Chuyên đề: Giới hạn dãy số Chương IV: Đại số và Giải tích 1131567

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số I Dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn L hay (un) dần tới L n dần tới vô cực ( n   ), lim  un  L   Kí hiệu: n lim  un   L hay u n  L n  + n  Chú ý: lim  un   lim  u n  n  Một số định lý:  Định lí 1: Giả sử lim un  L , đó:  lim un  L ,lim un  L  Nếu un  0, n  L  lim un  L  Định    lí 2: Giả sử lim un  L, lim  M , c  const lim(un  )  L  M lim(un  )  L  M lim(un )  L.M , lim c.un  c.L u L  lim n  ( M  0) M  Định lí 3: Cho dãy số (un ), (vn ),( wn ) Nếu un   wn , n lim un  lim wn  L  lim  L  Định lí 4: Dãy số tăng bị chặn có giới hạn Dãy số giảm bị chặn có giới hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q2 + … = u1 1 q  q  1 II DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn  : lim un    số hạng dãy số lớn số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Dãy số có giới hạn  : lim un    số hạng dãy số nhỏ số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Chú ý: lim un    lim(un )   Một vài qui tắc tìm giới hạn vơ cực: o Qui tắc 1: lim un lim lim un       lim un Dấu lim un       o Qui tắc 2: o Qui tắc 3: lim un  L  Dấu L + - lim  L lim  0,  Dấu lim   lim   Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com un Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Loại 1: Giới hạn của dãy sớ hữu tỉ Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu Hoặc cũng có thể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để giới hạn bản Tính giới hạn này Bài tập mẫu 1: Tính giới hạn sau: a lim 5n3  3n  4n  3n3  7n b lim e lim lim 6n  2n  1  5n  3n4 4n  2017 2n2  n  c 3n2  2n  d lim 2n  3n  n2  n2   4n f lim 3n  4n   n Hướng dẫn giải a Ta có biến đổi: 6  n3     5n  3n  n n  lim  lim   4n  3n  n 4 n3     n  n  lim 0  n  lim   Vì n   thì  n lim   n  lim   n 3 5  n n  5  lim 3 n n b Ta có biến đổi:   n4     6  6n  2n  6n  2n  n n  n n =-2 lim  lim = lim  lim  4 5  5n  3n  5n  3n    3 n4     n n n n  4 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  lim n2    Vì n   thì lim  n   lim n2   c Ta có biến đổi:     2   n2      n n2  n n2  2n  n  2n  n   lim   lim   lim lim    3n2  2n  3n2  2n  2 n 3    3   n n2  n n    2  lim n   lim   Vì n   thì  n lim   n  lim   n d Ta có biến đổi:   n  2    2n  3n  n n  lim  lim   n 1  n 1    n   lim  n n  2 1 n 2   lim n  Vì n   thì  lim   n2 e Ta có biến đổi: 2017 4n  2017 4n  2017 4n  2017 n lim  lim  lim  lim  1  4n   n   1 n 4 n n2     n n n n   4 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 2017  lim n  Vì n   thì  lim   n2 f Ta có biến đổi: n   4n 1  n   4n 1 n n lim  lim  lim   3n  2 3n  3 3 n n  lim n2  Vì n   thì  lim   n Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau: a lim n  3n  n3  8n  3n  2n  lim b)  4n  2n c lim 2n  n2  3n3  2n  3n  2n  d lim 2n  Hướng dẫn giải a Ta có biến đổi: 2    n 1    n 1    n  3n  n n   n n    lim = lim  lim  2  n 2  1 n3 1   n  n  2  1     n n  1 Vì lim n   lim 1 n b) Ta có biến đổi: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  8n 3n 2n  n     4 n n n  8n  3n  2n   lim  n lim 4n 2n  2 3  4n  2n n  2 2  n n  n  8    n n n  lim n    2  n2 n         8    Do lim n   lim  n n n   2  n2 n   8000  4   002   c Ta có biến đổi:     n2    n4     2n  n  2n  n  n n4  n n   lim    lim  lim lim     3n3  2n2  3n  2n  n3     3    n n  n n3    4 lim n      n2       n2 n4    2   lim   n n     Nên   Vì lim  3      n n3  3    n n    d Ta có biến đổi: 3n  2n  lim  lim 