Chuyên đề: Hàm số liên tục Chương IV: Đại số và Giải tích 1130000

Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Chủ đề 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC A Tóm tắt lý thuyết 1) Hàm số liên tục điểm  Hàm số liên tục: Giả sử hàm số y=f(x) xác định (a;b) x0  (a; b) Hàm số f(x) liên tục x0  lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0  Hàm số không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 2) Hàm số liên tục khoảng, đoạn:  Hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) f(x) liên tục khoảng (a;b) f(x) liên tục điểm thuộc (a;b)  Hàm số y=f(x) xác định khoảng [a;b] f(x) liên tục khoảng [a;b] f(x) liên tục khoảng (a;b) lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b) x  a x b Chú ý:  +,-,*,/ hàm liên tục điểm hàm số liên tục điểm  Hàm sơ cấp: đa thức, phân thức, lượng giác liên tục khoảng xác định chúng 3) Tính chất hàm số liên tục  Định lí: Hàm số f(x) liên tục [a;b] f (a )  f (b)  M nằm f(a), f(b), c  (a; b) : f (c)  M  Hệ quả: Hàm số f(x) liên tục [a;b] f (a) f (b)   c  (a; b) : f (c)  Nhận xét:  Dùng hệ để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm (a;b)  Đồ thị hàm số liên tục đường liền nét Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm, khoảng, đoạn Phương pháp : Phương pháp 1: Hàm số y  f  x liên tục tại x  x0 nếu lim f  x   f  x0  x x o Phương pháp 2: Hàm số y  f  x liên tục tại x  x0 nếu lim f  x   lim f  x  x  xo  x  xo  Sử dụng thêm các phương pháp khử dạng vô định đã học phần trước x 3  , x  1 2 , x  1 Bài tập mẫu 1: Xét tính liên tục hàm số f ( x )   x  tập xác định của hàm số Hướng dẫn giải x 3  Xét hàm số f ( x )   x  2 , x  1 , x  1 :  Tập xác định D = R \ {1}  Với x 1;1 hàm số f ( x )  x 3 xác định nên liên tục x 1  Xét x =  D nên hàm số không liên tục x =  Xét x = –1 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 x 3  1  f  1  x 2 x  lim f  x   lim x 2 Nên hàm số không liên tục x = –1 Bài tập mẫu 2: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó:  x  5x   f (x)   x  2 x  x  x  Hướng dẫn giải  Hàm số liên tục với x   Tại x = 3, ta có: + f (3)  + lim f ( x )  lim (2 x  1)  x 3 x 3 + lim f ( x )  lim x 3 x 3 ( x  2)( x  3)  lim ( x  2)  ( x  3) x 3  Hàm số không liên tục x = Vậy hàm số liên tục khoảng (;3), (3; ) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập mẫu 3: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó:  x  3x   f (x)   x  3 x  2 x  2 Hướng dẫn giải  Khi x  2 ta có f ( x )  ( x  1)( x  2)  x 1 x2 Từ suy ra: f(x) liên tục x  2  Tại x  2 ta có: f (2)  3, lim f ( x )  lim ( x  1)  1  f (2)  lim f ( x ) x 2 x 2 x 2 Từ suy ra: f(x) không liên tục x = –2 Vậy hàm số f(x) liên tục khoảng (; 2), (2; )  x2  x   Bài tập mẫu 4: Cho hàm số f ( x )   x    m x  x  a) Xét tính liên tục hàm số m = b) Với giá trị m f(x) liên tục x = ? Hướng dẫn giải Ta có tập xác định hàm số D = R a Khi m = ta có Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11  ( x  1)( x  2)  , x    x  1, x  f (x)    x 2 , x  3 , x   Từ suy ra: f(x) liên tục x  b Tại x = ta có: f(2) = 3; lim f ( x )  lim ( x  1)   f(x) liên tục x = x 2 x 2 Vậy với m = hàm số liên tục tập xác định Bài tập mẫu 5: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó:  x  3x   f (x)   x  3 x  2 x  2 Hướng dẫn giải  Tập xác định: D = R  Tại x  2  f ( x )  ( x  1)( x  2)  x   f ( x ) liên tục x  –2 x2  Tại x = –2 ta có f (2)  3, lim f ( x )  lim ( x  1)  1  f (2) x 2 x 2 Từ suy ra: f ( x ) không liên tục x = –2 Bài tập mẫu 6: Xét tính liên tục hàm số   x2  f (x)   x   2 x  20  x  điểm x = x  Hướng