tuyen tap day du cac chuyen de boi duong hoc sinh gioi toan 7

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN Chương I SỐ HỮU TỈ SỐ THỰC Chuyên đề TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ Số hữu tỉ • Số hữu tỉ số viết dạng phân số • Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Q a với a, b b Z, b Biểu diễn số hữu tỉ trục số • Mọi số hữu tỉ biểu diễn trục số • Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi điểm x So sánh hai số hữu tỉ • Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dạng phân số so sánh hai phân số • Số hữu tỉ lớn gọi số hữu tỉ dương; • Số hữu tỉ nhỏ gọi số hữu tỉ âm; • Số hữu tỉ 0, khơng số hữu tỉ dương không số hữu tỉ âm • Số hữu tỉ a số hữu tỉ dương a b dấu, số hữu tỉ âm a, b khác dấu, b a = B Một số ví dụ Ví dụ 1: Điền kí hiệu N, Z, Q vào trống cho hợp nghĩa (điền tất khả có thể): ; ; 2020 205 ; 21 10 Giải ✓ Tìm cách giải Khi điền vào trống, ta vào định nghĩa tập hợp: • N 0;1;2;3; • Z .; 3; 2; 1;0;1;2;3; • Q x/x a ; a, b b Z, b ✓ Trình bày lời giải • Z; Q • 2020 N;2020 • 205 Z;2020 Q Q THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 21 Q 10 • ✓ Nhận xét Chúng ta lưu ý N Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ x Z Q , không ý thứ ý thứ hai ví dụ dễ bị sót a 10 Với giá trị a thì: 2020 a) x số dương; b) x số âm; c) x không số dương không số âm Giải ✓ Tìm cách giải Khi xác định dấu số hữu tỉ, ta lưu ý số hữu tỉ âm a, b khác dấu Chú ý 2020 a số hữu tỉ dương a b dấu, b , ta có lời giải sau: ✓ Trình bày lời giải a) x a 10 2020 Mà 2020 b) x nên a 10 a 10 2020 Mà 2020 a 10 2020 dấu 0 suy a 10 Vậy với a 10 x số hữu tỉ dương a 10 2020 khác dấu 0 nên a 10 suy a 10 Vậy với a 10 x số hữu tỉ âm c) x không số dương không số âm tức x Vậy với a hay a 10 2020 suy a 10 10 x khơng số dương khơng số âm Ví dụ So sánh số hữu tỉ sau: a) x c) x 25 hay y 35 17 y 20 444 ; 777 b) x y 110 ; 50 0,75 Giải ✓ Tìm cách giải Trước so sánh hai số hữu tỉ, thường thực hiện: • Đưa số hữu tỉ dạng phân số tối giản; • Quy đồng mẫu số, ý để mẫu số dương; • Sau so sánh hai phân số ✓ Trình bày lời giải Rút gọn ta có: a) x 25 35 ;y 444 777 THCS.TOANMATH.com nên x y Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN b) x 11 ;y 17 y 20 c) x 110 50 11 nên x 75 100 0,75 15 20 y 17 nên x 20 y Ví dụ Viết tập hợp số nguyên n cho số hữu tỉ sau có giá trị số nguyên a) n ; b) n Giải ✓ Tìm cách giải Số hữu tỉ a (với a, b b Z, b ) có giá trị số nguyên a chia hết cho b Ư(a) Từ có lời giải sau hay b ✓ Trình bày lời giải a) Vậy với n b) n Ư(7); mà Ư(7) Z n n n -1 -7 n 12 -2 6;12;4; Z Vậy với n 1;7; 1; suy bảng giá trị sau: n 5k 2(k n n Z ) có giá trị số nguyên 5k (với k Z) n 5k n có giá trị số ngun Ví dụ Tìm số nguyên n để số hữu tỉ n 21 có giá trị số nguyên n 10 Giải ✓ Tìm cách giải Đưa ví dụ 4, cách tách số hạng nguyên ✓ Trình bày lời giải n 21 n 10 Z n 21 n 10 31 n 10 n 10 31 n 10 n 10 Ư(31) mà Ư(31) 1;31; 1; 31 Suy ta có bảng giá trị sau: Với n n 10 31 -1 -31 n -9 21 -11 -41 9;21; 11; 41 số hữu tỉ Ví dụ Chứng tỏ số hữu tỉ x THCS.TOANMATH.com n 21 có giá trị số nguyên n 10 3n phân số tối giản, với n N 