ⇔ ( m − 3) + 3m − < ⇔ m − 5m + 11 < 2 m − 5m + 11 < m − 5m + < ⇔ ⇔ ⇔1< m < m − m + 11 > − m − m + 18 >   Kết hợp chọn: < m < Bài toán 2.9: Cho hàm số: y = x − 2mx + 2m − , với m tham số Trang 10  x + ( m + 1) x −  lim ( y − x ) = lim  − 2x ÷ ÷ x →∞ x →∞ x ( x + m)   x + ( m + 1) x − − x − 2mx = lim = 1− m x →∞ x+m Suy phương trình tiệm cận xiên y = x + − m TCX qua A ( 1;1) khi: = 2.1 + − m ⇔ m = b) Đồ thị có tiệm cận đứng x = − m Từ suy giao điểm hai tiệm cận I ( −m;1 − 3m ) Giao điểm nằm đường cong y = x + − 3m = ( −m ) + ⇔ m + 3m + = ⇔ m = −1 m = −2 x2 + ( − m) x − Bài toán 2.19: Cho hàm số y = ( Cm ) Tìm m để tiệm cận xiên ( Cm ) tạo với trục tọa x +1 độ thành tam giác có diện tích 18 Hướng dẫn giải Hàm số y = x − m + ( m−2 , D = ¡ \ { −1} x +1 ) y − ( x − m ) = nên tiệm cận xiên d ( Cm ) có phương trình y = x − m Giao điểm d Ta có xlim →±∞ với Ox: A ( m;0 ) , giao điểm d với Oy: B ( 0; − m ) Diện tích tam giác OAB S = Điều kiện S = 18 ⇔ m 2 m = 18 ⇔ m = ±6 Bài toán 2.20: Cho hàm số: y = 2x −1 x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Suy đồ thị y = 2x −1 x −1 Hướng dẫn giải a) y = • 2x −1 x −1 Tập xác định D = ¡ \ { 1} Trang 20 y = −∞ lim+ y = +∞ Sự biến thiên: Ta có: lim x →1− x →1 • Do đường thẳng x = tiệm cận đứng y = lim y = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị Vì xlim →−∞ x →+∞ Ta có: y ' = −1 ( x − 1) < 0, ∀x ≠ Bảng biến thiên x −∞ y' +∞ −1 − − y +∞ 2 −∞ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , ( 1; +∞ ) • 1 2   Đồ thị: Đồ thị ( C ) cắt Ox  ;0 ÷ cắt Oy ( 0;1) ( C) nhận giao điểm I ( 0;2 ) hai tiệm cận làm tâm đối xứng  2x −1 x −  x − = b) Ta có y = x −1  2x −1 −  x − x > x < nên đồ thị ( C ') giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x = đồ thị ( C ) , phần bên trái tiệm cận đứng x = đồ thị ( C ) lấy đối xứng qua trục hồnh Trang 21 Bài tốn 2.21: Cho hàm số: y = 2x − x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Lập phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng A, cắt đường tiệm cận ngang B mà OB = 2OA Hướng dẫn giải a) y = 2x − x +1 • Tập xác định D = ¡ \ { −1} • y = +∞ lim + y = −∞ Sự biến thiên: Ta có x →lim x →( −1) ( −1) − Do đường thẳng x = −1 tiệm cận đứng y = lim y = nên đường thẳng y = tiệm cận đứng Ta có xlim →−∞ x →+∞ y' = ( x + 1) > 0, ∀x ≠ −1 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ; ( −1; +∞ ) • Đồ thị: Đồ thị ( C ) cắt Ox ( 1;0 ) , cắt Oy ( 0; −2 ) , nhận giao điểm I ( −1;2 ) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng b) Phương trình tiếp tuyến M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ −1 d:y= ( x0 + 1) ( x − x0 ) + x0 − x0 + Trang 22  Giao điểm d với tiệm cận đứng x = −1 A  −1;  x0 −  ÷; x0 +  Giao điểm d với tiệm cận ngang y = B ( x0 + 1;2 ) Do OB = 2OA ⇔ + ( x0 + 1)  2x −  = 1+  ÷  x0 +    x0 + =  x0 −  ⇔ ( x0 + 1) =  ÷ ⇔ x +     x0 + =  ⇔ x0 =  x02 − x0 + 13 = ( VN ) ⇔ x0 − 12  x0 + x0 − 11 = x0 + −7 ± 137 Thế vào d có tiếp tuyến cần tìm Bài tốn 2.22: Cho hàm số: y = a) y = x0 − 12 x0 + x−2 x −1 x−2 x −1 • Tập xác định: D = ¡ \ { 1} • y = +∞ lim+ y = −∞ Sự biến thiên: Ta có lim x →1− x →1 Do đường thẳng x = tiệm cận đứng y = lim y = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang Vì xlim →−∞ x →+∞ Ta có y ' = ( x − 1) > 0, ∀x ≠ Bảng biến thiên x −∞ y' +∞ + y + +∞ 1 −∞ Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) , ( 1; +∞ ) • Đồ thị: Đồ thị ( C ) cắt Ox ( 2;0 ) , cắt Oy ( 0;2 ) , ( C ) nhận giao điểm I ( 1;1) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Trang 23 b) Vì x = khơng nghiệm nên phương trình x − = ( x − 1) ( m − ) ⇔ x−2 = m−5 x −1  x−2 x −  x − = Ta có: y = x −1  x − −  x − Suy đồ thị ( C ') y = x < qua trục hoành x ≥ ≠ x < x−2 gồm phần ( C ) ứng với x ≥ đối xứng phần ( C ) ứng với x −1 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị ( C ') đường thẳng y = m − : Xét m − ≥ hay m − = hay m − < −1 ⇔ m ≥ hay m = hay m < phương trình có nghiệm Xét < m − < ⇔ < m < phương trình có nghiệm Xét −1 ≤ m − < ⇔ < m < phương trình vơ nghiệm Bài toán 2.23: Cho hàm số: y = m−x , với m tham số Tìm m để đường thẳng d : x + y − = cắt đồ thị x+2 hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích S = Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm −x + m = −x + x+2 ⇔ x + x + ( m − 1) = 0, x ≠ −2 Ycbt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác −2 Trang 24 17  ∆ = 17 − 16m > m < ⇔ ⇔ 66 2 ( −2 ) − + ( m − 1) ≠ m ≠ −2   x1 + x2 = − Ta có  nên AB =  x1 x2 = m − = ( x2 − x1 ) = ( x2 + x1 ) ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) − x1 x2 = Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d h = SOAB = 2 17 − 16m 2 1 17 − 16m AB.h = 17 − 16m = 2 2 Nên SOAB = 17 − 16m ⇔ = ⇔ m = (thỏa mãn) 8 −x +1 Tìm ( H ) điểm A, B cho độ dài AB = đường thẳng x−2 AB vng góc với đường thẳng y = x Bài toán 2.24: Cho hàm số y = Hướng dẫn giải Vì đường thẳng AB vng góc với y = x nên phương trình AB là: y = −x + m Hoành độ A, B nghiệm phương trình −x +1 = −x + m x−2 ⇔ x − ( m + 3) x + 2m + = 0, x ≠ Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 2: ∆ = ( m + 3) − ( 2m + 1) = m − 2m + > 0, ∀m  4 − ( m + 3) + 2m + = −1 ≠ 0, ∀m ln thỏa mãn Ta có x1 + x2 = m + 3; x1.x2 = 2m + Nên AB = 16 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 16 2 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( − x2 + m + x1 − m ) = 16 2 ⇔ ( x2 − x1 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 2 Trang 25 ⇔ ( m + 3) − ( 2m + 1) = ⇔ m − m − = ⇔ m = ∨ m = −1 Với m = phương trình: x − x + = ⇔ x = ± ( )( Nên A, B có tọa độ + 2; − , − 2; ) Với m = −1 , tương tự hai điểm A, B có tọa độ: (1+ )( ) 2; −2 − , − 2; −2 + Bài toán 2.25: Cho hàm số y = x2 + 2x + x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: x + x + = ( m + 2m + ) ( x + 1) Hướng dẫn giải a) y = • x2 + 2x + = x +1+ x +1 x +1 Tập xác định D = ¡ \ { −1} • Sự biến thiên: y ' = − x2 + 2x − = , y ' = ⇔ x = 1, x = −3 x +1 x + ( ) Bảng biến thiên x −∞ y' −3 + y −1 − − −∞ +∞ −4 −∞ +∞ + +∞ Trang 26 Hàm số đồng biến ( −∞; −3) , ( 1; +∞ ) , nghịch biến ( −3; −1) , ( −1;1) Hàm số đạt CĐ ( −3; −4 ) , CT ( 1;4 ) y = −∞, lim + y = +∞ nên TCĐ: x = Ta có x →lim x →( −1) ( −1) − = nên TCX: y = x + x →±∞ x + lim ( y − ( x + 1) ) = lim x →±∞ • Đồ thị: Cho x = ⇒ y = Tâm đối xứng giao điểm tiệm cận I ( −1;0 ) b) Vì x = −1 khơng nghiệm nên phương trình cho tương đương với: x2 + 