Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 12 KHỐI đa DIỆN và LĂNG TRỤ lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ 12: KHỐI ĐA DIỆN VÀ LĂNG TRỤ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Khối đa diện − Hình đa diện gồm số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện: (1) Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung (2) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác − Hình đa diện chia khơng gian làm hai phần: phần bên phần bên ngồi Hình đa diện với phần bên gọi khối đa diện Khối đa diện Khối đa diện loại {n, p} mặt đa giác n cạnh đỉnh đỉnh chung p cạnh Có loại khối đa diện đều: Khối tứ diện loại {3; 3}; khối bát diện loại {3; 4}; khối lập phương loại {4; 3}; khối 20 mặt loại {3; 5} khối 12 mặt loại {5;3} Hình lăng trụ: Có đáy song song cạnh bên song song Ta thường phân loại theo đa giác đáy: lăng trụ tam giác, tứ giác − Lăng trụ đứng cạnh bên vng góc với đáy − Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác − Thể tích khối lăng trụ: V = B.h Hình hộp: Là hình lăng trụ tứ giác có đáy hình bình hành Hình hộp có mặt hình bình hành, đường chéo đồng qui tâm hình hộp − Hình hộp chữ nhật: hộp đứng có đáy hình chữ nhật Gọi a, b, c kích thước có đường chéo: d = a + b + c , diện tích tồn phần: S = ( ab + bc + ca ) thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc − Hình lập phương: hình hộp chữ nhật có kích thước Chú ý: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 1) Thể tích khối chóp: V = B.h 2) Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hay chứng minh bất đẳng thức ta dùng vectơ, bất đẳng thức Cauchy dùng đạo hàm CÁC BÀI TỐN Bài tốn 12.1: Cho khối đa diện lồi Chứng minh rằng: a) Số góc tất mặt số chẵn b) Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung ba cạnh đỉnh chung ba mặt Hướng dẫn giải a) Gọi số góc G số cạnh khối đa diện C Trong mặt đa giác số góc số cạnh, mà số cạnh tính lần nên G = 2C, G chẵn b) Ta dùng phản chứng Nếu xuất phát từ đỉnh có hai cạnh cạnh cạnh đa giác, trái với điều kiện định nghĩa hình đa diện Vậy đỉnh phải đỉnh chung ba cạnh, phải đỉnh chung ba mặt Bài toán 12.2: Cho khối đa diện lồi Chứng minh rằng: a) Không tồn khối đa diện có số lẻ mặt mặt lại có số lẻ cạnh b) Tổng số đo góc mặt T = ( C − M ) π Hướng dẫn giải a) Giả sử tồn khối đa diện có số mặt M lẻ mặt chứa số lẻ cạnh Ci, i = 1, 2, M Ta có số góc khối đa diện: G = C1 + C2 + + CM ⇒ G lẻ; vô lý Vậy không tồn khối đa diện thỏa đề b) Gọi Ci số cạnh mặt thứ i, i = 1, 2, , M M M  Ta có T = ∑ ( Ci − ) π =  ∑ Ci − 2M ÷π = ( 2C − 2M ) π = ( C − M ) π i =1  i =1  Bài toán 12.3: Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác số mặt phải số chẵn Hãy khối đa diện với số mặt 4, 6, 8, 10 Hướng dẫn giải Gọi số cạnh khối đa diện C, số mặt M Vì mặt có ba cạnh cạnh lại chung cho hai mặt nên 3M = 2C Suy M số chẵn Sau số khối đa diện số mặt tam giác 4, 6, 8, 10 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 12.4: Chứng minh đặc số Ơ-le khối đa diện lồi: Đối với khối đa diện lồi H, ta kí hiệu Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt H đặc số χ ( H ) = Đ – C + M = Suy ra: không tồn khối đa diện lồi có cạnh Hướng dẫn giải Ta chứng minh quy nạp theo số đỉnh Đ ≥ Khi Đ = khối đa diện tứ diện có Đ = 4, C = 6, M = nên Đ – C + M = – + = 2: Giả sử khẳng định với số đỉnh Đ: Đ – C + M = Xét khối đa diện có Đ’ = Đ + đỉnh Gọi A đỉnh mặt A1 A2 An mặt khối đa diện cho mặt phẳng chứa mặt chia không gian làm phần, phần chứa đỉnh A phần chứa