4n Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Giải ✓ Tìm cách giải Để chứng minh a phân số tối giản a; b b Z chứng tỏ ƯCLN (a; b) = ✓ Trình bày lời giải Đặt ƯCLN 3n 3n 2;4n 2d 12n d 4n d 12n d 12n 12n d Suy ra: ƯCLN 3n Vậy x d (với d N ) suy ra: 1d 2;4n d 1 3n phân số tối giản, với n N 4n Ví dụ Tìm số hữu tỉ nhỏ ; 10 20 a) Có mẫu 15, lớn b) Có tử 4, lớn nhỏ Giải a) Gọi số hữu tỉ cần tìm Theo đề bài, ta có: 42 4x 4x x với x 15 x 15 10 20 40; 36; 32; 28 4x 60 Theo đề ta có: 3y y x 27 60 10; 9; 8; 10 ; ; ; 15 15 15 15 với y y Z 12 3y 12 14 15;18;21;24;27 y b) Gọi số hữu tỉ cần tìm 3y 14 42 60 27 Vậy số hữu tỉ cần tìm là: 30 Z Vậy số hữu tỉ cần tìm 12 30 5;6;7;8;9 4 4 ; ; ; ; C Bài tập vận dụng 1.1 Trong phân số sau, phân số biểu diễn số hữu tỉ THCS.TOANMATH.com ? Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 ; ; ; ; 10 12 25 15 15 1.2 Viết số hữu tỉ sau dạng phân số với mẫu số dương 21 ; ; 11 10 1.3 Cho ba số hữu tỉ ; ; a) Viết ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương b) Viết ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương 1.4 Cho số hữu tỉ x m 10 Với giá trị m thì: 21 a) x số dương b) x số âm c) x không số dương không số âm 1.5 Cho số hữu tỉ x 14m 10 Với giá trị m thì: 2019 a) x số dương b) x số âm 1.6 Viết tập hợp số nguyên n cho số hữu tỉ sau có giá trị số nguyên a) n ; b) 1.7 Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x 2019 số nguyên a 3x có giá trị số nguyên x 1.8 Tìm số nguyên x để số hữu tỉ t 1.9 Chứng tỏ số hữu tỉ x n 2n phân số tối giản, với n N 7n 31 1.10 a) Cho hai số hữu tỉ c a b d b 0; d Chứng minh b) Áp dụng kết trên, so sánh số hữu tỉ sau: a b c ad d 22 12 ; và 25 11 13 bc 15 1.11 a) Cho hai số hữu tỉ a c b b d 0; d Chứng minh b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen hai số hữu tỉ a b a c b d a b c d c d 1.12 Cho a, b, m số nguyên b > 0; m > a) So sánh a a b b THCS.TOANMATH.com b) So sánh a a b b m m Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ; 11 c) So sánh 1.13 Cho số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn a b a b c c Chứng minh b a 1.14 Tìm số hữu tỉ: a) Có mẫu số 20, lớn nhỏ ; 14 14 nhỏ b) Có tử 2, lớn 12 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1.1 Những phân số biểu diễn số hữu tỉ 1.2 ; 11 21 ; 11 10 10 ; ; 10 25 15 21 10 1.3 a) Ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương 12 10 18 15 24 ; 20 14 21 ; 12 3 6 b) Ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương 72 ; 60 105 ; 60 40 60 1.4 a) x Vậy với m b) x Vậy với m m 10 21 m 10 0 m 10 10 số hữu tỉ x số dương m 10 21 m 10 0 m 10 10 số hữu tỉ x số âm c) x không số dương không số âm x Vậy với m m 10 21 m 10 0 m 10 10 số hữu tỉ x không số dương không số âm 1.5 a) x Vậy với m b) x 14m 10 2019 14m 10 14m 10 m 14m 10 m số hữu tỉ x số dương 14m 10 2019 14m 10 THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN số hữu tỉ x số âm Vậy với m 1.6 a) Ta có n Ư(5) mà Ư(5) Z n 1;5; 1; Suy bảng giá trị sau: Vậy với n b) Ta có: -1 -5 n -2 -6 0;4; 2; n Z Vậy với n 3k k 2019 a 1.7 n n Z n n 3k k Z Z Ư(-2019) a Mà Ư(-2019) n 63 Z Z n 1;3;673;2019; 1; 3; 673; 2019 Suy bảng giá trị sau: a a 673 2019 -1 -3 -673 -2019 -5 -3 667 2013 -7 -9 -679 -2025 Vậy với a 1.8 3x x x 5; 3;667;2013; 7; 9; 679; 2025 Z 3x x x x x Ư(7) mà Ư(7) 2019 số nguyên a 1;7; 1; Suy bảng giá trị sau: Vậy với x x -1 -7 x 12 -2 6;12;4; t 1.9 Đặt ƯCLN 2n 2n 9d 9;7n 31 3x x Z d d N 14n 63 d 7n 31 d 14n 62 d 14n 63 14n 62 d THCS.TOANMATH.com 1d d Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Suy ra: ƯCLN 2n Vậy x 9;7n 31 2n phân số tối giản với n N 7n 31 1.10 a b a) Quy đồng mẫu hai phân số, ta có: ad c bd d a b • Nếu • Nếu ad b) Ta có: 12 13 bc Vì b bd 0, d nên bd , đó: bc bc a suy bd b c d 22 12.25 13.22 25 15 Vì 15 a) Theo , ta có: Ta có: bc suy ad bd ad bd bc ad c ; bd d 15 11 , suy ra: 11 15 11 15 1.11 Từ (1) ta có: ab a b ad c , suy ad d ab bc Mặt khác, từ (1) ta lại có: ad a b Từ (2) (3) suy ra: a b bc (1) a b cd c d d bc a c b hay cd d a c a b c b a b c (2) d d hay a b c d c (3) d c d b) Theo câu a) ta có: 3 suy suy 7 10 ; 7 suy 11 ; Vậy ta có: 10 ; 11 b ab a b a b 1.12 a) Trường hợp Xét a a b b a Trường hợp Xét a a b b a b ab a b THCS.TOANMATH.com a a ab ab b b a b Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Vậy: Nếu a b Nếu a a b b a b a b a b b) Trường hợp Xét a a b m b a m b a ab a b m Trường hợp Xét a a b b b a b c) Áp dụng câu a), ta có Áp dụng câu b), 1.13 Ta có b Vì a b ab m c b am a b 9 c a 2b ab bm m m nên a nên a 2a am ab bm m m 7 hay 2a 2b b suy 11 11 a a 1.14 a) Gọi số hữu tỉ cần tìm Theo đầu bài, ta có: 50 7x 14 x với x 20 Z x 20 50 140 x 30 b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là: 10 16 10 5y 10 24 Vậy số hữu tỉ cần tìm là: 7x 140 30 140 7; 6; Vậy số hữu tỉ cần tìm là: Theo đầu bài, ta có: 14 ; ; 20 20 20 với y y y 16 12 5y Z, y y 24 y 12 4 THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chuyên đề CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ a ,y m Với x x a m y Với x b m a b m a ;y b a c b d x y b a, b, m m ;x Z, m ta có: a m y b m a b m c ta có: d ac ;x : y bd a c : b d a.d (với y b.c ) Các phép tốn Q có tính chất giao hốn, kết hợp phân phối phép nhân phép cộng tập hợp Z Ngoài quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế tập hợp Z B Một số ví dụ Ví dụ Thực phép tính: a) 18 ; b) 23 ; Giải ✓ Tìm cách giải Khi thực phép tính có phép cộng trừ, ta thực ngoặc trước, thực từ trái qua phải Tuy nhiên có nhiều dấu (-) ta giảm bớt dấu (-) cách bỏ ngoặc Ngồi dùng tính chất giao hoán kết hợp nhằm giải toán nhanh ✓ Trình bày lời giải a) 18 b) 23 18 23 18 2 18 3 18 6 18 23 12 18 ; 23 1 23 Ví dụ Thực phép tính a) 13 : 14 21 : ; 7 b) : 13 : 13 Giải ✓ Tìm cách giải Vì phép chia phép nhân số bị chia với số nghịch đảo số chia nên ta vận dụng tính chất phân phối: a:m b:m a:m b:m a b :m a b :m THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Xét ADC có góc KAC góc ngồi nên KAC = D + ACB = 90 + ACB Mặt khác, BCE = 90 + ACB nên KAC = BCE Ta có KAC = BCE (c.g.c)  C1 = E Vì C1 + C2 = 90 nên E + C2 = 90 Gọi G giao điểm BE với KC Xét GCE có E + C = 90 nên G = 90  BE ⊥ KC Chứng minh tương tự, ta có CF ⊥ AB Xét KBC có AD, BE, CF ba đường cao nên chúng đồng quy 21.11 (h.21.17) Tam giác EAB vuông E, A1 = 45 nên tam giác vuông cân