Chuyên đề Hàm số lũy thừa – hàm số mũ và hàm số logarit26178

Phân lo i ph Chương ng pháp gi i tốn 12 www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đồn HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC   Kiến thức Gọi số thực dương, số thực tùy ý    = số + = = − =   =  ( ) = ( ) = − ⇒ ( )   = ( ) = ⇒  ∀ (   ≠  = ) = = ( ) = Lưu ý  Nếu  Nếu  Nếu  = < > < < xác định ∀ ∈ ℤ α β > α ⇔α>β > β ⇔α( − ) = (− 3/ = 5/ =  −  )     −  − >( −  + = −( −    = ) ) − ( − + ) = 4/  =   6/ = −    − < −    (− ) (− )  (−  8/  =   10/ = )     >      (− ) (− ) (− ) (− ) 2/ − −( − −  6/   9/    (− ) − Ths Lê Văn Đoàn − < 8/  ) (− ) (− ) (− ) (− ) − 9/    − + − 7/ ( 5/ < 7/ Bài Đơn giản biểu thức sau: 1/ www.MATHVN.com −    )      +    +    Bài Viết biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 1/ = 4/ = Bài Ch ≥ ) 2/ = 5/ = ( ≠ ) 3/ = 6/ = Đơn giản biểu thức sau: 1/ = 3/     =      5/ (  =   + + − + − +    − −    ng II Hàm s m     − − + + +         + −    2/  =   + 4/   =    6/ Hàm s l y th a  =   Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com + + − − + −        +           + + − − −     + + + − −    www.mathvn.com - - Ths Lê Văn Đoàn 7/ 9/ 11/ 13/ 15/ 17/   + =    + −      − − = 8/ − + − + +    =       +      −         + + −    −                 − 12/   +   − + −  ( + +  +    − − ) − − − + − = ng pháp gi i toán 12 − + − −                   14/ 16/    +  =   − ) ) +     +     =  −   −     −    + =  +  +   −( + − 10/   =   +( + − + − = Phân lo i ph www.MATHVN.com 18/  =   −  −     + − ( + − + −     − − = = + − − − ) ( ) +      +     − −    − + −           Bài Giải phương trình sau: 1/ 4/ = 2/ ( )  =   − 7/    −  =    5/   −   = 10/             + = 3/ −    =  6/   − = 11/ ( )( ) = 12/ −     9/   8/ = + =    − −  =   − =    − Bài Giải bất phương trình sau: 4/ 7/     2/   > > 1/  5/   + ( ) > - - www.mathvn.com 8/    > 3/ + < − < Ch ng II Hàm s m ThuVienDeThi.com 6/ < 9/     >   Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đồn Bài 10 Giải phương trình sau: 1/ 4/ 7/ Ch + − + − + = + − + + ng II Hàm s m = = + + − 2/ 5/ − 8/ Hàm s l y th a + = + 3/ = = Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com 6/ 9/ − + + + + + = + − = = www.mathvn.com - - Ths Lê Văn Đoàn Phân lo i ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài 2: LOGARIT   Kiến thức a/ Định nghĩa Với > ≠ > =α⇔ ta có: = Logarit thập phân: α =  > có nghĩa    >  Chú ý: ≠ = = Logarit tự nhiên (logarit Nepe): b/ Tính chất > Cho > > Nếu ≠ ⇔ > = > Khi đó: Nếu < > < = ⇔ < = = c/ Các qui tắc tính logarit Cho ( )= β > ≠ + > Ta có:     =   − = =β d/ Các công thức đổi số > Cho = = β ⇒ = = = , =− (β ≠ ) β ≠ Ta có: = = + Bài tập áp dụng Bài Thực phép tính sau: 1/ = 4/ = 7/ = + - - www.mathvn.com 2/ = 3/ = 5/ = 6/ = 8/ = 9/ = Ch ng II Hàm s m ThuVienDeThi.com + + Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i ph 10/ = 13/ 15/ = = 