LUỸ THỪA Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức Phương pháp: Sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ hoặc lũy thừa với số mũ thực Bài 1: Tính các biểu thức : 3...[r]
(1)Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Chương II HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT I LUỸ THỪA Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức Phương pháp: Sử dụng các tính chất lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ lũy thừa với số mũ thực Bài 1: Tính các biểu thức : 3 2 1 1 b) B 109 5 4 a) A 81 4 3 10 4 1 1 c) C 27 3 0, 252 128 3 2 ĐS: A 0; B 0; C 8; D 13 9 d) A 51.25 32.18 a 2 a 3 Bài : Rút gọn biểu thức : A a 0, a 1 1 a 1 a 1 a 2 Bài : Cho biểu thức : A a b ab a3b Tính A a = ; b = 36.212 35.211 ĐS: ĐS: 2 Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm hàm số lũy thừa Phương pháp: - Hàm số y x có tập xác định dựa vào Cụ thể: Khi N * thì hàm số xác định với x Khi N thì hàm số xác định với x Khi Z thì hàm số xác định với x ' - Hàm số y x có đạo hàm với x > và x x 1 Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm hàm số a) y x x b) y x Giải x x a) Vì Z nên hàm số xác định x x Vậy tập xác định D ;0 2; Đạo hàm y ' x x 1 x x ' x 1 x x 1 b) Hàm số xác định x x Vậy tập xác định D 3; Đạo hàm y ' 2x 6 ' 4 2x 6 2x 6 Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang (2) Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm các hàm số 3 a) y x 1 b) y x 3x c) y x d) y x3 x e) y x x g) y x 1 h) y x 2x f) y x 1 x4 i) y II LOGARIT Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức Phương pháp: Sử dụng các công thức liên quan đến logarit 5) log a (b.c) log a b log a c 1) log a b N a N b 2) log a 7) log a b N N log a b 3) log a a 4)a loga b b 9) log a b log c b log c a b 6) log a log a b log a c c 8) log a N b log a b N 10) log a b.log b c log a c Ví dụ mẫu: Tính giá trị biểu thức 1 a) A 8 log b) B log 72 log C log 343 log 49 log 3 c) Giải 1 log a) A 23 2log 33 27 8 b) B log 72 log log 72.3 log 6 log c) C log 343 log 49 log 3 3 log 31 73 log 32 log 1 3log log log 32 Ví dụ mẫu: a) Cho log a Tính log 1250 theo a b) Cho log 20 b Tính log 20 theo b Giải log 1250 log 2.5 log 4a a) log 1250 log log 22 2 20 log log log 20 b b) log 20 log 20 log 20 log 20 b Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang (3) Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Bài tập luyện tập: Bài 1: Tính các lôgarít sau: a) log 27 b) log c) log 25 3 81 d) 16log log5 e) g) log a h) log a a i) ln a3 Bài 2: Rút gọn biểu thức: e e) E log 4.log a ) A log8 12 log8 15 log8 20 b) B log 36 log 14 3log 21 1 c)C lg lg lg d ) D lg 72 log f ) F log log 27 25 g )G 4log2 log h) H 27 log9 4log8 27 Bài 3: Rút gọn biểu thức: log3 log a) A 81 c) C a 3log 27 16 log a log a b) B 3log a 16 log5 2log 3log 2008 d) C 31 log 42log 53 2log 54 Bài 4: Tính các biểu thức sau theo a và b : 1) Cho a log , b log Tính log 45 theo a và b 2) Cho a log , b log Tính log 100 theo a và b 3) Cho a log , b log Tính log 0,3 theo a và b 4) Cho log 30 a; log 30 b Tính log 30 theo a và b 5) Cho log = a Tính log 27 theo a và b 25 Bài 5: 1) Chứng minh log a N log a b với a, b, N > 0, ab log ab