Đang tải... (xem toàn văn)
1. Phương trình tích: Dạng:.. Do thiếu 2 lần tích nên ta nhân cả hai vế của Phương trình với 2. + Xét xem biểu thức dưới căn dương hay không để đặt trong dấu giá trị tuyệt đối rồi giả[r]
(1)Chuyên đề I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I/ Biểu thức số học
Phương pháp:
Dùng Phương pháp biến đổi thức(đưa ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức
Bài tập: Thực phép tính:
1. 5 125 80 605 2. 10 10
5
3. 15 216 33 12 6
4. 12 27
18 48 30 162
5. 3
2 3
6. 16
3 27 75
7. 27 75
3
8. 3 5
10
9. 32 25 124 192
10. 2 3 5 2
11. 3 5 3 5
12. 4 10 5 4 10 5 13.5 6 49 20 6 6
14. 1
2 2
15. 6
2 2
16.
2
17. 14 3 24 12 3
18.
3 1 32 3
19. 1 3 1 3
20. 3
1 1
II/ Biểu thức đại số: Phương pháp:
Phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử; Tìm ĐKXĐ (Nếu toán chưa cho ĐKXĐ) Rút gọn phân thức(nếu được)
Thực phép biến đổi đồng như:
Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia
Bỏ ngoặc: cách nhân đơn ; đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng, trừ hạng tử đồng dạng
Phân tích thành nhân tử – rút gọn
(2)Page
Nếu theo lối mịn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà thơi
ngun; tìm giá trị nhỏ ,lớn nhất…Do ta phải áp dụng Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho loại
Ví dụ: Cho biểu thức:
1
1 :
1 1
a a
a a
a a P
a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị a để biểu thức P có giá trị nguyên Giải: a/ Rút gọn P:
- Phân tích:
2
) (
1 :
1 ) (
1
a a a
a a P
- ĐKXĐ:
1
1 ;
a a
a
- Quy đồng:
1 ) ( ) (
1
a a a
a a P
- Rút gọn:
a a P
b/ Tìm giá trị a để P có giá trị nguyên: - Chia tử cho mẫu ta được:
a P1 - Lý luận: P nguyên
a
1
nguyên a ước là1.
1
) (
a ktm a
Vậy với a = biểu thức P có giá trị ngun Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức: A = x x x x x
2 x x x
a. Rút gọn biểu thức A;
b. Tìm giá trị x để A > -
Bài 2: Cho biểu thức: B = x : x 10 x
x x x x
a. Rút gọn biểu thức B; b. Tìm giá trị x để A >
Bài 3: Cho biểu thức: C =
x 1 x x 1 x x1
a. Rút gọn biểu thức C; b. Tìm giá trị x để C < Bài 4: Rút gọn biểu thức :
2
2
x x x x
D =
x x x x
(3)Bài5: Cho biểu thức: P = 2x x
x
và
3
x x 2x
Q =
x
a. Rút gọn biểu thức P Q;
b. Tìm giá trị x để P = Q
Bài 6: Cho biểu thức: P 2x x x x x x x x x x
a. Rút gọn biểu thức P b. So sánh P với
c. Với giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức 8
P nhận giá trị nguyên
Bài 7: Cho biểu thức: 1 : 1
2
x x P
x
x x x x
a. Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b. Tìm số tự nhiên x để 1
P số tự nhiên; c. Tính giá trị P với x = – 2 3
Bài 8: Cho biểu thức : :
5
x x x x
P
x x x x x
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm x để 1
P
Bài 9: Cho biểu thức :
1
a a a a
P a a
a a
a. Rút gọn P
b. Tìm a để P<74
Bài 10: Cho biểu thức: 3 : 2
9
3 3
x x x x
P
x
x x x
a. Rút gọn P
b. Tìm x để P <
c. Tìm giá trị nhỏ P
Bài 11: Cho biểu thức : :
9
x x x x x
P
x x x x x
a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị x để P<1
Bài 12: Cho biểu thức : 15 11 2
2 3
x x x
P
x x x x
(4)Page
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị x để P=
c. Chứng minh P
Bài 13: Cho biểu thức:
2
2
4
x x m
P
x m x m x m
với m >
a. Rút gọn P
b. Tính x theo m để P =
c. Xác định giá trị m để x tìm câu b thoả mãn điều kiện x >1 Bài 14: Cho biểu thức : P =
1 a a a a a a a a. Rút gọn P
b. Tìm a để P =
c. Tìm giá trị nhỏ P ?