khối đa diện lồi có Đ đỉnh cịn lại, ta có Đ – C + M = Số đỉnh Đ’ = Đ + 1, số cạnh C’ = C + n, số mặt M’ = M + n – Do đó: Đ’ – C’ + M’ = (Đ+1) – (C+n) + (M+n–1) = Đ – C + M = Vậy χ ( H ) = Đ – C + M = Cách khác: Dùng phép chiếu từ điểm S không thuộc mặt nào, mặt qua đỉnh khối đa diện Giả sử tồn khối đa diện lồi có C = Ta có đặc số Ơ-le: Đ – C + M = nên Đ + M = Vì Đ ≥ , M ≥ nên Đ = 4, M = Đ = 5, M = Với Đ = khối đa diện lồi tứ diện: loại Với M = khối đa diện lồi tứ diện: loại Vậy không tồn khối đa diện lồi có cạnh Bài 12 5: Chứng minh tâm mặt khối tám mặt đỉnh khối lập phương Hướng dẫn giải Cho khối tám mặt SABCDS’ Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Gọi M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q’ trọng tâm mặt SAB, SBC, SCD, SAD, S’AB, S’BC, S’CD, S’DA tứ giác MNPQ, M’N’P’Q’, MNN’M’, PQQ’P’, NPP’N’, MQQ’M’ hình vng Mỗi đỉnh M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q’ đỉnh chung cạnh Vậy MNPQ.M’N’P’Q’ khối lập phương Bài toán 12.6: Cho khối tứ diện Chứng minh trung điểm cạnh đỉnh khối tám mặt Hướng dẫn giải Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, CD, AC, BD, AD, BC khối tứ diện ABCD Khi đó, tam giác MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NSP tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với đỉnh M, N, P, Q, R, S mà đỉnh đỉnh chung bốn cạnh Vậy khối tám mặt Bài toán 12.7: Hãy phân chia: a) Một khối hộp thành năm khối tứ diện b) Một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện hai mặt phẳng Hướng dẫn giải a) Có thể phân chia khối hộp ABCD.A’B’C’D’ thành năm khối tứ diện sau đây: ABDA’, CBDC’, B’A’C’B, D’A’C’D, BDA’C’ b) Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A B, điểm N nằm C D Bằng hai mặt phẳng (MCD) (NAB), ta chia khối tứ diện cho thành bốn khối tứ diện: AMCN, AMND, BMCN, BMND Bài toán 12.8: Tính thể tích khối lăng trụ n-giác có tất cạnh a Hướng dẫn giải Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Gọi A1 A2 An đáy khối lăng trụ O tâm đa giác A1 A2 An Hạ ON ⊥ A1 A2 Ta có: a π · ON = A1 N cot NOA cot = n Do diện tích đáy khối lăng trụ là: 1 π S = n.SOA1 A2 = n A1 A2 ON = na cot n Vì lăng trụ cho lăng trụ nên chiều cao cạnh bên: h = a π Vậy thể tích khối lăng trụ V = S h = na cot n Bài tốn 12.9: Tính thể tích khối lập phương có đỉnh trọng tâm mặt khối tám mặt cạnh a Hướng dẫn giải Giả sử có khối tám mặt với đỉnh S, S’, A, B, C, D Gọi M N trọng tâm tam giác SAB SBC đoạn thẳng MN cạnh khối lập phương Gọi M’, N’ trung điểm AB BC M N nằm SM’ SN’ nên: MN = 2 AC a M 'N ' = = 3 Vậy thể tích khối lập phương là: V = MN = 2a (đvtt) 27 Bài toán 12.10: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = 3, AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 45 600 Hãy tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Hướng dẫn giải Hạ A ' H ⊥ ( ABCD ) , HM ⊥ AD, HK ⊥ AB Ta có: AD ⊥ A ' M , AB ⊥ A ' K ⇒ ·A ' MH = 600 , ·A ' KH = 450 Đặt A ' H = x Khi đó: A ' M = x : sin 60 = AM = AA '2 − A ' M = 2x 3 − x2 = HK Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Mà HK = x cot 450 = x nên x = − x2 ⇒x= Vậy VABCD A ' B 'C ' D ' = AD AB.x = 3 = Bài toán 12.11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính: a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b) Khoảng cách từ A đến mp(A’BD) khoảng cách từ A’, B, C, D’ đến đường thẳng AC’ Hướng dẫn giải 1 a) VABC A ' B 'C ' = S ABC AA ' = a .a 3.a = a (đvtt) 2 b) Điểm A C’ cách ba đỉnh tam giác A’BD nên AC’ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD, đường