N 2) Chứng minh 1 n2 n với a, x > 0, a, x log a x log a2 x log an x log a x 3) Cho x, y > và x2 + 4y2 = 12xy Chứng minh: lg(x+2y) – lg2 = (lgx + lg y) / Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm hàm số logarit Phương pháp: - Hàm số y log a x với a 0, a xác định x Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang (4) Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi - Hàm số y log a x với a 0, a có đạo hàm với x > và log a x ' Đặc biệt ln x ' x.ln a x Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm hàm số a) y log x x b) y ln 2x 1 x Giải x x a) Hàm số xác định x x Vậy tập xác định D ;0 1; Đạo hàm y ' x x x ' x ln 2x 1 x x ln 2x 2 x 1 x Vậy tập xác định D 2;1 b) Hàm số xác định ' 2x 1 x 1 x Đạo hàm y ' 2x 1 x x (1 x)(2 x 4) 1 x Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm các hàm số sau a) y = log x 3x b) y = log d) y = log2(x2 + x – 6) + ln(x + 2) x2 x 1 c) y = log e)y = log x 3x - logx x2 x x4 f) y = ln x 3x III Hàm số mũ Dạng : Tập xác định và đạo hàm hàm số mũ Phương pháp: - Hàm số y a x với a 0, a xác định với x - Hàm số y a x với a 0, a có đạo hàm với x và a x a x ln a ' Đặc biệt e x e x ' Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm hàm số a) y x 3 x 1 a) Đạo hàm y ' b) y esinx .ln x x 1 ' x 3 x x 1 Giải x x 1 .ln b) Đạo hàm y ' esin x sin x ' esin x cos x Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm các hàm số sau a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)2x Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net d) y = 5x.sin3x Trang (5) Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi e) y = etanx f) y = e x 3 x g) y = 3x + 5x h) y = 5x 1 IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A Phương trình mũ Vấn đề 1: Đưa cùng số Phương pháp: a f ( x ) b f ( x) log a b, a 0, a 1, b a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x), a 0, a Ví dụ mẫu Giải các phương trình sau a) x 1.3x 1 b) x x 8 413 x Giải x 15 15 x x log 2 15 Vậy phương trình có nghiệm x log a) Ta có : x 1.3x 1 x.2 b) Ta có: x 8 413 x x 8 22(13 x ) 2x 2x x x 2(1 x) x2 5x x 2 x 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x = -3 Bài tập luyện tập Bài 1: Giải các phương trình sau a) 254x = 53x – c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 ĐS: a) x = -1/5; b) x = 1, x = -2; Bài 2: Giải các phương trình sau a) 3x.2x+1 = 72 c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x ĐS a) x = 2; b) x = b) 3x 3 x x 1 d) 2x + 2x - + 2x - = 3x – 3x - + 3x – c) x = 0; d) x = b) 62x+4 = 3x.2x+8 d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60 c) x = 1; x = d) x = Vấn đề : Đặt ẩn phụ Phương pháp: Phương trình a x a x Đặt t a x , t ta t t Phương trình a x a x Đặt t a x , t ta t t a x Phương trình a x ab b x Đặt t , t ta t t b x Phương trình a x b x với a.b Đặt t a x , t ta t t Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang (6) Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Ví dụ mẫu: Giải các phương trình: a) x 12.3x 27 b) 10 x 1 101 x 99 a) Ta có : x 12.3x 27 3x 12.3x 27 c) 5.49 x 12.35x 7.25x Giải Đặt t 3x , t > t t Ta phương trình: t 12t 27 Với t = thì 3x x Với t = thì 3x x Vậy phương trình có hai nghiệm: x 1; x