Chuyên đề Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

LUỸ THỪA Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức Phương pháp: Sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ hoặc lũy thừa với số mũ thực Bài 1: Tính các biểu thức : 3...[r]

Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Chương II HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT I LUỸ THỪA Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức Phương pháp: Sử dụng các tính chất lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ lũy thừa với số mũ thực Bài 1: Tính các biểu thức : 3 2 1 1 b) B        109 5 4 a) A    81 4 3 10 4 1   1 c) C    27 3   0,  252  128    3 2 ĐS: A  0; B  0; C  8; D  13 9 d) A  51.25  32.18    a 2  a 3  Bài : Rút gọn biểu thức : A    a  0, a  1  1  a 1 a 1   a 2   Bài : Cho biểu thức : A  a b  ab a3b Tính A a = ; b = 36.212 35.211 ĐS: ĐS: 2 Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm hàm số lũy thừa Phương pháp: - Hàm số y  x có tập xác định dựa vào  Cụ thể:  Khi   N * thì hàm số xác định với x  Khi    N  thì hàm số xác định với x   Khi   Z thì hàm số xác định với x  ' - Hàm số y  x có đạo hàm với x > và  x    x 1 Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm hàm số a) y   x  x  b) y  x  Giải x  x  a) Vì  Z nên hàm số xác định x  x    Vậy tập xác định D   ;0    2;   Đạo hàm y '   x  x  1  x  x  '   x  1  x  x  1 b) Hàm số xác định x    x  Vậy tập xác định D  3;   Đạo hàm y '   2x  6 ' 4  2x  6   2x  6 Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm các hàm số 3 a) y   x  1 b) y   x  3x   c) y   x    d) y  x3  x  e) y  x  x  g) y   x  1 h) y    x   2x   f) y     x 1  x4 i) y  II LOGARIT Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức Phương pháp: Sử dụng các công thức liên quan đến logarit 5) log a (b.c)  log a b  log a c 1) log a b  N  a N  b 2) log a  7) log a b N  N log a b 3) log a a  4)a loga b  b 9) log a b  log c b log c a b 6) log a    log a b  log a c c 8) log a N b  log a b N 10) log a b.log b c  log a c Ví dụ mẫu: Tính giá trị biểu thức 1 a) A    8 log b) B  log 72  log C  log 343  log 49  log 3 c) Giải 1 log a) A      23    2log   33  27 8 b) B  log 72  log  log  72.3  log 6  log c) C  log 343  log 49  log 3 3  log 31 73  log 32  log 1  3log  log  log  32 Ví dụ mẫu: a) Cho log  a Tính log 1250 theo a b) Cho log 20  b Tính log 20 theo b Giải log 1250 log  2.5   log  4a    a) log 1250  log log 22 2 20 log log  log 20   b  b) log 20   log 20 log 20 log 20 b Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Bài tập luyện tập: Bài 1: Tính các lôgarít sau: a) log 27 b) log c) log     25  3 81 d) 16log log5 e)  g) log a h) log a a i) ln a3 Bài 2: Rút gọn biểu thức: e e) E  log 4.log a ) A  log8 12  log8 15  log8 20 b) B  log 36  log 14  3log 21 1 c)C  lg  lg  lg d ) D  lg 72  log f ) F  log log 27 25 g )G  4log2  log h) H  27 log9  4log8 27 Bài 3: Rút gọn biểu thức: log3  log a) A  81   c) C    a  3log 27 16 log a  log a b) B  3log a  16 log5  2log 3log 2008 d) C  31 log  42log  53 2log 54 Bài 4: Tính các biểu thức sau theo a và b : 1) Cho a  log , b  log Tính log 45 theo a và b 2) Cho a  log , b  log Tính log 100 theo a và b 3) Cho a  log , b  log Tính log 0,3 theo a và b 4) Cho log 30  a; log 30  b Tính log 30 theo a và b 5) Cho log = a Tính log 27 