17/ = ng pháp gi i toán 12 + + + )+ ( www.MATHVN.com = 11/ + 16/ = = )+ ( + ( + 18/ = theo ) ) + − +   − = 12/ 14/ ( Ths Lê Văn Đoàn + ) ( −   ( )+ ( ) + Bài Thực phép biến đổi theo yêu cầu tốn 1/ Cho = Tính theo 2/ Cho = Tính = 3/ Cho = Tính = Tính 4/ Cho = 5/ Cho = 8/ Cho = Tính 9/ Cho = ( theo = Tính theo theo = = Tính 13/ Cho = = Tính 15/ Cho = Bài Cho = HD: Xét theo theo = Tính = = > theo Tính = 17/ Cho = Tính = ) 12/ Cho 16/ Cho Tính = 14/ Cho Tính = 11/ Cho = Tính = Tính ( ≠ Chứng minh rằng: ( = = Ch theo Tính 7/ Cho 10/ Cho theo Tính = 6/ Cho ng II Hàm s m ) + ( (  + )  ( ) + + ( ) + = ) ( < Hàm s l y th a ( + + theo + )> ( ( + ) ( + ) ) ) theo ( ) ( + ) + ) ≤ ∗ ( + ) ( + + ) = ⇒ (Đpcm) Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com + www.mathvn.com - - Ths Lê Văn Đoàn Phân lo i ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài So sánh cặp số sau: 1/ 4/ 2/ 3/ 5/ 6/ và + 7/ 8/ HD: 4/ CM: < 9/ < + < < 5/ CM: 7/ Xét = − =    − =   >  + 8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức ∗ tập Bài Chứng minh đẳng thức sau (với giả thiết biểu thức cho có nghĩa) 1/ = 2/ ( )= = = + 4/ + 5/ ( 6/ ( + = + − + 9/ + ) , với + ) = ( + + = − với + - - www.mathvn.com ) ( + + 10/ 12/ + + với ( = ( ( ) + )− + ) ( = a+ 7/ 11/ + + 3/ 8/ + = ) − + + = = − + ) với + + + = + với = = ( + ) = = − = Ch ng II Hàm s m ThuVienDeThi.com Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i ph 13/ Ch ng pháp gi i toán 12 − − ng II Hàm s m = www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đồn theo thứ tự lập thành cấp số nhân với Hàm s l y th a Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com www.mathvn.com - - Ths Lê Văn Đoàn Phân lo i ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT   Kiến thức 1.1/ Khái niệm α = a/ Hàm số lũy thừa ( α số) Số mũ α Hàm số α= ( nguyên dương) α= ( nguyên dương âm = ) = Lưu ý: Hàm số ( = b/ Hàm số mũ > ≠ Tập xác định D = =ℝ = {} = ( +∞) = α số thực không nguyên α = =ℝ α ( = không đồng với hàm số ∈ℕ ) ) =ℝ Tập giá trị: ! = ( +∞) Tập xác định: ○ Khi > hàm số đồng biến ○ Khi < Tính đơn điệu < : hàm số nghịch biến Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Dạng đồ thị: = = > c/ Hàm số logarit 1 O O ( = Tập xác định: > ≠ < < < < ) = ( +∞) Tập giá trị: ! = ℝ ○ Khi Tính đơn điệu ○ Khi > hàm số đồng biến < < : hàm số nghịch biến Nhận trục tung làm tiệm cận đứng Dạng đồ thị: > = O O = - 10 - www.mathvn.com Ch ng II Hàm s m ThuVienDeThi.com Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i ph ng pháp gi i tốn 12 www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đồn 1.2/ Giới hạn đặc biệt ( → ) + = (    +  =  →±∞    → + )= − = → 1.3/ Đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp ( ) =α ( )= ( )= α ( α− ( > Đạo hàm hàm số hợp ( ) =α ⇒( ) = ⇒( ) = ) )= ( )= L u ý: ⇒ ( ( )= > α ⇒ ) ( ⇒( > < Với Với − chẳn lẻ α− )= )= ⇒ ( )= − Bài tập áp dụng