Toán Chứng minh giới hạn dãy số bằng định nghĩa24461

CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÌY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA ¥ lim un = a ∈° ⇔ ∀ε > 0,∃n0 | un − a < ε ,∀n ≥ n0 ¥ lim un = +∞ ⇔ ∀ε > 0,∃n0 | un > ε ,∀n ≥ n0 ¥ lim un = −∞ ⇔ ∀ε < 0,∃n0 | un < ε ,∀n ≥ n0 C‰u Chứng minh lim n n = Giải Ta c— n n = ⎡1+ ( n n − 1) ⎤ = Cn0 + Cn1 ( n n − 1) + Cn2 ( n n − 1)2 + + Cnn ( n n − 1) n ⎣ ⎦ 2 ⇒ n n −1< > Cn2 ( n n − 1)2 ⇒ ( n n − 1)2 < n −1 n −1 Do đ— ∀ε > 0, chọn số tự nhi•n n0 cho Khi đ— n n −1< 2 ≤ n −1 n0 − n0 − < ε ⇔ n0 > ⎤ ⎡4 + ⇒ n0 = ⎢ + 1⎥ + ε ⎦ ⎣ε < ε ,∀n ≥ n0 ⇒ lim n n = C‰u Cho d‹y số (un ) thoả m‹n lim(un+1 − tun ) = 0, với −1 < t < Chứng minh lim un = Giải Theo giả thiết, với ε > 0, tồn số tự nhi•n n0 cho un+1 − tun < ε ,∀n ≥ n0 Khi đ— un+1 = (un+1 − tun ) + t(un − tun−1 ) + + t ≤ un+1 − tun + t(un − tun−1 ) + t ≤ε + t ε + t 1− t = n−n0 ε+t (un +1 − tun ) + t (un +1 − tun ) + t n−n0 +1 un n−n0 +1 un n−n0 +1 un n−n0 +1 1− t n−n0 n−n0 ε + t n−n0 +1un < ε n−n +1 + t un 1− t Do lim t n−n0 +1un = ⇒ ∃n1 cho t n−n0 +1un < ε ,∀n ≥ n1 0 V“ với n2 = max { n0 ,n1 } , ta c— un+1 < ⎛ ε ⎞ + ε = ⎜ 1+ ⎟ ε ,∀n ≥ n2 ⇒ lim un = 1− t ⎝ 1− t ⎠ ⎛ ⎞ C‰u Cho d‹y số (un ) thoả m‹n lim ⎜ un+1 + un ⎟ = 2017 T“m lim un ⎠ ⎝ Giải Theo giả thiết, ∀ε > 0,∃n0 cho un+1 + un − 2017 < ε ,∀n ≥ n0 Khi đ— sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a − b , ta c— Thầy: Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn - Hotline: 0976.266.202 ThuVienDeThi.com CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA! un+1 − 4.2017 ⎞ ⎛ 4.2017 ⎞ ⎛ 4.2017 ⎞ 4.2017 ⎛ − ⎜ un − ≤ ⎜ un+1 − ⎜ ⎟ ⇒ < → ⇒ lim = n n ⎝ 3⎠ n! n n! C‰u Cho d‹y số (un ) bị chặn tr•n vˆ 2un+2 ≤ un+1 + un ,∀n ≥ Chứng minh (un ) c— giới hạn hữu hạn C‰u XŽt số thực < p < 1, cho d‹y số (un ),(vn ) kh™ng ‰m vˆ lim = thoả m‹n un+1 ≤ pun + ,∀n ≥ Chứng minh lim un = Giải Theo giả thiết, ta c— ∀ε ,∃n0 | < ε ,∀n ≥ n0 un+1 ≤ pun + ≤ p n−n0 +1 n un + + pvn−1 + + p 0 < p n−n0 +1un + ε + pε + + p n0 ε = p n−n0 +1un + < 1− p n0 +1 ε 1− p ε n−n +1 + p un ,∀n ≥ n0 1− p V“ lim p n−n0 +1un = ⇒ ∃n1 | p n−n0 +1un < ε , v“ 0 un+1 < ε + ⎛ ⎞ ε = ⎜ 1+ ε ,∀n ≥ max { n0 ,n1 } 1− p ⎝ 1− p ⎟⎠ Từ đ— suy lim un = Thầy: Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn - Hotline: 0976.266.202 ThuVienDeThi.com CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA C‰u Cho số thực a ≥ − , chứng minh d‹y số (un ) x‡c định bởi: 10 u1 = a,un+1 = 2n + 1 + un + ,∀n ≥ n +1 c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ— (Tr’ch đề thi hsg quốc gia 2017) Giải Với a ≥ − , d‹y số đ‹ cho hoˆn toˆn x‡c