Suy EA = EB Tương tự, ta có: FA = FC Từ F vẽ đường thẳng vng góc với CE cắt d1 G Gọi K giao điểm đường thẳng EG với BF THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ta có AFG = FCE (hai góc có cạnh tương ứng vng góc) AFG = FCE (g.c.g)  AG = FE AGE = EFB (c.g.c)  AGE = EFB Ta có AGE + AEG = 90  EFB + KEF = 90  EK ⊥ BF Xét EFG có CE, BF d1 ba đường cao ba đường thẳng đồng quy 21.12 (h.21.18) Tam giác ABC vuông A, AH ⊥ BC nên BAH = ACB (cùng phụ với góc ABC) Ta có CAH = ABC (cùng phụ với ACB ) Xét AFC có AFB góc ngồi nên AFB = FAC + FCA = FAH + BAH = FAB Suy BAF cân B đường phân giác góc B đường trung trực AF Chứng minh tương tự ta CAE cân C đường phân giác góc C đường trung trực AE Ta có d / / AH mà AH ⊥ EF nên d ⊥ EF Mặt khác, ME = MF nên d đường trung trực EF Xét AEF có đường phân giác góc B, góc C với đường thẳng d ba đường trung trực nên chúng đồng quy 21.13 (h.21.19) Ta có CAD = ACD  DAC cân  DC = DA (1) Tam giác ABC vuông A  ABC + ACB = 90 Mặt khác, BAD + CAD = 90 mà ACB = CAD nên ABC = BAD Do DAB cân  DB = DA (2) Từ (1) (2) suy DC = DB Vậy D trung điểm BC Xét ABE vuông A có AE = BE − AB2 = 25 − 16 =  AE = ( cm )  E trung điểm AC THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Xét AFC vng A có AF = CF − AC = ( 40 ) − 2 =4  AF = ( cm )  F trung điểm AB Xét ABC có AD, BE, CF ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy 21.14 (h.21.20) Tam giác ABH vng H, có HM đường trung tuyến nên HM = Suy DM = AB AB (vì HM = DM ) Do DAB vng D Tam giác ABC có BD vừa đường phân giác vừa đường cao nên tam giác cân B  BA = BC (1) dẫn tới DA = DC Xét HAC HAB vng H có HD = 1 AC; HM = AB mà HD = HM nên AC = AB (2) 2 Từ (1) (2) suy AB = BC = CA ABC Trong tam giác ABC, đường cao AH, đường trung tuyến CM đường phân giác Suy AH, BD, CM đồng quy THCS.TOANMATH.com Trang 10 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chuyên đề 22 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC A Kiến thức cần nhớ  Để chứng minh hai đoạn thẳng hai góc khơng ta có thể: Dùng quan hệ góc cạnh đối tam giác (h.22.1) ABC : AC  AB  B = C Suy tam giác tù (hoặc tam giác vng) cạnh góc tù (hoặc góc vng) cạnh lớn Dùng quan hệ góc cạnh đối hai tam giác có hai cặp cạnh (h.22.2) ABC A ' B ' C ' có: AB = A ' B '; AC = A ' C ' Khi đó: BC  B ' C '  A  A ' Dùng quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu AH ⊥ a, B, M  a (h.22.3) Khi đó:  AM  AH (dấu “=” xảy  M  H )  AM  AB  HM  HB Dùng bất đẳng thức tam giác (h.22.4) ABC : b−c  a  b+c Mở rộng: Với ba điểm A, B, C ta có: AB  AC + CB (dấu " = " xảy  C thuộc đoạn thẳng AB)  Tìm giá trị lớn độ dài đoạn thẳng AB thay đổi Ta phải chứng minh AB  a (số a không đổi) rõ dấu " = " xảy Khi giá trị lớn độ dài AB a Ta viết maxAB = a  Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB thay đổi Ta phải chứng minh AB  b (số b không đổi) rõ dấu " = " xảy Khi giá trị nhỏ độ dài AB b Ta viết minAB = b THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN B Một số ví dụ Ví dụ Tam giác ABC có C  B Vẽ đường trung tuyến AM Trên tia đổi tia MA lấy điểm D Chứng minh AB + CD  AC + BD Giải (h.22.5) * Tìm cách giải Để chứng minh AB + CD  AC + BD ta chứng minh AB  AC CD  BD Sau cộng vế hai bất đẳng thức * Trình bày lời giải Tam giác ABC có ACB  ABC suy AB  AC (1) Xét AMB AMC có: MB = MC; AM chung; AB  AC nên AMB  AMC Suy CMD  BMD Xét CMD BMD có: MC = MB; MD chung; CMD  BMD nên CD  BD (2) Từ (1) (2), suy ra: AB + CD  AC + BD * Nhận xét: Nếu a  b c  d a + c  b + d Ví dụ Cho tam giác ABC có B  90 Gọi O trung điểm BC Vẽ BD ⊥ AO; CE ⊥ AO ( D, E thuộc đường thẳng AO) Chứng minh AB  AD + AE Giải (h.22.6) * Tìm cách giải Ta có AB  AD + AE  AB  AD + AE Để chứng minh 2AB  AD + AE ta biểu diễn AB theo hai cách khác dùng tính chất cộng vế hai bất đẳng thức chiều có 2AB * Trình bày lời giải Ta có BOD = COE (cạnh huyền-góc nhọn)  OD = OE Xét AOB có B  90 nên OA cạnh lớn nhất, AB  AO (*) Suy AB  AD + OD (1) Từ (*) ta được: AB  AE − OE (2) Từ (1) (2) suy ra: AB  AD + OD + AE − OE Do 2AB  AD + AE (vì OD = OE ) THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Vậy AB  AD + AE Ví dụ Cho đoạn thẳng AB trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax By vng góc với AB Lấy điểm E  Ax, điểm F  By cho EOF = 90 Đặt AOE = m Xác định giá trị m để EF có độ dài ngắn Giải (h.22.7) * Tìm cách giải Vẽ EH ⊥ By Dễ thấy EF  EH = AB (khơng đổi) Ta cần tìm giá trị m để dấu " = " xảy Khi minEF = AB * Trình bày lời giải Vẽ EH ⊥ By Theo tính chất đoạn chắn song song ta EH = AB AE = BH Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có EF  EH , EF  AB Dấu " = " xảy  F  H  AE = BF  AOE = BOF  AOE = BOF = 45 (vì AOE + BOF = 90) Vậy EF có độ dài ngắn (bằng độ dài AB) AOE = 45, tức m = 45 Ví dụ Cho góc nhọn xOy điểm A góc Xác định điểm M tia Ox, điểm N tia Oy cho OM = ON tổng AM + AN nhỏ Giải (h.22.8) * Tìm cách giải Xét ba điểm A, M, N ta có AM + AN  MN độ dài MN lại thay đổi Do khơng thể kết luận tổng AM + AN có giá trị nhỏ độ dài MN Ta phải thay tổng AM + AN tổng hai đoạn thẳng có tổng lớn độ dài đoạn thẳng cố định Muốn ta cần vẽ thêm hình phụ để tạo thêm điểm E cố định * Trình bày lời giải Trên nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa A vẽ tia Ot cho yOt = AOx Trên tia Ot lấy điểm E cho OE = OA Như hai điểm A E cố định, đoạn thẳng AE có độ dài khơng đổi Ta có AOM = EON (c.g.c)  AM = EN Do AM + AN = EN + AN Gọi F giao điểm AE với tia Oy THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Xét ba điểm N, A, E ta có: EN + AN  AE (dấu " = " xảy  N  F ) Vậy AM + AN = AE N  F Điểm M  Ox cho OM = ON C Bài tập vận dụng • Quan hệ cạnh góc đối tam giác 22.1 Cho tam giác ABC, A = 60 Chứng minh BC  AB3 + AC 22.2 Cho tam giác ABC, AB  AC Vẽ ngồi tam giác tam giác vng cân A ABE ACF Gọi D trung điểm BC Chứng minh DE  DF 22.3 Cho tam giác ABC, A  90 AB = B BC Chứng minh C  2 22.4 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh AM  BC góc A nhọn 22.5 Cho tam giác ABC điểm D nằm tam giác Chứng minh bốn điểm A, B, C, D tồn ba điểm ba đỉnh tam giác có góc lớn 29 • Quan hệ đường vng góc đường xiên 22.6 Cho điểm A nằm đường thẳng a Lấy điểm B  a Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng a C Xác định vị trí điểm B đế BC có độ dài nhỏ 22.7 Cho tam giác ABC cân A, BC = a Gọi O điểm đáy BC Qua O