2n     n  3    3    n n   n n  lim n  4    2 n3     n n     3  n  n Do lim n   lim   2 n           3    0  20   Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập mẫu 3: Tính giới hạn sau: a lim 2n  n  2n  b lim n5 3n3  Hướng dẫn giải a Ta có biến đổi: 2n   2 2n  n n n n  0 lim  lim  lim n 2n n  2n      n n2 n2 n2 n2  lim n    Vì n   thì lim  n   lim n   b Ta có biến đổi: n   3 n5 n n n n  0 lim  lim  lim 3n 3n  3  3 n n n  lim n    Do : Vì n   thì lim  n   lim n3   Trích dẫn: Qua bài toán dạng dãy số dạng hữu tỉ ta rút nhận xét sau + Nếu bậc của tử lớn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng  + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử hệ số bậc cao nhất của mẫu Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 + Nếu bậc của tử bé bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng Điều này rất cần thiết cho tất chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ giải trắc nghiệm Bởi vì một giới hạn hữu tỉ nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết kết quả lập tức Thật vậy bài toán sau các em hoàn toàn biết kết quả một cách nhanh chóng và chính xác Thật vậy, sử dụng nhận xét đó ta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau: Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn lim a 2n3  n  3n 1 bằng: 3n  c  b d Đáp án: C Vì bậc cao nhất của tử là bậc có hệ số dương và bậc cao nhất của mẫu là bậc nên giới hạn này bằng  Bài tập 2: Giới hạn lim a  b  n3  n  3n  bằng: 4n  c  d Đáp án: A Vì bậc cao nhất của tử là bậc có hệ số âm và bậc cao nhất của mẫu là bậc nên giới hạn này bằng  Bài tập 3: Giới hạn lim a b  3n  n 1 bằng: 2n3  c  d Đáp án: D Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Vì bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba Nên giới hạn này có giới hạn bằng Bài tập 4: Giới hạn lim a b  3n  5n  bằng: 2n  n  3 d  c Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng -3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng  Bài tập 5: Giới hạn lim a b n4  n2  bằng: 2n3  n c  d  Đáp án: C 5    n 1    n 1    n n 5 n n   n n    Ta có: lim = lim  lim  7 2n  n  2 n3    n n  5  1     n n  Vì lim n   lim 2 n Bài tập 6: Giới hạn lim a b 2n  n  3n2  2n  bằng: c  d Đáp án: A Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng 2n  Bài tập 7: Giới hạn lim a  n  4n2  b bằng: c d Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng Bài tập 8: Giới hạn lim a b 3n3  2n2  n n3  bằng: c  d Đáp án: D Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc ba có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng Bài tập 9: Giới hạn lim a b n4 (n  1)(2  n)(n2  1) bằng: c d  Đáp án: C Bậc cao nhất của tử là bậc bốn có hệ số bằng và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc bốn có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng Bài tập 10: Giới hạn lim n2  2n  n  bằng: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 10 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 a c  b d Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc nên giới hạn này bằng Bài tập 11: Giới hạn lim a.