dẫn giải Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Ta có: f(2) = –16  lim f ( x )  16  x 2 Mặt khác:  (2  x )(2  x )  x     lim f ( x )  lim  lim  ( x  2)  x      16 x 2 x 2 2 x  x 2 Vậy hàm số liên tục x = Bài tập mẫu 7: Xét tính liên tục của hàm số  x  3x   f (x)   2x  3  x  x  Tại điểm x  Hướng dẫn giải Ta có: Tập xác định D = R Tính f(2) = 2 x  3x  2x  ( x  2)(2 x  1) lim f ( x )  lim  lim   lim x 2 x 2 x  x  2x  2 2( x  2) Mặt khác: Kết luận hàm số không liên tục x = Bài tập mẫu 8: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0  :  x  3x   f (x)   2x  2 x  x  Hướng dẫn giải Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Ta có: f(1) = Mặt khác: x  3x  ( x  1)(2 x  1) 2x 1 = lim =  lim x 1 x 1 x 1 2( x  1) 2( x  1) lim f ( x )  lim x 1 Kết luận hàm số liên tục x = Bài tập mẫu 9: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0  :  3x ² x   f (x)   x 1 2 x  x  x  Hướng dẫn giải Ta có: f (1)  Mặt khác: Hơn nữa: (1) lim f ( x )  lim x 1 x 1 3x ² x   lim(3 x  1)  x 1 x 1 (2) (3) x  3)  lim f ( x )  lim(2  x 1 x 1 Từ (1), (2), (3) suy hàm số không liên tục x = Bài tập mẫu 10: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0  :  2( x  2)  f ( x )   x ² x  2 x  x  Hướng dẫn giải 2( x  2)  lim  (1) x  ( x  1)( x  2) x 2 x  Ta có: lim f ( x )  lim x2 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Mặt khác: f(2) = (2) Từ (1) (2) ta suy f(x) liên tục x = Bài tập mẫu 11: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0  :  x ³ x ² x   x  f ( x)   x 1 4 x  Hướng dẫn giải Ta có : ( x  1)( x  2)  lim( x  2)  x 1 x 1 x 1 lim f ( x )  lim x 1 Mặt khác: f(1) = Từ suy ra: hàm số không liên tục x = Bài tập mẫu 12: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0  : x   f ( x)    x ² x x  x  Hướng dẫn giải Ta có: lim f  x   lim  x  1  f 1  x 1 Mặt khác: x 1 lim f  x   lim x 1 x 1 1  x  3x f ( x ) không liên tục x =1 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập mẫu 13: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0  : 1  x   f (x)    x 1 x  x  Hướng dẫn giải lim f ( x )  lim Ta có : x 2 x 2 2(2  x ) (2  x ) 1  x    lim x 2 1 2x  1 Mặt khác: f(2) =1 Vậy hàm số liên tục x = Bài tập mẫu 14: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0  :  x  5x   f (x)   x  2 x  x  x  Hướng dẫn giải Ta có: lim f ( x )  lim (2 x  1)  f (3)  x  3 x  3 Mặt khác: lim f ( x )  lim x 3 x 3 x  5x  x  2)   lim( x 3 x 3 Từ suy ra: Hàm số không liên tục x = 3, hay nói cách khác hàm số bị gián đoạn tại x  Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập mẫu 15: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x  :  x 5  f (x)   2x 1    x  x  Hướng dẫn giải Ta có : ( x  5)  x    2x 1   lim 3 x 5 x 5 2( x  5) lim f ( x )  lim x 5 Mặt khác: f (5)   lim f ( x )  f (5) x 5 Từ suy ra: hàm số liên tục x = Bài tập mẫu 16: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x = 3:  x 3  f (x)   x  ³   12 x x  x  Hướng dẫn giải Ta có: lim f ( x)  lim x 3 Mặt khác: x 3 x 3 1  lim  x  ³ x 3 x  lim f ( x )  lim x 3 x 3 12 x   f (3) Từ suy ra: f ( x ) liên tục x = Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 10 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Dạng 2: Xác định tham sớ để hàm số liên tục khoảng, đoạn Phương pháp : Phương pháp 1: Hàm số y  f  x liên tục tại x  x0 nếu lim f  x   f  x0  x x o Phương pháp 2: Hàm số y  f  x liên tục tại x  x0 nếu lim f  x   lim f  x  x  xo  x  xo  Sử dụng thêm các phương pháp khử dạng vô định đã học phần trước  x3   Bài tập mẫu 1: Cho hàm số f(x) = f ( x )   x  x  2m  x  Xác định m để