vẽ đường thẳng song song với hai cạnh bên, cắt AB AC M N Tìm độ dài nhỏ MN 22.8 Cho tam giác ABC cạnh dài 4cm Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = CE Tính độ dài nhỏ DE 22.9 Cho tam giác ABC, B = 45; C = 30 AC = 52cm Điểm M nằm B C Tính giá trị lớn tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM 22.10 Chứng minh tam giác có góc  tổng hai cạnh kề góc 2a tam giác cân có góc đỉnh  tam giác có chu vi nhỏ • Bất đẳng thức tam giác 22.11 Cho tam giác ABC Gọi xy đường phân giác góc ngồi đỉnh C Tìm xy điểm M cho tổng MA + MB ngắn 22.12 Cho tam giác ABC có AB = 12; AC = 16 Gọi M điểm mặt phẳng Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 7MA + 3MB + 4MC 22.13 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh tổng HA + HB + HC nhỏ chu vi tam giác ABC THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 22.14 Cho tam giác ABC vng cân A, AB = a Tìm điểm M cho tam giác MAC cân M, đồng thời tổng MA + MB nhỏ Tìm giá trị nhỏ 22.15 Cho đường thẳng xy tam giác ABC có cạnh AB nằm nửa mặt phẳng bờ xy đỉnh C di động xy Biết AB = 13cm, khoảng cách từ A B đến xy 2cm 7cm Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC 22.16 Một hộp gỗ hình lập phương cạnh dài 20cm Đáy ABCD đặt áp sát mặt bàn Nắp hộp A ' B ' C ' D ' mở dựng đứng lên (h.22.9) Một kiến đỉnh A muốn bò tới đỉnh C ' cách vượt qua cạnh A ' B ' phải bị quãng đường ngắn bao nhiêu? Hướng dẫn giải 22.1 (h.22.10)  Nếu B = C ABC cân, A = 60 nên ABC Do AB = BC = CA Suy AB3 = BC = CA3 Vậy BC  AB3 + CA3  Nếu B  C B  60 (vì B + C = 120) Do A  B  BC  AC Suy BC  AB3 + CA3  Nếu B  C, chứng minh tương tự, ta được: BC  AB3 + CA3 22.2 (h.22.11) Theo định lí Py-ta-go ta có BE2 = AB2 ,CF2 = AC2 mà AB  AC nên BE  CF Dễ thấy ABF = AEC (c.g.c) Suy BF = CE THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Xét CBE BCF có: BC chung, CE = BF, BE  CF nên ECB  FBC hay ECD  FBD Xét ECD FBD có: CE = BF, DC = DB ECD  FBD Do DE  DF (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) 22.3 (h.22.12) Vẽ đường trung trực BC cắt BC M, cắt AC N Ta có NB = NC; NBC cân  C = NBC   BAM có BA = BM  = BC  nên tam giác cân   Suy A1 = M1 , mà BAN  90, BMN = 90 nên MAN  AMN  MN  AN (quan hệ cạnh đối tam giác) MBN ABN có BM = BA, BN chung MN  AN Do MBN  ABN (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) Suy MBN + MBN  ABN + MBN Do 2MBN  ABC  2C  B (vì C = MBN )  C  B 22.4 (h.22.13) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA ABM = DCM (c.g.c)  AB = CD A1 = D Do AB / /CD  BAC + DCA = 180 (cặp góc phía) (*) • Chứng minh mệnh đề: “Nếu góc A nhọn AM  Nếu AM = BC " BC 2AM = BC AD = BC BAC = DCA (c.c.c)  BAC = DCA = 180 : = 90, trái giả thiết Nếu AM  BC 2AM  BC AD  BC BAC DCA có: AB = CD; AC chung BC  AD Do BAC  DCA Từ (*) suy BAC  90, trái giả thiết THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Vậy A nhọn AM  BC • Chứng minh mệnh đề: "Nếu AM  BC góc A nhọn." Nếu A = 90 từ (*) suy DCA = 90 BAC = DCA (c.g.c)  BC = AD hay AM = BC , trái giả thiết Nếu A  90 từ (*) suy DCA  90 Vậy BAC  DCA BAC DCA có: AB = CD; AC chung BAC  DCA Do BC  AD hay BC  AM tức AM  Vậy AM  BC , trái giả thiết BC góc A