chuyen de ham so boi duong hoc sinh gioi toan thcs

2 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC HAI CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ BẬC NHẤT Nhắc lại kiến thức hàm số Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định giá trị số tương ứng y y gọi hàm số x Đồ thị hàm số y  f (x ) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng x ; f (x ) mặt phẳng tọa độ Khi x thay đổi mà y ln nhận giá trị khơng đổi y gọi hàm Chẳng hạn y  hàm hằng, đồ thị hàm số đường thẳng vng góc với trục tung, cắt trục tung điểm có tung độ Cho hàm số y  f (x ) xác định với giá trị x thuộc  Với x 1, x thuộc  : Nếu x  x mà f x   f x  ta nói hàm số đồng biến  , Nếu x  x mà f x   f x  ta nói hàm số nghịch biến  Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số f (x )  ax  bx  cx  ( a, b, c số) Cho biết f (3)  208 Tính f (3) Lời giải Ta có f (3)  a(3)5  b(3)3  c(3)  ; f (3)  a.35  b.33  c.3  Nên f (3)  f (3)  10 Do 208  f (3)  10 Vậy f (3)  10  208  218 Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Bình Giang năm 2012-2013) m − 2013m + 2012 x − 2011 hàm số nghịch biến Tìm m = để hàm số bậc y m − 2m + Lời giải Để hàm số y = m − 2m + 3= m − 2013m + 2012 m − 2013m + 2012 nghịch biến x − 2011 < (1) m − 2m + m − 2m + ( m− ) + > ∀m (1) ⇔ m − 2013m + 2012 < ⇔ ( m − 1)( m − 2012 ) < sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC  m − >  m >   m − 2012 < m < 2012  ⇔ ⇔  m − <  m <    m − 2012 >  m > 2012 ⇒ < m < 2012 Vậy < m < 2012 hàm số nghịch biến Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011) Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) Chứng minh hàm số (*) đồng biến R với m Lời giải 5  Ta có: 3m2 – 7m + =  m − m +  3    49 60  =  m −  − +   36 36     11  =  m −  +  > ∀m  36   Vây f(x) đồng biến R với m Ví dụ Với giá trị m hàm số sau hàm số bậc nhất: − 4m a) y = x− b) y = x− m −4 Lời giải a) Để hàm số hàm số bậc thì: − 4m ≠ ⇔ − 4m ≠ ⇔ m ≠ Vậy để hàm số hàm số bậc m ≠ b) Để hàm số hàm số bậc m ≠ m ≠ -2 CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ Y = AX2 Tóm tắt lý thuyết: Hàm số y  ax a  0 xác định với số thực x Đồ thị hàm số y  ax đường thẳng qua gốc toạ độ Trên tập hợp số thực, hàm số y  ax đồng biến a  , nghịch biến a  Ví dụ minh họa: sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Ví dụ Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm A, B,C có toạ độ A(0; 4), B(3; 4),C (3; 0) Hãy tìm hệ số a cho đường thẳng y  ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần, diện tích phần chứa điểm A gấp đơi diện tích phần chứa điểm C Lời giải (h.2) Đường thẳng y  ax phải cắt cạnh BC hình chữ nhật OABC , gọi giao điểm E có toạ độ (3; 3a )  4.3  12 SOABC  OAOC SOCE  1 SOABC  12  3 CE  2.SOCE : OC  2.4 :  Từ 3a  8 a  9 Đường thẳng phải tìm y  x Ví dụ Cho hàm số y  x  2x   x  2x  a) Vẽ đồ thị hàm số b) Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ y , giá trị lớn y Lời giải a) y  (x  1)2  (x  1)2 | x  |  | x  | Lập bẳng xét dấu 1 x x 1  x 1      Với x  1 y  (x  1)  (1  x )  2 Với 1  x  y  (x  1)  (1  x )  2x Với x  y  (x  1)  (x  1)  Đồ hàm số vẽ hình b) Trên đồ thị, ta thấy: y  2  x  1 ; max y   x  sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Ví dụ Cho điểm A(1; 4) B(3;1) Xác định đường thẳng