Bài Tính giới hạn sau:     1/ →+∞   +    4/ →+∞   7/ → 10/ −   +  5/   →+∞   + − − − 2/    +    →+∞   + −    − 8/ − 11/ 3/  +    →+∞   −  6/   →+∞   9/ → − → + 12/ → → →+∞ + − −    − −    −      Bài Tính đạo hàm hàm số sau: Ch 1/ = − 4/ = 7/ = + + 10/ = ( + − + + ng II Hàm s m ) ( 2/ = 5/ = 8/ = 11/ = Hàm s l y th a + − + ) + + − + Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com 3/ = 6/ = 9/ = 12/ = ( ( − + ) ( + − ) ) ( + ) + − + − + www.mathvn.com - 11 - Ths Lê Văn Đoàn 13/ + = Phân lo i ph www.MATHVN.com = 14/ + ng pháp gi i toán 12 15/ = 3/ = 6/ = 9/ = 3/ = 6/ = 9/ = + + − + Bài Tính đạo hàm hàm số sau: 1/ = 4/ = 7/ = ( − ) + + 2/ = 5/ = 8/ = ( ) + − − − + − + − Bài Tính đạo hàm hàm số sau: ( 1/ = 4/ =( 7/ = − ( + + ) ) ( + ) ) + 2/ = ( 5/ = ( 8/ = + ( ) ) − + ) + ( ( ( ) ) + ) + Bài Chứng minh hàm số cho thỏa mãn hệ thức ra: 1/ = 3/ = 5/ = 7/ = 9/ = − + = ( − ) − + − − + + = − − = − + = = 2/ =( + 4/ = 6/ = 8/ = 10/ = − ) − = − + + () − + − = = − + + + − = − = Bài Chứng minh hàm số cho thỏa mãn hệ thức ra:    + 1/ = 3/ = ( 5/ = +    2/ = = 4/ = + 6/ = + = )+ ( + + ) + + + + = ( + ( − + )( ( = + + = ) ) + = − ) + + + ( + ) Bài Giải phương trình bất phương trình sau với hàm số ra: = " 1/ " 3/ " ># 5/ " Với ≠  > ⇔   =  = 1.2/ Phương pháp giải số phương trình mũ thường gặp ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HĨA " Dùng cơng thức mũ lũy thừa đưa dạng > Với " ≠ ⇔( − Logarit hóa: " # ⇔" # =# có chứa ẩn thì: Trường hợp số = = = = )( #  = ⇔   = )= − =( ⇔" )# Thí dụ Giải phương trình mũ sau (đưa số) 1/ ( 3/ 5/ ) − = − ( ) = + = − − () 2/ () () 4/ − 6/ + − − − () = + = − = + + − + − () () Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( )⇔( ) − ( ) = ⇔ − − 2/ Giải phương trình: ( )⇔ − ( ) − = 3/ Giải phương trình: ( )⇔( ) Ch − = ng II Hàm s m − − () = = ⇔− = () ⇔ − − = − ⇔ = − = ⇔ =− − =− ⇔ ⇔ ( ) − = Hàm s l y th a − = () − ⇔ − Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com = − ⇔ =− = www.mathvn.com - 13 - Ths Lê Văn Đồn 4/ Giải phương trình: − ( − ( )⇔ − − )= )= ( + ( )⇔ − ( − + 6/ Giải phương trình: − + − ( = ⇔ − = − () =  ⇔   )⇔ )= + + − = − ng pháp gi i toán 12 () = ⇔ + 5/ Giải phương trình: ( )⇔ ( Phân lo i ph www.MATHVN.com + = ) + + − +  ⇔   ⇔ = −  =       −    =− () − + ⇔   = =   ⇔   = Thí dụ Giải phương trình mũ sau (logarit hóa) = 1/ 3/ ( + − ) =( + ) − () 2/ () 4/ = ( + () − ) − + = ( ) + + () Bài giải tham khảo ( )⇔ ( )= ( )⇔ ( 2/ Giải phương trình: ( )⇔ + ( )= 3/ Giải phương trình:  < Điều kiện:   ( + + ≠ +  ≥ ⇔   −  + 4/ Giải phương trình: ( ) ⇔ ( +     )− )− +    - 14 - www.mathvn.com − = )⇔ − ) =( − =( + ) − + + = − ) ⇔ =       ( ) ⇔ ( ⇔ ) = ⇒ = + −( + ⇔ = + ≥  + = ⇔   − = ( )= + () ≠−   ≥ ⇔  =   =  −   =  () − < ⇔   ≥  )  ⇔   = − −( − = ( − ) (  − ≥  ( ) ⇔ ( () = 1/ Giải phương trình: ) + ) = Ch  (  =−  − ≥ ⇔   −  − = ( −  ) ) ()  ⇔   ($ ) + = − + − − = ng II