Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
24
Dung lượng
807,27 KB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT DẠNG 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT Bài 1: Chứng minh rằng: a, ab + ba 11 b, ab − ba (a > b) HD: a, Ta có : ab + ba = 10a + b + 10b + = 11b + 11b 11 b, Ta có : ab − ba = (10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b c, abcabc 7,11,13 c, Ta có : abcabc = abc.1001 = abc.7.11.13 7,11,13 Bài 2: Chứng minh rằng: a, (n + 10)(n + 15) b, n(n + 1)(n + 2) 2,3 HD: a, Ta có: Nếu n số lẻ n + 15 c, n + n + không 4,2,5 Nếu n số chẵn n + 10 , Như với n số tự nhiên : ( n + 10)( n + 15) b, Ta có: Vì n ( n + 1)( n + 2) số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2,1 số chia hết cho c, Ta có : n(n + 1) + số lẻ nên không Bài 3: Chứng minh rằng: a, (n + 3)(n + 6) b, n2 + n + khơng HD: a, Ta có: Nếu n số chẵn n + cho 4,2 có chữ số tận khác c, aaabbb 37 Nếu n lẻ n + , Như với n số tự nhiên ( n + 3)( n + 6) b, Ta có : n + n + = n ( n + 1) + , Vì n ( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận : 0, 2, 6, Do : n ( n + 1) + có tận 6, 8, nên khơng c, Ta có : aaabbb = aaa000 + bbb = a.11100 + b.111 = a.300.37 + b.3.37 chia hết cho 37 Bài 4: Chứng minh rằng: a, aaa a ,37 b, ab(a + b) c, abc − cba 99 HD: a, Ta có : aaa = a.111 = a.3.37 chia hết cho a chia hết cho 37 b, Ta có: Vì a, b hai số tự nhiên nên a,b có TH sau: TH1: a, b tính chẵn lẻ=> (a+b) số chẵn nhưu a+b chia hết cho TH2: a, b khác tính chẵn lẻ số phải có số chẵn số chia hết cho c, Ta có: abc − cba = 100a + 10b + c − (100c + 10b + a ) = 99a − 99c = 99 ( a − c ) 99 Bài 5: CMR : ab + 8.ba HD: Ta có: ab + 8.ba = 10a + b + (10b + a ) = 18a + 18b = 18 ( a + b ) Bài 6: Chứng minh rằng: ab ( a + b ) 2, a, b N Bài 7: Chứng minh số có dạng : abcabc ln chia hết cho 11 HD : Ta có : abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + b.10 + c = a.102 103 + + b.10 103 + + c 103 + ( ) = (103 + 1)( a.102 + b.10 + c ) = 1001 ( a.102 + b.10 + c ) = 11.91.abc 11 ( ) ( ) Bài 8: Tìm n số tự nhiên để: A = ( n + 5)( n + 6) 6n HD: GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Ta có: A = 12n + n ( n − 1) + 30 , Để A 6n = n ( n −1) + 30 6n Ta có: n ( n −1) n = 30 n = n U ( 30) = 1;2;3;5;6;10;15;30 Và n ( n −1) = n ( n −1) = n 1;3;6;10;15;30 Thử vào ta thấy n1;3;10;30 thỏa mãn yêu cầu đầu Bài 9: CMR : 2x+y 5x+7y HD: Ta có : 2x + y = ( 2x + y ) = 14x + y = 9x + 5x + y = 5x + y Bài 10: Chứng minh rằng: a, Nếu ab + cd 11 abcd 11 b, Cho abc − deg cmr abc deg HD: a, Ta có: ab + cd = a.10 + b + 10c + d = (a + c)10 + b + d = (a + c)(b + d ) 11 hay (a+c) – (b+d) 11 Khi abcd 11 có (a+c) - ( b+d) 11 b, Ta có: Ta có abc deg = 1000abc + deg = 1001abc − (abc − deg) mà abc − deg nên abc deg Bài 11: Chứng minh rằng: a, CMR: ab = 2.cd → abcd 67 b, Cho abc 27 cmr bca 27 HD: a, Ta có: Ta có abcd = 100ab + cd = 200cd + cd = 201cd 67 b, Ta có : Ta có abc 27 = abc0 27 = 1000a + bc0 27 = 999a + a + bc0 27 = 27.37a + bca 27 Nên bca 27 Bài 12: Chứng minh rằng: a, abc deg 23, 29 abc = 2.deg b, Cmr (ab + cd + eg ) 11 abc deg 11 HD: a, Ta có : abc deg = 1000abc + deg = 1000.2deg + deg = 2001deg = deg.23.29.3 b, Ta có : abc deg = 10000.ab +100cd + eg = 9999ab + 99cd + (ab + cd + eg ) 11 Bài 13: Chứng minh rằng: a, Cho abc + deg 37 cmr abc deg 37 b, Nếu abcd 99 ab + cd 99 HD: a, Ta có : abc deg = 1000abc + deg = 999abc + (abc + deg) 37 ( ) b, Ta có : abcd = 100.ab + cd = 99.ab + ab + cd 99 = ab + cd Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu abcd 101 ab − cd 101 HD : Ta có : abcd 101 = 100.ab + cd = 101.ab − ab + cd = 101.ab − ab − cd 101 => ab − cd 101 ( ) Bài 15: Chứng minh rằng: a, 2a - 5b+6c 17 a-11b+3c 17 (a,b,c Z) b, 3a+2b 17 10a+b 17 (a,b Z) HD: a, Ta có: a-11b+3c 17 17a-34b +51c 17 nên 18a-45b+54c 17 => 9(2a-5b+6c) b, Ta có: 3a+2b 17 17a - 34b 17 nên 20a – 32b 17 10a – 16b 17 17 10a +17b – 16b 17 10a+b 17 Bài 16: Chứng minh rằng: a, abcd 29 a + 3b + 9c + 27d 29 b, abc 21 a − 2b + 4c 21 HD: a, Ta có : abcd = 1000a + 100b + 10c + d 29 => 2000a+200b+20c+2d 29 => 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d 29 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức => (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) 29 => (a+3b+9c+27d) 29 b, Ta có: abc = 100a + 10b + c 21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c 21 => 16a - 32b +64c 21 => 16(a- 2b +4c) 21 Bài 17: Chứng minh rằng: a, abcd d + 2c b, abcd 16 → d + 2c + 4b + 8a 16 (c chẵn) HD: a, Ta có: Vì e, abcd → cd → 10c + d → 2c + d b, Ta có: Vì abcd 16 = 1000a + 100b + 10c + d 16 = 992a + 8a + 96b + 4b + 8c + 2c + d 16 => (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) 16, mà c chẵn nên 8c 16 => (8a+4b+2c+d) 16 Bài 18: Chứng minh rằng: a, Cho a - b cmr 4a+3b (a,b Z) b, Cmr m +4n 13 10m+n 13 HD: a, Ta có: a – b nên 4(a –b) => 4a – 4b +7b => 4a +3b b, Ta có: m+4n 13 => 10(m+4n) 13 => 10m +40n – 39n 13 =>10m+ n 13 Bài 19: Cho a,b số nguyên, CMR 6a+11b 31 a+7b 31, điều ngược lại có khơng? HD: Ta có : 6a +11b 31 => 6( a+7b) - 31b 31 => a+7b 31 Bài 20: Cho a,b số nguyên, CMR 5a+2b 17 9a+7b 17 HD: Ta có : 5a +2b 17 => 5a – 68a +2b -51b 17 => - 63a – 49b 17 => -7( 9a +7b) 17 => 9a+7b 17 Bài 21: Cho a,b số nguyên, CMR 2a+3b 8a + 5b HD: Ta có: 2a+3b => 4(2a+3b) =>8a +12b 7=> 8a+12b -7b 7=>8a+5b Bài 22: Cho a,b số nguyên, CMR a - 2b a-9b 7, điều ngược lại có khơng? HD: Ta có: a – 2b => a- 2b -7b 7=> a - 9b 7, Điều ngược lại Bài 23: Cho a,b số nguyên 5a+8b cmr a, - a +2b b, 10a +b (-3) c, a +16b HD: a, Ta có: 5a +8b 3=> 5a- 6a+8b-6b 3=> -a+2b b, Ta có: 5a +8b => 2(5a+8b) 3=>10a+16b 3=>10a+16b-15b c, Ta có: 5a +8b 3=> 5(a+16b) – 72b =>a+16b Bài 24: Cho biết a-b 6, CMR biểu thức sau chia hết cho a, a +5b b, a +17b c, a - 13b HD: a, Ta có: a-b => a-b+6b 6=> a+5b b, Ta có: a-b => a-b +18b 6=> a+17b c, Ta có: a - b => a-b-12b 6=> a-13b Bài 25: CMR : x + x − y ngược lại Bài 26: Cho hai số nguyên a b không chia hết cho 3, chia cho có số dư: CMR: (ab-1) HD: Ta có: a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r Z, r=1,2) r = = r − = ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r -1 r = = r − = 3 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 27: Chứng minh viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 HD: Ta có : Gọi số tự nhiên có chữ số ab theo ta có abba 11 abba = 1001a + 110b = 7.11.13a + 11.10b Bài 28: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, cịn tổng số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a,a+1,a+2 xét tổng Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta a + ( a + 1) + ( a + 2) + ( a + 3) = 4a + Bài 29: Chứng minh tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, cịn tổng số lẻ liên tiếp khơng chia hết cho 10 HD: Gọi số chẵn liên tiếp a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được: a + ( a + 2) + ( a + 4) + ( a + 6) + ( a + 8) = 5a + 20 10 Vì a số chẵn Tương tự với số lẻ liên tiếp : 2a − 1, 2a + 1, 2a + 3, 2a + 5, 2a + 7, xét tổng ta : ( 2a −1) + ( 2a +1) + ( 2a + 3) + ( 2a + 5) + ( 2a + 7) = 10a +15 10 Bài 30: Khi chi 135 cho số tự nhiên ta thương cịn dư, Tìm số chia thương HD: Gọi số chia x số dư r, Khi 135 = x + r ( r x ) => r = 135 − x = 135 − x x 135 = x 19 , Vậy x = 20,21,22 Từ 135 − x x = x 7 Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết số có hai chữ số mà tổng chữ số 14 , sau bạn Thắng đem chia số cho đươc dư , chia cho 12 dư a, CMR bạn Thắng làm sai phép chia b, Nếu phép chia thứ đúng, phép chia cho 12 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cần tìm n= ab a, n chia dư =>n chẵn n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn b, Vì a+b=14 nên ab dư ab chia 12 dư Nếu phép chia thứ ab chia dư 4=> ab => ab 12 => n chia 12 dư Từ 135 − x = x 135 = x 22 Bài 32: Chứng minh abc chia hết cho 37 bca cab chia hết cho 37 Bài 33: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Bài 34: Tìm số tự nhiên biết chia cho 17 số dư hai lần bình phương số thương Bài 35: Chứng minh tồn số tự nhiên chia cho 21 dư chia cho 84 lại dư Bài 36: Cho số nguyên dương khác thỏa mãn : tổng hai số chia hết cho tổng ba số chia hết cho 3, Tính giá trị nhỏ cảu tổng bốn số Bài 37: Tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho 27, biết hai số 97 HD: Gọi số cần tìm a97b a97b nên b = b = => trường hợp TH1: Với b = = a970 27 = a + + + = a + 16 = a = , Khi số cần tìm 2970 thỏa mãn chia hết cho 27 TH2: Với b = = a975 27 = a + + + = a + 21 = a = , Khi số cần tìm 6975 khơng chia hết cho 27 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 38: Tìm số có hai chữ số biết số chia hết cho tích chữ số HD: Gọi số cần tìm ab => ab = 10a + b Mà ab a.b = 10a + b ab = 10a + b a = b a = b = k.a ( k N ) Và 10a + b b = 10a b , mà b chia hết cho a=> 10a = b.q = 10a = z.k.q = 10 = k.q Do k số có chữ số nên k= 1;2;5 Với k=1=> a=b, ta có số 11,22,33, 99, có số 11 thỏa mãn Với k=2=>b=2a, ta có số 12, 24, 36, 48, có số 12, 24, 36 thỏa mãn Với k=5=> b=5a ta có số 15 thỏa mãn Vậy số cần tìm 11, 12, 24, 36, 15 Bài 39: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số nó, cmr b a HD: Ta có: ab =3ab=>10a+b=3ab=>10a+b a =>b a Bài 40: Tìm a, b, c biết: 2009abc 315 HD: Ta có: 315 = 5.7.9 , Mà (5;7;9) = = 2009abc BCNN ( 5;7;9 ) Ta có: 2009abc = 2009000 + abc = 315.6377 + 245 + abc = 245 + abc 315 = 315 U 245 + abc ( ) ( ) Mà 100 abc 999 = 345 245 + abc 1244 = 245 + abc 630;945 = abc 385;700 Bài 41: Tìm a,b biết: a-b=3 (14a3 + 35b2) HD: Ta có: Để : 14a3 + 35b2 = + + a + + + + b + = a + b + 18 = a + b mà a b số chó chữ số nên a + b = 0, a + b = 9, a + b = 18 kết hợp với a - b =3 để tìm a b Bài 42: Tìm a,b biết:c, 5a 6b a - b=4 HD: Để 5a6b2 = + a + + b + = a + b + 13 = a + b + Do a, b hai số tự nhiên có chữu số nên: a + b = 2, a + b = 5, a + b = 8, a + b = 11, a + b = 14, a + b = 17, , Kết hợp với a − b = để tìm a,b ( ) Bài 44: Tìm a biết rằng: (1999 + 19a8 ) 1997 Bài 43: Tìm a,b biết rằng: 1999 + 1a 29 Bài 45: Cho x − y = ( x, y Z ) , CMR biểu thức sau chia hết cho a/ 22x − y b/ x + 20 y c/ 11x + 10 y HD: a, Ta có: x − y = = x − y = x − y + 21x = 22 x − y b, Ta có: x − y = = ( x − y ) + ( x + 21y ) = 8x + 20 y c, Ta có: x − y = 11x − 11y = 11x − 11y + 21y = 11x + 10 y Bài 46: Cho A = 111 Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 khơng? HD: Ta có: 111 = 3.37 , nên để 111 111 = 111 chia hết cho 37 Ta có: 111 ( 20 số ) có tổng chữ số 1+1+1+ +1=20 không chia hết 111 111 