CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: TỔNG LŨY THỪA Phương pháp: So sánh số hạng tổng với số hạng tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn giá trị k đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, ngược lại Bài 1: Chứng minh rằng: A = 1 1 + + + + 1 2 1002 HD: Ta thấy tốn có dạng tổng lũy thừa bậc hai, nên ta phân tích tổng A sau: 1 1 A= + + + + + 2.2 3.3 4.4 99.99 100.100 Đến ta so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, u cầu tốn chứng minh nhỏ 1 1 1 1 1 1 1 A + + + + + = − + − + − + + − + − 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 98 99 99 100 1 A − 1 100 1 1 1 Bài 2: Chứng minh rằng: + + + + 6 100 HD: Ở toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ ta cần chứng minh: 1 1 1 Chứng minh A A = + + + + + 99 100 1 1 1 1 1 Ta có: A = + + + + + + + + + + 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 96 1 96 đến đây, ta so sánh với sau: A − = 505 101 505 96 96 Ta có: với 96 để hai phân số = cách ta nhân tử mẫu phân số 505 576 6 96 96 tử so sánh ta có: A (1) = 505 567 1 1 1 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A = + + + + + 99 100 Ta làm tương tự sau : 1 1 1 1 1 A= + + + + + + + + + + 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 1 => A − (2) 100 1 Từ (1) (2) ta có : A 1 1 Bài 3: Chứng minh rằng: + + + + 2 100 HD : 1 1 1 1 1 Ta biến đổi: A = + + + + + + + + + + 3.3 4.4 99.99 100.100 2.3 3.4 4.5 99.100 1 3 A + − = − 100 100 GV: Ngô Thế Hoàng_ THCS Hợp Đức Bài 4: Chứng minh rằng: A = 1 1 + + + + 2 100 HD : Nhận thấy tổng lũy thừa số lại chẵn, nên ta đưa tổng lũy thừa hai liên tiếp sau : 1 1 1 1 1 1 A = 1 + + + + + 1 + + + + + 50 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 => A 1 + − = − 4 50 200 2 100 Bài 5: Chứng minh rằng: A = + + + + 100 2 2 HD : Nhận thấy có dạng tổng lũy thừa số, nên ta thực phép tính tổng A Việc tính xác tổng A giảm bớt sai số, nhiên tổng tính được, 99 100 Ta tính tổng A sau: A = + + + + + 98 + 99 2 2 Sau lấy 2A trừ A theo vế nhóm phân số có mẫu ta : 1 1 1 100 A = + + + + 99 − 100 , đặt B = + + + + 99 tính tổng B theo cách ta 2 2 2 2 1 100 1 : B = − 99 , thay vào A ta : A = + − 99 − 100 2 2 2 2 100 Bài 6: Chứng minh rằng: A = + + + + 100 3 3 HD : 1 1 100 Tính tượng tự 5, ta có: A = + + + + + 99 − 100 , 3 1 1 Đặt B = + + + + 99 , tính B thay vào tổng A ta 3 3 1 1 100 3 B= − = A = + − − 100 = A + = = A 99 99 2.3 2.3 2 1 1 Bài 7: Chứng minh rằng: A = + + + + n HD : 1 1 1 1 + + + + + + + + = 1− 2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n ( n −1) n 1 1 Bài 8: Chứng minh rằng: A = + + + + (2n) Ta có : A = HD : Ta có : A = Bài 9: So sánh A = 11 1 1 1 1 1 1 = − + + + + + + + = 1− 2 2 n 1.2 2.3 ( n −1) n n 4n 1 1 với + + + + 2 2 (2n) HD : 1 1 1 1 1 1 + + + + 1 + − = − 2 n 4 n 4n 1 1 Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n>2 A = + + + + + không số tự nhiên n HD : A= GV: Ngơ Thế Hồng_ THCS Hợp Đức Ta có : A + 1 + + + mặt khác ta thấy A>1 ta có : 1 B 3 3 3 3 3 2015 Bài 19: Chứng minh rằng: M = + + + + 2015 có giá trị không nguyên 3 3 HD : Tính M = M nên M < M > M khơng có giá trị nguyên 2 2 1003 Bài 20: Chứng minh rằng: A = + + + + 2007 2008 HD : 2 2 1 1003 A + + + + = − = 2.4 4.6 6.8 2006.2008 2008 2008 3 Bài 21: Chứng minh rằng: S = + + + 1 1.4 4.7 n(n + 3) HD : 1 1 1 1 S = 1 − + − + + − 1A = 1− n+3 4 4 7 n n+3 1 1 Bài 22: Chứng minh rằng: B = − − − − − 2 2004 2004 HD: 1 1 B = − + + + + , Đặt tổng ngặc B ta có: 20042 2 1 1 1 A + + + + 1− = − A −1 + 1.2 2.3 3.4 2003.2004 2004 2004 1 B 1− A = 1−1+ = B 2004 2004 1 1 Bài 23: Chứng minh rằng: − + − + 2002 − 2004 0, 2 2 2 HD: 1 1 1 1 1 Ta có: A = − + − + 2004 − 2006 = A + A = − 2006 2 2 2 5A 1 = A =0.2 4 1 Bài 24: Chứng minh rằng: A = + + + A 50 HD: 1 1 1 1 48 48 Ta có : A = + + + + + + + = − = = 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 51 153 192 Mặt khác : 1 1 1 1 1 191 200 A= + + + + + + + + = + − = = 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 49.50 50 450 450 Vậy A GV: Ngô Thế Hoàng_ THCS Hợp Đức Bài 25: Cho A = 1 , CMR: A + + + 12 1.2 3.4 99.100 HD: 1 1 1 1 => A = + + + + + + + + + + 51 52 100 75 76 77 100 51 52 1 1 1 1 TH1: A 25 + TH2: A 25 + 25 = + = 25 = + = 75 50 100 75 12 1 Bài 26: Cho A = + + + , CMR: A < 2 50 HD: 1 1 1 1 Ta có: A = + + + + 1+ + + + + = 2− 2 2.2 3.3 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50 Bài 27: CMR: 99 100 1 1 1 a, − + − + − b, − + − + + 99 − 100 3 3 3 16 16 32 64 HD: 1 1 1 1 1 a, Ta có: A = − + − + − = A = − + − + − 16 32 64 16 32 1 Nên A + A = A = − = A 64 1 1 100 b, Ta có: A + A = A = − + − + − − 99 − 100 3 3 3 1 1 Đặt B = − + − + − − 99 = B = − 99 , Thay vào A ta được: 3 3 3.3 100 3 A = − 99 − 100 = A 4 16 1 1 Bài 28: CMR : − + + 98 − 100 7 7 50 HD: 1 1 1 Đặt A = − + + 98 − 100 Nhân 49 A => 50 A = − 100 = A 7 7 50 CMR: A = 1 1 1 − + − + + 98 − 100 , CMR: A 7 7 50 7 4019 1 Bài 30: CMR : 2 + 2 + 2 + + 2 3 20092.20102 Bài 29: Cho A = 1 1 + + + + 99 5 5 2012 2012 2012 2012 Bài 32: CMR: + + + + 2 2 2011 + 2011 + 2011 + 20112 + 2011 HD: Bài 31: CMR: A = 2012 2012 2012 2012 , tương tự : 2 , 2011 + 2011 2011 + 20112 2012 2012 2012 2012.2011 2012 A + + + = = = A 2 2011 2011 20112 20112 2011 2012 2012 2012 2012 = Mặt khác: , , Tương tự vậy: 2 2011 + 2011 + 2011 2011 + 20112 + 2011 2012 2012 2012 2012.2011 2012.2011 A + + + = = =1 2 2 2011 + 2011 2011 + 2011 2011 + 2011 2011 + 2011 2011( 2011 + 1) Ta có: GV: Ngơ Thế Hồng_ THCS Hợp Đức Bài 33: CMR: CMR : 1 1 + + + + 10 100 HD: 1 1 1 ; ; ; = 10 10 100 10 1 1 1 100 + + + + + + + = = 10 