theo a và b 25 Bài 5: 1) Chứng minh log a N   log a b với a, b, N > 0, ab  log ab N 2) Chứng minh 1 n2  n với a, x > 0, a, x      log a x log a2 x log an x log a x 3) Cho x, y > và x2 + 4y2 = 12xy Chứng minh: lg(x+2y) – lg2 = (lgx + lg y) / Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm hàm số logarit Phương pháp: - Hàm số y  log a x với a  0, a  xác định x  Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi - Hàm số y  log a x với a  0, a  có đạo hàm với x > và  log a x   ' Đặc biệt  ln x   ' x.ln a x Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm hàm số a) y  log  x  x  b) y  ln 2x  1 x Giải x  x  a) Hàm số xác định x  x    Vậy tập xác định D   ;0   1;   Đạo hàm y '  x x  x '  x  ln  2x 1  x  x  ln 2x    2  x  1 x Vậy tập xác định D   2;1 b) Hàm số xác định '  2x     1 x 1 x    Đạo hàm y '   2x  1  x  x  (1  x)(2 x  4) 1 x Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm các hàm số sau a) y = log  x  3x   b) y = log d) y = log2(x2 + x – 6) + ln(x + 2) x2 x 1 c) y = log e)y = log  x  3x   - logx x2  x  x4 f) y = ln  x  3x  III Hàm số mũ Dạng : Tập xác định và đạo hàm hàm số mũ Phương pháp: - Hàm số y  a x với a  0, a  xác định với x - Hàm số y  a x với a  0, a  có đạo hàm với x và  a x   a x ln a ' Đặc biệt  e x   e x ' Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm hàm số a) y  x 3 x 1 a) Đạo hàm y '  b) y  esinx .ln  x  x  1 '   x  3 x  x 1 Giải x  x 1 .ln b) Đạo hàm y '  esin x  sin x  '  esin x cos x Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm các hàm số sau a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)2x Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net d) y = 5x.sin3x Trang Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi e) y = etanx f) y = e x 3 x  g) y = 3x + 5x h) y = 5x 1 IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A Phương trình mũ Vấn đề 1: Đưa cùng số Phương pháp: a f ( x )  b  f ( x)  log a b, a  0, a  1, b  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x), a  0, a  Ví dụ mẫu Giải các phương trình sau a) x 1.3x 1  b) x  x 8  413 x Giải x 15 15   x   x  log 2 15 Vậy phương trình có nghiệm x  log a) Ta có : x 1.3x 1   x.2 b) Ta có:  x 8  413 x  x 8  22(13 x ) 2x  2x  x  x   2(1  x)  x2  5x    x  2  x  3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x = -3 Bài tập luyện tập Bài 1: Giải các phương trình sau a) 254x = 53x – c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 ĐS: a) x = -1/5; b) x = 1, x = -2; Bài 2: Giải các phương trình sau a) 3x.2x+1 = 72 c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x ĐS a) x = 2; b) x = b) 3x 3 x   x 1 d) 2x + 2x - + 2x - = 3x – 3x - + 3x – c) x = 0; d) x = b) 62x+4 = 3x.2x+8 d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60 c) x = 1; x = d) x = Vấn đề : Đặt ẩn phụ Phương pháp: Phương trình  a x   a x    Đặt t  a x , t  ta  t   t     Phương trình  a x   a  x    Đặt t  a x , t  ta  t     t a   x Phương trình  a x    ab    b x  Đặt t    , t  ta  t   t    b x Phương trình  a x   b x    với a.b  Đặt t  a x , t  ta  t   t   Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Ví dụ mẫu: Giải các phương trình: a) x  12.3x  27  b) 10 x 1  101 x  99 a) Ta có : x  12.3x  27    3x   12.3x  27  c) 5.49 x  12.35x  7.25x  Giải Đặt t  3x , t > t  t  Ta phương trình: t  12t  27    Với t = thì 3x   x  Với t = thì 3x   x  Vậy phương trình có hai nghiệm: x  1; x  b) Ta có: 10 x 1  101 x  99  10.10 x  10  99 10 x Đặt t  10 x , t > Ta phương trình: 10t  t  10 10  99  10t  99t  10    t t  0,1 (loai ) Với t = 10 thì 10 x  10  x  Phương trình có nghiệm nhất: x  x x 2x x  49   35  7 7 c) Ta có 5.49  12.35  7.25      12         12      25   25  5 5 x x x x 7 Đặt t    , t  5 t  Ta phương trình: 5t  12t     t   x 7 Với t = thì     x  5 x Với t = 7 thì     x  5 5 Vậy phương trình có hai nghiệm: x  0; x  Bài tập luyện tập Bài : Giải phương trình : a) 49x + 4.7x – = (ĐS: x = 0) 2x + x c) +3 = (ĐS: x = -1) b) 3x+2 + 9x+1 = d) 92x +2 - 4.32x + + = 3 x 2 (ĐS: x = -1) (ĐS: PTVN) x e) 52x + – 110.5x + – 75 = (ĐS: x = -1) f)        2 3 (ĐS: x = 0, x =1) g) 3x  2.31 x   (ĐS: x = 1; x = log32) h) e6 x  3.e3 x   (ĐS: x = 0, x = ln ) Bài : Giải các phương trình : a) 6.9x -13.6x + 6.4x = (ĐS: x = b) 27 x  12 x  2.8x (ĐS: x = 0)  1) Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi d) 3.8x  4.12 x  18x  2.27 x  (ĐS: x = 1) c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = (ĐS: x = -2) Bài : Giải các phương trình :     x x a)     (ĐS: x =  1) b)   35   x Vấn đề : Lôgarit hoá Phương pháp: a f ( x )  b g ( x )  log a  a f ( x )   log a b g ( x )  f ( x)  g ( x) log a b, Ví dụ mẫu: Giải phương trình x 1  5x  35   12 (ĐS: x =  2) x a, b  0, a, b  3 x  Giải Vì hai vế phương trình đề dương nên lấy logarit số vế ta PT:  x  1 log5  x  3x    x  1 log5   x  1 x    x   x   log5 Vậy phương trình có nghiệm x = và x = + log52 Bài tập luyện tập: Giải các phương trình a) 3x.2 x  c) 5x.8 x 1 x x b) 5x.8 x1  100 (ĐS: x = 2; x= -log52-1) (ĐS: x = 0; x= -log23) x  500 (ĐS: x = 5; x= -log52) d) 3x.8 x1  36 (ĐS: x = 2; x= -log32 +1) Vấn đề : Dùng tính đơn điệu Phương pháp: - Phương trình f ( x)  a với f(x) tăng giảm trên tập D thì có không quá nghiệm trên D - Nếu với f(x) tăng giảm trên tập D thì f(u) = f(v)  u = v với u, v  D Ví dụ mẫu: Giải phương trình x  11  x Giải Ta có:  11  x   x  11 Vì  x  x  '  x ln   0, x nên hàm số f ( x)  x  x tăng trên R x x Mặt khác x = là nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập luyện tập Giải các phương trình : a) 3x + 4x = 5x b)5x = – 3x x c) x   B Phương trình lôgarit : d)32-x = x + Vấn đề : Đưa cùng số Phương pháp: với a > 0, a  ta luôn có Ví dụ mẫu: Giải các phương trình a) log x  log x  log8 x  11 log a f ( x)  b  f ( x)  a b log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  b) log x  log 25 x  log Giải Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi a) Điều kiện: x > Khi đó: log x  log x  log8 x  11  log x  log 22 x  log 23 x  11 1  log x  log x  log x  11 11  log x  11  log x   x  26  64 Vậy phương trình có nghiệm x = 64 b) Điều kiện: x > Khi đó: log x  log 25 x  log  log x  log 52 x  log 52 1  log x  log x  .log 2  log x  log 2  log x  log 3  log x  log 3  x  33 Vậy phương trình có nghiệm x  Bài tập luyện tập: Giải các phương trình : 33 c) log ( x  3)  log ( x  1)  log a) log x  log x  log8 x  b) log  log x   log  log x   d) log ( x  3)  log  log ( x  1)  log ( x  1) e) log ( x  2)  log x  x   ĐS: a) x = 8; b) x = 16; c) x = 2; d) x = Vấn đề : Đặt ẩn phụ 1) Giải các phương trình : a) log 32 x  log x   c) log x  log x  e) log 22 (4 x)  log x2 8 f) log ( x  1)  log x  x   