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 47: CMR: 7x+4y 29 9x+y HD: 29 Ta có: x + y = 36 x − 29 x + y = 36 x + y = (9 x + y ) = x + y Bài 48: CMR abcd 29 a+3b+9c+27d chia hết cho 29 HD: Ta có: abcd 29 = 1000a + 100b + 10c + d 29 = 200a + 200b + 20c + 2d 29 = ( 2001a −1) + ( 203b − 3b ) + ( 29c − 9c ) + ( 29d − 2d ) 29 = ( 2001a + 203b + 29c + 29d ) − ( a + 3b + 9c + 27d ) 29 = ( 69.29a + 7.29b + 29c + 29d ) − ( a + 3b + 9c + 27d ) 29 Khi đó: a + 3b + 9c + 27d 29 Bài 49: Chứng minh x,y số nguyên cho ( x + y ) 13 ( 5x + y ) chia hết cho 13 ngược lại HD: Ta có: 5x + y 13 = (5x + y ) 13 = 20 x + 16 y 13 = x + y 13 Từ ta ngược lại Bài 50: Cho A = n2 + n + , CMR A không chia hết cho 15 với số tự nhiên n HD: n2 + n + = n ( n + 1) + , Vì n ( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận : 0, 2, 6, Do : n ( n + 1) + có tận 2, 4, nên không 5, A không chia hết cho 35 Bài 51: Cho a,b hai số phương lẻ liên tiếp, CMR : ( a −1)( b −1) 192 HD: Ta có: Vì a, b số lẻ nên ( a − 1)( b − 1) Đặt a = ( 2k − 1) , b = ( 2k + 1) = ( a − 1) = 4k ( k − 1) , ( b − 1) = 4k ( k + 1) 2 Khi : ( a −1)( b −1) = 16k ( k −1)( k + 1) , Mà k ( k + 1)( k + 2) Và k ( k −1) , k ( k + 1) chia hết cho Nên k ( k −1)( k + 1) 12 = ( a −1)(b −1) = 16k ( k −1)( k + 1) 192 , 2 Khi a, b số phương lẻ liên tiếp Bài 52: Tìm số nguyên tố tự nhiên n biết 2n+7 chia hết cho n+1 12n+1 HD: Ta có : 2n + n + = x + + n + = ( n + 1) + n + = n + 1U (5) Tương tự : 2n + 12n + = ( 2n + ) 12n +1 = 12n + 42 12n +1 = 12n +1 + 41 12n +1 = 12n +1U ( 41) Bài 53: Tìm x,y nguyên dương biết (x+1) chia hết cho y (y+1) chia hết cho x HD: Ta có : Vì vai trị x, y bình đẳng nên giả sử : x y y =1 = ( x; y ) = (1;1) , (1; ) Nếu x = = x + = y = y = x +1 y = ( x + 1)( y + 1) = ( xy + x + y + 1) xy = ( x + y + 1) xy Nếu x = x y = y +1 x x + y +1 1 số nguyên dương = = + + xy x y xy GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức 1 1 1 1 (1) + + + + = = + + =1 x y xy 2 4 x y xy 1 1 1 = = + + + + = = x = x = , Thay vào (1) ta có : x y xy x x x x 1 + + = = y = y 2y Vậy cặp số (x ; y) phải tìm : (1 ;1), (1 ;2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ;2) Bài 54: Tìm số có ba chữ số biết số chia cho 11 thương tổng chữ số số HD : Ta có : Gọi số cần tìm : abc Mà x y = Theo ta có : abc = 11( a + b + c ) = 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c = 89a = b + 10c = 89a = cb , Vì cb số có hai chữ số nên < a< => a = 1, Khi ta có : 89 = cb = bc = 98 = abc = 198 Bài 55: Chứng minh : ( n : 6) = ( n − 1)( n + 1) 24 HD : Vì ( n;6) = = n 2, n = n = 2k + 1, n = 3k + 1, n = 3k + Với: n = 2k + = A = ( 2k + − 1)( 2k + + 1) = 4k ( k + 1) TH1 : n = 3k + = A = 3k ( 3k + 2) = A 24 TH2: n = 3k + = A = ( 3k + 1)( 3k + 3) = A 24 Bài 56: CMR: a n + − a n 30, với n số nguyên dương Bài 57: Chứng minh 2x+3y chia hết cho 17 9x+5y chia hết cho 17 HD: Ta có : 2x + y 17 = ( x + y ) 17 = 18x + 27 y 17 = 18x + 10 y 17 = (8x + y ) 17 Khi : x + y 17 , Chứng minh tương tự điều ngược lại Bài 58: CMR: M = ( a − b )( a − c )( a − d )(b − c )(b − d )( c − d ) chia hết cho 12, Với a, b, c, d số nguyên HD: Ta có : M = ( a − b )( a − c )( a − d )(b − c )(b − d )( c − d ) Trong số a,b,c,d chắn có hai số chia cho có số dư, Nên hiệu chúng chia hết cho 3, Như M chia hết cho Lại có số nguyên a,b,c,d có số chẵn có số lẻ, Giả sử a,b số chẵn, c,d số lẻ Khi ( a − b ) , ( c − d ) = ( a − b )( c − d ) = M Hoặc khơng phải số tồn số chia có số dư nên hiệu chúng chia hết cho 4, Khi M Như M chia hết cho nên M chia hết cho 12 Bài 59: Một số chia cho dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cho A, theo ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7 Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) a+39 đồng thời chia hết cho 7,17,23 Mà 7,17,23 đôi nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, A chia 27737 dư 2698 Bài 60: CMR: A = 88 + 220 , chia hết cho 17 HD: 20 24 20 20 Ta có: A = + = + = 2 + = 220.17 17 ( ) GV:Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 61: Khi chia số tự nhiên gồm chữ số giống cho số tự nhiên gồm chữ số giống ta thương cịn dư, Nếu xóa chữ số số bị chia xóa chữ số số bị chia thương phép chia số dư giảm trước 100, Tìm số chia số bị chi lúc đầu? HD: Gọi số bị chia lúc đầu aaa số chia lúc đầu bbb , số dư lúc đầu r Ta có: aaa = 2.bbb + r aa = 2.bb + r − 100 nên aaa − aa = bbb − bb + 100 = a00 = 2.b00 + 100 = a = 2b + ( ) Do a, b chữ số nên ta có bảng: Bài 62: Cho D=1-2+3-4+ +99-100 a, D có chia hết cho khơng, cho 3, cho khơng? sao? b, D có ước số tự nhiên, ước số nguyên? HD: a, Ta tính D= - 50, nên D có chia hết cho 2, không chia hết cho b, D = -50 = 2.52 nên có (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiên, có 12 ước nguyên Bài 63: CMR : 102011 + chia hết cho 72 HD: 102011 + = 1000 008 Có tổng chữ số nên chia hết cho 9, có chữ số tận 008 nên 2010 chia hết cho 8, Như chia hết cho 8.9 = 72 Bài 64: Cho A = 9999931999 − 5555571997 , CMR A chia hết cho HD: Ta có : A = ( 999993) 1996+3 − ( 555557 ) 1996+1 = 9999931996.9999933 − 5555571996.555557 A = .1 .7 − = = A Bài 65: Cho số tự nhiên liên tiếp cho 5, chia cho số dư khác nhau, CMR: tổng chúng Bài 66: Cho a, n N * , biết a n , cmr a + 150 chia hết cho 25 HD: Ta