b) Ta có: 10 x 1 101 x 99 10.10 x 10 99 10 x Đặt t 10 x , t > Ta phương trình: 10t t 10 10 99 10t 99t 10 t t 0,1 (loai ) Với t = 10 thì 10 x 10 x Phương trình có nghiệm nhất: x x x 2x x 49 35 7 7 c) Ta có 5.49 12.35 7.25 12 12 25 25 5 5 x x x x 7 Đặt t , t 5 t Ta phương trình: 5t 12t t x 7 Với t = thì x 5 x Với t = 7 thì x 5 5 Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0; x Bài tập luyện tập Bài : Giải phương trình : a) 49x + 4.7x – = (ĐS: x = 0) 2x + x c) +3 = (ĐS: x = -1) b) 3x+2 + 9x+1 = d) 92x +2 - 4.32x + + = 3 x 2 (ĐS: x = -1) (ĐS: PTVN) x e) 52x + – 110.5x + – 75 = (ĐS: x = -1) f) 2 3 (ĐS: x = 0, x =1) g) 3x 2.31 x (ĐS: x = 1; x = log32) h) e6 x 3.e3 x (ĐS: x = 0, x = ln ) Bài : Giải các phương trình : a) 6.9x -13.6x + 6.4x = (ĐS: x = b) 27 x 12 x 2.8x (ĐS: x = 0) 1) Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang (7) Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi d) 3.8x 4.12 x 18x 2.27 x (ĐS: x = 1) c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = (ĐS: x = -2) Bài : Giải các phương trình : x x a) (ĐS: x = 1) b) 35 x Vấn đề : Lôgarit hoá Phương pháp: a f ( x ) b g ( x ) log a a f ( x ) log a b g ( x ) f ( x) g ( x) log a b, Ví dụ mẫu: Giải phương trình x 1 5x 35 12 (ĐS: x = 2) x a, b 0, a, b 3 x Giải Vì hai vế phương trình đề dương nên lấy logarit số vế ta PT: x 1 log5 x 3x x 1 log5 x 1 x x x log5 Vậy phương trình có nghiệm x = và x = + log52 Bài tập luyện tập: Giải các phương trình a) 3x.2 x c) 5x.8 x 1 x x b) 5x.8 x1 100 (ĐS: x = 2; x= -log52-1) (ĐS: x = 0; x= -log23) x 500 (ĐS: x = 5; x= -log52) d) 3x.8 x1 36 (ĐS: x = 2; x= -log32 +1) Vấn đề : Dùng tính đơn điệu Phương pháp: - Phương trình f ( x) a với f(x) tăng giảm trên tập D thì có không quá nghiệm trên D - Nếu với f(x) tăng giảm trên tập D thì f(u) = f(v) u = v với u, v D Ví dụ mẫu: Giải phương trình x 11 x Giải Ta có: 11 x x 11 Vì x x ' x ln 0, x nên hàm số f ( x) x x tăng trên R x x Mặt khác x = là nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập luyện tập Giải các phương trình : a) 3x + 4x = 5x b)5x = – 3x x c) x B Phương trình lôgarit : d)32-x = x + Vấn đề : Đưa cùng số Phương pháp: với a > 0, a ta luôn có Ví dụ mẫu: Giải các phương trình a) log x log x log8 x 11 log a f ( x) b f ( x) a b log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) b) log x log 25 x log Giải Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang (8) Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi a) Điều kiện: x > Khi đó: log x log x log8 x 11 log x log 22 x log 23 x 11 1 log x log x log x 11 11 log x 11 log x x 26 64 Vậy phương trình có nghiệm x = 64 b) Điều kiện: x > Khi đó: log x log 25 x log log x log 52 x log 52 1 log x log x .log 2 log x log 2 log x log 3 log x log 3 x 33 Vậy phương trình có nghiệm x Bài tập luyện tập: Giải các phương trình : 33 c) log ( x 3) log ( x 1) log a) log x log x log8 x b) log log x log log x d) log ( x 3) log log ( x 1) log ( x 1) e) log ( x 2) log x x ĐS: a) x = 8; b) x = 16; c) x = 2; d) x = Vấn đề : Đặt ẩn phụ 1) Giải các phương trình : a) log 32 x log x c) log x log x e) log 22 (4 x) log x2 8 f) log ( x 1) log x x e) x = -29; x = 25; f) 3; x = -5 b) log 52 x log 25 