Bài 15: Cho biểu thức: P =
1 1 : 1 1 ab a ab ab a ab a ab ab a a. Rút gọn P
b. Tính giá trị P a =2 3 b =
3 1
c. Tìm giá trị nhỏ P a b 4
Bài 16: Cho biểu thức: P =
1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a
a. Rút gọn P
b. Với giá trị a P = c. Với giá trị a P >
Bài 17: Cho biểu thức: P =
1 1 2 a a a a a a
a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị a để P < c. Tìm giá trị a để P = -2 Bài 18: Cho biểu thức: P =
(5)a. Tìm điều kiện để P có nghĩa b. Rút gọn P
c. Tính giá trị P a =2 3 b =
Bài 19: Cho biểu thức : P =
2 : 1 1 x x x x x x x x
a. Rút gọn P
b. Chứng minh P > x 1
Bài 20: Cho biểu thức: P =
: 1 x x x x x x x x
a. Rút gọn P
b. Tính Pkhi x =52
Bài 21: Cho biểu thức: P =
x x
x x
x
1 : 4 : a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị x để P = 20
Bài 22: Cho biểu thức : P =
y x xy y x x y y x y x y x
3
:
a. Rút gọn P
b. Chứng minh P 0 Bài 23: Cho biểu thức : P =
a ab b
b a b b a a ab b a b b a a ab b a :
a. Rút gọn P
b. Tính P a =16 b = Bài 24: Cho biểu thức:
P = 1 a a a a a a a a a a a a
a. Rút gọn P b. Cho P =
6
6
tìm giá trị a
c. Chứng minh P >
Bài 25: Cho biểu thức: P =
(6)Page
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
a. Rút gọn P
b. Với giá trị x P <
Bài 26: Cho biểu thức: P =
b ab a b a a b a b b a a a b ab a a 2 : 3
a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Bài 27: Cho biểu thức: P =
2 : 1 a a a a a a a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị a để P >
Bài 28: Cho biểu thức: P =
3 3 : 1 1 xy y x y y x x y x y x y x y x
a. Rút gọn P
b. Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 29: Cho biểu thức :P =
x x y xy x x x y xy x 1 2 2
a. Rút gọn P
b. Tìm tất số nguyên dương x để y=625 P<0,2 Bài 30: Cho biểu thức:
P =
1 1 1 :
1
x x x x x x x x
a. Rút gọn P b. So sánh P với
Chuyên đề II: ĐỒ THỊ HÀM SỐ ' '
( 0) & ( 0)
yax b a ya x a
VÀ TƯƠNG QUAN GIỮA CHÚNG I/.Điểm thuộc đường – đường qua điểm
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA)
Ví dụ 1: Tìm hệ số a hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) Giải:
Do đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) nên: = a.22 a =
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) đường thẳng (d) có Phương trình: y = -2(x + 1) Đường thẳng (d) có qua A khơng?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = nên điểm A thuộc v đường thẳng (d) II.Cách tìm giao điểm hai đường y = f(x) y = g(x)
(7)Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai công thức y = f(x) y = g(x) để Tìm tung độ giao điểm
Chú ý: Số nghiệm Phương trình (*) số giao điểm hai đường III.Quan hệ hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng : ( ) :d1 ya x b1 (d2) :ya x b2 a. (d1) cắt (d2)a1 a2
b. (d1) // (d2)
1
1
a a
b b
c. (d1) (d2)
1
1
a a
b b
d. (d1) (d2) a a1 1
IV.Tìm điều kiện để đường thẳng đồng qui
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng khơng chứa tham số để tìm (x;y) Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm vào phương trình cịn lại để tìm tham số
V.Quan hệ (d): y = ax + b (P): y = a’x2 (a’ 0) 1.Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm Phương trình:
a’x2 = ax + b (*) a’x2- ax – b =
Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai phương trình y = ax +b y = ax2 để Tìm tung độ giao điểm
Chú ý: Số nghiệm Phương trình (*)chính số giao điểm (d) (P) 2.Tìm điều kiện để (d) (P) cắt;tiếp xúc; khơng cắt nhau:
Từ Phương trình (*) ta có: a'x2 axb0(a)2 4a'.b
a) (d) (P) cắt Phương trình (*) cú hai nghiệm phân biệt 0 b) (d) (P) tiếp xúc với Phương trình (*) có nghiệm kép0 c) (d) (P) không cắt Phương trình (*) vơ nghiệm 0 VI.Viết Phương trình đường thẳng y = ax + b :
1.Biết quan hệ hệ số góc(//hay vng góc) qua điểm A(x0;y0)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vng góc để Tìm hệ số a
Bước 2: Thay a vừa Tìm x0;y0 vào cụng thức y = ax + b để Tìm b
2.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2)
Do đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2) nên ta có hệ Phương trình:
1
2
ax b y
ax b y
Giải hệ Phương trình Tìm a,b
3.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x0;y0) tiếp xúc với (P): y = a ’
x2 Do đường thẳng qua điểm A(x0;y0) nên có Phương trình :
(8)Page
Nếu theo lối mịn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’x2 nên pt: a’x2 = ax + b có nghiệm kép 0
Giải hệ
0
0 ax b
y
để Tìm a,b
VII.Chứng minh đường thẳng ln qua điểm cố định ( giả sử tham số m) Giả sử A(x0;y0) điểm cố định mà đường thẳng qua với m, thay x0;y0
vào Phương trình đường thẳng chuyển Phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm
đúng với m
Đồng hệ số Phương trình trờn với giải hệ Tìm x0;y0
VIII.Tìm khoảng cách hai điểm A; B
Gọi x1; x2 hoành độ A B; y1,y2 tung độ A B
Khi khoảng cách AB tính định lý Pi Ta Go tam giác vuông ABC:
1 2 2
2
) (
)
(x x y y
BC AC
AB
IX Một số ứng dụng đồ thị hàm số: 1.Ứng dụng vào Phương trình
2.Ứng dụng vào toán cực trị Bài tập hàm số
Bài cho parabol (p): y = 2x2
1 tìm giá trị a,b cho đường thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) qua A(0;-2) 2 tìm Phương trình đường thẳng tiếp xúc với (p) B(1;2)
3 Tìm giao điểm (p) với đường thẳng y = 2m +1 Bài 2: Cho (P)
2
x
y đường thẳng (d): y = ax + b
1 Xác định a b để đường thẳng (d) qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P) 2 Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 3: Cho (P) y x2 đường thẳng (d) y = 2x + m 1 Vẽ (P)
(9)Bài 4: Cho (P)
4
2 x
y (d): y = x + m 1 Vẽ (P)
2 Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B
3 Xác định Phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4
4 Xác định Phương trình đường thẳng (d'') vng góc với (d') qua giao điểm (d') và (P)
Bài 5: Cho hàm số (P): x
y hàm số(d): y = x + m
1 Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B
2 Xác định Phương trình đường thẳng (d') vng góc với (d) tiếp xúc với (P) 3 Tìm m cho khoảng cách hai điểm A B 3
Bài 6: Cho điểm A(-2;2) đường thẳng (d1) y = -2(x+1) 1 Điểm A có thuộc (d1) khơng ? Vì ?