định 10 Khi đ—, ta c— un+1 − = 2n + un + − = n +1 2n + 2n + un − (un − 3) + n +1 n +1 = n +1 2n + 2n + 5 un + + un + + n +1 n +1 4 2n + 3 (un − 3) n +1 n +1 ≤ + ≤ un − + ,∀n ≥ n +1 5 2n + 2n + u + + u + + n +1 n n +1 n ỗp dng b bi 6, ta c điều phải chứng minh vˆ lim un = *Chœ ý: Số t“m c‡ch lấy giới hạn hai vế un+1 = 2n + + un + n +1 C‰u Chứng minh với a ∈[0;1], d‹y số (un ) x‡c định bởi: n2 u1 = 3,un+1 = un + un2 + 3,∀n ≥ 4n + a c— giới hạn hữu hạn (Tr’ch đề thi hsg quốc gia 2015) Giải Ta c— un+1 − = ≤ n2 2n2 un − 1) + ( un2 + − 2) + − ( 4n + a 4n + a n2 2n2 1 a un − + ( un2 + − 2) + − ≤ un − + un2 + − + 2(4n2 + a) 4n + a 4n + a 2 ⎡ un + ⎤ a a ⎥+ un − ⎢ + ≤ u − + n 2 4 + a) + n) 2(4n 2(4n ⎢ ⎥ un + + ỗp dng b đề c‰u 6, ta c— lim un = = C‰u Cho d‹y số (un ) x‡c định bởi: ⎧u1 = ⎪ ⎨ n+2 (un−1 + 2),∀n ≥ ⎪un = 3n ⎩ Thầy: Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn - Hotline: 0976.266.202 ThuVienDeThi.com CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA! Chứng minh (un ) c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ— (Tr’ch đề thi hsg quốc gia 2012) Giải Ta c— un − = ≤ n+2 n+2 (un−1 + 2) − = (un−1 − 1) + 3n 3n n n+2 2 (un−1 − 1) + ≤ un−1 − + ,∀n ≥ 3n n n Theo bổ đề c‰u 6, ta c— lim un = C‰u 10 Chứng minh d‹y số (un ) x‡c định bởi: u1 = 2012,un+1 = 2010n + (u + 1),n ≥ 2011n + n c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ— C‰u 11 Chứng minh d‹y số (un ) x‡c định bởi: u1 = 2004,un+1 = 2n + (u + 1),n ≥ 3n + n c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ— 2n ⎞ n + ⎛ 22 C‰u 12 Cho S n = n+1 ⎜ + + + ⎟ Chứng minh (S n ) c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ— n⎠ 2 n+2 (S + 1),n ỗp dụng bổ đề c‰u 2(n + 1) n C‰u 13 Chứng minh d‹y số (un ) x‡c định bởi: Giải Ta c— S n+1 = 20n + 21 u1 = ,un+1 = un3 − 12un + ,n ≥ n +1 Chứng minh d‹y số đ‹ cho c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ— Thầy: Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn - Hotline: 0976.266.202 ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA C‰u Cho số thực a ≥ − , chứng minh d‹y số (un ) x‡c định bởi: 10 u1 = a,un+1 = 2n + 1 + un + ,∀n ≥ n +1 c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ—... lim un = C‰u 10 Chứng minh d‹y số (un ) x‡c định bởi: u1 = 2012,un+1 = 2010n + (u + 1),n ≥ 2011n + n c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ— C‰u 11 Chứng minh d‹y số (un ) x‡c định bởi: u1 = 2004,un+1... = 2n + (u + 1),n ≥ 3n + n c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ— 2n ⎞ n + ⎛ 22 C‰u 12 Cho S n = n+1 ⎜ + + + ⎟ Chứng minh (S n ) c— giới hạn hữu hạn vˆ t“m giới hạn đ— n⎠ ⎝1 n+2 (S + 1),n ≥ ỗp