có: a 5 mà số nguyên tố = a = a 25 = a + 150 25 Bài 67: Chứng minh a không bội a − chia hết cho Bài 68: Chứng minh a − a 10 Bài 69: CMR : p = n2 + 3n + , không chia hết cho 121 với số tự nhiên n Bài 70: Cho a,b hai số nguyên, CMR : Nếu 3a + 11ab − 4b 169 ab 13 Bài 71: CMR a, b số tự nhiên cho 5a + 3b,13a + 8b chia hết cho 2003, a b chia hết cho 2013 Bài 72: Chứng minh rằng: 817 − 279 − 913 chia hết cho 405 Bài 73: Cho a, b N * , thỏa mãn số M = ( 9a + 11b )( 5b + 11a ) chia hết cho 19, Hãy giải thích M chia hết cho 361 HD: Ta có: M = ( 9a + 11b )( 5b + 11a ) 19 mà 19 số nguyên tố nên 9a + 11b 19 5b + 11a 19 Xét M = ( 9a + 11b ) + ( 5b + 11a ) = 27a + 33b + 5b + 11a = 38a + 38b = 19 ( 2a + 2b ) 19 + Nếu 9a + 11b 19 = ( 9a + 11b ) 19 mà N 19 = 5b + 11a 19 + Nếu 5b + 11a 19 , mà N 19 = ( 9a + 11b ) 19 = 9a + 11b 19 (1) (2) Từ (1) (2) suy : ( 9a + 11b ) 19 ( 5b + 11a ) 19 = M 192 = 361 GV:Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 73: Cho hai số tự nhiên a b thỏa mãn : m = (16a + 17b )(17a + 16b ) bội số 11, CMR : Số m bội số 121 HD: Vì 11 số nguyên tố: mà m = (16a + 17b )(17a + 16b ) 11 = 16a + 17b 11 17a + 16b 11 Khơng tính tổng qt: giả sử: 16a + 17b 11 , ta cần chứng minh (17a + 16b ) 11 Thật vậy: 16a + 17b 11 = (16a + 17b ) 11 = 33 ( a + b ) + b − a 11 = b − a 11 = a − b 11 Lại có: (17a + 16b ) = 33 ( a + b ) − a + b 11 = (17a + 16b ) 11 Vậy (16a + 17b )(17a + 16b ) 11.11 = 121 Bài 73: Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn: (17a + 5b )( 5a + 17b ) chia hết cho 11, Chứng minh : (17a + 5b )( 5a + 17b ) 121 ( Bài 73 : Cho a, b hai số nguyên CMR: ab ( a )( 4a − b ) + b )( a − b ) 30 Bài 73: Cho a, b hai số tự nhiên CMR: ab a2 − b 2 2 2 Bài 74: Cho a, b số nguyên dương cho : a + 1, b + 2007 chia hết cho CMR: a + a + b HD: Vì a Z + = 4a 1( mod 3) = 4a + ( mod 3) Mà 4a + ( mod ) = 4a + Khi ta có: 4a + a + b = 4a + + a + + b + 2017 − 2010 Mà a + 6, b + 2017 = 4a + a + b 1 Bài 75: Cho A = + + + , CMR : A không số tự nhiên 11 12 40 HD: Ta quy đồng tổng A, Khi mẫu số tích với thừa số lẻ nhở 40 lứn 10 Gọi k11, k12, k13, , k40 thừa số phụ tương ứng Khi tổng A có dạng : A = ( k11 + k12 + + k 40) 25.11.13 39 , Trong 30 phân số tổng A, có có mẫu chứa , nên thừa số phụ k11, k12, k40 có k32 số lẻ, cịn lại thừa 32 số phụ khác chẵn có thừa số 2, Khi phân số A có Mẫu chia hết cho 2, cịn tử khơng chia hết A không số tự nhiên 1 Bài 76: Cho A = + + + + , CMR : A không số tự nhiên 100 HD: Ta quy đồng tổng A, Khi mẫu số tích với thừa số lẻ nhỏ 100 Gọi k1, k2, k3, , k100 thừa số phụ tương ứng ( k1 + k + + k100) Khi tổng A có dạng : A = , 25.3.5.7 99 Trong 100 phân số tổng A, có phân số có mẫu chứa , 64 nên thừa số phụ k1, k2, , k100 có k62 số lẻ, lại thừa số phụ khác chẵn có thừa số 2, Khi phân số A có Mẫu chia hết cho 2, cịn tử khơng chia hết A khơng số tự nhiên phân số GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 77: CMR: A = 1 + + + A khơng số tự nhiên 50 HD: Ta quy đồng tổng A, Khi mẫu số tích với thừa số lẻ nhỏ 50, lớn Gọi k2, k3, k4, , k50 thừa số phụ tương ứng ( k + k + + k 50) , Khi tổng A có dạng : A = 25.3.5 50 Trong 49 phân số tổng A, có phân số có mẫu chứa , 32 nên thừa số phụ k2, k3, k50 có k32 số lẻ, lại thừa số phụ khác chẵn có thừa số 2, Khi phân số A có Mẫu chia hết cho 2, cịn tử khơng chia hết A không số tự nhiên 49 48 + + + + , CMR A không số tự nhiên? Bài 78: Cho 50 A = 48 49 HD: 2 1 48 47 50 A = 1 + + 1 + + + 1 + + 1 + + 2 3 48 49 50 50 50 50 50 1 1 50 A = + + + + + = 50 + + + 49 50 50 2 1 1 = A = + + + + , Theo chứng minh 24 A không số tự nhiên 50 1 1 a Bài 79: Cho A = + + + + + = , Chứng minh b 2431 18 b HD : Tách 2431=17.13.11 Quy đồng A ta thấy b=1.2.3 18 có chứa 17.13.11 10 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức DẠNG : CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀ ĐỒNG DƯ THỨC A Lý thuyết: + Một số có chữ số tận : 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa n số có chữ số tận (0; 1; 5; 6) + Số có chữ số tận 2; 4; nâng lên lũy thừa số có chữ số tận + Số có chữ số tận 3; 7; nâng lên lũy thừa số có chữ số tận Chú ý 1: + số tự nhiên nâng lên lũy thừa 4k+1 chữ số tận khơng thay đổi + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n + số có chữ số tận + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n + số có chữ số tận + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n + số có chữ số tận + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n + số có chữ số tận + Còn lại chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, nâng lên lũy thừa 4n + tận + Nếu a b có số dư chia cho m a gọi đồng dư với b theo modum m KH: a b ( mod m ) 11( mod6) + Một số tính chất đồng dư: a b ( mod m ) + Nếu: = a c ( mod m ) b c ( mod m ) a b ( mod m ) + Nếu: = a + c b + d ( mod m ) c d mod m ( ) a b ( mod m ) + Nếu: = a.c b.d ( mod m ) c d ( mod m ) + Nếu: a b ( mod m ) = a n bn ( mod m ) Ví dụ: −1( mod ) 18 ( mod6) + Nếu a b ( mod m ) d UC(a; b) thỏa mãn: ( d; m) = a : d b : d ( mod m ) + Nếu a b ( mod m ) , d Z , thỏa mãn : d UC ( a; b; d ) = a b m mod d d d Chú ý : Không chia vế dồng dư thức : Ví dụ : 12 ( mod10) = ( mod10) , điều sai B Bài tập áp dụng : Bài 1: Tìm số dư phép chia 20042004 chia cho 