2 Tìm a để hàm số (P):
.x
a
y qua A
3 Xác định Phương trình đường thẳng (d2) qua A vng góc với (d1)
4 Gọi A B giao điểm (P) (d2) ; C giao điểm (d1) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính chu vi tam giác ABC?
Bài 7: Cho (P)
x
y đường thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hồnh độ lần lượt
-2
1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số 2.Viết Phương trình đường thẳng (d)
3.Tìm điểm M cung AB (P) tương ứng hoành độ x2;4 cho tam giác MAB có diện tích lớn
(Gợi ý: cung AB (P) tương ứng hồnh độ x2;4 có nghĩa A(-2;yA) B(4;yB)
tính y ;A; yB;SMAB có diện tích lớn nhấtM tiếp điểm đường thẳng (d1)với
(P)và(d1)//(d)
Bài 8: Cho (P):
4
2 x
y điểm M (1;-2)
1 Viết Phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc m
HD: Phương trình có dạng:yaxbmà a = m thay x = 1; y = -2 tính b = - m-2 PT: y mxm2
2 Chứng minh: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi 3 Gọi x ;A xB hoành độ A B Xác định m để 2
B A B
Ax x x
(10)Page 10
Nếu theo lối mịn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
Bài 9: Cho hàm số (P): y x2 1 Vẽ (P)
2 Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ -1 Viết ph trình đường thẳng AB
3 Viết Phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 10: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P)
4
x
y đường thẳng (d):
1
2
mx m
y
1 Vẽ (P)
2 Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm 3 Chứng tỏ (d) qua điểm cố định
Bài 11: Cho (P):
x
y điểm I(0;-2) Gọi (d) đường thẳng qua I có hệ số góc m
1 Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B với mR
2.Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 12: Cho (P):
4
2 x
y đường thẳng (d) qua điểm I( ;1
) có hệ số góc m 1 Vẽ (P) viết Phương trình (d)
2 Tìm m cho (d) tiếp xúc (P)
3 Tìm m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Bài 13: Cho (P):
4
2 x
y đường thẳng (d): 2
x
y
1 Vẽ (P) (d)
2 Tìm toạ độ giao điểm (P) (d)
3 Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đường tiếp tuyến (P) song song với (d) Bài 14: Cho (P):
x y
1.Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ -1 Viết ph trình đường thẳng AB
2.Viết Phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 14: Cho (P): y 2x2
1.Vẽ (P)
(11)Bài 15: Xác định giá trị m để hai đường thẳng có Phương trình : ) ( : ) ( y mx d m y x d cắt nhau điểm (P) y 2x2
Chuyên đề III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A/ Phương trình bâc ẩn – giảI biện luận:
Phương trình bậc ẩn có dạng axb0(a0)
Giải biện luận:
Nếu a0;b0 Phương trình vơ số nghiệm Nếu a0;b0 Phương trình vơ nghiệm
Nếu a0 Phương trình có nghiệm
a b x Ví dụ: Giải bịên luận Phương trình sau: 4m2(x1)x4m1
Giải: 4 ) ( 4 4 ) (
4m2 x x m m2x m2 x m m2 x m2 m
2 ) ( ) )( (
m m x m
Biện luận: + Nếu
m Phương trình có nghiệm:
1 2 m m x + Nếu
m Phương trình có dạng:0.x0 nên Phương trình vơ số nghiệm + Nếu
2
m Phương trình có dạng: ) (
0x nên Phương trình vơ nghiệm Bài tập: Giải biện luận Phương trình sau:
Bài
3 ) (
m x
x m
Bài 0 1
1
1
2
a a a x a a x a a x
HD: Quy đồng- thu gọn- đưa dạng ax + b =
Bài ( ; ; ;0; 0)
c b a c b a c b a x a x c b b x c a c x b a HD: c b a x a x c b b x c a c x b a 1 c b a x a x c b b x c a c x b a
1 4
c b a x c b a a b c x c b a
( ) 1 4( ) ( ) 4( ) 0
(12)Page 12
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
Nếu 0(abcx)0 xabc Nếu 0 Phương trình vơ số nghiệm b hệ Phương trình bậc có hai ẩn số:
Dạng tổng quát:
0 ' '
b x a
b ax
Cách giải:
Phương pháp
Phương pháp cộng đại số Số nghiệm số:
Nếuaa'
Thì hệ Phương trình có nghiệm
Nếu ' ' '
;
;b b c c
a
a Thì hệ Phương trình vơ nghiệm
Nếu ' ' '
;
;b b c c
a
a Thì hệ Phương trình có vơ số nghiệm
Tập nghiệm Phương trình biểu diễn mặt phẳng toạ độ đồ thị hàm số dạng: yaxb
Ví dụ: Giải HPT sau: Bài1:
3
x y x y
Giải:
Dùng PP thế:
3
x y x y
2 3 2
3 10 2.2
y x y x x x
x x x y y
Vậy HPT cho có nghiệm là:
1
x y
Dùng PP cộng:
3
x y x y
5 10 2
3 3.2
x x x
x y y y
Vậy HPT cho có nghiệm là:
1
x y
Bài2:
5
x y x y
Để giải loại HPT ta thường sử dụng PP cộng cho thuận lợi
5
x y x y
10 15 10 11 22 2
10 12 2.( 6)
x y y y x
x y x y x y
(13)Vậy HPT có nghiệm
2
x y
Bài 3:
2
1
2
1
x y x y
*Đối với HPT dạng ta sử dụng hai cách giải sau đây: Cách 1: Sử dụng PP cộng
ĐK: x 1,y0
2
1
2
1
x y
x y
2
2 1 1 1 3
1
2
2
2
1
1 1 1 1
1
y y
y x x
y y
x x
x y
Vậy HPT có nghiệm
3
x y
Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ ĐK: x 1,y0
Đặt 1 a
x ;
1
b
y HPT cho trở thành:
2 5.1
2 2 1
a b a b a a
a b b b b
1
2
1
2
1
x x
y y
(TMĐK)
Vậy HPT có nghiệm
3
x y
Lưu ý: Nhiều em thiếu ĐK cho HPT dạng
Có thể thử lại nghiệm HPT vừa giải Bài tập hệ Phương trình:
Bài 1: Giải hệ phương trình sau (bằng pp thế) 1.1: )
3
x y a
x y
)
4
x y b
x y
1.2 ) 2
2
x y
a
x y
(14)Page 14
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
Bài 2: Giải hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số) 2.1 ) 3
2 x y a x y
)
2 x y b x y
3 10
) 2 1
3 3 x y c x y
2.2 )
2 2
x y a x y
) 2
6 2
x y b x y Bài 3:
Giải hệ phương trình 23
( 1)
x y
m x y m
trường hợp sau
a) m = -1 b) m = c) m = Bài a) Xác định hệ số a b, biết hệ phương trình
5 x by bx ay
có nghiệm (1; -2) b) Cũng hỏi hệ phương trình có nghiệm 1; 2
Bài 5: a Giải hệ phương trình sau: 2
3 x y x y
b Từ suy nghiệm hệ phương trình
2 1 1 m n m n m n m n
Bài 6: Cho hệ Phương trình
by ax b ay x
a) Giải hệ a =3 ; b =-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm (x;y) = ( 2; 3) Bài 7: Giải hệ Phương trình sau: (pp đặt ẩn phụ) 7.1) 2 y x y x y x y x 7.2) 2 y x y x 7.3) 2 y x y x
7.4) 3 3
2
x y x y ; 7.5) ( 1) 2( 2)
3( 1) ( 2)
x y x y ; 7.6) ( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
7.7) ( 1)( 2) ( 1)( 3)
( 3)( 1) ( 3)( 5)
x y x y
x y x y
7.8) 3( ) 5( ) 12
5( ) 2( ) 11
x y x y x y x y
(15)7.9)
1
5
1 1
5
x y x y
7.10)
1
2
5
3
x y x y
x y x y
7.11)
1 5
2 3
3
2 3
x y x y x y x y
c.Phương trình bậc hai - hệ thức vi - ét
1.Cách giải Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) Nếu > Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =
-b - 2a
; x2 =
-b + 2a
Nếu = Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
-b 2a
Nếu < Phương trình vơ nghiệm
Chú ý: Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải Phương trình cơng thức nghiệm thu gọn: '
2
b
b
' b' ac
Nếu ' > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
-b' - ' a
; x2 =
-b' + ' a
Nếu ' = Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
-b' a
Nếu ' < Phương trình vơ nghiệm 2.Định lý Vi ét:
Nếu x1 , x2 nghiệm Phương trình ax 2
+ bx + c = (a 0) S = x1 + x2 = -
a b
p = x1x2 =
a c
Đảo lại: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghiệm (nếu có )
của Phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 3 Toán ứng dụng định lý Viét
I Tính nhẩm nghiệm
Xét Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0)
ac b2 4
(16)Page 16
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
Nếu a + b + c = Phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 =
a c
Nếu a – b + c = Phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -
a c
Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn 0 Phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n
( x1 = n , x2 = m)
II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Lập Phương trình bậc hai biết hai nghiệm x x1; 2
Ví dụ : Cho x13; x2 2 lập Phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Theo hệ thức VI-ét ta có
1
S x x
P x x
Vậy x x1; 2là nghiệm Phương trình có dạng:
2
0
x SxP x x
Bài tập áp dụng:
1 x1 = và x2 = -3
2 x1 = 3a và x2 = a
3 x1 = 36 và x2 = -104
4 x1 = 1 2 x2 = 1
2 Lập Phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả biểu thức chứa hai nghiệm một Phương trình cho trước:
Ví dụ: Cho Phương trình : x2 3x 2 0 có nghiệm phân biệt 1; x x
Không giải Phương trình trên, lập Phương trình bậc có ẩn y thoả mãn:
1
1
1
y x x
2 1
2
1
y x x
Theo h ệ th ức VI- ét ta có:
1
1 2 1 2
1 2
1 1
( ) ( )
2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
1 2 1
1 2
1 1
( )( ) 1 1
2
P y y x x x x
x x x x
Vậy Phương trình cần lập có dạng:
0
y SyP hay 9
0 9
2
y y y y
Bài tập áp dụng:
1/ Cho Phương trình 3x25x 6 0
(17)Khơng giải Phương trình, lập Phương trình bậc hai có nghiệm 1 1
1
y x x
2
1
1
y x x
(Đáp số: 0
6
y y hay 6y25y 3 0) 2/ Cho Phương trình :
5
x x có nghiệm x x1; 2 Hãy lập Phương trình bậc có ẩn y thoả mãn
1
y x
2
y x (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm Phương trình đã cho)
(Đáp số :
727
y y ) 3/ Cho Phương trình bậc hai: 2
2
x xm có nghiệm x x1; 2 Hãy lập Phương trình bậc hai có nghiệm y y1; 2 cho :
a) y1x13 y2 x23 b) y12x11 y2 2x21
(Đáp số a) 2
4
y y m b) 2
2 (4 3)
y y m ) III TÌM HAI SỐ BIẾT TổNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm Phương trình :
0
x SxP (Điều kiện để có hai số S2 4P ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 tích P = ab = 4
Với a + b = 3 ab = 4 n ên a, b nghiệm Phương trình :
3
x x
giải Phương trình ta x1 1 x2 4 Vậy a = b = 4
nếu a = 4 b =
Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P 1 S = và P =
2 S = 3 P = 3 S = và P = 20 4 S = 2x và P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết 1 a + b = a2 + b2 = 41 2 a b = ab = 36 3 a2 + b2 = 61 v ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần Tìm tích a b
T
2
2 2 2 81
9 81 81 20
2
a b
(18)Page 18
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
Suy : a, b nghiệm Phương trình có dạng : 2
4 20
5
x
x x
x
Vậy: Nếu a = b =
nếu a = b =
2)Biết tích: ab = 36 cần Tìm tổng : a + b Cách 1: Đặt c = b ta có : a + c = a.c = 36
Suy a,c nghiệm Phương trình : 2
4 36
9
x
x x
x
Do a = 4 c = nên b = 9
nếu a = c = 4 nên b =
Cách 2: Từ a b 2 a b 24aba b 2 a b 24ab169
2 13
13
13
a b a b
a b
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm Phương trình :
2
2 13 36
9
x
x x
x
Vậy a =4 b = 9
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm Phương trình :
2
2 13 36
9
x
x x
x
Vậy a = b =
3) Đó biết ab = 30, cần Tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 2 2
2 61 2.30 121 11
a b a b ab
11
11
a b a b
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm Phương trình:
2
2 11 30
6
x
x x
x
Vậy a =5thì b = 6 ; a =6 b = 5
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm Phương trình :
2
2 11 30
6
x
x x
x
Vậy a = b = ; a = b =
IV Tìm điều kiện tham số để Phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho
trước.Tìm nghiệm thứ Cách giải:
Tìm điều kiện để Phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách:
Cách 1:- Lập điều kiện để Phương trình bậc cho có nghiệm:0 (hoặc
0
/
(19)- Thay x = x1 vào Phương trình cho ,tìm giá trị tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số với điều kiện(*) để kết luận Cách 2: - Không cần lập điều kiện0 (hoặc / 0) mà ta thay x = x1 vào
Phương trình cho, tìm giá trị tham số
- Sau thay giá trị tìm tham số vào Phương trình giải Phương trình
Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào Phương trình , mà Phương trình bậc hai này có
< kết luận khơng có giá trị tham số để Phương trình có nghiệm x1 cho
trước
Để tìm nghiệm thứ ta có cách:
Cách 1: Thay giá trị tham số tìm vào Phương trình giải Phương trình (như cách trình bày trên)
Cách 2:Thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tổng nghiệm tìm nghiệm thứ
Cách 3: thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tích hai nghiệm,từ tìm nghiệm thứ2
V TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối toán dạng điều quan trọng em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức cú chứa tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm x x1 2 để áp dụng hệ thức VI-ÉT tính giá trị biểu thức
1.Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất : (x1x2) x x1 2
Dạng 2 2
1 ( 2 2) 2 ( 2) 2
x x x x x x x x x x x x
Dạng 3 2 2
1 2 1 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
Dạng 4 2 2 22 2 2 2
1 ( 1) ( 2) 2 ( 2) 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
Dạng
1 2
1 x x
x x x x
Dạng x1x2 ? Ta biết x1x22 x1x224x x1 x1x2 x1x224x x1 Dạng 2
1
x x x1x2x1x2= (x1x2)2 4x1x2.(x1x2)
Dạng 3
1
x x = 2 2
1 1 2 2
x x x x x x x x x x x x
=……
Dạng 4
1
x x = 2 2
1 2
x x x x =…… Dạng 6
1
x x = 3 2 2 4
1 2 1 2
(x ) (x ) x x x x x x = …… Dạng 10 6
1
x x (x12)3(x22)3 (x12 x22)(x12)2 x12.x22 (x22)2 Dạng 11 5
1
(20)Page 20
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà thơi
Dạng13 2
2
2
1
2 )
)( (
2
1
a aS p
a S a
x a x
a x x a x a
x
2 Bài tập áp dụng: Không giải Phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho Phương trình :
8 15
x x Khơng giải Phương trình, tính 1 2
1
x x (34) 2
1
1
x x
8 15
3
2
x x x x
34 15
4
2
1
x x (46) b) Cho Phương trình :
8x 72x640 Khơng giải Phương trình, tính: 1
1
1
x x
9
2
2
1
x x (65)
c) Cho Phương trình :
14 29
x x Khơng giải Phương trình, tính: 1
1
1
x x
14 29
2
2
1
x x (138)
d) Cho Phương trình :
2x 3x 1 0 Khơng giải Phương trình, tính: 1
1
1
x x (3) 2
1
1
1 x x
x x
(1)
3 2
1
x x (1) 4
2 1
x x
x x
5
1
1
1
x x
e) Cho Phương trình x24 3x 8 0 có nghiệm x
1 ; x2 , khơng giải Phương trình, tính
2
1 2
3
1 2
6 10
Q
5
x x x x x x x x
HD:
2 2
1 2 2
3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 10 6( ) 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
VI TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm toán loại này,các em làm theo bước sau:
(21)(thường a 0) 2- Áp dụng hệ thức VI-ET:
a c x x a
b x
x1 2 ; 1 2
3- Sau dựa vào hệ thức VI-ET rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số.Đó chính hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m
Ví dụ 1: Cho Phương trình :
1
m x mxm (1) có nghiệm x x1; 2 Lập hệ thức liên hệ x x1; 2 cho không phụ thuộc vào m
(Bài cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta khơng biện luận bước 1)
Giải:
Bước2: Theo hệ th ức VI- ET ta có :
1 2
1 2
2
2 (1)
1
4
(2)
1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
Bước2: Rút m từ (1) ta có :
1
1
2
2
1 x x m
m x x (3)
Rút m từ (2) ta có :
1
3
1
1 x x m