-3 b 2n4  n2  3n3  2n2  bằng: c  d  Vì bậc cao nhất của tử là bậc và bậc cao nhất của mẫu là bậc nên giới hạn này bằng  Bài tập 12: Giới hạn lim a 4n2   2n  n  4n   n bằng: c  b d Đáp án: A Sau biến đổi ta có bậc cao nhất của tử là bậc nhất có tổng các hệ số bằng và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất có tổng các hệ số bằng Nên giới hạn này bằng Thật vậy ta cần chứng minh : 4n2 2n 1       2 4n   2n  n n2 n n  lim n2 lim  lim n  2 2 4n n n  4n   n n 1  1    n n n2 n2 n n Bài tập 13: Giới hạn lim a n2   n  n2   n b bằng: c d Đáp án: B Thực hiện tương tự câu Bài tập 14: Giới hạn lim n2   n6 n 1  n bằng: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 11 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 a b c d Đáp án: B Thực hiện tương tự câu (2n n  1)( n  3) bằng: (n  1)(n  2) c b Bài tập 15: Giới hạn lim a  d Đáp án: D Ta có biến đổi: (2n n  1)( n  3) 2n2  7n n  lim  lim (n  1)(n  2) n2  3n  Do đó: Bậc cao nhất của tử là bậc hai hệ số bằng Bậc cao nhất của mẫu là bậc hai hệ số bằng Nên giới hạn này bằng n2  4n  4n  Bài tập 16: Giới hạn lim a 3 1 1 b 3n2   n c bằng: d Đáp án: A Thực hiện tương tự bài Bài tập 17: Giới hạn a b n2  lim 4n  2 bằng: c d -1 Đáp án: C Thực hiện tương tự bài 8n3  lim 2n  Bài tập 18: Giới hạn bằng: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 12 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 b  a c  d Đáp án: D Thật vậy, bậc cao nhất của tử là bậc nhất hệ số bằng  và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất hệ số bằng Do đó, giới hạn này có giới hạn bằng Bài tập 19: Giới hạn lim a b 4n  n  bằng: 3n  c  d Đáp án: C Bậc lớn nhất của tử là hệ số bằng  , bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất nên giới hạn này có giới hạn bằng  Bài tập 20: Giới hạn lim a -3 3n  2n  3n  n4  n2 1 b  bằng: c d Đáp án: B Bậc lớn nhất của tử là bậc hệ số bằng -3, bậc của mẫu là bậc nên giới hạn này bằng  Bài tập 21: Giới hạn lim a b 3n 1 bằng: 3n  2n  c d.0 Đáp án: A Thực hiện tương tự bài Bài tập 22: Giới hạn lim 3n  2n 1 4n  n  bằng: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 13 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 a b c d  Đáp án: D Thực hiện tương tự bài 4n  Bài tập 23: Giới hạn lim a b 3n  2n 1  2n 32 bằng: c d Đáp án: B Thực hiện tương tự bài 3n  n3  4n  n bằng: 3n  Bài tập 24: Giới hạn lim a  b c  3 d  Đáp án: B Thực hiện tương tự bài n  n 1 Bài tập 25: Giới hạn lim a n n b  bằng: c -1 d Đáp án: A Thực hiện tương tự bài 8n  n  Bài tập 26: Giới hạn lim bằng: 5n  Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 14 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 a b  c d Đáp án: C Thực hiện tương tự bài Bài tập 27: Giới hạn lim a.2 b n 2n n bằng: n 1 c  d Đáp án: D Thực hiện tương tự bài Bài tập 28: Giới hạn lim a b     n bằng: 2n  n  c d  Đáp án: B Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta có: n  n  1 n  n  1 n2  n     n  lim  lim  lim lim 2n  n  2n  n  4n  2n  2  2n  n  1 Áp dụng các nhận xét giới hạn dãy hữu tỉ ta có giới hạn này bằng Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 15 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Loại 2: Giới hạn của dãy có thức Phương pháp : Nếu dãy số có chứa thức mà không có dạng hữu tỉ để xét bậc, thì ta tiến hành nhân thêm lượng liên hiệp để tính giới hạn Nhưng đồng thời các em cũng sử dụng nhận xét tính giới hạn hữu tỉ Lưu ý : + Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc hai :  A  B  A  B   A2  B + Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc ba :  A  B   A2  AB  B   A3  B3  A  B   A2  AB  B   A3  B3 Sau nhân thêm lượng liên hiệp ta cũng có thể sử dụng nhận xét về giới hạn của dãy số hữu tỉ để có thể tinh giới hạn nhanh Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: a lim  n2  2n  n  c lim  n2  n  b lim  e lim n   n  2n   f lim   3n   2n  d lim  n2  2n   n n3  3n   n  4n  Hướng dẫn giải a Ta có biến đổi: lim   lim  n  2n  n  lim n2  n  