2x + = m + 2m + Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số x +1 x2 + 2x + với đường thẳng y = m + 2m + y= x +1 Phương trình có hai nghiệm dương khi: m ≠ −1 < m + 2m + < ⇔  −2 < m < x2 − 2x − Bài toán 2.26: Cho hàm số y = x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Tìm điểm ( C ) có tọa độ số nguyên chứng minh đồ thị ( C ) có tâm đối xứng Trang 27 Hướng dẫn giải a) Ta có y = x − x−2 • Tập xác định D = ¡ \ { 2} • y = +∞ lim+ y = −∞ nên TCĐ: x = Sự biến thiên: xlim → 2− x →2 lim ( y − x ) = lim x →±∞ y ' = 1+ x ±∞ ( x − 2) = nên TCX: y = x x−2 > với x ≠ nên hàm số đồng biến khoảng ( −∞;2 ) ( 2; +∞ ) Bảng biến thiên: −∞ x y' + y + +∞ −∞ • +∞ +∞ −∞ Đồ thị: Cho x = ⇒ y = y = ⇒ x = −1; x = b) Điểm M ( x; y ) ∈ ( C ) có tọa độ nguyên x − ước số nên x − = ±1, ±3 Do ( C ) có điểm có tọa độ nguyên: ( 1;4 ) , ( 3;0 ) , ( −1;0 ) ( 5;4 ) Trang 28 uur  x = X + y = Y + Giao điểm tiệm cận I ( 2;2 ) chuyển trục phép tịnh tiến vectơ OI :  Đồ thị ( C ) : Y + = ( X + ) − Vì Y = F ( X ) : X − 3 ⇔Y = X − X ( X + 2) − hàm số lẻ nên đồ thị ( C ) nhận gốc I ( 2;2 ) làm tâm đối xứng X x2 + Bài toán 2.27: Cho hàm số y = x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tính góc tiệm cận b) Biện luận theo m số nghiệm PT: x2 + m2 + = x m Hướng dẫn giải a) y = x + • x Tập xác định D = ¡ \ { 0} Hàm số lẻ x2 − • Sự biến thiên: y ' = , y ' = ⇔ x = −1 x = x2 lim y = −∞; lim+ y = +∞ nên TCĐ: x = x →0 x →0− = nên TCX: y = x x →±∞ x lim ( y − x ) = lim x →±∞ Bảng biến thiên x −∞ y' −1 + y +∞ − − +∞ −2 −∞ • −∞ + +∞ Đồ thị: Đối xứng qua gốc O TCĐ: x = , TCX: y = x nên hai tiệm cận hợp góc 45° x2 + m2 + m2 + b) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị với đường thẳng y = = = f ( m) x m m Dựa vào đồ thị ta có: Trang 29 m2 + m2 + Nếu < −2 > ⇔ m ≠ 0, m ≠ ±1 , PT có nghiệm m m Nếu m2 + m2 + = −2 = ⇔ m = −1 m = PT có nghiệm m m Cịn m = PT vô nghiệm mx − mx + Bài toán 2.28: Cho hàm số y = x −1 ( 1) a) Tìm điểm cố định đồ thị hàm số (1) x2 − x + b) Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) m = Suy đồ thị hàm số y = x −1 Hướng dẫn giải a) Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định đồ thị (1): m ( x02 − x0 ) + mx02 − mx0 + y0 = , ∀m ⇔ y0 = , ∀m x01 − x0 −  x02 − x0 = 0, x0 − ≠  x0 =  ⇔ ⇔  y0 = −1  y0 = x −  Vậy đồ thị luôn qua M ( 0; −1) x2 − x + 1 b) Khi m = y = = x+ x −1 x −1 • Tập xác định D = ¡ \ { 1} Trang 30 • Sự biến thiên y ' = − ( x − 1) = x2 − x ( x − 1) , y ' = ⇔ x = 0, x = Bảng biến thiên: −∞ x y' + y − − + +∞ −1 −∞ • +∞ −∞ +∞ Đồ thị x2 − x + Ta có y = hàm số chẵn nên đồ thị ( C ') đối xứng qua Oy x −1 Khi x ≥ lấy phần đồ thị ( C ) , sau lấy đối xứng phần qua Oy đồ thị ( C ') BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 2.1: Tìm khoảng lồi, lõm điểm uốn đồ thị: a) y = − x b) y = + x Hướng dẫn giải a) y ' = −1 33 ( − x) ; y '' = −2 9( 1− x) ( 1− x) ≠0 Kết đồ thị lồi khoảng ( −∞;1) , lõm khoảng ( 1; +∞ ) khơng có điểm uốn Trang 31 b) y ' = x 5+ x ; y '' = (5+ x ) + x2 > 0, ∀x Kết đồ thị lõm ¡ Bài tập 2.2: Tìm tham số để đồ thị: a) y = f ( x ) = x − ax + x + b nhận I ( 1;1) làm điểm uốn b) y = f ( x ) = x − mx + có điểm uốn Hướng dẫn giải a) f ' ( x ) = x − 2ax + 1; f '' ( x ) = x − 2a Kết a = b = b) Kết m > Bài tập 2.3: Cho hàm số: y = x − ( m + 1) x + x − m , với m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 − x2 ≤ Hướng dẫn a) Khi m = y = x − x + x − b) Kết −3 ≤ m < −1 − −1 + < m ≤ Bài tập 2.4: Cho hàm số: y = x − ( m − 1) x + m , với m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị cho điểm I ( 3;1) nằm đường thẳng qua cực trị Hướng dẫn a) Khi m = y = x − x + b) Lấy y chia y ' Kết m = Bài tập 2.5: Cho hàm số y = x − x − a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Tìm số m dương để đường thẳng y = m cắt ( C ) tai hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O Hướng dẫn a) Tập xác định D = ¡ y ' = x3 − x; y '' = 12 x − Trang 32 b) Kết a = Bài tập 2.6: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y = x3 + x + x2 − b) y = x + x − Hướng dẫn a) Chia tử cho mẫu thức để tách bậc Kết TCĐ: x = −1 x = ; TCX: y = x b) Kết TCX: y = x (khi x → +∞ ); TCN: y = (khi x → −∞ ) Bài tập 2.7: Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị: x + ( m + 1) x − a) y = qua H ( 1;1) x+m b) x + mx − tạo với trục tọa độ thành tam giác có S = y= x −1 Hướng dẫn a) Tìm TCX tọa độ H ( 1;1) vào TCX Kết m = b) Kết m = −1 ± Bài tập 2.8: Cho hàm số: y = x +1 x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số cho b) Tìm điểm M đồ thị ( C ) cho tổng khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x + y − = nhỏ Hướng dẫn a) Tập xác định D = ¡ \ { 1} y ' = −2 ( x − 1) ( ) ( Bài tập 2.9: Cho hàm số: y = x−3 x +1 b) Kết M + 2;1 + , M − 2;1 − ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết khoảng cách từ tâm đối xứng ( C ) đến tiếp tuyến 2 Hướng dẫn Trang 33 a) Tập xác định D = ¡ \ { −1} y ' = ( x + 1) b) Kết y = x − 2; y = x + Bài tập 2.10: Cho hàm số: y = 2x −1 x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Với giá trị m, đường thẳng d : y = − x + m cắt ( C ) hai điểm A, B thỏa mãn AB = 10 Hướng dẫn a) Tập xác định D = ¡ \ { 1} y ' = −3 ( x − 1) b) Kết m = hay m = x2 + Bài tập 2.11: Cho hàm số y = x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Tìm m cho đường thẳng y = m ( x − ) + cắt đường cong ( C ) hai điểm thuộc hai nhánh Hướng dẫn a) Tập xác định D = ¡ \ { 0} y ' = x2 + 4 = x+ x x b) Điều kiện phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm khác dấu Kết m > x + ( m − 1) x + Bài tập 2.12: Cho hàm số y = 1− x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Xác định m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x2 = −3 Hướng dẫn x2 + x + a) Khi m = y = 1− x b) Dùng định lý Viet Kết m = Trang 34 ... tọa độ + 2; − , − 2; ) Với m = −1 , tương tự hai điểm A, B có tọa độ: (1+ )( ) 2; ? ?2 − , − 2; ? ?2 + Bài toán 2. 25: Cho hàm số y = x2 + 2x + x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b)... 2m − m2 ⇔ =− + 2m − ⇔ m − 4m + = ⇔ m = ± (thỏa mãn) Vậy m = ± Bài toán 2. 11: Cho hàm số: y = − x − 2mx + m + m , với m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = ? ?2 b) Tìm m để đồ thị. .. kiện S = 18 ⇔ m 2 m = 18 ⇔ m = ±6 Bài toán 2. 20: Cho hàm số: y = 2x −1 x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Suy đồ thị y = 2x −1 x −1 Hướng dẫn giải a) y = • 2x −1 x −1 Tập