m x x (4) Bước 3: Đồng vế (3) (4) ta có:
2 2
1 2
2
2 3
2 x x x x x x x x
x x x x
Ví dụ 2: Gọi x x1; 2 nghiệm Phương trình :
1
m x mxm Chứng minh rằng biểu thức A3x1x22x x1 28 không phụ thuộc giá trị m
Theo hệ thức VI- ET ta có :
1
1
2
1
m x x
m m x x
m
(22)Page 22
Nếu theo lối mịn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
2
2 8( 1)
3 8
1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
Vậy A = với m1 Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng:
1 Cho Phương trình :
2
x m x m Hãy lập hệ thức liên hệ x x1; 2 cho 1;
x x độc lập m Hướng dẫn:
B1: Dễ thấy 2 2
2 4
m m m m m
Do Phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2
B2: Theo hệ thức VI- ET ta có
1
1
1 2
2(1)
1
(2)
2
m x x x x m
x x
x x m m
B3: Từ (1) (2) ta có:
1
1 2
1
2
2
x x
x x x x x x
2 Cho Phương trình :
4
x m x m
Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn: Dễ thấy 2
(4m 1) 4.2(m 4) 16m 33
Do Phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2
Theo hệ thức VI-ET ta có
1 2
1 2
(4 1) ( ) 1(1)
2( 4) 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
Từ (1) (2) ta có:
1 2 2
(x x ) 2x x 16 2x x (x x ) 17
VII TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với toán dạng em làm sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để Phương trình cho có hai nghiệm x1 x2
(thường a 0)
- Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ET để giải Phương trình (có ẩn tham số)
(23)Ví dụ 1: Cho Phương trình :
6
mx m x m
Tìm giá trị tham số m để nghiệmx1 x2 thoả mãn hệ thức : x1x2 x x1 2
Bài giải: Điều kiện để Phương trình có nghiệm x1 x2 :
0 0 0
' 9 27 ' 1
' 21 9( 3)
m m m m
m m m m m
m m m
Theo hệ thức VI- ET ta có:
1
1
6( 1)
9( 3)
m x x
m m x x
m
từ giả thiết: x1x2 x x1 2
Suy ra: 6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 6m 9m 27 3m 21 m
m m
(thỏa mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = Phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức :
1 2
x x x x
Ví dụ 2: Cho Phương trình :
2
x m xm
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 25x1x270
Giải:
Điều kiện để Phương trình có nghiệm x1&x2 :
2
' (2m 1) 4(m 2)
2
4m 4m 4m
7
4
4
m m
Theo hệ thức VI-ET ta có: 2
2
2
x x m
x x m
và từ giả thiết 3x x1 25x1x270
Suy
2
2
3( 2) 5(2 1)
3 10
2( )
3 10 4
( )
3
m m
m m
m TM
m m
m KTM
Vậy với m = Phương trình cú nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức :
1 2
(24)Page 24
Nếu theo lối mịn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
Bài tập áp dụng
1 Cho Phương trình :
2
mx m xm
Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức : x12x2 0
2 Cho Phương trình :
1
x m x m
Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 4x13x2 1
3 Cho Phương trình :
3x 3m2 x 3m1 0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức : 3x15x2 6
Hướng dẫn cách giải:
Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ:
Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm
x x nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để Tìm tham số m
Cũng tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm x x1 2rồi từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ
BT1: - ĐKX Đ: & 16 15
m m
-Theo VI-ET:
1
1
( 4)
(1)
m x x
m m x x
m
- Từ x12x2 0 Suy ra: 2
1 2
1
3
2( )
2( )
x x x
x x x x
x x x
(2) - Thế (1) vào (2) ta đưa Phương trình sau:
1
127 128 1; 128
m m m m
BT2: - ĐKXĐ:
22 25 11 96 11 96
m m m
- Theo VI-ET: 2
1 (1)
5
x x m
x x m
- Từ : 4x13x2 1 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
1 3( )
1 3( ) 4( )
4( )
7( ) 12( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta có Phương trình : 12 ( 1) 0
m m m
m
(thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì 2
(3m 2) 4.3(3m 1) 9m 24m 16 (3m 4)
(25)- -Theo VI-ET:
1
1
3
3 (1)
(3 1)
3
m x x
m x x
- Từ giả thiết: 3x15x2 6 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
8 5( )
64 5( ) 3( )
8 3( )
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta Phương trình:
0
(45 96) 32
15
m m m
m
(thoả mãn )
VIII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho Phương trình:
0
ax bx c (a 0) Hãy Tìm điều kiện để Phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm …
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 Px x1 Điều kiện chung Trái dấu P < ; P < Cùng dấu P > ; P >
Cùng dương + + S > P > ; P > ; S > Cùng âm S < P > ; P > ; S < Ví dụ: Xác định tham số m cho Phương trình:
2
2x 3m1 xm m 6 0 cú nghiệm trái dấu Để Phương trình có nghiệm trái dấu
2
2
(3 1) 4.2.( 6)
0 ( 7)
2
6
0 ( 3)( 2)
2
m m m
m m
m m m
P P P m m
Vậy với 2 m3 Phương trình có nghiệm trái dấu Bài tập tham khảo:
1
2
mx m x m có nghiệm dấu
2
3mx 2 2m1 xm0 có nghiệm âm 3.
