1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

chuyen de bat dang thuc boi duong hoc sinh gioi toan 6 7

17 6 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 17
Dung lượng 422,07 KB

Nội dung

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: TỔNG LŨY THỪA Phương pháp: So sánh số hạng tổng với số hạng tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn giá trị k đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, ngược lại Bài 1: Chứng minh rằng: A = 1 1 + + + + 1 2 1002 HD: Ta thấy tốn có dạng tổng lũy thừa bậc hai, nên ta phân tích tổng A sau: 1 1 A= + + + + + 2.2 3.3 4.4 99.99 100.100 Đến ta so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, u cầu tốn chứng minh nhỏ 1 1 1  1   1   1   1   A + + + + + =  −  +  −  +  −  + +  −  +  −  1.2 2.3 3.4 98.99 99.100        98 99   99 100  1 A − 1 100 1 1 1 Bài 2: Chứng minh rằng:  + + + +  6 100 HD: Ở toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ ta cần chứng minh: 1 1 1 Chứng minh A  A = + + + + + 99 100 1 1 1 1 1 Ta có: A = + + + + +  + + + + + 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 96 1 96 đến đây, ta so sánh với sau: A − = 505 101 505 96 96 Ta có: với 96 để hai phân số  = cách ta nhân tử mẫu phân số 505 576 6 96 96 tử so sánh ta có: A  (1)  = 505 567 1 1 1 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A = + + + + +  99 100 Ta làm tương tự sau : 1 1 1 1 1 A= + + + + +  + + + + + 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 1 => A  − (2)  100 1 Từ (1) (2) ta có :  A  1 1 Bài 3: Chứng minh rằng: + + + +  2 100 HD : 1 1 1 1 1 Ta biến đổi: A = + + + + +  + + + + + 3.3 4.4 99.99 100.100 2.3 3.4 4.5 99.100 1 3 A + − = −  100 100 GV: Ngô Thế Hoàng_ THCS Hợp Đức Bài 4: Chứng minh rằng: A = 1 1 + + + +  2 100 HD : Nhận thấy tổng lũy thừa số lại chẵn, nên ta đưa tổng lũy thừa hai liên tiếp sau : 1 1 1  1 1 1  A = 1 + + + + +   1 + + + + +   50   1.2 2.3 3.4 49.50  1 1 => A  1 + −  = −  4 50  200 2 100 Bài 5: Chứng minh rằng: A = + + + + 100  2 2 HD : Nhận thấy có dạng tổng lũy thừa số, nên ta thực phép tính tổng A Việc tính xác tổng A giảm bớt sai số, nhiên tổng tính được, 99 100 Ta tính tổng A sau: A = + + + + + 98 + 99 2 2 Sau lấy 2A trừ A theo vế nhóm phân số có mẫu ta : 1 1 1 100 A = + + + + 99 − 100 , đặt B = + + + + 99 tính tổng B theo cách ta 2 2 2 2 1 100 1 : B = − 99 , thay vào A ta : A = + − 99 − 100  2 2 2 2 100 Bài 6: Chứng minh rằng: A = + + + + 100  3 3 HD : 1 1 100 Tính tượng tự 5, ta có: A = + + + + + 99 − 100 , 3 1 1 Đặt B = + + + + 99 , tính B thay vào tổng A ta 3 3 1 1 100 3 B= − = A = + − − 100 = A  + = = A  99 99 2.3 2.3 2 1 1 Bài 7: Chứng minh rằng: A = + + + +  n HD : 1 1 1 1 + + + +  + + + + = 1−  2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n ( n −1) n 1 1 Bài 8: Chứng minh rằng: A = + + + +  (2n) Ta có : A = HD : Ta có : A = Bài 9: So sánh A = 11 1  1 1  1 1 1 = −  + + + +    + + +  = 1−  2 2 n   1.2 2.3 ( n −1) n   n  