nhọn 22.5 (h.22.14) Vẽ đoạn thẳng DA, DB, DC Ta có ADB + BDC + CDA = 360 Suy tồn góc có số đo nhỏ 120 (vì ba góc lớn 120 tổng chúng lớn 360, vơ lí) Giả sử góc góc BDC Xét BDC có BDC  120, suy DBC + DCB  60 Do tồn góc lớn 30  29 Vậy ba điểm cần tìm B, C, D 22.6 (h.22.15) Gọi M trung điểm BC H hình chiếu A đường thẳng a Khi AH có độ dài khơng đổi Ta có ABC vng A nên AM = BC hay BC = AM  AH (quan hệ đường vng góc với đường xiên) Do BC có độ dài nhỏ 2AH  M  H  ABH vuông cân Ta xác định điểm B sau: THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN - Dựng AH ⊥ BC; - Trên đường thẳng a đặt HB = HA (h.22.16) 22.7 (h.22.17) Vẽ MH ⊥ BC, NK ⊥ BC, NI ⊥ MH Khi IN = HK IH = NK (tính chất đoạn chắn song song) Ta có OM / / AC  BOM = C = B Do MBO cân M, từ ta HB = HO a Tương tự ta có KC = KO Suy HK = BC = 2 Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có a MN  IN = HK = Dấu " = " xảy  M  I (h.21.18)  MH = NK  MHB = NKC  BH = CK  OH = OK  OB = OC  O trung điểm BC Vậy MN = a O trung điểm BC 22.8 (h.22.19) Vẽ DH ⊥ BC, EK ⊥ BC, DF ⊥ EK Ta có DF = HK (tính chất đoạn chắn song song) Các tam giác vng HBD KCE có 1 D = E = 30 nên BH = BD; CK = CE 2 Do BH + CK = 1 BD + CE ) = ( BD + AD ) = AB = 2cm ( 2 Suy HK = 2cm Ta có DE  DF = HK = 2cm Dấu " = " xảy  E  F  DH = EK  HBD = KCE  BD = CE  BD = AD  D trung điểm AB (khi E trung điểm AC) Vậy độ dài nhỏ DE 2cm D E trung điểm AB AC 22.9 (h.22.20) Vẽ BD ⊥ AM , CE ⊥ AM ( D, E  AM ) Ta có BD  BM, CE  CM (quan hệ đường vng góc đường xiên) THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Do BD + CE  BM + CM = BC (dấu " = " xảy  D E trùng với M  AM ⊥ BC ) Vậy tổng BD + CE có giá trị lớn độ dài BC • Tính độ dài BC (h.22.21) Vẽ AH ⊥ BC AHC vng H có C = 30 nên AH = AC = 52 : = 26 ( cm ) Ta có HC = AC − AH = 522 − 262 = 2028  HC  45 ( cm ) Xét ABH vng H, có B = 45 nên tam giác vuông cân  BH = AH = 26cm Do BC = 26 + 45 = 71( cm ) Vậy giá trị lớn tổng BD + CE 71cm M hình chiếu A BC 22.10 (h.22.22) Xét ABC có A =  AB + AC = 2a Ta phải chứng minh AB = AC = a chu vi ABC nhỏ Thật vậy, giả sử AB  AC Trên tia AB lấy điểm B ', tia AC lấy điểm C ' cho AB ' = AC ' = a Khi B ' C ' điểm cố định B ' C ' có độ dài khơng đổi Ta có AB + AC = AB '+ AC ' = 2a Do AB + ( AC '+ C ' C ) = ( AB + BB ' ) + AC '  CC ' = BB ' Vẽ BH ⊥ B ' C ' CK ⊥ B ' C ' BB ' H = CC ' H (cạnh huyền, góc nhọn)  HB ' = KC ' HK = B ' C ' (1) Gọi M giao điểm BC B ' C ' Ta có MH  MB; MK  MC  MH + MK  MB + MC hay HK  BC (2) Từ (1) (2) suy BC  B ' C ' Ta có chu vi ABC = AB + BC + CA  2a + B ' C ' (không đổi) Dấu " = " xảy  B '  B C '  C Vậy chu vi ABC nhỏ AB = AC = a, tức ABC cân A 22.11 (h.22.23) Vẽ AH ⊥ xy, tia AH cắt đường thẳng BC D Khi BD khơng đổi CHA = CHD (g.c.g)  HA = HD  xy đường trung trực AD Gọi M điểm xy THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ta có MA = MD (tính chất điểm nằm đường trung trực) Do MA + MB = MD + MB  BD (dấu " = " xảy  M  C ) Vậy tổng MA + MB ngắn BD M  C 22.12 (h.22.24) Ta có S = 7MA + 3MB + 4MC = ( MA + MB ) + ( MA + MC )  AB + AC = 3.12 + 4.16 = 100 Dấu " = " xảy  M thuộc đoạn thẳng AB AC  M  A Vậy minS = 100 M  A 22.13 (h.22.25) Từ H vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC D; đường thẳng song song với AC cắt AB E Theo tính chất đoạn thẳng song song ta có AD = HE, AE = HD Vì HB ⊥ AC nên HB ⊥ HE  HB  BE (quan hệ đường vng góc đường xiên) Chứng minh tương tự ta HC  CD Xét AHD có HA  AD + DH (bất đẳng thức tam giác) Suy HA + HB + HC  ( AD + DH ) + BE + CD = ( AD + AE ) + BE + CD = ( AD + CD ) + ( AE + BE ) = AC + AB (1) Chứng minh tương tự, ta được: HA + HB + HC  AB + BC (2) HA + HB + HC  BC + CA (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ( HA + HB + HC )  ( AB + BC + CA ) Do HA + HB + HC  ( AB + BC + CA) 22.14 (h.22.26) Tam giác ABC vuông cân A nên theo định lí Py-ta-go ta tính BC = a Tam giác MAC cân M  MA = MC M nằm đường trung trực d AC Xét tổng MA + MB = MC + MB  BC = a THCS.TOANMATH.com Trang 10 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Dấu " = " xảy M  O với O giao điểm d với cạnh BC Vậy giá trị nhỏ tổng MA + MB a M  O * Nhận xét: Ta thấy MA + MB  AB = a, khơng có vị trí M để dấu " = " xảy Vì kết luận ( MA + MB ) = a 22.15 (h.22.27)  Xác định vị trí C để chu vi tam giác ABC nhỏ Chu vi ABC CA + CB + AB Do AB cố định nên chu vi ABC nhỏ  CA + CB nhỏ Vẽ AH ⊥ xy Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD = HA Khi BD đoạn thẳng cố định Gọi C ' điểm xy AHC ' = DHC ' (c.g.c)  C ' A = C ' D Xét ba điểm BDC’ ta có C ' B + C ' D  BD (dấu " = " xảy  C '  C với C giao điểm BD với xy) Do C ' B + C ' D nhỏ BD C '  C Suy C giao điểm BD với xy chu vi ABC nhỏ • Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC Vẽ BK ⊥ xy, BI ⊥ AH ta tính IH = 7cm; IA = 5cm ID = 9cm Áp dụng định lí Py-ta-go vào IAB vng I ta có: BI = AB − IA2 = 132 − 52 = 144 Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông IDB, ta BD2 = IB2 + ID2 = 144 + 92 = 225  BD = 15 ( cm ) Vậy giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC CA + CB + AB = BD + AB = 15 + 13 = 28 ( cm ) 22.16 (h.22.28) Gọi M điểm cạnh A ' B ' mà kiến phải qua bò từ A đến C ' Mở nắp hộp A ' B ' C ' D ' đứng lên đến vị trí A ' B ' C1D1 Xét ba điểm A, M, C1 ta có MA + MC1  AC1 Dấu  " = " xảy  M trùng với giao điểm O AC1 với cạnh A ' B '  A ' AM = B ' C1M (g.c.g)  MA ' = MB '  M trung điểm A ' B ' Ta có AC12 = AB + BC12 = 202 + 402 = 2000  AC1 = 2000  44,7 ( cm ) THCS.TOANMATH.com Trang 11 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Vậy quãng đường ngắn mà kiến phải bò 44,7cm kiến bò qua trung điểm M cạnh A ' B ' theo hành trình: đoạn thẳng AM đoạn thẳng MC ' THCS.TOANMATH.com Trang 12 ... có: 373 7 = 373 6. 37 = ( 374 ) 37 Ta có 374 tận nên ( 374 ) tận Suy ( 37 ) 37 tận Do 633 − 373 7 tận Vậy 633 − 373 7 chia hết cho 10 ( (7 ) b) 2100 + + 22 = 2100 .7 chia hết cho c) 79 8 ) − − = 79 8.41... THCS.TOANMATH.com 0,42 : 0,525 0,15 0,525 0, 675 Trang 16 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 3.15 a) 7, 3.10,5 7, 3.15 2 ,7. 10,5 15.2 ,7 7,3 10,5 15 2 ,7 10,5 15 7, 3.25,5 2 ,7. 25,5... 53 + 52 +  5.B − B = 52021 −  B = 52021 − c) Xét 49.A = 72 023 − 72 021 + 72 019 − 72 0 17 + + 77 − 75 + 73  49.C + C = 72 023 +  C = 72 023 + 50 Ví dụ 5: Chứng minh tổng: S = 1 1 1 − + − + n