thẳng AC’ vng góc với mặt phẳng (A’BD) tâm I tam giác A’BD Ta có: d ( A; ( A ' BD ) ) = AI Vì AO / / A ' C ' A ' C ' = AO nên AI = a AC = 3 Vì AC ' ⊥ mp ( A ' BD ) nên A ' I ⊥ AC ' , đó: d ' ( A; AC ' ) = A ' I Tam giác AA’I vuông I nên A ' I = AA '2 − AI = Vậy A ' I = 6a a a Do ( A ' BD ) / / ( CB ' D ' ) nên khoảng cách từ A’, B, C, D’ đến AC’ Bài tốn 12.12: Cho hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có kích thước AB = AA ' = a, AC ' = 2a a) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD’) b) Tìm đoạn vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng AC’ CD’ Hướng dẫn giải a) Xét tứ diện DACD’ có DA, DC, DD’ đơi vng góc nên khoảng cách DH từ D đến mặt phẳng (ACD’) với H trực tâm tam giác ACD’, tính hệ thức: 1 1 = + + 2 DH DA DC DD '2 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta có: DC = a, DD ' = a, AC '2 = AC + CC '2 = DA2 + DC + CC '2 Nên 4a = DA2 + a + a ⇒ DA2 = 2a Do DH = 1 1 a 10 = + + = ⇒ DH = DH 2a a a 2a b) Vì CD = DD ' = a nên CD ' ⊥ C ' D Mặt khác AD ⊥ ( CDD ' C ) nên CD ' ⊥ AC ' CD ' ⊥ mp ( AC ' D ) Gọi giao điểm CD’ với mp(AC’D) I Hạ IJ ⊥ AC ' IJ đoạn vng góc chung AC’ CD’ Ta có: IJ IC ' C 'D a a = ⇒ IJ = AD = a = AD AC ' AC ' 2.2a Bài tốn 12.13: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh d ba góc đỉnh A 600 a) Tính độ dài đường chéo thể tích V hình hộp b) Tính khoảng cách hai mặt song song hình hộp Có thể cắt hình hộp mặt phẳng cho thiết diện nhận hình vng? Hướng dẫn giải uuur r uuur r uuur r r r r r r r d2 a) Đặt AA ' = a, AB = b, AD = c a.b = b.c = c.a = uuuu r2 r r r Ta có: AC ' = a + b + c ( ) r r2 r2 rr rr rr = a + b + c + 2a.b + 2b.c + 2c.a = 6d Suy : AC ' = d uuuu r2 r r r BD ' = a − b + c ( ) r r r2 rr rr rr = a + b + c − 2a.b − 2b.c + 2c.a = 2d Suy BD ' = d Tương tự DB ' = CA ' = d nên ta có AA’BD hình tứ diện cạnh d, nên: V( AA ' BD ) = d3 d3 , V = 6VAA ' BD = (đvtt) 12 12 b) Gọi h khoảng cách hai mặt phẳng (ABCD) (A’B’C’D’) thì: V = S ABCD h = d2 d ⇒h= 2 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Vậy khoảng cách hai mặt song song d Hình bình hành BCD’A’ có cạnh d, hai đường chéo d nên hình vng Vậy hình hộp có thiết diện BCD’A’ hình vng Tương tự thiết diện CDA’B’ hình vng Bài 12.14: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy b) Chứng minh hai đường thẳng AA’ B’C’ vng góc, tính khoảng cách chúng Hướng dẫn giải Do AH ⊥ ( A ' B ' C ' ) nên ·AA ' H góc AA’ mp(A’B’C’) Theo giả thiết ·AA ' H = 300 a) Khoảng cách hai mặt phẳng đáy AH, ta có: AH = AA 'sin 300 = a b) A ' H = AA '2 − AH = a Vì A’B’C’ tam giác cạnh a, H thuộc đường thẳng B’C’ nên A ' H ⊥ B ' C ' H trung điểm B’C’ Mặt khác AH ⊥ B ' C ' nên AA ' ⊥ B ' C ' Hạ HK ⊥ AA ' HK khoảng cách AA’ B’C’ Do AA '.HK = AH A ' H nên a a a HK = 2 = a Bài toán 12.15: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Biết góc tạo thành cạnh bên mặt đáy 60 hình chiếu H đỉnh A lên mp(A’B’C’) trùng với trung điểm B’C’ a) Tính tang góc hai đường thẳng BC AC’; tang góc (ABB’A’) đáy b) Tính thể tích khối lăng trụ Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết tam giác AA’H vng H có ·AA ' H = 600 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Từ suy ra: AH = 3a Đặt ϕ = ( AC ', BC ) Vì BC / / B ' C ' nên ϕ = ( AC ', BC ' ) = ·ACH Suy tan ϕ = AH =3 C 'H Vẽ HI ⊥ A ' B ' ta suy AI ⊥ A ' B ' Vậy α = ·AIH góc (ABB’A’) đáy 3a AH Ta có: tan α = = =2 IH B ' H sin 600 1 3a 3a 3 b) V = S ABC AH = a a = (đvtt) 2 Bài tốn 12.16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng đỉnh C, CA = a, CB = b ; mặt bên ABB’A’ hình vng Gọi (P) mặt phẳng qua C vng góc với AB’ Xác định tính diện tích thiết diện hình lăng trụ cắt (P) Hướng dẫn giải Kẻ đường cao CH tam giác vng ABC CH ⊥ AB ' Vì ABB’A’ hình vng nên AB ' ⊥ AB Vẽ HK / / A ' B HK ⊥ AB ' nên thiết diện tam giác CHK Do CH ⊥ AB, mp ( ABB ' A ' ) ⊥ mp ( ABC ) nên CH ⊥ ( ABB ' A ') , từ tam giác CHK vuông H nên SCHK = CH HK Ta có: CH AB = CA.CB ⇒ CH = AH AB = a ⇒ AH = ab a + b2 a2 AB HK AH a2 a + b 2.a a2 = ⇒ HK = A ' B = = A ' B AB AB a2 + b2 a + b2 Do đó: SCHK a 3b = ( a2 + b2 ) Bài tốn 12.17: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M, N, P trung điểm cạnh AA’, AC, A’B’ Hãy dựng tính diện tích thiết diện hình lăng trụ cắt mp(MNP) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải Đường thẳng MN cắt A’C’ I CC’ J Đường thẳng IP cắt B’C’ Q QJ cắt BC R Thiết diện ngũ giác NMPQR Ta có A ' I = A ' P = a · ' P = 1200 nên ·A ' IP = 300 IA Do tam giác IQC’ vng Q Và ∆IQJ vng Q 2 3a  3a   3a   3a  JQ = JC '2 + C ' Q =  ÷ +  ÷ =  ÷ ⇒ JQ =  2  4   IQ = 3a IC ' = Vậy S = 1 3a 3a 9a 15 JQ.IQ = = 2 4 32 Ta có tam giác JRN đồng dạng với ∆JQI với tỉ số Mặt khác 1 nên diện tích JRN S1 = S IM IP 2 = ; = nên gọi S2 diện tích tam giác IMP S = S = S IJ IQ 3 Gọi S3 diện tích thiết diện 2 9a 15 3a 15 S3 = S − S1 − S = S − S − S = S = = 9 3 32 16 Bài toán 12.18: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh đáy a, góc tạo thành cạnh bên mặt đáy 600 hình chiếu H đỉnh A lên mp(A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’ a) Tính khoảng cách hai mặt đáy góc hai đường thẳng BC AC’ b) Tính góc mp(ABB’A’) với mặt đáy tính thể tích khối lăng trụ Hướng dẫn giải a) Ta có AH khoảng cách hai mặt phẳng đáy Vì A’H hình chiếu vng góc cạnh bên AA’ mặt phẳng đáy nên ·AA ' H = 600 Trong tam giác AA’H có: AH = A ' H tan 600 = a 3a 3= 2 Góc BC AC’ ACB’ Trong tam giác vng AHC’ có: tan ·AC ' B ' = AH 3a a = : =3 HC ' 2 Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) Từ H hạ HK ⊥ A ' B ' Ta có HK hình chiếu AK mặt phẳng (A’B’C’) Suy AK ⊥ A ' B ' Vậy góc mặt phẳng (ABB’A’) mặt phẳng (A’B’C’) AKH Gọi I trung điểm A’B’, ta có C ' I ⊥ A ' B ' , suy CI / / HK Vì H trung điểm B’C’ nên HK đường trung bình tam giác B’C’I, suy HK = Tam giác vuông AKH có: tan ·AKH = CI a = AH 3a a = : =2 HK Ta tích khối lăng trụ là: V = S A ' B 'C ' AH = 3a a 3 3a (đvtt) B ' C ' A ' H AH = a = 2 2 Bài toán 12.19: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có đáy ABC tam giác vng cân với cạnh huyền AB Mặt phẳng (AA1B) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = , góc ·A1 AB nhọn mặt phẳng (A1AC) tạo góc 600 với mặt phẳng (ABC) Hãy tìm thể tích khối lăng trụ Hướng dẫn giải Hạ A1 K ⊥ AB ( K ∈ AB ) K thuộc đoạn AB ·A1 AB nhọn Hạ KM ⊥ AC ⇒ AM ⊥ AC (định lý ba đường vng góc) Ta có A1 K ⊥ ( ABC ) ( AA1 B ) ⊥ ( ABC ) ⇒ A1MK = 60 Đặt A1 K = x , ta có: AK = A1 A2 − A1 K = − x 2 · MK = AK sin KAM = − x sin 450 = − x Mặt khác, MK = A1 K cot 60 = ⇒ ( − x2 ) = x x ⇒x= 5 Vậy VABC A1B1C1 = S ABC A1K = AC.CB A1 K = 10 Trang 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 12.20: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với cạnh bên khơng vng góc với mặt đáy Gọi ( α ) mặt phẳng vng góc với cạnh bên hình lăng trụ cắt chúng P, Q, R uuur Phép tịnh tiến theo vectơ AA ' biến tam giác PQR thành tam giác P’Q’R’ a) Chứng minh thể tích V hình lăng trụ cho thể tích hình lăng trụ PQR.P’Q’R’ b) Chứng minh V = S PQR AA ' , S PQR