e) x = -29; x = 25; f) 3; x = -5 b) log 52 x  log 25 x   d) log x  log x   3 f) log x    log 32 x  x Hướng dẫn a) Điều kiện: x > Khi đó đặt t = log3x ta phương trình t2 – 4t + = b) Điều kiện: x > Khi đó đặt t = log5x ta phương trình t2 – 2t – = Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi c) Điều kiện: x > 0, x  Chú ý log x  log x e) Điều kiện: x > Chú ý log 22 (4 x)    log x  ; log 3 x   log x f) Điều kiện: x > 0, x  1/3 Chú ý log x  x log 3 x  log x 2) Giải các phương trình :  1  lg x  lg x c) log (5x  1) log 25 (5x1  5)  1  1  ln x  ln x d) log (3x  1) log (3x1  3)  a) b) Hướng dẫn  1  t 1 t d) Điều kiện: x > Khi đó log (3x  1) log (3x 1  3)   log (3x  1) 1  log (3x  1)   a) Điều kiện: x > 0, x  105, x  10-1 Khi đó đặt t = logx ta phương trình Vấn đề : Mũ hoá Giải các phương trình : b)  x  3log  log (3x  52 x ) a) log5x (x + 4) = Hướng dẫn IV BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = ax tăng a > và giảm < a < Hơn nữa, hàm số mũ luôn nhận giá trị dương với x Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình (Đưa cùng số) 1 x a) 16x – ≥ b)   3 d) 1 e)   2 x2  x  1 c) x  x 9 x 15 x   23 x  f) 52x + > 5x Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình (Đặt ẩn phụ) 1 2 a) 22x + + 2x + > 17 b) 52x – – 2.5x -2 ≤ c) x  x  d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số logarit y = loga x với x > tăng a > và giảm < a < Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình (Đưa cùng số) a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – c) log2( x – 4x – 5) < d) log1/2(log3x) ≥ e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x -5x + 6) < Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình (Đặt ẩn phụ) a) log22 + log2x ≤ b) log1/3x > logx3 – 5/2 c) log2 x + log2x ≤ e) log x 2.log x 16  d) log x  1  1  log x log x f) log (3x  1).log ( BÀI TẬP TỔNG HỢP_NÂNG CAO Bài 1: Giải các phương trình sau 1) 5x  10.5x 1  18  3.5x 1 2) x 1  x   x 3  3x 1  3x  1 4)   8 x 1  16  4 x 5) 7) 32 x 8  4.3x 5  27  10) 8x  2.4 x  x   13) 4.9 x  12 x  3.16 x 16) 2 x  x 1  x  x   19)  22) x    21   x 8  x  21  5.2 1   3 x  5x2  20)  23) 3x 1.8 x 1 x  x 3) 3x+1 – 3x-1 – 3x = x 7 6)   16   x  10   x  x3   19  10  x 1 9) x  x 1   9.2 x  x 12) 27x  12 x  2.8x 15) 15.25x  34.15x  15.9 x  18) 3x 3 x   33 x  x  10  8) e x   3e x 11) 3.8x  4.12 x  18x  2.27 x  14) 25x  15.10 x  50.4 x  17) x  51 x   x x  x 1 3x  ) 16 2  x 3 2 21) 7  x  32  x   24) x.39 x  1 3  2x  x 1 25) 2 x  x  26) 5x  x   17) e x 3  e 1 x  28) x  2( x  2).3 x  x   29)  x.2 x  23 x  x  30) 3.9 x  x.3x  x   31) x 1  3x  x  32) 10 x  15  3.5x  5.2 x 33) 213x  4x  25x   x 3x 3  2 x x x x x x x 1 x x x 34)   cos  x  x  35)     36)     2x  x Bài 2: Giải các phương trình sau 1) log  x    log  x     log  2x   2) log 2 log 1  log (1  3log x)  3) 6lg x  x lg  12 2 2 2 2 4) 2log32 x  5log3 9x   5) lg4(x – 1)2 + lg2(x – 1)3 = 25 6) 2log5 x  log x 125   7) log ( x  4)  x   log ( x  2) 8) log (1  x )  log x 9) log  4) 10) log 22 x  ( x  1) log x  2x   Bài 3: Giải các bất phương trình sau 11) log 25 ( x  1)  ( x  5) log ( x  1)  16  1) 3x  9.3 x  10  2) 5.4 x  2.25x  7.10 x      4) log x  6x   log5  x    5) log  log x       x2  x     x  3x  2 x  x    3) 1 3x 1  1  3x    6) log8 x  4x   Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang 10