y  ax cho A B nằm hai phía đường thẳng cách đường thẳng Lời giải Kí hiệu đường thẳng phải tìm d Gọi AH BK khoảng cách từ A đến B đến đường thẳng d Đường thẳng qua A song song 4  với Ox cắt d điểm M  ; 4 Đường thẳng qua B a  1  song song với Ox cắt d điểm N  ;1 a  Ta có AH  BK  AM  NB  1   a a (1) 5 Giải (1) ta a  , đường thẳng d phải tìm y  x Chú ý: a) Nếu đề khơng có điều kiện “ A B nằm hai phía đường thẳng y  ax ” thay cho (1) ta phải viết    Khi ngồi (1), ta cịn phải giải a a    Trường hợp cho kết a   , điểm A B nằm phía đối a a 3 với đường thẳng y   x cách đường thẳng (đường thẳng y   x đường thẳng d ' hình 4) b) Nếu sử dụng cơng thức tính toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB đường thẳng y  ax Ví dụ 21 qua điểm M (2; 2, 5) , ta tìm a  2, 5  CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ BẬC NHẤT Y = AX + B Tóm tắt lý thuyết: Hàm số bậc hàm số cho công thức y  ax  b , a b số thực xác định, a  Hàm số y  ax  b (a  0) xác định với số thực x Trên tập hợp số thực, hàm số y  ax  b đồng biến a  , nghịch biến a  Đồ thị hàm số bậc đường thẳng cắt hai trục toạ độ Hàm số y  ax trường hợp đặc biệt hàm số y  ax  b b  Ví dụ minh họa: sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Ví dụ Cho hai điểm A(x 1; y1 ), B(x ; y2 ) với x  x , y1  y2 Chứng minh đường thẳng y  ax  b qua A B y  y1 y  y1  x  x1 x  x1 Lời giải Đường thẳng y  ax  b qua A(x 1; y1 ) nên y1  ax  b , suy (1) y  y1  a(x  x ) Đường thẳng y  ax  b qua B(x ; y2 ) nên y2  ax  b , suy ra: y2  y1  a(x  x ) Từ (1) (2) suy y  y1 x  x1  y  y1 x  x1 y  y1 y  y1  x  x1 x  x1 (2) Ví dụ Cho đường thẳng y  mx  m  ( m tham số) (1) a) Chứng minh đường thẳng (1) qua điểm cố định với giá trị m b) Tính giá trị m để đường thẳng (1) tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích Lời giải a) Điều kiện để đường thẳng (1) qua điểm cố định N (x ; y ) với m là: y  mx  m   với  (x  1)m  (y  1)  với m x   x  1     y   y  1   Vậy đường thẳng (1) qua điểm cố định N (1; 1) b) Gọi A giao điểm đường thẳng (1) với trục tung Với x  y  m  , OA | m  | sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Gọi B giao điểm đường thẳng (1) với trục hồnh Với y  x  OB  1m nên m 1m m S AOB    OAOB   OAOB 4  m  2m   4m(2) (m  1)2    |m | m  2m   4m(3) Giải (2) ta có m  6m    (m  3)2  | m  | 2  m   2 Giải (3) ta có m  2m    (m  1)2   m  1 Có ba đường thẳng qua N tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích 2: Với m   2 , ta có đường thẳng y  (3  2)x  (2  2) Với m   2 , ta có đường thẳng y  (3  2)x  (2  2) Với m  1 , ta có đường thẳng y  x  CHỦ ĐỀ 4: HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Y = AX + B Tóm tắt lý thuyết: Xét hai đường thẳng d d  theo thứ tự có phương trình y  ax  b (a  0) y  a x  b  (a   0) Ta có: d  d   a  a  b  b  d trùng d   a  a  b  b  d cắt d   a  a  d  d   aa   1 Xét đường thẳng y  ax  b (a  0) Gọi A giao điểm đường thẳng y  ax  b trục Ox ,T điểm thuộc đường thẳng y  ax  b có tung độ dương Ta gọi góc tạo đường thẳng y  ax  b trục Ox góc tạo bỏi tia AT tia Ax Đặt góc  , 00    900 tg  a , a  900    1800 tg(1800  )  a Cho biết a , ta tính  , hệ số a gọi hệ số góc đường thẳng y  ax  b Ví dụ minh họa: Ví dụ Tìm số dương m, n cho hệ số góc đường thẳng y  mx gấp bốn hệ số góc đường