hàm số liên tục  Hướng dẫn giải Khi x  ta có f ( x )  x3   x2  x  x 1 Từ suy ra: f(x) liên tục  x  Khi x = 1, ta có:  f (1)  2m  lim f ( x )  lim( x  x  1)  3  f(x) liên tục x =  x 1 x 1  f (1)  lim f ( x )  m    m  x 1 Vậy: f(x) liên tục  m = Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 11 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11  3x    Bài tập mẫu 2: Cho hàm số: f ( x )   x  ax   x >2 x  Xác định a để hàm số liên tục điểm x = Hướng dẫn giải Ta có:  f (2)  2a   1  f ( x )  lim  ax    2a   xlim  x 2  4  2 Mặt khác:  3x    lim  lim f ( x )  lim x 2 x 2 x 2  x 2 ( x  2)  3( x  2)  (3x  2)2  23 (3x  2)  4  Từ suy ra: Hàm số liên tục x = f (2)  lim f ( x )  lim f ( x )  2a  x 2 x 2 1  a0 4  x 1  Bài tập mẫu 3: Cho hàm số: f ( x )   x  x  3ax x   Xác định giá trị tham số a để hàm số liên tục điểm x = Hướng dẫn giải Ta có:  f (1)  3a Mặt khác: lim f ( x )  lim 3ax  3a x 1 x 1 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 12 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Lại có: lim f ( x )  lim x 1 x 1 x 1  lim x  x 1 x 1  Hàm số liên tục x =  f (1)  lim f ( x )  lim f ( x )  3a  x 1 x 1 1 a  2x   x  3x  x   Bài tập mẫu 4: Cho hàm số f ( x )   A x    Xét tính liên tục hàm số x   Hướng dẫn giải Ta có biến đổi:  2x  1  x     x 1 =  f ( x )   x  3x   A A x     Tại x   x   x    1 1 ta có: f     A , lim 2 x 1  2 x  Hàm số f ( x ) liên tục x    1  f     lim  A2   x  x  x2  x f ( x )   Bài tập mẫu 5: Cho hàm số  ax  x  x  Hãy tìm a để f ( x ) liên tục x = Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 13 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Hướng dẫn giải Ta có: f (1)  a   f ( x )  lim ( x  x )   xlim   x 1 Mặt khác:  f x a    f (1) lim ( )  x 1 Hàm số: f ( x ) liên tục x =  lim f ( x )  lim f ( x )  f (1)  a    a  x 1 x 1 Bài tập mẫu 6: Tìm a để hàm số liên tục x =  x3  x2  x   f (x)   3x  a 3 x  a x  x = Hướng dẫn giải x3  x2  x  ( x  1)( x  2)  lim x 1 x 1 3x  a 3x  a Ta có: lim f ( x )  lim x 1 x2  ( x  1)( x  2)  lim   f (1)  x 1 x 1 3( x  1) Nếu a = –3 lim f ( x )  lim x 1 Nên hàm số không liên tục x = ( x  1)( x  2)  , f (1)   a  x 1 3x  a Nếu a  –3 lim f ( x )  lim x 1 Nên hàm só khơng liên tục x = Vậy khơng có giá trị a để hàm số liên tục x = Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 14 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập mẫu 7: Tìm m để hàm số sau liên tục x = –1  x2 1  f ( x )   x  x  1 mx  x  1 Hướng dẫn giải Ta có: f (1)  m  Mặt khác: lim  f ( x )  lim  x 1 x 1 x2   lim ( x  1)  2 x  x1 Lại có: lim  f ( x )  lim  (mx  2)  m  x 1 x 1 Hàm số f ( x ) liên tục x = –1   m   2  m   Bài tập mẫu 8: Cho hàm số f ( x )   x  x  ax  x  x  Hãy tìm a để f ( x ) liên tục x = Hướng dẫn giải Ta có: f (1)  a   f ( x )  lim ( x  x )   xlim  x 1  Mặt khác:  f x a    f (1) lim ( )  x 1 Hàm số f ( x ) liên tục x =  lim f ( x )  lim f ( x )  f (1)  a    a  x 1 x 1 Vậy a  thì hàm số liên tục tại x  Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 15 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập mẫu 9: Tìm giá trị của tham số a để hàm số: 5 x  x  x  f ( x)   x  ax  3a liên tục x = Hướng dẫn giải Ta có: lim f ( x )  15  f (2) x 2 Mặt khác: lim f ( x )  lim (ax  3a)  7a x 2 x 2 Hàm số: f ( x ) liên tục x =  7a  15  a  15  x  25  Bài tập mẫu 10: Cho hàm số f ( x )   x   A x  x  Tìm A để hàm số cho liên tục x = Hướng dẫn giải Ta có: f(5) = A Mặt khác: x  25  lim( x  5)  10 x 5 x  x 5 lim f ( x )  lim x 5 Hàm số liên tục x =  lim f ( x )  f (5) x 5 Vậy với A = 10 thì hàm số liên tục tại x = Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 16 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11  x  x  1²  Bài tập mẫu 11: Cho hàm số f  x    x  a  x x  Tìm giá trị x  của tham số a để hàm số liên tục x  Hướng dẫn giải Ta có: f(3) = a+3 x  x  1² ( x  3)( x  6) Mặt khác: lim f ( x )  lim  lim  lim( x  6)  ³ x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Hàm số f(x) liên tục x =  a + =  a = Bài tập mẫu 12: Tìm m để hàm số sau liên tục điểm x = 1:  x2  x  f ( x )   x  x  x  m Hướng dẫn giải Ta có: f(1) = m Mặt khác: lim f ( x )  lim x 1 x 1 x( x  1)  lim x  x 1 x 1 Hàm số f(x) liên tục x =  lim f ( x )  f (1)  m  x 1 Bài tập mẫu 13: Tìm a để hàm số sau liên tục điểm x = 0:  x  2a x  f (x)    x  x  x  Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 17 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Hướng dẫn giải Ta có: lim f ( x )  f (0)  x  0 Mặt khác: lim f ( x )  lim ( x  2a)  2a x  0 x  0 Hàm số f(x) liên tục x =  2a =  a  Bài tập mẫu 14: Tìm a để hàm số sau liên tục x = –1:  x2  x   f ( x)   x  a  x  1 x  1 Hướng dẫn giải Ta có: f(–1) = a +1 Mặt khác: lim f ( x )  lim x 1 x 1 ( x  1)( x  2)  lim( x  2)  3 x 1 x 1 Hàm số f(x) liên tục x = –1  lim f ( x )  f (1)  a   3  a  4 x 1 Bài tập mẫu 15: Tìm m để hàm số sau liên tục điểm x = 1:  x2  x   f (x)   x  m x  x  Hướng dẫn giải Ta có: f (1)  m Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 18 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Mặt khác: lim f ( x )  lim x 1 x 1 x2  x   lim( x  2)  x 1 x 1 f (x)  m  Theo định lý ta có: f ( x ) liên tục x =  f (1)  lim x 1 Bài tập mẫu 16: Tìm a để hàm số sau liên tục x = 2:  x  x  10  f (x)   x2 4  a x  x  Hướng dẫn giải Ta có: lim f ( x )  lim x 2 x 2 ( x  2)( x  5) x  x  10  lim  lim( x  5)  3  x x 2 x 2 x 2 Mặt khác: f(2) = – a f ( x )  f (2)   a  3  a  Hàm số f ( x) liên tục x =  lim x 2 Kết luận với a = hàm số liên tục x = BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Bài tập 1: Khẳng định sau đúng: A Hàm số có giới hạn điểm = B Hàm số có giới hạn trái điểm C Hàm số có giới hạn phải điểm liên tục = = liên tục liên tục Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com = = = Trang số 19 Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 D Hàm số có giới hạn trái phải điểm ĐÁP ÁN: A = liên tục = Bài tập 2: Cho hàm số ( ) Khẳng định sau đúng: A Nếu ( ) ( ) < hàm số liên tục ( ; ) B Nếu hàm số liên tục ( ; ) ( ) ( ) < C Nếu hàm số liên tục ( ; ) ( ) ( ) < phương trình ( ) = có nghiệm D Cả ba khẳng định sai ĐÁP ÁN: C Bài tập 3: Cho hàm số ( ) Khẳng định sau đúng: A Nếu ( ) liên tục đoạn [ ; ], ( ) ( ) > phương trình ( ) = khơng có nghiệm khoảng ( ; ) B Nếu ( ) ( ) < phương trình ( ) = có nghiệm khoảng ( ; ) C Nếu phương trình ( ) = có nghiệm khoảng ( ; ) hàm số ( ) phải liên tục khoảng ( ; ) D Nếu hàm số ( ) liên tục, tăng đoạn [ ; ] ( ) ( ) > phương trình ( ) = khơng có ngiệm khoảng ( ; ) ĐÁP ÁN: D Bài tập 4: Cho phương trình −5 + + = Khẳng định đúng: A Phương trình khơng có nghiệm khoảng (−1; 1) B Phương trình khơng có nghiệm khoảng (−2; 0) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 20 .. .Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm, khoảng, đoạn Phương pháp : Phương pháp 1: Hàm số y  f  x liên. .. liên tục x = Vậy hàm số liên tục khoảng (;3), (3; ) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích. .. ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Mặt khác: f(2) = (2) Từ (1) (2) ta suy f(x) liên tục x = Bài tập mẫu 11: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 