Hàm s m ThuVienDeThi.com Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i ph ng pháp gi i toán 12  ∈ ( )   − + − − − = ⇔   ∈ (−∞  ∪  +∞)     − + − − =  www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn   ∈ ( )  $ ⇔ ⇔  ∈ (−∞  ∪  +∞)     = =  = = ĐẶT ẨN SỐ PHỤ ( Dạng 1: Dạng 2: α % = " % >  ⇔  (% ) =  " )= " + β ( " " + " +λ = "  , đặt ẩn phụ % =   " ⇒ Chia hai vế cho Dạng 3: " ) =    = Đặt % = với > " (chia số lớn nhất) ⇒ " = % Thí dụ Giải phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn) − 1/ + = 3/ + − 5/ − − 7/ + + − = − − = + + + 9/ − − + = = () () () 2/ () 8/ () 10/ + + − 4/ ( − + − + 6/ = = ) +( + − () () () − = + − ) + = = () ( ) Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( )⇔( ) Đặt % = − () + = + = ⇔ ( ) ( )⇔% > Khi đó: − ⇒ = ⇔ = Với % = ⇒ = ⇔ = = ( )⇔ Đặt % = + + + − = > Khi đó: ng II Hàm s m () − = ⇔ ( )⇔ ( ) % = ( )  ⇔ % = ( ) + = − %+ = Với % = 2/ Giải phương trình: Ch − ( ) % + + %− = Hàm s l y th a − = ( )  % = ⇔  % = − Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com ( ) ( ) www.mathvn.com - 15 - Ths Lê Văn Đoàn Với % = ⇒ = ⇔ + 3/ Giải phương trình: ( )⇔ − Đặt % = Với % = > Khi đó: ( )⇔ %− ⇒ ⇔ = − + ⇒ Với % = ⇒ − %− = % = ⇔  % = − ( ) ( ) () = )⇔%− ( = − − = + − = − ⇔ + − − = ⇔ % ⇔ = = % = ⇔  % =−  ⇔% + %− = = ⇔ ( ) ( ) = () = ( )⇔% > Khi đó: + ⇔ − − − − 6/ Giải phương trình: ( ) − − − − %− = ⇔ − = − = % = − ⇔  % = ⇔ ( ) ( ) ( ) =− () = + ( ) − = ⇔ + ( ) − = ( ) > Khi đó: ( )⇔%+ % Với % = ⇔ % − ( ) = ⇔ (− ) − Với % = % = = + = > Khi đó: Đặt % = Đặt % = − ≥ 5/ Giải phương trình: ( )⇔ =− = − − ng pháp gi i toán 12 () = ( ) Đặt % = ( )⇔ − ⇔ = Điều kiện: Với % = = − − 4/ Giải phương trình: ( )⇔ Phân lo i ph www.MATHVN.com ⇒ − = ⇔% − %+ = ⇔ + 7/ Giải phương trình: ⇒ + - 16 - www.mathvn.com = = + )(% −% − )= ( ) ( ) ( ) + − ⇔ (% − =  % =   + ⇔ % =   % = −  ⇔ + +  +    = + − = Ch     () ng II Hàm s m ThuVienDeThi.com Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i ph ng pháp gi i toán 12 ( )⇔ + + + www.MATHVN.com =    ⇔  +   + Ths Lê Văn Đoàn      =  + ( ) & ' Đặt % = +  ⇒ % =   Khi đó: ≥ =   =  + ( ) ⇔ (% Với % = ⇒ = Với = ⇒ = Với = ⇒ = ) %= = ( ) ( > Khi đó:  ( ) ⇔ ( ( Với % = ) + ⇒ ⇔ ( ) = + ) )− + = + ⇔% = ⇔ − =% − % ( ) >   = ⇔  =  + = ( ) ( ) () =  ⇔  ( = ( )⇔% ⇔ + 9/ Giải phương trình: ⇔% = + ) +( > Khi đó: + ⇔ =− +   + = )  + ( + )⇔ ⇔ ( 8/ Giải phương trình: + − % + + Đặt Đặt % = + =  )  + ( + +% − = + )− % =  ⇔ % = − ( ) ( ) = ( ) (+ ) () = Cách 1: Phương pháp đặt ẩn phụ với ẩn ( )⇔ − + ( Đặt % = Với % = = ≤% ≤ ⇒ = ⇔ + − = ) Khi đó: ( ) ⇔ % ⇔ = ( ) +% − = ⇔ − = ⇔% − %+ = ⇔ = ⇔ ⇔% = = π + π ( ∈ ℤ) Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ với ẩn dẫn đến hệ phương trình  =  Đặt  ( =  ( ≤ Theo định lí Viét, ⇔) − )+ Ch = ng II Hàm s m (≤ )  + ( = Khi đó:    ( =  = + ( nghiệm phương trình: ) − ) + ⇔) − )+ = Hàm s l y th a ⇔ = = =( = Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com www.mathvn.com - 17 - Ths Lê Văn Đoàn ⇔ = Phân lo i ph www.MATHVN.com = ⇔ = ⇔ = π + π ( ng pháp gi i toán 12 ∈ ℤ) Cách 3: Phương pháp ước lượng vế (dùng bất đẳng thức Cauchy) & ' + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: Dấu “=” xảy khi: - 18 - www.mathvn.com = ⇔ ≥ = = ⇔ Ch = = ⇔ ng II Hàm s m ThuVienDeThi.com = π + π ( Hàm s l y th a ∈ ℤ) Hàm s Logarit Phân lo i ph ng pháp gi i toán 12 − 10/ Giải phương trình: ( )⇔ − + Khi đó: ( )⇔ Với % = % ⇒ % − = = ⇔ ⇔% − = + ( ) − = ) ≤% ≤ + Ths Lê Văn Đoàn ( ) = − = (* Đặt % = − + − + www.MATHVN.com %+ ⇔ = = % = ⇔  %=  ⇔ =± ( ) ( ) ⇔ =± π + π ( ∈ ℤ) Thí dụ Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho số lớn nhỏ nhất) + 1/ + = 2/ − + + = () − 3/ + − () () = + 4/ () = Bài giải tham khảo + 1/ Giải phương trình: ( )⇔ +  Đặt: % =   = +  Đặt: % =    > Khi đó: (   Với % =  ⇒    = ⇔    ⇒    =   − ng II Hàm s m ⇔ − 3/ Giải phương trình: ( )⇔ = −        −   + =     + ⇔ ( ) Với % = ( )  ⇒    = ⇔   = () =    ( )  % = ⇔ % = −  % −% − = + − +    )⇔ − ( )⇔ Với % = Ch      ⇔  > Khi đó: (   2/ Giải phương trình: () =  −   )⇔ % −    %+  +   = = ⇔  % = ⇔ % =             −             −   −         +   = ( ) = ( ) ( ) ( ) = =− − = +  ⇔   = ()  −     Hàm s l y th a  −   Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com =   ⇔    www.mathvn.com - 19 - Ths Lê Văn Đoàn  Đặt: % =    > Khi đó: (    ⇒   Với % =  =   4/ Giải phương trình:    ⇔ = + = − %− = ( ) ( ) ()            +   − = ⇔ (      % = −  ) ⇔ % + % − = ⇔  %=   +   − =       Đặt: % =   > Khi đó:    Với % = )⇔% % =  ⇔ % = − ng pháp gi i toán 12 ≠ Điều kiện: ( )⇔ Phân lo i ph www.MATHVN.com  ⇒    =   ( ⇔    ) ( ) ( ) = Thí dụ Giải phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3) ( 3/ ( 1/ ) +( − ) = )+ (+ ) + − = +   () 2/  () 4/ (  +    + + ) + ( − − )  =  () = () Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: (+ Đặt: % = ( + Nhận xét: ( )⇔%+% Với % = + Với % = − ( + ) +( − ) = ( ) ) ( − ) = ⇔ ( + ) ( − ) = = ⇔ ( + ) ( − ) = > ⇒% = =( − ) ) > ⇒( − ) = % (+ ) (− ) − = ( ⇒( ⇒ ) ) ) + > = + ⇔ = = − ⇔ =−  +    + + - 20 - www.mathvn.com > ( ) ( ) − −   + % = +  ⇔ % = −  ⇔% − %+ = 2/ Giải phương trình:  ( )⇔( = ( − )  =  − − = () ( ) Ch ng II Hàm s m ThuVienDeThi.com Hàm s l y th a Hàm s Logarit ... Khái niệm α = a/ Hàm số lũy thừa ( α số) Số mũ α Hàm số α= ( nguyên dương) α= ( nguyên dương âm = ) = Lưu ý: Hàm số ( = b/ Hàm số mũ > ≠ Tập xác định D = =ℝ = {} = ( +∞) = α số thực không nguyên... với Hàm s l y th a Hàm s Logarit ThuVienDeThi.com www.mathvn.com - - Ths Lê Văn Đoàn Phân lo i ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  ... với hàm số ∈ℕ ) ) =ℝ Tập giá trị: ! = ( +∞) Tập xác định: ○ Khi > hàm số đồng biến ○ Khi < Tính đơn điệu < : hàm số nghịch biến Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Dạng đồ thị: = = > c/ Hàm số