thẳng y  nx , góc tạo đường thẳng y  mx với trục Ox gấp đối góc tạo đường thẳng y  nx với trục Ox sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lời giải Qua điểm C (1; 0) kẻ đường thẳng vng góc với trục hoành, cắt đường thẳng y  nx , y  mx theo thứ tự A, B Ta có A(1; n ), B(1; m ) Do m  4n nên BC  4n, AB  3n Theo tính chất đường phân giác tam giác OBC , ta có: AB OB 3n OB     OB  AC OC n Theo định lý Py-ta-go tam giác OBC , vuông C có: BC  OB  OC  32  12   BC   m   2 , n 2  Ví dụ Cho hai đường thẳng d d  xác định y  ax (a  0) y  a x (a   0) Chứng minh điều kiện để đường thẳng d d  vuông góc với aa   1 Lời giải Ta thấy d  d  hai đường thẳng d d  , có đường (giả sử d ) nằm góc vng phần tư I III, đường (là d  ) nằm góc vng phần tư II IV, a  a   Qua điểm H (1; 0) , kẻ đường thẳng vng góc với Ox , cắt d d  theo thứ tự A B , ta có HA | a | a, HB | a  | a Chú ý H nằm A B nên điều kiện để tam giác OAB vuông O HA.HB  OH  a(a )   aa   1 Chú ý: Ta biết hai đường thẳng y  ax  b y  a x  b  vng góc với hai đường thẳng y  ax y  a x vng góc với Do từ tốn suy ra: Điều kiện để hai đường thẳng y  ax  b y  a x  b  (a  0, a   0) vng góc với aa   1 CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ Y = AX2 Tóm tắt lý thuyết: Hàm số y  ax (a  0) xác định với x thuộc R sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Nếu a  hàm số nghịch biến với x  , đồng biến với x  , với x  Nếu a  hàm số đồng biến với x  , nghịch biến với x  , với x  Đồ thị hàm số parabol; qua gốc toạ độ nhận trục tung làm trục đối xứng Ví dụ minh họa: Ví dụ a) Cho parabol y  x , điểm A(0;1) đường thẳng d có phương trình y  1 Gọi M điểm thuộc parabol Chứng minh MA khoảng cách MH từ điểm M đến đường thẳng d b) Cho điểm A(0; a ) , gọi d đường thẳng có phương trình y  a Chứng minh quỹ tích điểm M (x ; y ) cho khoảng cách MH từ M tới d MA parabol Lời giải a) Ta ln ln có MH  y  (1) Để tính MA , ta kẻ MI  Oy Ta có MI | x |, AI | y  | nên MA2  MI  AI  x  (y  1)2  x  y  2y  Do y  x nên thay x 4y ta MA2  4y  y  2y   (y  1)2 Do MA | y  | y  (do y  ) Hình (2) Từ (1) (2) ta có MA  MH b) (h.5 ứng với a  ) Theo cơng thức tính khoảng cách hai điểm M (x ; y ) A(0; a ) ta có MA2  (x  0)2  (y  a )2  x  y  2ay  a Ta lại có MH | y  a | nên MH  (y  a )2  y  2ay  a MA2  MH  x  y  2ay  a  y  2ay  a  x  4ay  y  x 4a sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Do quỹ tích M parobol y  x 4a Chú ý: Tổng quát, cho điểm A đường thẳng d không qua A , quỹ tích điểm M cho khoảng cách MA khoảng cách từ M đến d parabol Khi điểm A gọi tiêu điểm, đường thẳng d gọi đường chuẩn parobol Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = 2x + Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ) Lời giải Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phương trình x2 = 2x + => x2 – 2x – = có a – b + c = Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -1 x2 = c  3 a Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = => A (-1; 1) Với x2 = => y2 = 32 = => B (3; 9) Vậy (d) (P) có hai điểm chung phân biệt A B Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ) Ta biểu diễn điểm A B mặt phẳng toạ độ Oxy hình vẽ: B A D -1 = S ABCD S BOC = C AD + BC 1+ = DC = 20 2 BC.CO 9.3 = = 13,5 2 sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 