11 HD: Dấu hiệu chia hết cho 11 hiệu chữ số hàng lẻ với chữ số hàng chẵn tính từ bên trái chia hết cho 11 Ta có: 2002 11 = 2004 ( mod11) = 20042004 22004 ( mod11) Mà 210 ( mod11) = 2004 2004 = 4.2 2000 ( 210 ) 200 ( mod11) 24 ( mod11 ( mod11) ) Vậy 20042004 chi cho 11 dư Bài 2: Tìm số dư chia A = 19442005 cho HD: 2005 Ta có: 1944 −2 ( mod ) = 19442005 ( −2 ) ( mod ) Mà ( −2 ) −1 ( mod ) = 19442004 ( −23 ) 668 ( mod ) ( −1) ( mod ) ( mod ) 668 Vậy 19442005 ( −2)( mod7 ) hay A chia cho dư 11 GV:Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 3: Chứng minh rằng: A = 61000 − 1, B = 61001 + bội số HD: Ta có: ( −1)( mod7 ) = 61000 1( mod7 ) = A ( mod7 ) = A Chứng minh tương tự với B Bài 4: Tìm số dư phép chia: 15325 − chia cho HD: Ta có: 1532 ( mod9 ) = 15325 25 ( mod9 ) ( mod9 ) , Nên 15325 − ( mod ) Bài 5: Chứng minh rằng: A = 7.52 n + 12.6n 19 HD: Ta có: A = 7.25n + 12.6n , Vì 25n 6n ( mod19 ) = 7.25n 7.6n ( mod19 ) = A = 7.6n + 12.6n ( mod19 ) = 6n.19 ( mod19 ) ( mod19 ) = A 19 Bài 6: Tìm dư phép chia: 32003 chia cho 13 HD: Ta có: 33 ( mod 13) = ( 33 ) 667 32 32 ( mod13) , Vậy số dư Bài 7: Chứng minh : 22002 − 31 HD : Ta có : 25 = 32 1( mod 31) = ( 25 ) 400 22 ( mod ) 31 = A = 22002 − ( mod 31) Bài 8: Chứng minh : 22225555 + 55552222 HD : 5555 Ta có : 2222 ( −4 )( mod ) = 22225555 ( −4 ) ( mod ) Và 5555 ( mod7 ) = 55552222 42222 ( mod7 ) , Khi : A ( −4 ) 5555 Mà : ( −4 ) + 42222 ( mod ) 5555 ( = ( −4 ) ) 3333 42222 = A 42222 ( −33333 + 1) ( mod ) Xét 43333 − , có 43 1( mod7 ) = 43333 1( mod7 ) = 43333 − ( mod7 ) , hay A Bài 9: Tìm dư phép chia : 570 + 750 khichia cho 12 HD: Ta có: 52 1( mod )12 = 570 1( mod )12 Và 72 1( mod )12 = 750 1( mod12 ) , Khi số dư Bài 10: Tìm số dư A = 776776 + 777777 + 778778 , chia cho chi cho HD : Ta có : 776 ( −1)( mod3) = 776776 1( mod3) 777 ( mod3) = 777777 ( mod3) 778 1( mod3) = 778778 1( mod3) , Khi A chia có dư Mặt khác : 776 1( mod5) = 776776 1( mod5) 777 −3 ( mod5) = 777777 ( −3) ( mod5) 778 3( mod5) = 778778 3778 ( mod5) Khi A − 3777 + 3778 ( mod5) + 3.3777 − 3777 ( mod5) = + 3777 (3 − 1)( mod5) + 2.3777 ( mod5) 388 Mà 33 −1( mod 5) = 3777 ( 32 ) ( mod 5) ( mod 5) Vậy A + 2.3( mod5) ( mod5) hay A chia dư 777 12 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 11: Tìm số dư A = 32005 + 42005 chia A cho 11 chia cho 13 HD: Ta có: 35 ( mod11) = ( 35 ) Và 45 ( mod11) = ( 45 ) 401 401 ( mod11) ( mod11) , Khi A chia cho 11 dư Mặt khác: 33 1( mod13) = ( 33 ) Và 43 −1 ( mod13) = ( 43 ) 668 ( mod13) 668 ( mod13) , Khi A chia cho13 dư Bài 12: Tìm chữ số tận số sau: 20002008 ;11112019 ;20072017 ;13582018 ;234567 ;5235 ;204402 ;20133102 ;10201040 Bài 13: Tìm chữ số tận của: a, 99 HD: 67 b, 45 4k + a, Ta có: 9 số lẻ có TH 4k + k +1 4k = 9 = 1.9 = TH1 : k +3 = 94 k.93 = 1.93 = TH2 : 4k + b, Ta thấy : 56 số lẻ nên chia có TH : 4k + Bài 14 : Cho A = 172008 − 112008 − 32008 , Tìm chữ số tận A HD : Ta có : A = − − = − = Bài 15 : Cho M = 1725 + 244 − 1321 , Chứng minh rằng: M 10 HD: Ta có: M = + − = = M 10 Bài 16: Chứng minh rằng: C = 92 + (n N , n 1) n HD: n −1 n −1 Ta có: C = 92 = 92.2 = 812 = = C = + = Bài 17: Chứng minh rằng: A = 8102 − 2102 10 Bài 18: Tìm chữ số tận số sau: 22222003 ;20182024 ;20052005 Bài 19: Chứng minh rằng: a, 24 n+1 + b, 92 n+1 + 10 c, 74 n − Bài 20: Chứng minh rằng: 24 n+2 + n Bài 21: Chứng minh số có dạng: A = 24 + 1( n N , n 1) có chữ số tận n HD: Ta có: 4n = 41+n −1 = 4.4n −1 = A = 24 + = 24.4 + = (16 ) n −1 n 4n −1 + = Bài 22: Chứng minh số có dạng: B = 32 + (n N , n ) n HD: n −1 Ta có: 2n = 22+n−2 = 4.2n−1 = B = 32 + = 34.2 + = + = 5 n Bài 23: Chứng minh số có dạng C = 34 − 10 ( n N , n 1) n HD: ( ) Ta có: 4n = 41+n−1 = 4.4n−1 = C = 34 − = 34 n 4n −1 4n −1 − = (81) − = − = 10 13 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 24: Tìm chữ số hàng đơn vị của: a, 66661111 + 11111111 − 665555 b, 10n + 555n + 666n , (n N , n 1) ( c, 99992 n + 9992 n+1 + 10n , n N * ( ) d, 20184 n + 20194 n + 20074 n , n N * ) Bài 25: Tìm chữ số tận số sau: a, A= 24n - (n > 0, n N) b, B= 24n+2 + (n N) HD: ( ) a, Ta có : A= 24n − = 24 n ( ) c, C= 74n – (n N ) n − = 16 − = − = .1 b, Ta có : B = 24 n + + = 24 n.4 + = 6.4 + = .5 c, Ta có : C = 74 n − = − = Bài 26: Tìm chữ số tận số sau: b, E= 24 + a, D= 22 + HD: n n 4.2n−2 a, Ta có : 2n =22+n-2 =22.2n-2 =4.2n-2 => = 2n 1+ n−1 n−1 4.4n−1 = 4.4 = = b, Ta có : = Bài 27: Chứng minh rằng: n a, A = 22 −1 b, B= 24 + 10 HD: a, Ta có : 22 −1 = 24 −1 = 15 n b, Ta có : Ta có 24 có tận n 1+ n−1 n−1 4n n−2 = (24 )2 = n−1 = (24 )4 = c, C= 92 −1 10 n 2.2n−1 2n−1 = 2.2 = −1 = −1 = (9 ) −1 = −1 = 10 c, Ta có : = Bài 28: Chứng minh rằng: a, E= 24 n+1 + b, F= 92 n+1 + 10 c, H= n − HD: a, Ta có : 24 n +1 + = 24 n.2 + = 6.2 + = b, Ta có : 92 n+1 + = 92 n.9 + = 1.9 + = c, Ta có : n − = − = Bài 29: Chứng minh rằng: n 2n a, I= 24 n+ + b, K= + 5(n 2) c, M= −1 10(n 1) HD: a, Ta có : 24 n + + = 24 n.22 + = 6.4 + = n n−2 b, Ta có : 2n = 22+n−2 = 22.2n−2 = 4.2n−2 = 32 + = 34.2 + = 1+ = n n−1 c, Ta có : 4n = 41+n−1 = 4.4n−1 = 34 −1 = 34.4 −1 = −1 = Bài 30: Chứng minh rằng: a, D= 34 n+1 + b, G= 92 n − HD: a, Ta có : 34 n +1 + = 34 n.3 + = 1.3 + = 5 b, Ta có : 92 n − = − = Bài 31: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 