diện tích tam giác PQR Hướng dẫn giải a) Mặt phẳng (PQR) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện H H2, H1 chứa tam giác ABC H2 chứa tam giác A’B’C’ Mặt phẳng (A’B’C’) chia khối lăng trụ PQR.P’Q’R’ thành hai khối đa diện H2 H3 H3 chứa tam giác P’Q’R’ Gọi V1 ,V2 , V3 thể tích khối đa diện H1 , H , H , ta có: VABC A ' B 'C ' = V1 + V2 , VPQR.P'Q'R' = V2 + V3 uuur Vì phép tịnh tiến theo vectơ AA ' biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ biến tam giác PQR thành tam giác P’Q’R’ nên khối đa diện H biến thành khối đa diện H3, ta có V1 = V3 Từ suy ra: VABC A ' B ' C ' = VPQR.P'Q'R' b) Vì lăng trụ PQR.P’Q’R’ lăng trụ đứng có chiều cao PP ' = AA ' nên : VABC A ' B 'C ' = VPQR.P'Q'R' = S PQR AA ' Bài toán 12.21: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết góc CA’ (ABCD) 300, góc mp(A’BC) mp(ABCD) 45 khoảng cách từ C’ đến (A’CD) a Tính thể tích khối hộp cho Hướng dẫn giải Vì AA ' ⊥ ( ABCD ) nên ( CA ', ( ABCD ) ) = ·A ' CD = 900 Vì AA ' ⊥ ( ABCD ) AB ⊥ BC nên ( ( A ' BC ) , ( ABCD ) ) = ·A ' BA = 45 Ta có: d ( C '; ( A ' CD ) ) = d ( D '; ( A ' CD ) ) = d ( A, ( A ' CD ) ) = AH với H hình chiếu A lên A’D Đặt AA ' = x Tam giác A’AB vuông cân A nên AB = x Tam giác A’AC vng A, có ·A ' CA = 300 suy AC = x Trang 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Khi AD = BC = AC − AB = 3x − x = x Tam giác A’AD vng A, có đường cao AH 1 1 1 a = + ⇔ = + ⇒x= 2 AH AA ' AD a x 2x Vậy VABCD A ' B 'C ' D ' = a a a 12 3a 3 (đvtt) = 2 2 Bài tốn 12.22: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a , A cách A’, B’, C’, D’ Biết khoảng cách từ trọng tâm G tam giác AB’D’ đến mp(AA’D’) a Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ tâm O hình vng A’B’C’D’ đến mặt phẳng (ADC’B’) Hướng dẫn giải Vì G trọng tâm tam giác AB’D’ nên G nằm đoạn thẳng AO AG = Ta có: d ( O; ( AA ' D ) ) = AO 3 3a d ( G , ( AA ' D ) ) = Gọi M trung điểm A’D’ Hạ OH ⊥ AM OH ⊥ ( AA ' D ') Do OH = d ( O; ( AA ' D ' ) ) = 3a Tam giác AOM vuông O: 1 16 3a = + ⇔ = + ⇒ OA = 2 2 OH OA OM 9a OA 3a Vậy VABCD A ' B 'C ' D ' = S ABCD OA = 3a 3a 9a (đvtt) = 2 Gọi N trung điểm B’C’ Hạ OK ⊥ AN Ta có OK ⊥ ( ADC ' B ') nên OK = d ( O, ( ADC ' B ') ) Tam giác AON vuông O: 1 1 16 3a = + = + = ⇒ OK = 2 OK OA ON 9a 3a 9a Bài tốn 12.23: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật AB = a 3, AA ' = AC = 2a Hình chiếu B lên mp(A’B’C’D’) trung điểm O B’D’ Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ cosin góc hai đường thẳng AC BB’ Trang 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải Ta có O tâm hình chữ nhật A’B’C’D’ nên BO ⊥ ( A ' B ' C ' D ' ) Tam giác vuông ABC: BC = AC − AB = 12a − 3a = 3a Tam giác vng BOB’ ta có: BO = BB '2 − B ' O = BB '2 − AC = 12a − 3a = 3a Nên VABCD A ' B 'C ' D ' = S ABCD BO = AB.BC.BO = a 3.3a.3a = 9a 3 Ta có: cos ( AC , BB ') = cos ( A ' C ', AA ' ) = cos ·AA ' O Vì BO ⊥ ( ABCD ) ⇒ BO ⊥ AB Tam giác ABO vuông cân B: AO = AB + BO = 3a + 9a = 2a Áp dụng định lý cosin tam giác AA’O ta có: cos ·AA ' O = A ' A2 + A ' O − AO 12a + 3a − 12a = = A ' A A ' O 2.2a 3.a Vậy cos ( AC , BB ') = Bài tốn 12.24: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N nằm hai cạnh B’C’ DD’ cho C ' M = DN = x Mặt phẳng (MAD’) cắt BB’ P Chứng minh CM vng góc BN tìm x theo a để thể tích khối lập phương gấp lần thể tích khối đa diện MPB’D’AA’ Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuuu r uuuuur uuu r uuur uuur Ta có CM BN = CC ' + C ' M BA + AD + DN uuuu r uuur uuuuur uuur = CC '.DN + C ' M AD = a.x − x.a = ( )( ) Suy CM ⊥ BN Ta có đường thẳng AP, D’M, A’B’ đồng quy S 1 a2 a4 VS AA ' D ' = S AA ' D ' SA ' = a = 3 x 6x 2 VSPB ' M SP SB ' SM  a − x   x  = = ÷ = 1 − ÷ VSAA 'D' SA SA ' SD '  a   a  Suy ra: VMPB '.D ' AA ' a4   x   a3   x   x   = 1 − 1 − ÷ ÷ =  +  − ÷+ 1 − ÷ ÷ ÷ x   a  ÷    a  a  Trang 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 1 3 Ta có VACB ' D ' = VABCD A ' B 'C ' D ' = a nên VMPB ' D ' AA ' = a 3 a3   x   x  ⇔ 1 +  − ÷+ 1 − ÷   a   a  Chọn −  a3  x  x = ⇔ 1 − ÷ + 1 − ÷− = ÷ ÷  a  a  x −1 + 3− = >0⇒ x= a a 2 Bài toán 12.25: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân, AB = AC = a, AA ' = a Hình chiếu B lên mp(A’B’C’) trung điểm B’C’ Gọi M trung điểm A’C’ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tính cosin góc hai đường thẳng BC’, MB’ Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm B’C’ BH ⊥ ( A ' B ' C ' ) Tam giác vng BB’H ta có: HB = BB '2 − B ' H = a − a2 a = 2 a a3 = Do đó: VABC A ' B 'C ' = S ABC BH = a.a (đvtt) Gọi N trung điểm AC BN / / B ' M Nên góc ( BC ', MB') = ( BC ', BN ) Gọi I trung điểm BC C ' I / / BH Suy C ' I ⊥ ( ABC ) Tam giác vuông C’IN ta có: a2 a2 a C ' N = C ' I + IN = + = 2  a2  a a2 a2 a , BC ' = + = a, C ' N = Tam giác BNC’ có BN = a +  ÷ = 2 2   Áp dụng định lý cosin tam giác BNC’: 5a 3a + a2 − BN + BC ' − NC ' =3 · cos NBC '= = 2.BN BC ' 10 a .a 2 2 Vậy cos ( BC ', MB ' ) = cos ( BC ', BN ) = 10 Trang 15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 12.26: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA ' = 2a 3, AC = a , · AB = BC = a, ·ABB ' = CBB ' = 300 Gọi M trung điểm BB’ Chứng minh A’A vng góc với mp (MAC) tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Hướng dẫn giải Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABB’ ta có: AB '2 = 4a + 12a − 2.2a.2a 3 = 4a ⇒ AB ' = 2a Suy tam giác ABB’ vuông A nên AM ⊥ BB ' Tương tự ta có CB ' = 2a CM ⊥ BB ' Suy ( MAC ) ⊥ BB ' ⇒ AA ' ⊥ ( MAC ) Trong tam giác vng BCM ta có: CM = BC − BM = 4a − 3a = a Tương tự ta có AM = a nên tam giác ACM cân M Gọi N trung điểm AC Ta có MN ⊥ AC Trong tam giác vng AMN ta có: MN = AM − AN = a − a2 a = 1 a a3 VB AMC = S ABC BM = a.a = 3 2 Nên: VABC A ' B 'C ' = S ABC d ( B ', ( ABC ) ) = 3VB ' ABC = 6VM ABC = Bài tốn 12.27: Cho hình hộp đứng 3a (đvtt) ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình bình hành, · AB = 2a, BC = a, BAD = 600 , góc đường thẳng B’C mặt phẳng (ACC’A’) 30 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ khoảng cách hai đường thẳng AM, DD’ với M trung điểm CC’ Hướng dẫn giải Hạ BH ⊥ A ' C ' có BH ⊥ ( ACC ' A ') · ' CH Từ suy góc B’C mặt phẳng (ACC’A’) B Áp dụng định lý côsin tam giác ABC ta có:  1 AC = BC + BA2 − BC BA.cos1200 = a + 4a − 2a.2a  − ÷ = 7a  2 Suy AC = a Trang 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a.2a S B ' A ' B ' C '.sin120 Ta có: = a 21 B ' H = A ' B 'C ' = = A 'C ' A 'C ' a Tam giác vuông B’CH: B ' C = B'H 2a 21 = sin 30 Tam giác vuông BB’C: BB ' = B ' C − BC = 84a a 35 − a2 = 49 Nên: VABCD A ' B ' C ' D ' = AB AD.sin 600 AA ' = 2a.a a 35 a 105 = 7 Ta có AM song song với (ACC’A’) Do d ( DD ', AM ) = d ( DD ', ( ACC ' A ' ) ) = d ( D ', ( ACC ' A ' ) ) = d ( B ', ( ACC ' A ') ) = B ' H = a 21 Bài toán 12.28: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M, N trung điểm hai cạnh AA’ BB’ Mặt phẳng (MNC’) chia khối lăng trụ cho thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Hướng dẫn giải Nếu gọi V thể tích khối lăng trụ thể