x d) log x log x 3 f) log x log 32 x x Hướng dẫn a) Điều kiện: x > Khi đó đặt t = log3x ta phương trình t2 – 4t + = b) Điều kiện: x > Khi đó đặt t = log5x ta phương trình t2 – 2t – = Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang (9) Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi c) Điều kiện: x > 0, x Chú ý log x log x e) Điều kiện: x > Chú ý log 22 (4 x) log x ; log 3 x log x f) Điều kiện: x > 0, x 1/3 Chú ý log x x log 3 x log x 2) Giải các phương trình : 1 lg x lg x c) log (5x 1) log 25 (5x1 5) 1 1 ln x ln x d) log (3x 1) log (3x1 3) a) b) Hướng dẫn 1 t 1 t d) Điều kiện: x > Khi đó log (3x 1) log (3x 1 3) log (3x 1) 1 log (3x 1) a) Điều kiện: x > 0, x 105, x 10-1 Khi đó đặt t = logx ta phương trình Vấn đề : Mũ hoá Giải các phương trình : b) x 3log log (3x 52 x ) a) log5x (x + 4) = Hướng dẫn IV BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = ax tăng a > và giảm < a < Hơn nữa, hàm số mũ luôn nhận giá trị dương với x Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình (Đưa cùng số) 1 x a) 16x – ≥ b) 3 d) 1 e) 2 x2 x 1 c) x x 9 x 15 x 23 x f) 52x + > 5x Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình (Đặt ẩn phụ) 1 2 a) 22x + + 2x + > 17 b) 52x – – 2.5x -2 ≤ c) x x d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số logarit y = loga x với x > tăng a > và giảm < a < Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình (Đưa cùng số) a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – c) log2( x – 4x – 5) < d) log1/2(log3x) ≥ e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x -5x + 6) < Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang (10) Tổ: Toán – Tin, trường THPT Vạn Tường_Bình Sơn_Quảng Ngãi Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình (Đặt ẩn phụ) a) log22 + log2x ≤ b) log1/3x > logx3 – 5/2 c) log2 x + log2x ≤ e) log x 2.log x 16 d) log x 1 1 log x log x f) log (3x 1).log ( BÀI TẬP TỔNG HỢP_NÂNG CAO Bài 1: Giải các phương trình sau 1) 5x 10.5x 1 18 3.5x 1 2) x 1 x x 3 3x 1 3x 1 4) 8 x 1 16 4 x 5) 7) 32 x 8 4.3x 5 27 10) 8x 2.4 x x 13) 4.9 x 12 x 3.16 x 16) 2 x x 1 x x 19) 22) x 21 x 8 x 21 5.2 1 3 x 5x2 20) 23) 3x 1.8 x 1 x x 3) 3x+1 – 3x-1 – 3x = x 7 6) 16 x 10 x x3 19 10 x 1 9) x x 1 9.2 x x 12) 27x 12 x 2.8x 15) 15.25x 34.15x 15.9 x 18) 3x 3 x 33 x x 10 8) e x 3e x 11) 3.8x 4.12 x 18x 2.27 x 14) 25x 15.10 x 50.4 x 17) x 51 x x x x 1 3x ) 16 2 x 3 2 21) 7 x 32 x 24) x.39 x 1 3 2x x 1 25) 2 x x 26) 5x x 17) e x 3 e 1 x 28) x 2( x 2).3 x x 29) x.2 x 23 x x 30) 3.9 x x.3x x 31) x 1 3x x 32) 10 x 15 3.5x 5.2 x 33) 213x 4x 25x x 3x 3 2 x x x x x x x 1 x x x 34) cos x x 35) 36) 2x x Bài 2: Giải các phương trình sau 1) log x log x log 2x 2) log 2 log 1 log (1 3log x) 3) 6lg x x lg 12 2 2 2 2 4) 2log32 x 5log3 9x 5) lg4(x – 1)2 + lg2(x – 1)3 = 25 6) 2log5 x log x 125 7) log ( x 4) x log ( x 2) 8) log (1 x ) log x 9) log 4) 10) log 22 x ( x 1) log x 2x Bài 3: Giải các bất phương trình sau 11) log 25 ( x 1) ( x 5) log ( x 1) 16 1) 3x 9.3 x 10 2) 5.4 x 2.25x 7.10 x 4) log x 6x log5 x 5) log log x x2 x x 3x 2 x x 3) 1 3x 1 1 3x 6) log8 x 4x Tài liệu ôn tập Môn Toán Lớp 12 (chuẩn), học kì I năm học 2012 - 2013 Lop12.net Trang 10 (11)