a, 34n+1 +1(n N ) b, 24n+1 − 2(n N ) HD: a, Ta có : 34 n +1 + = 34 n.3 + = 1.3 + = 2n 4n 14 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức b, Ta có : 24 n +1 − = 24 n.2 − = 6.2 − = Bài 32: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 a, + 4(n N,n 2) b, − 6(n N , n 1) HD: n n−2 a, Ta có : 2n = 22+n−2 = 22.2n−2 = 4.2n−2 = 22 + = 24.2 + = + = n n−1 b, Ta có : 4n = 41+n−1 = 4.4n−1 = 94 − = 94.4 − = 1− = Bài 33: Chứng minh rằng: a, 94260 - 35137 b, 995 – 984 +973 – 962 HD: 2n 4n a, Ta có : ( 9424 ) − ( 351) = − .1 = .5 15 37 b, Ta có : 995 − 984 + 973 − 962 = 994.99 − 984 + 973 − 962 = 1.99 − + − = .0 Hiển nhiên chia hết cho Bài 34: Chứng minh rằng: a, 17 25 + 244 − 1321 10 b, 8102 − 2102 10 HD: 25 21 24 20 a, Ta có: 17 + 24 − 13 = 17 17 + 24 − 13 13 = 1.17 + − 1.13 = chia hết cho 10 102 102 100 100 b, Ta có: − = 8 − 2 = 6.64 − 6.4 = .4 − = nên chia hết cho 10 Bài 35: Chứng minh rằng: a, 3636 − 910 45 b, 1028 + 72 HD: 36 10 a, Ta có: 36 − = − 9 = − .1.81 = − = Chia hết cho 5, ta thấy 36 = 3636 9,910 = đpcm b, Ta có : 1028 + = 10 00 + = 1000 008 có tổng chữ số nên chia hết cho Khi chia hết cho 72 Bài 36: Chứng minh rằng: a, 88 + 220 17 b, 165 + 215 33 HD: a, Ta có: 88 + 220 = ( 23 ) + 220 = 224 + 220 = 220 ( 24 + 1) = 220.17 17 b, Ta có: 165 + 215 = ( 24 ) + 215 = 220 + 215 = 215 ( 25 + 1) = 215.33 33 Bài 37: Chứng minh rằng: a, 106 − 57 59 HD: b, 817 − 279 − 913 45 ( ) 7 6 6 a, Ta có: 10 − = ( 2.5) − = − = − = 59 59 b, Ta có: 817 − 279 − 913 = ( 34 ) − ( 33 ) − ( 32 ) = 328 − 327 − 326 = 326 ( 32 − − 1) = 326.5 = 324.45 45 Bài 38: CMR: a, 2008100 + 200899 2009 HD: 100 a, Ta có: 2008 13 b, 12345678 − 12345677 12344 + 200899 = 200899 ( 2008 +1) = 200899.2009 2009 678 b, Ta có: 12345 −12345677 = 12345677 (12345 −1) = 12345677.12344 12344 Bài 39: Cho n số tự nhiên, CMR : A=17n+111 (n chữ số 1) HD: Ta có : A = 18n − n + 111 Số 1111 có tổng chữ số 1+1+1+1+ +1 có n số nên n Khi A = 18n − n + 1111 có 18n nên cần 1111 1-n chia hết cho mà 1111 - n có tổng chữ số nên chia hết cho 15 GV:Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Vậy A chia hết cho Bài 40: Tìm chữ số tận tổng sau: S = 21 + 35 + 49 + 20048009 HD: Ta thấy lũy thừa S có số mũ chia cho dư Nên tổng S có chữ số tận là: + + + + 2004 = 9009 = S có chữ số tận Bài 41: Tìm chữ số tận của: T = 23 + 37 + 411 + + 20048011 HD: Ta thấy lũy thừa T có dạng chia dư 3, Nên tổng T có chữ số tận : (8 + + + + + + + 9) + 199 (1 + + + + + + + + ) + + + + = 9019 Vậy chữ số tận T Bài 42 : Tìm số dư : a, A = 21 + 35 + 49 + + 20038005 chia cho b, B = 23 + 37 + 411 + + 20038007 chia cho Bài 43: Tìm chữ số tận : a, C = 22 + 36 + 410 + + 20048010 b, D = 28 + 312 + 416 + + 20048016 Bài 44: Chứng minh chữ số tận số sau giống nhau: a, A = + 35 + 49 + + 20058013 B = 23 + 37 + 411 + + 20058015 Bài 45: Tìm chữ số tận của: a, A = 105 + 129 + 1413 + + 20144013 + 20164017 b, B = 99 + 1113 + + 20154021 + 20174025 c, C = 57 + 711 + 915 + + 20154027 + 20174031 d, D = 215 + 239 + 2513 + + 20173997 + 20194001 e, E = 2043 + 2247 + 2451 + + 98203 + 100207 f, F = 28 + 312 + 416 + + 20048016 Bài 46: Tìm chữ số tận của: n n a, A = 194 + 7, ( n ) b, 20172 + 2016 ( n ) Bài 47: Tìm chữ số tận của: C = 19994 + 19972 + 19964 + 2017 ( n ) n n n Bài 48: Tìm số tự nhiên n để n10 + 10 HD: Ta có: 10=4.2+2, nên n10 + = ( n ) n + 10 = ( n ) n phải có tận 9=> n=3 n=7 2 Bài 49: CMR: 9999931999 − 555571997 16 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Chú ý: Đối với tìm chữ số tận cùng: + Với chữ số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa bao nhiên (Khác 0) có chữ số tận + Các số 26 n ln có tận 76 (n>1) + Các số: 210 ,320 có tận 76 01 + Còn lại đưa lên lũy thừa 2,4,5 trở 76 01 Bài 1: Tìm chữ số tận của: 2100 ,3100 HD: ( ) Ta có: 2100 = 210 10 ( = 76 ) 10 ( ) = 76 Và 3100 = ( 320 ) = 01 = 01 5 Bài 2: Tìm chữ số tận : 5151,9999 ,6666 ;14101.16101 HD: ( ) Ta có: 5151 = 512 25 ( ) 51 = 01 ( ) 9999 = ( 992 ) 99 = 01 49 49 25 51 = 51 99 = 99 6666 = ( 65133.6) = 76.6 = 56 14101.16101 = 224101 = ( 2242 ) 224 = 76.224 = 24 50 Bài 3: Tìm chữ số tận của: 512k ,512k +1,992n ,992n+1,9999 ,65n ,65n+1,666 HD: 99 99 Ta thấy: 9999 ; thấy 9999 số lẻ nên 9999 = 2n + = 9999 = 992 n+1 ( n N , n 1) 99 = 99 n+1 = 99 ( 992 ) = 99 01 = 99 n Bài :Tìm số tận : 72003,99 ,742003,182004.682005,742004 Bài : Tìm chữ số : a, 492n ;492n+1 ( n N ) b, 24n.38n ( n N ) c, 23n.3n 23n+3.3n+1 ( n N ) d, 742n ,742n+1 ( n N ) HD : b, 24 n.38 n = n ( 32 ) 4n = (18 ) 4n Bài : Chứng minh : a, A = 262 n − 26 10 ( n N , n 1) b, B = 242n+1 + 76 100 ( n N ) c, M = 512000.742000.992000 HD: c, Có chữ số tận 76 Bài 7: Chứng minh rằng: A = 102008 + 125 45 HD: A có chữ số tận nên A Mặt khác A có tổng chữ số :1+1+2+5=9 nên A Chú ý : Để đơn giản tìm chữ số tận số a, ta có TH : + a chẵn => Tìm n nhỏ cho a n − 25 + a lẻ => Tìm n nhỏ cho a n − 100 17 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 8: Tìm dư 22003 chia cho 100 HD: Ta có: 210 tận 76 Bài : Tìm số dư 799 chia cho 100 HD : Ta có : số lẻ=> cần tìm 7n − 100 = n = Khi : có tận 01 Bài 10 : Tìm số dư : 3517 chia cho 25 HD : Tìm chữ số tận 3517 43=> 3517 chia cho 25 dư 18 Bài 11 : Tìm chữ số tận : A = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 HD : Dựa vào tính chất : a N , ( a;5) = = a 20 − 25 Thấy a chẵn => a 4, a lẻ=> a100 − = a = a 25 A = 12002 + 22 ( 2002 − 1) + + 20042 ( 20042002 − 1) + 22 + 32 + + 20042 chữ số tận A chữ số tận của tổng n ( n + 1)( 2n + 1) với n= 2004 B = 12 + 22 + 32 + + 20042 = 18 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức DẠNG : NHĨM HỢP LÝ Bài 1: Chứng minh rằng: a, 3n+ − 2n + + 3n − 2n 10 HD : b, 3n+ − 2n+ + 3n + 2n 30 a, Ta có: VT = − + − = (9 + 1) − − 2 = 3n.10 − 2n−1.10 10 n n n n n −1 n n −1 b, Ta có: VT = − 16 + + = (9 + 1) − (16 −1) = 10 − 15 30 n n Bài 2: Chứng minh rằng: a, 8.2n + 2n+1 10 HD: n n n n n b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+ n+1 a, Ta có: 8.2 + n n = 8.2n + 2n.2 = 2n (8 + 2) = 10.2n 10 b, Ta có: VT = 3n.27 + 3n.3 + 2n.8 + 2n.4 = 3n.30 + 2n.12 Bài 3: Chứng minh rằng: 32 n +1 + 22 n +2 HD : n Ta có : A = 3.32n + 4.22n = ( + ) + 4.2n = 7.M + 7.2n Bài 4: Chứng minh rằng: a, 10n + 18n − 27 b, D = 10n + 72n − 81 HD: n a, Ta có: VT = 10 − + 18n = 999 + 18n ( có n chữ số 9) ( ) VT = 9.1111 + 9.2n = (111 + 2n ) mặt khác: 111 + 2n ( có n chữ số 1) = (1111 − n ) + 3n Xét: 111 − n có tổng chữ số 1+1+1+ +1-n=0 nên chia hết cho 111 1+2n chia hết cho 3=> VT chia hết cho 27 b, Ta có: D = 10n −1+ 72n = 9.111 1− 9n+ 81n = 9(111 1− n) + 81n Xét 111 - n chia hết cho => D chia hết cho 81 Bài 5: CMR : 3n+1 + 3n+ + 3n+3 chia hết cho 13 với n HD: n+1 Ta có: + 3n+2 + 3n+3 = 3n.3 + 3n.9 + 3n.27 = 3n.3 (1 + + ) = 3n+1.13 13 b, Chứng minh : 3x +1 + 3x +2 + 3x +3 + + 3x +100 chia hết cho 120 Bài 6: Chứng minh rằng: a, 55 − 54 + 53 b, 76 + 75 − 74 11 c, 109 + 108 + 107 222 555 d, 106 − 57 59 HD: a, Ta có: = 53 52 − + = 52.21 ( ) b, Ta có: = ( + − 1) = 55 11 c, Ta có : = 10 (10 + 10 + 1) = 10 111 222 d, Ta có : = ( 2.5) = ( − 1) = 59 59 4 7 6 555 Bài : Chứng minh : 817 − 279 − 913 45 HD : ( ) Ta có : = ( 34 ) − ( 33 ) − ( 32 ) = 328 − 327 − 326 = 326 32 − − = 326.5 9.5 = 45 13 19 GV:Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài : Chứng minh : A = + 22 + 23 + + 22004 3;7;15 Bài : Chứng minh : a, 810 − 89 − 88 55 b, 4545.1515 7530 c, 2454.5424.210 7263 d, 4510 − 540 2520 Bài 10: Cho 10k − 19 ( k 1) , CMR :102k − 19 HD: ( ) ( ) Ta có: 102k − = 102k − 10k + 10k − = 10k 10k − + 10k − Nhận thấy: 10k − 19 Bài 11: Chứng minh rằng: n + n + HD: Ta có: n2 + n + = n ( n + 1) + , àm n ( n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chẵn Mà VP +1 nên số lẻ không chia hết cho Bài 12: Chứng minh rằng: n N , n + n + HD: Vì n2 + n + = n ( n + 1) + , Vì n ( n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận 0; 2; Khi đó: n ( n + 1) + có tận 6;8;2 nên không chia hết cho Bài 13: Chứng minh rằng: Với n 60n + 45 15 khơng chia hết cho 30 Bài 14: Chứng minh rằng: n + n + với số tự nhiên n HD: Ta có: n2 + n + = n ( n + 1) số lẻ nên không chia hết cho Tương tự chứng minh có chữ số tận khác nên không chia hết cho Bài 15: Chứng minh rằng: a, + + 32 + 33 + + 311 b, + 52 + 53 + + 58 30 HD: a, Ta có: A = + + + + + + = (1 + 3) + (1 + 3) + + 3 10 11 A = + 32.4 + 34.4 + + 310.4 ( ) ( 10 ) (3 +1) ( 8 b, Ta có: B = + + + + + = + + + + + + B = 30 + 52.30 + + 56.30 Bài 16: Chứng minh rằng: a, + 22 + 23 + + 260 15 HD: ) b, + + 32 + 33 + + 3119 13 ( ) ( ) ( 60 57 60 a, Ta có: C = + + + + = + + + + + + + + + + ) ) C = (1 + + + 8) + 25 (1 + + + 8) + + 257 (1 + + + 8) => C = 15 ( + 25 + + 257 ( ) ( ) ( D = 13 + 13 + + 13 = 13 (1 + + + ) 13 17 18 19 b, Ta có: D = + + + + + + + + + 3 17 ) 17 Bài 17: Chứng minh rằng: a, + 22 + 23 + + 260 3,7,15 b, 1+ + 32 + 33 + + 31991 13,41 HD: 59 60 a, Ta có: A = + + + + + + ( ) ( ) ( ) A = (1 + 2) + 23 (1 + 2) + + 259 (1 + ) = A 20 GV:Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức ( ) ( ) ( ) A = (1 + + ) + (1 + + ) + + (1 + + ) Lại có: A = ( + + + ) + ( + + + ) + + ( + 2 58 59 60 lại có: A = + + + + + + + + + 2 2 58 A = 2.15 + 25.15 + + 257.15 15 ( ) ( ) 57 58 ( 1989 1990 1991 b, Ta có: B = + + + + + + + + + B = 13 + 13 + + Lại có: + 259 + 260 ) ) 1989 13 13 B = (1 + 32 + 34 + 36 ) + ( + 33 + 35 + 37 ) + + (31984 + 31986 + 31988 + 31990 ) + ( 31985 + 31987 + 31989 + 31991 ) = 820 (1 + + + 31984 + 31095 ) 41 Bài 18: Chứng minh rằng: a, + 22 + 23 + + 2100 31 b, + 32 + 33 + + 31998 12,39 HD: 10 96 97 98 99 100 a, Ta có: A = + + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( A = 2.31 + 26.31 + + 296.31 31 ( ) ( ) ) ( 1997 1998 b, Ta có: S = + + + + + + S = 12 + 12 + + ( ) ) 1996 ( 12 12 ) ( ) ( 1996 1997 1998 mặt khác: S = + + + + + + + + + ) S = 39 + 39 + + 39 39 Bài 19: Chứng minh rằng: a, + 32 + 33 + + 31000 120 b, 11 + 112 + 113 + + 118 12 HD: a, Ta thấy tổng B chia hết cho 3, ta cần chứng minh tổng B chia hết cho 40 1995 B = ( + 32 + 33 + 34 ) + + ( 3997 + 3998 + 3999 + 31000 ) = (1 + + 32 + 33 ) + + 31997 (1 + + 32 + 33 ) 40 Như A 120 b, Ta có: C = 11 + 11 + 11 + 11 + + 11 + 11 ( ) ( ) ( ) C = 11(1 + 11) + 113 (1 +11) + +117 (11 +11) C = 11.12 + 113.12 + + 117.12 12 Bài 20: Chứng minh rằng: a, + 42 + 43 + + 4210 210 b, + + 52 + 53 + + 5404 31 HD: a, Tổng A hiển nhiên chia hết cho (1) Nên ta cần chứng minh tổng A chia hết cho 105=5.21 A = ( + 42 ) + ( 43 + 44 ) + + ( 4209 + 4210 ) A = (1 + 4) + 43 (1 + 4) + + 4209 (1 + 4) = 4.5 + 43.5 + 4209.5 (2) A = ( + 42 + 43 ) + ( 44 + 45 + 46 ) + + ( 4208 + 4209 + 4210 ) A = (1 + + 16) + 44 (1 + + 16) + + 4208 (1 + + 16) 21 Từ (1), (2) (3) ta thấy: A 210 402 403 404 b, Ta có : B = + + + + + + + + + ( ) ( ) B = 31 + 53 (1 + + 52 ) + + 5402 (1 + + 52 ) 31 ( (3) ) 21 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 21: Chứng minh rằng: a, + 22 + 23 + 24 + + 2100 b, 321 + 322 + 323 + + 329 13 HD: 99 100 a, Ta có : A = + + + + + + ( ) ( ) ( ) A = (1 + 2) + 23 (1 + 2) + + 299 (1 + 2) = 2.3 + 23.3 + + 299.3 ( ) ( ) ( (1 + + ) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 b, Ta có : B = + + + + + + + + B = 321 (1 + + 32 ) + 324 (1 + + 32 ) + 327 ) B = 321.13 + 324.13 + 327.13 13 Bài 22: CMR A = 75.(42004 + 42003 + + 42 + +1) + 25 100 HD: Đặt B = 42004 + 42003 + + 42 + + , Tính B thay vào A ta : A = 75 ( 42005 − 1) : + 25 = 25 ( 42005 − 1) + 25 = 25 ( 42005 − + 1) = 25.42005 100 Bài 23: CMR: M = 2012 + 20122 + 20123 + + 20122010 2013 HD: M = ( 2012 + 20122 ) + ( 20123 + 20124 ) + + ( 20122009 + 20121010 ) M = 2012 (1 + 2012) + 20123 (1 + 2012) + + 20122009 (1 + 2012) M = 2012.2013 + 20123.2013 + + 20122009.2013 2013 Bài 24: Cho A = + + 22 + + 22008 , Tìm dư A chia cho HD: A = + + ( 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 ) + + ( 22006 + 22007 + 22008 ) A = + 22 (1 + + 22 ) + 25 (1 + + 22 ) + + 22006 (1 + + 22 ) A = + 22.7 + 25.7 + 22006.7 , Nhận thấy A chia dư Bài 25: CMR : A = 20 + 21 + 22 + + 25n−3 + 25 n−2 + 25 n−1 chia hết cho 31 n số nguyên dương HD: A = (1 + + 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 + 28 + 29 ) + + ( 25n−5 + 25 n−4 + 25 n−3 + 25 n−2 + 25 n−1 ) A = 31 + 25 (1 + + 22 + 23 + 24 ) + + 25n−5 (1 + + 22 + 23 + 24 ) A = 31 + 25.31 + + 25n−5.31 31 Bài 26: Cho n số nguyên dương, CMR : 3n + , bội 10 3n+ + bội 10 HD: Nếu 3n + , Là bội 10 3n + có tận số 0=> 3n có tận Mà 3n + + = 3n.34 + = .9.81 + = + = 10 (đpcm) Bài 27: CMR : N = + 52 + 53 + + 52012 bội 30 HD: N = ( + 52 ) + ( 53 + 54 ) + + ( 52011 + 52012 ) N = 30 + 52 ( + 52 ) + + 52010 ( + 52 ) = 30 + 52.30 + + 52010.30 30 Bài 28: Cho S = + 42 + 43 + + 42004 , CMR S chia hết cho 10 3S+4 chia hết cho 42004 HD: S = ( + 42 ) + ( 43 + 44 ) + + ( 42003 + 42004 ) S = 4.(1 + 4) + 43 (1 + 4) + + 42003 (1 + 4) = 4.5 + 43.5 + + 42003.5 = S 5, S = S 10 Mặt khác: 4S = 42 + 43 + 44 + + 42005 = 4S − S = 3S = 42005 − = 3S + = 42005 42004 22 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức ( ) 2009 1999 Bài 29: Cho N = 0,7 2007 − 2013 , CMR: N số nguyên HD: N= ( 2007 2009 − 20131999 ) , Để Chứng minh N alf số nguyên N chia hết cho 10 hay: 10 20072009 − 20131999 = 20072008.2007 − 20131996.20133 = 1.2007 − = − = 10 Vậy N chia hết cho 10, Khi N số nguyên Bài 30: CMR: a − a Bài 31: Chứng minh : B = 52008 + 52007 + 52006 31 HD : Ta có : B = 52006 ( 52 + + 1) = 31.52006 31 Bài 32: Chứng minh : 88 + 220 17 HD : Ta có: C = ( 23 ) + 220 = 224 + 220 = 220 ( 24 + 1) = 220.17 17 Bài 33: Chứng minh rằng: D = 3135.299 − 3136.36 HD: Ta có: D = 3135 ( 299 − 313.36) = 3135 ( −1567 ) Bài 34: Chứng minh rằng: A = + 72 + 73 + + 74 n −1 + 74 n 400 HD: Ta có: 400 = + + 72 + 73 , nhóm số hàng tổng A Bài 35: Chứng minh rằng: a, A = 13 + 33 + 53 + 73 23 b, B = + 33 + 35 + 37 + + 32 n+1 30 Bài 36: Tìm số dư A chia A cho biết: A = + + 22 + 23 + + 22008 + 22002 ( ) HD: Nhóm số hạng Bài 37: Chứng minh rằng: a, 87 − 218 14 b, 817 − 279 − 913 405 e, 439 + 440 + 441 28 HD: a, = 218 23 − ( c, 1099 + 23 d, 1028 + 72 ) c, Tổng chữ số Bài 38: Chứng minh rằng: a, 70 + 71 + 72 + + 7101 b, + 42 + 43 + + 416 c, 2000 + 20002 + 20003 + + 20002008 2001 Bài 39: Chứng minh rằng: A = 33 + 35 + 37 + + 31991 13 41 HD: Nhóm nhóm Bài 40: Chứng minh rằng: a, A = + 52 + 53 + + 58 30 b, B = + 33 + 35 + 37 + + 329 273 HD: b, Nhóm Bài 41: Chứng minh rằng: A = + 22 = 23 + 24 + + 2120 217 HD: Ta có: 217=7.31 23 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 42: Cho C = + 32 + 33 + 34 + + 3100 , CMR: A 40 HD: Nhóm Bài 43: Chứng minh rằng: 3x +1 + 3x +2 + 3x +3 + + 3x +100 chia hết cho 120 với x số tự nhiên HD : 3x +1 + 3x +2 + 3x +3 + + 3x +100 ( ) ( + ) + (3 + ) ( = 3x +1 + 3x +2 + 3x +3 + 3x + + 3x +5 + 3x +6 + 3x + + 3x +8 + + 3x +97 + 3x +98 + 3x +99 + 3x +100 ( = 3x + 32 + 33 x+4 ) ( + 33 + 34 + + 3x +96 + 32 + 33 + 34 ) ) = 3x.120 + 3x + 4.120 + + 3x +96.120 ( ) = 120 3x + 3x + + + 3x +96 120 Bài 44: Cho biểu thức : B = 36 + 38 + 3648 , Tìm số dư chia B cho 91 24 GV:Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức ... số dư A = 7 7 67 76 + 77 777 7 + 77 877 8 , chia cho chi cho HD : Ta có : 7 76 ( −1)( mod3) = 7 7 67 76 1( mod3) 77 7 ( mod3) = 77 777 7 ( mod3) 77 8 1( mod3) = 77 877 8 1( mod3) , Khi A chia có... khác : 7 76 1( mod5) = 7 7 67 76 1( mod5) 77 7 −3 ( mod5) = 77 777 7 ( −3) ( mod5) 77 8 3( mod5) = 77 877 8 377 8 ( mod5) Khi A − 377 7 + 377 8 ( mod5) + 3. 377 7 − 377 7 ( mod5) = + 377 7 (3... có: A=7a+3=17b+12=23c +7 Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+ 46= 7( a +6) = 17( b+3)=23(c+2) a+39 đồng thời chia hết cho 7, 17, 23 Mà 7, 17, 23 đôi nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7. 17. 23= 273 7, A chia 277 37 dư