n 2 n  2n  n  lim  n  2n  n  n  2n  n  n2  2n  n 2n n  2n  n  lim 1 1 1 n b Ta có biến đổi: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 16 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  lim  n  2n   n   lim n  2n   n  lim n  2n   n n  2n   n  n2  2n   n  n  2n   n 2n   lim n  2n   n 2 2n  n  lim  lim  1   11 3 1  1 n     1 n n n n   n2  2n   n biểu thức liên hợp c Ta có biến đổi: lim   lim  lim  n   n  lim  3 n2  n  2   n   n   n    n  n  n        n  n  2  n  2  n  n  n2  n  n  n 3  n  n  n2 3 n2  2n   n n2n  lim  n  2  n  n  n2 0 d Ta có biến đổi: lim  lim  lim 3n   2n  3n   2n   3n   2n   lim 3n   2n  3n   2n    3n   2n    3n   2n    e Ta có biến đổi: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 17 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  lim n   n  2n   n  1  lim   n 1  lim   n  2n    lim n   n  2n  2 n   lim  1 n   n  2n  n  2n  n   n  2n   n   n  2n  n  n  2n  n   n  2n  f Ta có biến đổi: lim   lim  lim  n3  3n   n  4n  lim   3 n3  3n   n  n  n  4n n3  3n   n  n  n  4n       n3  3n   n  lim n  n  4n    L  lim n3  3n   n  Đặt:   L2  lim n  n  4n      Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc ba   n  3n   n    n  3n  1  n n  3n   n   lim  n  3n  1  n n  3n   n L1  lim  3 n3  3n   n 3  lim  lim   3 2 3 3 2 2 n3  3n   n3 3  n3  3n   n n3  3n   n  3n  n3  3n   n n3  3n   n Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc hai Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 18 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  L2  lim n  n  4n n  n  4n  lim Vậy: lim  n  n  4n  n   lim  lim  n  4n n  n  4n  n  n  4n 4 n  2 n  n  4n  n3  3n   n  4n  L1  L2    2   1 Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau: n 1  n  a) lim( n2  3n   n 1) b) lim c) lim( n2  3n 1  n 1) d) lim    4n  n   n    n     Hướng dẫn giải a) Ta có biến đổi:  lim  n  3n   n 1  lim   lim   n2  3n  n 1 n2  3n   n 1 n2  3n  n 1 n2  3n   n 1 5n 1  lim  n2  3n   n 1  n2  3n   n 1  lim n2  3n   n2  2n 1 n2  3n   n 1 b)Ta có biến đổi: lim  lim n 1  n   lim  n 1  n  n 1  n   n 1  n   n 1  n  n 1  n   lim   2 n  1 n  c) Ta có biến đổi: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 19 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 lim  n2  3n 1   lim  n 1  lim n2  3n 1 n 1 n2  3n 1  n 1  n2  3n 1  n 1  n2  3n 1  n 1 n2  3n 1  n 1 n2  3n   lim n2  3n 1  n 1   d) Ta có biến đổi:    4n  n   n  lim    lim 2n     lim  4n  n   n  4n  n   n 2n 1 4n  n   n  4n  n   n 2n 1 4n  n   n   lim 4n  2n 1 4n  n   n   1 Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn lim a 1 b n  3n 1  n bằng: n 1 c  d Đáp án: D Ta có biến đổi: n  3n 1  n lim  lim n 1  lim  n  3n 1 n n  3n   n n 1 n2  3n 1  n  n  3n 1  n n 1 n2  3n 1  n  lim 3n 1  n 1 n2  3n 1  n 0 Vì bậc của tử là bậc nhất và bậc lớn nhất của mẫu là bậc hai Nên giới hạn này bằng 3n  2n  n bằng: Bài tập 2: Giới hạn lim 3n  a   32 b   1 c 3 d Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số 20 .. .Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Chú ý: lim un    lim(un )   Một vài qui tắc tìm giới hạn vơ cực: o Qui tắc 1: lim un lim... biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 ThuVienDeThi.com Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập mẫu 3: Tính giới hạn sau: a lim 2n  n  2n  b lim n5 3n3  Hướng dẫn... Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 + Nếu bậc của tử bé bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng Điều này rất cần thiết cho tất chúng ta giải bài toán giới