tích khối tứ diện C’ABC V 2V , thể tích khối chóp C’.ABB’A 3 Vì hai khối chóp C’.ABNM C’MNB’A’ có chiều cao có mặt 2V V = đáy nên thể tích khối chóp C’.MNB’A’ là: V1 = 3 Do tỉ số thể tích hai phần phân chia k = V1 = V2 Bài toán 12.29: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có AA ' = h Trên BB’ DD’ lấy hai điểm M N cho BM = DN = x < h Mặt phẳng (AMN) chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Hướng dẫn giải Trang 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta có mp(AMN) cắt khối hộp theo hình bình hành AMEN, với E nằm đoạn CC’ mà C ' E = x Qua M vẽ mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt khối hộp theo hình bình hành MJNI Gọi V1 thể tích phần khối hộp nằm thiết diện AMEN mp(A’B’C’D’) V thể tích phần cịn lại khối hộp Ta có: V1 = VMJNA ' B 'C ' D ' − VJMNE + VIAMN Vì VJMNE = VIAMN nên V1 = VIMJNA ' B 'C ' D ' Do V2 = VIMJNABCD Vậy V1 MB ' h − x = = V2 BM x Bài toán 12.30: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A1 B1C1 D1 có chiều cao nửa cạnh đáy Với M điểm cạnh AB, tìm giá trị lớn góc A1MC1 uuur r uuur r uuur r Chọn sở AB = a, AD = b, AA1 = c Hướng dẫn giải Gọi chiều cao h đáy hình vng cạnh 2h uuuu r uuur r M ∈ AB nên có số α cho: AM = α AB = α a , với ≤ α ≤ uuuu r uuur uuuu r r r MA1 = AA1 − AM = c − α a uuuur uuur uuur uuuu r r r r MC1 = MB + BC + CC1 = ( − α ) a + b + c r r MA12 = c − α a ( ) r2 rr r2 = c − 2α a.c + α a = h ( + 4α ) r r r 2 MC12 = ( − α ) a + b + c  = h  ( − α ) + 5   Do MA1 = h + 4α MC1 = h ( − α ) + uuuu r uuuur r r r r r MA1.MC1 = c − α a ( − α ) a + b + c  = h ( 2α − 1) ( ) uuuu r uuuur cos ϕ = cos MA1 , MC1 = ( ) ( 2α − 1) 2 ( + 4α ) 4 ( − α ) + 5 ≥0 Vậy ϕ lớn ⇔ ϕ = 90 ⇔ α = nên M trung điểm AB Bài 12.31: Cho ABC A1 B1C1 hình lăng trụ tam giác có tất cạnh dài a Xét đoạn thẳng có hai đầu nằm hai đường chéo BC CA1 hai mặt bên lăng trụ song song với mặt phẳng (ABB 1A1) Tính đoạn thẳng ngắn đoạn thẳng Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải uuur r uuur r uuur r Chọn hệ sở: AB = a, AC = b, AA1 = c Gọi M thuộc đoạn BC1 , N thuộc đoạn CA1 uuuu r uuur r r Ta có: MA1 = α CA1 = α c − b với ≤ α ≤ ( ) uuuur uuur r r r C1 N = β C1 B = β −b − c + a với ≤ β ≤ ( ) uuuu r uuuu r uuuur uuuur r r r r r r MN = MA1 + A1C1 + C1 N = α c − b + b + β a − b − c ( ) ( r r r = β a + ( 1−α − β ) b + ( α − β ) c ) uuur uuuu r uuuu r Vì MN / / mp ( ABB1 A1 ) CC1 / / mp ( ABB1 A1 ) nên ba vectơ AB, MN , CC1 đồng phẳng Do có cặp số ( p, q ) cho: uuuu r uuur uuuu r r r MN = p AB + qCC1 = pa + qc β = p p = β r r r r r   Do β a + ( − α − β ) b + ( α − β ) c = pa + qc ⇔ 1 − α − β = ⇔ α = − β α − β = q q = − β   r uuuu r r r Do MN = β a + 0.b + ( − β ) c nên: r2 MN = β a + ( − β ) r2 2c rr + 2β ( − β ) a.c 2 2 1  = β a + ( − 2β ) a + = ( 5β − 4β + 1) a =  β − ÷ a + ≥ a 5 5  MN nhỏ ⇔ MN nhỏ ⇔ β = Vậy MN = a giá trị nhỏ đoạn MN BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 12.1: Cho khối đa diện lồi Chứng minh a) Nếu đỉnh đỉnh chung ba cạnh số đỉnh phải số chẵn b) Nếu mặt tam giác đỉnh đỉnh chung ba cạnh khối tứ diện Hướng dẫn a) Giả sử khối đa diện có C cạnh có Đ đỉnh 3Đ = 2C b) Xét đỉnh A bất kỳ, đỉnh đỉnh chung ba cạnh nên đỉnh A đỉnh chung ba cạnh AB, AC, AD chứng minh ABCD khối tứ diện Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tập 12.3: Chứng minh: a) Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối tám mặt b) Tâm mặt khối tứ diện đỉnh khối tứ diện Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa khối đa