1
(26)Page 26
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà thơi
IX TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được: A m
C
k B
(trong A, B biểu thức không âm ; m, k số) (*) Thì ta thấy : Cm (vì A0) minC m A0
Ck (vìB0) maxCkB0 Ví dụ 1: Cho Phương trình :
2
x m x m
Gọi x1 x2 nghiệm Phương trình Tìm m để :
2
1
Ax x x x có giá trị nhỏ Giải: Theo VI-ET:
1
(2 1)
x x m
x x m
Theo đề :
2
2
1 2
Ax x x x x x x x
2
2
2
4 12
(2 3) 8
m m
m m
m
Suy ra: minA 8 2m 3 hay
m
Ví dụ 2: Cho Phương trình : x2mx m 1 0
Gọi x1 x2 nghiệm Phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn nhất biểu thức sau:
1
2
1 2
2
2
x x B
x x x x
Ta có: Theo hệ thức VI-ET :
1
x x m
x x m
1 2
2 2 2
1 2
2 3 2( 1)
2 ( ) 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
(27) 2
2
2
2 1
1
2
m m m m
B
m m
Vì
2
2
1
1 0
2
m
m B
m
Vậy max B=1 m = Với cách thêm bớt khác ta lại có:
2 2 2
2 2
1 1
2 4 2
1
2 2
2 2 2
m m m m m m m
B
m m m
Vì
2
2
2
2 0
2
2
m
m B
m
Vậy min
2
B m
Cách 2: Đưa giải Phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta Tìm điều kiện cho tham số B để Phương trình cho ln có nghiệm với m
2
2
2
2
m
B Bm m B
m
(Với m ẩn, B tham số) (**)
Ta có:
1 B(2B 1) 2B B
Để Phương trình (**) ln có nghiệm với m
hay 2
2B B 2B B 2B B
1
2 2
1 1
1
2 1
2
1
B B
B B
B B
B B
B
Vậy: max B=1 m =
1
min
2
B m Bài tập áp dụng
1 Cho Phương trình :
4
x m x m .Tìm m để biểu thức Ax1x22 có giá
trị nhỏ
2 Cho Phương trình
2( 1)
x m x m Tìm m cho nghiệm x x1; 2 thỏa mãn điều kiện 2
1 10
x x
3 Cho Phương trình : 2
2( 4)
x m xm xác định m để Phương trình có nghiệm 1;
x x thỏa mãn
(28)Page 28
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà thơi
b) 2
1 2
Bx x x x đạt giá trị nhỏ 4 Cho Phương trình : 2
( 1)
x m x m m Với giá trị m, biểu thức
2
1
Cx x dạt giá trị nhỏ
5 Cho Phương trình x2(m1)m0 Xác định m để biểu thức 2
1
E x x đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập Bài tập 1:
Biến đổi Phương trình sau thành Phương trình bậc hai giải
a) 10x2 + 17x + = 2(2x - 1) – 15 b) x2 + 7x - = x(x - 1) - c) 2x2 - 5x - = (x+ 1)(x - 1) + d) 5x2 - x - = 2x(x - 1) - + x2 e) -6x2 + x - = -3x(x - 1) – 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - = x(x +3) + g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) – h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) -
Bài tập 2: Cho Phương trình: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + = a) Giải Phương trình với m = - 2;
b) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm x = -1 c) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm kép
Bài tập 3: Cho Phương trình: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + = a) Giải Phương trình với m = 3;
b) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm x = - 4; c) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm kép
Bài tập 4:
Cho Phương trình: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = a) Giải Phương trình với m = -2;
b) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm x = -3 c) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm kép Bài tập 5: Cho Phương trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + = a) Giải Phương trình với m = -1và m =
b) Tìm m để Phương trình có nghiệm x = c) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x1 = x2
Bài tập 6:
Cho Phương trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - = a) Giải Phương trình với m = -2
b) Với giá trị m Phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x1 = 2x2
Bài tập 7:
Cho Phương trình : 2x2 - 6x + (m +7) = a) Giải Phương trình với m = -3
b) Với giá trị m Phương trình có nghiệm x = - c) Với giá trị m Phương trình cho vô nghiệm
(29)Bài tập 8:
Cho Phương trình : x2 - 2(m - ) x + m + = a) Giải Phương trình với m = -
b) Với giá trị m Phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x1 = 3x2
Bài tập 9:
Biết Phương trình : x2 - 2(m + )x + m2 + 5m - = ( Với m tham số ) có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại
Bài tập 10:
Biết Phương trình : x2 - 2(3m + )x + 2m2 - 2m - = ( Với m tham số ) có nghiệm
a x = -1 Tìm nghiệm cịn lại b x = -1 Tìm nghiệm cịn lại
Bài tập 11: Cho Phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Tìm m để Phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm trái dấu
c)Tìm hệ thức hai nghiệm Phương trình khơng phụ thuộc vào m Bài tập 12: Cho Phương trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) =
a) Tìm m để Phương trình có nghiệm x = -
b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Khi Phương trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm cịn lại Bài tập 13:Cho Phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m =
a) Tìm m để Phương trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x1
2
+ x2 2
= c) Tìm giá trị nhỏ A = x1
2
+ x2 2
Bài tập 14: Cho Phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để Phương trình có hiệu hai nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 không phụ thuộc m
Bài tập 15: Cho Phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - =
a) Chứng minh Phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 2
+ x2 2
Bài tập 16: Cho Phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = a) Tìm m để A = x1
2
+ x2 2
- x1 - x2 đạt giá trị nhỏ
b) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn
c) Tìm m để C = x1 2
+ x2 2
- x1x2
Bài tập 17: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 Phương trình
(30)Page 30
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
Bài tập 18:
Cho Phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để Phương trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn
5
1 1 2
2
x x x x
Bài tập 19:
Cho Phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số)
a) Xác định m để nghiệm x1; x2 Phương trình thoả mãn x1 + 4x2 =
b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 20:
a) Với giá trị m hai Phương trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2)
b) Tìm giá trị m để nghiệm Phương trình (1) nghiệm Phương trình (2) ngược lại
d Một số Phương trình thường gặp:
1 Phương trình tích: Dạng: 0
A A B
B
Ví dụ: Giải Phương trình:2x3 x2 13x60 Phân tích vế trái thành nhân tử Phương pháp nhẩm nghiệm.( nghiệm thuộc ước 6)ta được:
3 2
) )( (
3 2
x x x x
x x
Bài tập:
Bài 1: x4 2x3 x2 8x120
Bài 2: 2x3 3x2 11x60
2.Phương trình chứa ẩn mẫu:
Ví du: Giải biện luận Phương trình sau: x mx
x
1
1
(*) ĐKXĐ: 1 0 (m0)
m x mx
(31)(1m)x2 (1m)x0x(1m)x1m0
1 )
1 (
) (
0
m x m m
x m x
Nếu m1; Phương trình có nghiệm :
1
1
m m x x
Nếu m = Phương trình có nghiệm: x = Bài tập:
Bài 1:
) (
10
2
2
2
x x x x
x x
Bài 2:
3
4
5
2
x x
x
3 Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyêt đối Ví dụ: Giải Phương trình: 3x2 3x1 3
Ta giải sau: Lập bảng xét vế trái: x
3
3
2
3x 3x2 3x2 3x2
1
3x 3x1 3x1 3x1
Vế trái cộng lại
3
x 0x1 6x3
Vậy: + Với
x Phương trình (1)6x336x0 x0 ( thoả mãn) + Với
3
1
x Phương trình (1) 0x13 Phương trình vơ nghiệm + Với
3
x Phươngtrình (1) 6x336x6x1 thoả mãn Bài tập:
Bài 1: x2 2x1 5 Bài 2: x 3 2x4 Phương trình vơ tỉ:
Ví dụ: a) Giải Phương trình: x4 x1 12x PP: + ĐKXĐ:
2
2
1
1
4
4
x x
x x
x x
2 4
x
+ Bình Phương hai vế để làm
(32)Page 32
Nếu theo lối mịn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
PP: + ĐKXĐ:
2
1
2x x
+ Tạo bình Phương tổng noặc hiệu biểu thức để đưa ngoài
Do thiếu lần tích nên ta nhân hai vế Phương trình với 2
+ Xét xem biểu thức dương hay không để đặt dấu giá trị tuyệt đối giải Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập:
Bài 1: x2 4x4 x2 2x13
Bài 2: x2 x32 x2 x32 3
- Chuyên đề IV: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
– HỆ PHƯƠNG TRÌNH I, Lí thuyết cần nhớ:
* Bước 1: + Lập PT hệ Phương trình; (nên lập bảng để tìm Phương trình) - Chọn ẩn, tìm đơn vị ĐK cho ẩn
- Biểu diễn mối quan hệ lại qua ẩn đại lượng biết - Lập HPT
* Bước 2: Giải PT HPT
* Bước 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời II, Bài tập hướng dẫn:
1) Toán chuyển động:
Bài Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngược chiều nhau gặp sau Tìm vận tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ôtô từ B
Bài 2: Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h Khi từ B A người đường khác dài km, với vận tốc 12km/h nên thời gian thời gian đI 20 phút Tính quãng đường AB?
Bài Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 km , ngược chiều gặp sau 40 phút.Tính vận tốc riêng ca nô biết vận tốc ca nô xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng km/h (có vận tốc dịng nước) vận tốc dòng nước km/h
2) Toán thêm bớt lượng
Bài Hai lớp 9A 9B có tổng cộng 70 HS chuyển HS từ lớp 9A sang lớp 9B số HS hai lớp Tính số HS lớp
(33)cịn lại thùng thứ hai gấp đơi lượng dầu lại thùng thứ Hỏi lấy bao nhiêu lít dầu thùng?
3) Toán phần trăm:
Bài Hai trường A, B có 250 HS lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 HS trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trường A đạt 80%, trường B đạt 90% Hỏi trường có bao nhiêu HS lớp dự thi vào lớp 10
4) Toán làm chung làm riêng:
Bài Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ cần thời gian vòi thứ hai Tính thời gian để vịi chảy riêng đầy bể
Bài Hai tổ làm chung cơng việc hồn thành sau 15 tổ làm giờ, tổ hai làm 30% cơng việc Hỏi làm riêng tổ hồn thành trong
5) Toán nồng độ dung dịch:
Kiến thức: Biết m lít chất tan M lít dung dịchthì nồng độ phàn trăm là 100%
M m
Bài 10: Khi thêm 200g Axít vào dung dịch Axít dung dịch có nồng độ A xít 50% Lại thêm 300gam nước vào dung dịch ,ta dung dịch A xít có nồng độ là40%.Tính nồng độ A xít dung dịch
HD: Khối lượng nước dung dịch x gam, khối lượng A xít dung dịch đầu tiên y gam Sau thêm, 200 gam A xít vào dung dịch A xít ta cólượng A xít là: ( y + 200) gam nồng độ 50% Do tacó:
2 200
200
x y
y
200
x y (1)
Sau thêm 300 gam nước vào dung dịch khối lượng nước là: (x + 300) gam nồng độ 40%(=2/5) nên ta có:
5 300 200
200
x y
y
0
2
x y (2)
Giải hệ (1) (2) ta x = 600; y = 400 Vậy nông độ A xít là: 40% 400
600 400
6)Toán nhiệt lượng:
Kiến thức: Biết răng: + m Kg nước giảm t0C toả nhiệt lượng Q = m.t (Kcal) + m Kg nước tăng t0C thu vào nhiệt lượng Q = m.t (Kcal) Bài 11: Phải dùng lít nước sơi 1000C lít nước lạnh 200C để có hỗn hợp 100lít nước nhiệt độ 400C
HD: Gọi khối lượng nước sôi x Kg khối lượng nước lạnh là: 100 – x (kg) Nhiệt lương nước sôi toả hạ xuống đến 400C là: x(100 – 40) = 60x (Kcal) Nhiệt lượng nước lạnh tăng từ 200C -đến 400C là: (100 – x).20 (Kcal)
Vì nhiệt lượng thu vào nhiệt lượng toả nên ta có : 60x = (100 – x).20
Giải ta có: x = 25.Vậy khơí lượng nước sơi 25Kg; nước lạnh 75 Kg tương đương với 25lít 75 lít
7)Các dạng toán khác:
(34)Page 34
Nếu theo lối mòn vạch sẵn, ta nhận lấy người trước đạt mà
Bài 13 Một phịng họp có 360 ghế xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi bằng Nhưng số người đến họp 400 nên phải kê thêm hàng hàng phải kê thêm ghế đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có bao nhiêu ghế
HẾT
Tµi liƯu lu hµnh néi Nguyễn Văn Rin Email : Rinnguyen1991@gmail.com