10 10 100 10 10 15 2499 Bài 34: CMR: E = + + + + > 48 16 2500 HD: 1 1 1 E = 1 − + 1 − + 1 − + + 1 − 16 2500 1 1 = 49 − + + + + 48 50 2 1 A + + + Bài 35: Cho A = , CMR: 12 1.2 3.4 99.100 HD: 1 1 1 1 CMR: A = + + + => A = + + + + + + + 51 52 100 75 76 77 100 51 52 1 1 1 1 25 = + = TH1: A 25 + TH2: A 25 + 25 = + = 75 50 100 75 12 1 Bài 36: CMR : + + + + 45 2025 1 1 + + + + 100 Bài 37: CMR: + 2500 HD: 2 = = n − n − , ( n 1) Xét số hạng tổng quát: n n+ n n + n −1 1 + + + n − n − + + − + − Do đó: + n 1 + + + 2500 = 100 Với n=2500 ta có: A = + 2500 1 1 Bài 38: Chứng minh rằng: A = + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 HD: 1 2A = − = C = − 19.40 1.2 19.20 36 36 36 36 Bài 39: Chứng minh rằng: D = + + + + 3 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 HD: 4 D = 9 + + + + − 3 = 9 = 3− 25.27.29 3.29 1.3.5 3.5.7 5.7.9 1.3 27.29 1 1 Bài 40: CMR: + + + + 2 1990 99 1 1 99 + + + + + Bài 41: CMR: 202 99 100 100 Ta có : ( ( GV: Ngơ Thế Hồng_ THCS Hợp Đức ) ) DẠNG 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp: Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối so sánh nhóm với nhau, để tạo ngoặc có tử, so sánh bình thường Bài 1: CMR: 1 1 1 1 + + + + + + 16 36 64 100 144 196 HD: = 1 1 + + + + 2 14 Bài 2: CMR: 1 1 1 1 + + + + + + 13 25 41 61 85 113 HD: 1 1 1 1 1 = + + + + + + + = + 12 12 12 60 60 60 20 Bài 3: CMR: 11 1 1 + + + + + 15 21 22 23 59 60 HD: 1 1 1 + + + + + + 20 20 60 60 20 60 Bài 4: CMR: 1 1 + + + + + 41 42 43 79 80 12 HD: 1 1 1 1 1 Nhóm thành ngoặc: Khi ta có: VT = + + + + + + + + + 60 61 62 63 80 41 42 43 1 20 20 1 1 = VT + + + + + + + = + = + = 60 80 80 80 60 80 12 60 60 1 1 2010 2011 2012 + + Bài 5: So sánh A B biết : A = B = + + + + 17 2011 2012 2010 HD: 1 A = 1 − − − + 1 − + 1 + = 3+ + 3 2011 2012 2010 2010 2011 2010 2012 1 1 1 1 1 5 1 B = + + + + + + + + + + Tổng B có 15 số 7 8 12 13 17 10 3 1 1 Bài 6: Cho M = + + + + , CMR: M Chứng minh rằng: HD: a a a+b+c a+b+c+d b b b+c+d a+b+c+d Ta có: c c c+d +a a+b+c+d d d d +a+b a+b+c+d a a+d a+b+c a+b+c+d b b+a b+c+d a+b+c+d c c+b c+d +a a+b+c+d d d +c d +a+b a+b+c+d Bài 6: Cho a, b, c, d > 0, Chứng minh rằng: Cộng theo vế ta được: A a+b b+c c+d d +a + + + 3 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b HD: Ta có: a+b a+b+c+d b+c a+b+c+d c+d a+b+c+d d +a a+b+c+d a+b a+b+d a+b+c a+b+c+d b+c a+b+c b+c+d a+b+c+d c+d c+d +b c+d +a a+b+c+d d +a d +a+c a+b+d a+b+c+d Cộng theo vế ta được: 2 243 1 1 A = A2 A = = A 3.2 46 73 8 27 27 10 244 ( 3 .6. 9 2 46 )( 3.4 .7 244) 199 Bài 5: Chứng minh rằng: P = Chứng minh P 200 201 HD : (1.3.5 199 )( 2.4 .6. .. ngoặc) 75 . 76 51 100 52 99 75 76 51.100 52.99 Ta có: A = A 151.25 151 155 155 31 = = 51.100 204 204 200 40 GV: Ngơ Thế Hồng_ THCS Hợp Đức (1) 25 151 150 150 (2) = = 75 .76