4n 1 1 với + + + + 2 2 (2n) HD : 1 1  1 1 1 1 + + + +   1 + −  = −    2 n  4 n  4n 1 1 Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n>2 A = + + + + + không số tự nhiên n HD : A= GV: Ngơ Thế Hồng_ THCS Hợp Đức Ta có : A  + 1 + + +  mặt khác ta thấy A>1 ta có : 1 B  3 3 3 3 3 2015 Bài 19: Chứng minh rằng: M = + + + + 2015 có giá trị không nguyên 3 3 HD : Tính M = M  nên M < M > M khơng có giá trị nguyên 2 2 1003 Bài 20: Chứng minh rằng: A = + + + +  2007 2008 HD : 2 2 1 1003 A + + + + = − = 2.4 4.6 6.8 2006.2008 2008 2008 3 Bài 21: Chứng minh rằng: S = + + + 1 1.4 4.7 n(n + 3) HD :   1 1 1 1 S = 1 −  +  −  + +  −  1A  = 1− n+3  4 4 7  n n+3 1 1 Bài 22: Chứng minh rằng: B = − − − − −  2 2004 2004 HD:  1 1 B = −  + + + +  , Đặt tổng ngặc B ta có: 20042  2 1 1 1 A + + + +  1− = − A  −1 + 1.2 2.3 3.4 2003.2004 2004 2004 1 B  1− A = 1−1+ = B  2004 2004 1 1 Bài 23: Chứng minh rằng: − + − + 2002 − 2004  0, 2 2 2 HD: 1 1 1 1 1 Ta có: A = − + − + 2004 − 2006 = A + A = − 2006  2 2 2 5A 1  = A  =0.2 4 1 Bài 24: Chứng minh rằng: A = + + +  A  50 HD: 1 1 1 1 48 48 Ta có : A = + + + +  + + + = − =  = 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 51 153 192 Mặt khác : 1 1 1 1 1 191 200 A= + + + +  + + + + = + − =  = 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 49.50 50 450 450 Vậy  A  GV: Ngô Thế Hoàng_ THCS Hợp Đức Bài 25: Cho A = 1 , CMR:  A + + + 12 1.2 3.4 99.100 HD: 1 1 1 1  => A =  + + +  +  + + + + + +  51 52 100 75   76 77 100   51 52 1 1 1 1 TH1: A  25 + TH2: A  25 + 25 = + = 25 = + = 75 50 100 75 12 1 Bài 26: Cho A = + + + , CMR: A < 2 50 HD: 1 1 1 1 Ta có: A = + + + +  1+ + + + + = 2− 2 2.2 3.3 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50 Bài 27: CMR: 99 100 1 1 1 a, − + − + − b, − + − + + 99 − 100   3 3 3 16 16 32 64 HD: 1 1 1 1 1 a, Ta có: A = − + − + − = A = − + − + − 16 32 64 16 32 1 Nên A + A = A = −  = A  64 1 1 100 b, Ta có: A + A = A = − + − + − − 99 − 100 3 3 3 1 1 Đặt B = − + − + − − 99 = B = − 99 , Thay vào A ta được: 3 3 3.3 100 3 A = − 99 − 100  = A  4 16 1 1 Bài 28: CMR : − + + 98 − 100  7 7 50 HD: 1 1 1 Đặt A = − + + 98 − 100 Nhân 49 A => 50 A = − 100  = A  7 7 50 CMR: A = 1 1 1 − + − + + 98 − 100 , CMR: A  7 7 50 7 4019 1 Bài 30: CMR : 2 + 2 + 2 + + 2 3 20092.20102 Bài 29: Cho A = 1 1 + + + + 99  5 5 2012 2012 2012 2012 Bài 32: CMR:  + + + + 2 2 2011 + 2011 + 2011 + 20112 + 2011 HD: Bài 31: CMR: A = 2012 2012 2012 2012   , tương tự : 2 , 2011 + 2011 2011 + 20112 2012 2012 2012 2012.2011 2012 A + + + = =  = A  2 2011 2011 20112 20112 2011 2012 2012 2012 2012  = Mặt khác: , , Tương tự vậy: 2 2011 + 2011 + 2011 2011 + 20112 + 2011 2012 2012 2012 2012.2011 2012.2011 A + + + = = =1 2 2 2011 + 2011 2011 + 2011 2011 + 2011 2011 + 2011 2011( 2011 + 1) Ta có: GV: Ngơ Thế Hồng_ THCS Hợp Đức Bài 33: CMR: CMR : 1 1 + + + +  10 100 HD: 1 1 1  ;  ; ; = 10 10 100 10 1 1 1 100 + + + +  + + + = = 10 10 10 100 10 10 15 2499 Bài 34: CMR: E = + + + + > 48 16 2500 HD: 1   1  1   E = 1 −  + 1 −  + 1 −  + + 1 −       16   2500   1 1 = 49 −  + + + +   48 50  2 1  A + + + Bài 35: Cho A = , CMR: 12 1.2 3.4 99.100 HD: 1 1 1 1  CMR: A = + + + => A =  + + +  +  + + +  51 52 100 75   76 77 100   51 52 1 1 1 1 25 = + = TH1: A  25 + TH2: A  25 + 25 = + = 75 50 100 75 12 1 Bài 36: CMR : + + + +  45 2025 1 1 + + + +  100 Bài 37: CMR: + 2500 HD: 2 =  = n − n − , ( n  1) Xét số hạng tổng quát: n n+ n n + n −1 1 + + +  n − n − + + − + − Do đó: + n 1 + + +  2500 = 100 Với n=2500 ta có: A = + 2500 1 1 Bài 38: Chứng minh rằng: A = + + + +  1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 HD:  1  2A =  −   = C = − 19.40  1.2 19.20  36 36 36 36 Bài 39: Chứng minh rằng: D = + + + + 3 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 HD: 4     D = 9 + + + + − 3  = 9  = 3− 25.27.29  3.29  1.3.5 3.5.7 5.7.9  1.3 27.29  1 1  Bài 40: CMR: + + + + 2 1990 99 1 1 99  + + + + +  Bài 41: CMR: 202 99 100 100 Ta có : ( ( GV: Ngơ Thế Hồng_ THCS Hợp Đức ) ) DẠNG 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp: Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối so sánh nhóm với nhau, để tạo ngoặc có tử, so sánh bình thường Bài 1: CMR: 1 1 1 1 + + + + + +  16 36 64 100 144 196 HD: = 1 1 + + + +  2 14 Bài 2: CMR: 1 1 1 1 + + + + + +  13 25 41 61 85 113 HD:  1 1 1 1 1 = + + + + + + + = + 12 12 12 60 60 60 20 Bài 3: CMR: 11 1 1  + + + + +  15 21 22 23 59 60 HD:  1 1 1 + + + + + +  20 20 60 60 20 60 Bài 4: CMR: 1 1 + + + + +  41 42 43 79 80 12 HD:  1 1 1 1 1 Nhóm thành ngoặc: Khi ta có: VT =  + + + +  +  + + + +  60   61 62 63 80   41 42 43   1  20 20 1  1 = VT   + + +  +  + + +  = + = + = 60   80 80 80  60 80 12  60 60 1 1 2010 2011 2012 + + Bài 5: So sánh A B biết : A = B = + + + + 17 2011 2012 2010 HD:        1    A = 1 − − −  + 1 −  + 1 +  = 3+  + 3  2011   2012   2010   2010 2011   2010 2012  1 1 1 1 1 5 1 B =  + +  +  + +  +  + +   + + Tổng B có 15 số 7 8 12   13 17  10 3 1 1 Bài 6: Cho M = + + + + , CMR: M Chứng minh rằng:  HD: a a  a+b+c a+b+c+d b b  b+c+d a+b+c+d Ta có: c c  c+d +a a+b+c+d d d  d +a+b a+b+c+d a a+d  a+b+c a+b+c+d b b+a  b+c+d a+b+c+d c c+b  c+d +a a+b+c+d d d +c  d +a+b a+b+c+d Bài 6: Cho a, b, c, d > 0, Chứng minh rằng:  Cộng theo vế ta được:  A  a+b b+c c+d d +a + + + 3 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b HD: Ta có: a+b a+b+c+d b+c a+b+c+d c+d a+b+c+d d +a a+b+c+d a+b a+b+d  a+b+c a+b+c+d b+c a+b+c   b+c+d a+b+c+d c+d c+d +b   c+d +a a+b+c+d d +a d +a+c   a+b+d a+b+c+d  Cộng theo vế ta được: 2 243 1 1 A  = A2  A  =  = A  3.2 46 73 8 27 27 10 244 ( 3 .6. 9 2 46 )( 3.4 .7 244) 199 Bài 5: Chứng minh rằng: P = Chứng minh P  200 201 HD : (1.3.5 199 )( 2.4 .6. .. ngoặc) 75 . 76   51 100   52 99   75 76   51.100 52.99 Ta có: A =  A 151.25 151 155 155 31 =   = 51.100 204 204 200 40 GV: Ngơ Thế Hồng_ THCS Hợp Đức (1) 25 151 150 150 (2) =   = 75 .76

Ngày đăng: 13/10/2022, 08:32

w