S AOD = AD.DO 1.1 = = 0,5 2 Theo cơng thức cộng diện tích ta có: S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) = 20 – 13,5 – 0,5 = (đvdt) B/ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: (Trích đề Chuyên Đà Nẵng năm học 2019-2020) Cho hàm số y = x có đồ thị ( P ) điểm A ( 2; ) Gọi d m đường thẳng qua A có hệ số góc m Tìm tất giá trị m để d m cắt đồ thị ( P ) hai điểm A B, đồng thời cắt trục Ox điểm C cho AB = 3AC Bài 2: (Trích đề Chuyên Điện Biên năm học 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y= 2mx + m + ( m tham số) parabol ( P ) : y = x Chứng minh với giá trị m d ln cắt ( P ) hai 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 Tìm m cho x1 − 6x − x1 x = Bài 3: (Trích đề Chuyên Hưng Yên năm học 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) :y = −1 Parabol x+ 2020 2020 (P) : y = 2x Biết đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm B C Tìm tọa độ điểm A trục hồnh để AB − AC lớn Bài 4: (Trích đề Chuyên Quảng Ninh năm học 2019-2020) Cho trước p số nguyên tố Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy hai điểm A ( p8 ;0 ) B ( p ;0 ) thuộc trục Ox Có tứ giác ABCD nội tiếp cho điểm C , D thuộc trục Oy có tung độ số nguyên dương Bài 5: (Trích đề Chuyên Quảng Nam năm học 2019-2020) Cho parabol (P) : y = −x đường thẳng (d) : y =x + m − Tìm tất giá trị tham số m để (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x12 + x 22 < Bài 6: (Trích đề Chuyên Quảng Bình năm học 2019-2020) Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d qua điểm M ( 0;1) có hệ số góc k a) Chứng minh đường thẳng d cắt ( P ) hai điểm A, B phân biệt với giá trị k b) Chứng minh ∆OAB tam giác vuông với giá trị k (O gốc tọa độ) sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 Dễ thấy hai điểm A, B nằm phía so với trục tung Lấy điểm A ' 4; 4 đối xứng với A qua trục tung Khi CA  CB  CA ' CB  A ' B , nên CA  CB đạt giá trị nhỏ A ',C , B thẳng hàng, tức C giao điểm đường thẳng A ' B với trục tung Phương trình đường thẳng d ' qua A ' B có dạng y  ax  b  a   4  4a  b Suy d ' : y   x  Ta có hệ      a  b  b  16 2   3 Vậy C 0;    Bài 38: Phương trình hồnh độ giao điểm m m 2 x =mx ⇔ x − m x = 0⇔ x= 0; x = ; x = − 2  m m2   m m2  H giao điểm AB trục ; ;B − ;  2   2      Gọi ba giao điểm O (0;0); A  tung, suy= AB m = ; OH m2 Tam giác OAB ⇒ OH = m2 AB ⇔ = 2 Giải tìm m = 0; m = 3; m = − , loại m = Vậy m = m 3; m = − Bài 39: Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) là: sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 x = −2 x + = x ⇔ x + x − = ⇔  x = −  + Với x =1 ⇒ y =1 + Với x =−3 ⇒ y =9 Vậy tọa độ giao điểm (d ) ( P ) A(1;1), B (−3;9) 3 2   Gọi C , D giao điểm (d ) trục Ox,Oy Khi C  ;0  , D ( 0;3) Đường cao OH tam giác OAB đường cao OH tam giác vng OCD Ta có 3 OC.OD OC =; OD = ⇒ OH = = = 2 OC + OD 3 +   2 Vậy OH = Bài 40: Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) : x = mx + 2m ⇔ x − mx − 2m = (*) Có: ∆ = m + 8m ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt m > ⇔ ∆ > ⇔ m + 8m > ⇔   m < −8 d ∩ Ox =A ⇒ A ( −2;0 ) d ∩ Oy =B ⇒ B ( 0;2m ) Ta có:  C D nằm phía trục tung C có hồnh độ âm: x1 < 0; x2 > ⇒ x1 x2 < ⇔ −2m < ⇔ m > Gọi E F thứ tự hình chiếu C lên trục Ox D lên trục Oy CE = y1 = mx1 + 2m =m ( x1 + ) BF = yF − yB = y2 − yB = mx2 + 2m − 2m = mx2 Ta có: DF / / Ox CE / / Oy nên: ∆ACE  ∆DBF sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 ( g g ) ⇒ AC CE = = BD FB TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 m ( x1 + ) x +2 = ⇔ = ( 2 mx2 x2 m > 0) ⇒ x2 = x1 + ⇒ x1 + x1 + 4= m m−4  x =  ⇒ ⇒ ( m − )( 2m + ) = −18m  x = 2m +  ⇔ 2m − 4m + 18m − 16 = 0 ⇔ m2 + 7m − = ⇔ m2 + 7m − = ⇔ ( m + )( m − 1) =  m = −8 ⇔  m = (tm) (ktm) Vậy giá trị cần tìm m = Bài 41: ( ) ( Tính A − m ; m , B ) m ; m , C ( m; m ) , D ( −m; m ) ( Tính S ∆OCD = m ; S ABCD = m−m ( Do S ABCD = 9.S ∆OCD ⇔ m − m )( )( ) m + m ( > m > ) ) m + m= 9m3 ⇔ 10m m + m − m − = Đặt  1 m = t > ⇒ 10t + t − t − = ⇔  t −  (10t + 6t + ) = ⇔ t = 2  Suy m = 1 Kết luận, m = giá trị cần tìm 4 Bài 42: Ta có phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: x = ( m + 1) x − m − ⇔ x − ( m + 1) x + 2m + = 0(*) 2 Đường thẳng (d) cắt ( P ) hai điểm ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ ( m + 1) − 2m − ≥ ⇔ 2m − m ≥ ⇔ ≤ m ≤ 2 Với ≤ m ≤ ( d ) cắt ( P ) hai điểm A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )  x1 + x2 = ( m + 1) 2m +  x= x2 Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:  sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43         Ta có: A  x1 ; x12  , B  x2 ; x22  1 ⇒ T =y1 + y2 − x1 x2 = ( x12 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x1 x2  2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 =2 ( m + 1) − 4m − =−2m + 4m =−2 ( m − 2m + 1) + 2 = −2 ( m − 1) + 2 Vì ( m − 1) ≥ ∀m ∈ [ 0;2] Đặt t = m − ⇒ m ∈ [ 0;2] ⇒ t ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ [ 0;1] ⇒ T = − ( m − 1) = − 2t ≥ ∀t ∈ [ 0;1] m = m = Vậy MinT =0 ⇔ t =1 ⇔ ( m − 1) =1 ⇔  Bài 43: Vì đường thẳng (d ) : = y ax + b qua điểm A(−1;1) nên ta có: =− a + b ⇔ b =a + (1) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): ax + b = x ⇔ x − ax − b = (2) Thay (1) vào (2) được:  x = −1 x − ax − a − = ⇔ ( x + 1)( x − − a ) = ⇔   x= a + Vì (d) tiếp xúc với parabol ( P ) : y = x điểm A(−1;1) nên phương trình (2) có nghiệm kép x1 = x2 = −1 ⇔ −1 = a + ⇔ a = −2 ⇒ b =−2 + =−1 Vậy a = −2; b = −1 Bài 44: a) Ta có ( d ) := y x+6 Phương trình hồnh độ giao điểm x =6 ⇒ y =9 x = x+6 ⇔   x =−4 ⇒ y =4 Vậy giao điểm A ( 6;9 ) , B ( −4; ) b) Cách sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44   Gọi C  c ; c  ∈ ( P ) c ≠ 6, c ≠ −4 điểm cần tìm   1  Ta có AB = 125 ; AC =( c − ) +  c −  = c − c − 12c + 117 ; 4  16 2 2 1  BC = ( c + ) +  c −  = c − c + 8c + 32 4  16 2 = AC + BC Tam giác ABC vuông C AB c − c − 12c + 117 + c − c + 8c + 32 16 16 1 1 ⇔ c − c − 4c + 24 =0 ⇔ c − c + c − c − 4c + 8c − 12c + 24 =0 8 4 1 ⇔ c3 ( c − ) + c ( c − ) − ( c − ) − 12 ( c − ) = 1  ⇔ ( c − )  c3 + c − 4c − 12  = 8  c − = ⇔ 1  c + c − 4c − 12 = 8 ⇔ 125= c = ( n )  ⇔ c = −4 ( l ) c = l ()  Vậy C ( 2;1) điểm thỏa đề Cách 2:   Gọi C  c ; c  ∈ ( P ) c ≠ 6, c ≠ −4    13  Ta gọi M trung điểm AB, suy M 1;   2 Ta có ∆ABC vng C nên = MC 5 (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền = AB 2 nửa cạnh huyền) 13  125 1 Suy ( c − 1) +  c −  = 2 4 sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 1 1 c − c − 2c + 12 =0 ⇔ c − c3 + c3 − c − 2c + 4c − 6c + 12 =0 16 16 8 1 ⇔ c ( c − ) + c ( c − ) − 2c ( c − ) − ( c − ) = 16  x = (n)  1  ⇔ ( c − )  c3 + c − 2c −  =0 ⇔  x =6 ( l )  16   x = −4 l ()  ⇔ Vậy điểm C ( 2;1) điểm thỏa đề Bài 45: 1) Đỉnh cổng đỉnh Parabol y  ax ( a  ) trùng với gốc tọa độ O 0; 0 Gọi điểm biểu thị hai chân cổng đồ thị hàm số A , B ta có A , B đối xứng qua trục tung cách đơn vị H giao điểm AB với Oy ( A; B; H nằm phía trục hồnh) Ta có OH  OA  AH   2 4     16  , suy    H 0;  4 từ suy A 2;  4 B2;  4 Parabol y  ax ( a  ) qua điểm A nên ta có 4  a 2  4  4a  a  1 (thỏa mãn), điều phải chứng minh Nhận xét: Bài toán này, thực chất sử dụng tính chất hàm số, đặc biệt hàm số bậc hai dạng y  ax với a  , ngồi cịn sử dụng cơng thức liên quan đến khoảng cách, độ dài,… Nhắc lại kiến thức phương pháp: • Đồ thị hàm số y  ax với a  Parabol nhận gốc tọa độ làm đỉnh trục trung làm trục đối xứng, phần lõm hướng xuống dưới, ta hình vẽ sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 Các điểm khác gốc tọa độ nằm parabol phía trục hồnh • Định lý Py-ta-go: “Trong tam giác vng có tổng bình phương hai cạnh góc vng bình phương cạnh huyền) Tam giác OAH vuông H, áp dụng định lý Py-ta-go ta có AH  HO  OA  OH  OA  AH  OH  OA  AH  OH   2 4     16     • Một điểm nằm trục tung khoảng cách điểm với gốc tọa độ giá trị tuyệt đối tung điểm điểm Điểm H nằm trục tung nằm phía trục hồnh nên điểm H có tung độ âm hồnh độ Ta có OH  yH  yH H nằm trục hoành nên yH   y H   y H  4  H  ;   suy A 2 ;  4 B2 ; 4 • Một điểm thuộc đồ thị hàm số thay giá trị hồnh độ tung độ điểm vào hàm số ta phương trình Điểm A 2 ;  4 thuộc đồ thị hàm số y  ax nên ta có thay x  y  4 vào hàm số ta phương trình 4  a.2  a  4  a  1 (điều phải chứng minh) 2) Gọi giao điểm cảu đường biểu diễn chiều cao xe tải với Parabol  P C D ( C ; D nằm hai phía trục tung) Ta có CD song song với AB Ox K giao điểm CD Oy sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 Khoảng cách DC AB 2,5 đơn vị nên suy OK   2,5  1,5 ta có phương trình đường thẳng CD y  3     xc  3  2  Phương trình hồnh độ giao điểm CD Parabol  P x      xD     Khi CD  Tại độ cao 2,5 m chiều rộng cổng 6m lớn 2,4m chiều rộng xe tải nên xe tải qua cổng Nhận xét: Vì chiều cao xe tải thấp chiều cao cổng, để biết xe tải qua cổng hay khơng ta phải xét xem, độ cao cổng với chiều cao xe chiều rộng cổng bao nhiêu, chiều rộng lớn chiều rộng xe tải xe tải qua, nhỏ chiều rộng xe tải khơng qua, tốn xử lý lý thuyết nên ta chấp nhận có qua Nhắc lại kiến thức phương pháp: • Khoảng cách hai điểm nằm đường vng góc với hai đường thẳng song song khoảng cách hai đường thẳng song song Ta có khoảng cách CD AB chiều cao xe tải nên 2,5 HK  2,5  OH  OK  2,5   OK  2,5  OK   2,5  1,5 suy K 0 ;  1,5 • Đường thẳng song song với trục hoành qua điểm tập hợp điểm có tung độ tung độ điểm Ta có CD  Ox CD qua điểm K 0 ;  1,5 nên ta có hàm số biểu thị đường thẳng CD y  1,5   • Phương trình hồnh độ giao điểm/ Hệ phương trình tọa độ giao điểm Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng CD với parabol        x    xC   C   3 2 x    x        2      xD  xD       • Khoảng cách hai điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành giá trị tuyệt đối hiệu hai hoành độ hai điểm Ta có C D thuộc CD  Ox nên CD  xC  xD   6  2   sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 • Đối với