diện loại {n, p} mặt đa giác n cạnh đỉnh đỉnh chung p cạnh b) Dùng phép vị tự tâm trọng tâm G tứ diện tỉ k = − Bài tập 12.3: Chứng minh tổng bình phương khoảng cách từ đỉnh hình lập phương cạnh a, đến đường thẳng d qua tâm số khơng đổi Hướng dẫn Gọi hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tâm O d qua O Ghép tổng bình phương cặp có đỉnh mút đường chéo có trung điểm chung O Kết 4a Bài tập 12.4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên AB, CC’, C’D’ AA’ lấy điểm M, N, P, Q cho AM = C ' N = C ' P = AQ = x ( ≤ x ≤ a ) Chứng minh điểm M, N, P, Q đồng phẳng tính giá trị lớn nhỏ chu vi thiết diện cắt (MNPQ) Hướng dẫn Dùng hình học vectơ, trải thiết diện MNPQ lên mp(AA’,BB’) Bài tập 12.5: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’, đường cao h Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên ABB’A’ góc α Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ Hướng dẫn Lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh bên vng góc với đáy Kết V = h ( tan α − 1) Bài tập 12.6: Cho hình lập phương ABCDA1 B1C1 D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB 1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N Hướng dẫn a) Dùng đường chéo đường thẳng vng góc với A1B B1D Kết d ( A1 B, B1 D ) = a Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) Dùng định lý côsin hay vectơ Bài tập 12.7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi K L trung điểm cạnh B’C’ C’D’ Hãy xác định tính thiết diện hình lập phương với mặt phẳng (AKL) Hướng dẫn Thiết diện hình lập phương với mặt phẳng (AKL) ngũ giác Tính gián tiếp cắt chai hay bù trừ, dùng S ' = S cos φ Kết S = 17 a 24 Bài tập 12.8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có: AB = AA ' = a AD = 2a a) Chứng minh AB’ vng góc với BD’ tính khoảng cách đường thẳng AB’ C’D’ b) Tính khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (B’CD’) Hướng dẫn a) Dùng hình chiếu vng góc Kết d ( AB ', C'D') = 2a b) Kết d ( C ', ( B ' D ' C ) ) = 2a Bài tập 12.9: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy hình thang AB//CD có AD = CD = BC = a, AB = 2a Mặt phẳng (P) qua A cắt cạnh BB’, CC’, DD’ · M, N, P Cho góc BCC ' = ·ADB ' = 600 BM = 3a Định (P) để AMNP hình thang cân Hướng dẫn Dùng hình học vectơ Kết PD = a Bài tập 12.10: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu đỉnh A’ mp(ABC) trung điểm BC Tính thể tích khối chóp A’.ABC cosin góc đường thẳng AA’, B’C’ Hướng dẫn Tính trực tiếp Kết VA ' ABC = a3 , cos ϕ = Bài tập 12.11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A’ cách điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tính thể tích lăng trụ diện tích mặt bên BCC’B’ Hướng dẫn Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Vẽ hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC nằm trước rồi, xác định A’ cách điểm A, B, C Kết V = a3 2a (đvtt), S = (đvdt) Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... số khối đa diện số mặt tam giác 4, 6, 8, 10 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 12. 4: Chứng minh đặc số Ơ-le khối đa diện lồi: Đối với khối đa diện. .. đỉnh khối đa diện Giả sử tồn khối đa diện lồi có C = Ta có đặc số Ơ-le: Đ – C + M = nên Đ + M = Vì Đ ≥ , M ≥ nên Đ = 4, M = Đ = 5, M = Với Đ = khối đa diện lồi tứ diện: loại Với M = khối đa diện. .. giác đều, chúng làm thành khối đa diện với đỉnh M, N, P, Q, R, S mà đỉnh đỉnh chung bốn cạnh Vậy khối tám mặt Bài toán 12. 7: Hãy phân chia: a) Một khối hộp thành năm khối tứ diện b) Một khối tứ diện