tốn trên, độ cao cổng với chiều cao xe chiều rộng cổng bao nhiêu, chiều rộng lớn chiều rộng xe tải xe tải qua, nhỏ chiều rộng xe tải khơng qua, tốn xử lý lý thuyết nên ta chấp nhận có qua Ta có  2,4 tức chiều rộng cổng độ cao 2,5 lớn chiều rộng xe tải nên xe tải qua cổng Bài 46 Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình x = x − m + ⇔ x − x + 2m − = (1) ; Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nên (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ − 2m > ⇔ m < Vì (x1; y1) (x2; y2) tọa độ giao điểm (d) (P) nên x1; x2 nghiệm phương trình (1) y1 = x1 − m + , y = x2 − m + Theo hệ thức Vi-et ta có x1 + x = 4, x1x = 2m-2 Thay y1,y2 vào x1x ( y1 +y ) + 48 = có x1x ( 2x1 +2x -2m+2 ) + 48 = ⇒ (2m - 2)(10 - 2m) + 48 = ⇔ m - 6m - = ⇔ m=-1(thỏa mãn m 0, với m ≠ − kết luận b) Giải PT (1) hai nghiệm: x1 = − x2 = m − Tính được: y1 = − 4, y2 = −(m − 1)2 |yA − yB| = |y1 − y2| = |m2−2m−3| |yA − yB| = ⇔ m2−2m−3 = m2−2m−3 = −2 ⇔ m = ± m = ± Bài 48 Phương trình hồnh độ giao điểm: ax2 − bx − c = Ta có a; b; c cạnh tam giác vuông nên a > 0; b > 0; c > Ta thấy a.(−c) < nên phương trình ln có hai nghiệm trái dấu, chứng tỏ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 b −c ; x= 1.x a a Theo định lý Viet ta có: x1 = + x2 Ta có x12 + x 22 = (x1 + x ) − 2x1.x = x12 + x 22 = b2 a + Co −Sy 2c a b2 + a + c2 < a b2 a2 = + 2c a 2a a = (do a2 = b2 + c2 định lý Pitago) Bài 49 a) Khi m = , hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm PT: x − x = x + ⇔ x − 12 x − =0 , có ∆ '= 36 + 2= 38 Vậy hoành độ giao điểm là: − 38 + 38 , 2 b) Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm PT: x − (2m + 1) x + m − = x + m ⇔ x − 4(m + 2) x + m − = (1) ∆ ' 4(m + 2) − 2(m − 2) , để (P) cắt (D) hai điểm phân biệt ∆ ' > (2) PT (1) có: = Có: (2) ⇔ 2(m + 2) − (m − 2) > ⇔ 2m + 8m − m + 10 > 1 1  39  ⇔ 2m + m + m − 2.m + + 10 − > ⇔ 2m + m +  m −  + > , với m 4 2  2  x1 + x2= 2(m + 2) (3)  Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm (P) (D) ta có:  m−2 (4)  x1 x2 =  x ≥ x + x ≥ Để   , từ (3) (4) suy ra: m ≥  x2 ≥  x1 x2 ≥ Vậy giá trị m cần tìm là: m ≥ Bài 50 + Pt hoành độ giao điểm (P) (d) x − ( m + 3) x + m + = (1) + (P) cắt (d) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân ( ) biệt ⇔ ∆ / > ⇔ ( m + 3) − m +3 > ⇔ m + > ⇔ m > −1(*)   x + x = 2(m + 3)  2 m +3 + Khi theo giả thiết Vi-ét ta có  x1 x=  xx 57  x1 + x2 − = x1 + x2  (1) (2) (3) Thế pt (1), (2) vào (3) ta có sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 50 4.4(m + 3) − 4(m + 3) − 57.2(m = + 3) 0; (m ≠ −3) ( n) m = ⇔ 2m − 3m − 35 =0 ⇔   m = −3,5 (l ) + Kết luận: giá trị cần tìm m = Bài 51 S(∆OAB) = S(∆OAC) + S(∆OBC) S(∆OAC) = AH.OC = (cm2) S(∆OBC) = BK.OC = (cm2) S(∆OAB) = (cm2) Bài 52 a) Để hàm số hàm số bậc nghịch biến thì: m – < suy m < b) Khi đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ (1 ; 1) ta có : (m – 3).1 + + m = ⇒ m = c) Đồ thị cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Để đồ thị cắt trục tọa độ: Cắt Ox A(xA; 0) cắt Oy B(0 ; yB) điều kiện m ≠ Thay tọa độ điểm A ta có: (m – 3)xA + + m = ⇒ x A = −(2 + m) m−3 Thay tọa độ điểm B ta có: yB = + m (có thể tính OA, OB theo xA yB) Ta có tam giác OAB vng O nên diện tích S = 1 OA.OB = x A ⋅ yB = 2 ⇒ x A ⋅ yB = ⇒ −(2 + m) −(2 + m) −(2 + m) ⋅ 2+m = ⇒ ⋅ (2 + m) = ⇒ = m−3 m−3 m−3 TH1: −(2 + m) = ⇒ −(2 + m) = ( m − 3) ⇔ m + 10m − 14 = m−3 ∆ ' =52 − (−14) =39 > ⇒ m1;2 =−5 ± 39 TH2: −(2 + m) = −6 ⇒ −(2 + m) = −6 ( m − 3) ⇔ m − 2m + 22 = m−3 ∆ ' = (−1) − 22 = −21 < ⇒ m ∈∅ sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 51 Vậy giá trị tìm : m1;2 =−5 ± 39 Bài 53 a/ Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P): ax2 = 2x −a2 ( a > 0) Lý luận (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Δ’ = − a3 > Δ’ = (1−a)(1 + a + a2) > ⇔ a < ( + a + a2 > 0, ∀ a ) K luận < a < Theo Đlý Viet ta có S = x1 + x2 = 2/a ; P = x1 x2 = a < a < nên x1 > ; x2 > x1 > ; x2 > 0,nên hai điểm A; B nằm bên phải trục tung 4 b/ M = + =+ x1 + x2 x1 x2 a a 1 M = 2a + ≥ 2a = 2 a a Vậy GTNN M 2 2a = ⇔ a= a Bài 54 1) Ta có y = x − + 2x + + ax  2 − x − 2x − + ax ;   ⇔ y= 2 − x + 2x + + ax ;   x − + 2x + + ax ;    (a − 3)x + 1;   ⇔ y = (a + 1)x + 3;  (a + 3)x − 1;   x3 2) + Vì đồ thị qua điểm B(1; 6) nên ta có: = − + 2.1 + + a.1 ⇔a= Vậy a = đồ thị qua điểm B(1; 6) sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 52  − x + 1;   +Với a = y= 3x + 3;  5x − 1;   x m2 =  (m = v m = -3) Vậy với m = ±3 (P) (d) cắt điểm có tung độ 2/ Từ câu => (P) (d) cắt hai điểm phân biệt m ≠ Khi giao điểm thứ gốc toạ độ O ( x = 0; y = 0), giao điểm thứ điểm A có ( x = m; y = m2) Khoảng cách hai giao điểm : AO = m2 + m4 = ⇔ m + m − 6= (1) = t m ;(t ≥ 0) (1) ⇔ t + t − =0  (t1 = ( nhận ) v t2 = - ( loại)) Đặt Với t1 =  m2 = , m = ± ( nhận) Vậy với m = ± (P) cắt (d) hai điểm có khoảng cách Bài 57 a) Khi m = ta có d : y = 2x – (P): y = –x2 sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 54 Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: Với x =−1 + ⇒ y =−3 + 2 Với x =−1 − ⇒ y =−3 − 2 ( )( Vậy giao điểm −1 + 2; −3 + 2 ; −1 − 2; −3 − 2 ) 2mx − ⇔ x + 2mx −= (*) b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P): − x= Phương trình (*) có ∆’ = m2 + > ⇒ (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d cắt (P) hai điểm phân biệt −2m  x1 + x2 = Áp dụng Viét ta có:   x1 x2 = −1 ⇒| x1 − x2=| ( x1 − x2 ) 2= ( x1 + x2 ) − x1 x2= 4m + 4= m + =  y1 2mx1 − ⇒| y12 − y2= | | (2mx1 − 1) − (2mx2 − 1) | Khi ta có  = y mx −  2 ⇒| y12 −= y22 | | (2mx1 − − 2mx2 + 1)(2mx1 − + 2mx2 −= 1) | | 4m( x1 − x2 )[m( x1 + x2 ) − 1] | = | 4m(2m + 1)( x1 −= x2 ) | m(2m + 1) | x1 −= x2 | | m | (2m + 1)2 m + Ta có | y12 − y22 |= ⇔ 64m (2m + 1) (m + 1) = 45 ⇔ 64(4m + 4m + 1)(m + m ) = 45 t có phương trình 64t (4t + 1) = 45 ⇔ 256t + 64t − 45 = ⇔ t = Đặt m + m =≥ (vì t ≥ 0) 16 Suy m + m = ⇔ 16m + 16m − =0 ⇔ m =± 16 Vậy m = ± sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... thẳng song song khoảng cách hai đường thẳng song song Ta có khoảng cách CD AB chiều cao xe tải nên 2,5 HK  2,5  OH  OK  2,5   OK  2,5  OK   2,5  1,5 suy K 0 ;  1,5 • Đường thẳng song... khoảng cách từ A đến B đến đường thẳng d Đường thẳng qua A song song 4  với Ox cắt d điểm M  ; 4 Đường thẳng qua B a  1  song song với Ox cắt d điểm N  ;1 a  Ta có AH  BK... học 2019-2020) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = ( m − 1) x + đường thẳng y = x + m + (với m ≠ ±1 ) hai đường thẳng song song Bài 19: (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phước năm