Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12

PHƯƠNG TRÌNH HÀM Nguyễn Hoàng Ngải Tổ trưởng tổ Toán THPT Chuyên Thái Bình Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia,[r]

http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc PhÇn thø nhÊt : C¸c Chuyªn §Ò PHƯƠNG TRÌNH HÀM Nguyễn Hoàng Ngải Tổ trưởng tổ Toán THPT Chuyên Thái Bình Một chuyên đề quan trọng việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm, bất phương trình hàm Có nhiều tài liệu viết chuyên đề này Qua số năm bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia và qua số kì tập huấn hè Đại học khoa học tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, chúng tôi rút số kinh nghiệm dạy chuyên đề này và trao đổi với các đồng nghiệp Phần I: NHẮC LẠI NHỮNG KHÁI NIÊM CƠ BẢN Nguyên lý Archimede Hệ quả: ∀x ∈ ⇒ ∃!k ∈ : k ≤ x < k + Số k gọi là phần nguyên x, kí hiệu [x] Vậy : [ x ] ≤ x < [ x ] + Tính trù mật Tập hợp A ⊂ x<a<y Chú ý: • Tập gọi là trù mật ⇔ ∀x, y ∈ , x < y tồn a thuộc A cho trù mật ⎧m ⎫ Tập A = ⎨ n |m ∈ , n ∈ ⎬ trù mật ⎩2 ⎭ Cận trên cận • Giả sử A ⊂ Số x gọi là cận trên tập A với a ∈ A thì a ≤ x Số x gọi là cận tập A với a ∈ A thì a ≥ x Cận trên bé nhất( có) A gọi là cận trên đúng A và kí hiệu là supA Cận lớn nhất( có) A gọi là cận đúng A và kí hiệu là infA Nếu supA ∈ A thì sup A ≡ maxA Nếu inf A ∈ A thì infA ≡ minA Ví dụ: cho a < b Nếu A = (a, b) thì sup A = b inf A = a Nếu A = [a, b] thì sup A = max A =b inf A = A = a Tính chất: Tính chất 1: Nếu A ≠ ∅ , A bị chặn thì tồn supA, infA Page of 108 Lop12.net WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Tính chất 2: ⎧a ≤ α , ∀a ∈ A ⎩∀ε > 0, ∃a ∈ A : α − ε < a α = sup A ⇔ ⎨ ⎧a ≥ β , ∀a ∈ A ⎩∀ε > 0, ∃a ∈ A : β + ε > a β = infA ⇔ ⎨ Hàm sơ cấp ¾ Hàm số sơ cấp là các hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược ¾ Hàm số sơ cấp là hàm tạo thành hữu hạn các phép toán số học ( +, - , x, : ), phép toán lấy hàm hợp các hàm số sơ cấp Hàm cộng tính, nhân tính trên tập hợp ™ Hàm số f(x) gọi là cộng tính trên tập xác định D với x, y ∈ D thì x + y ∈ D và f(x + y) = f(x) + f(y) ™ Hàm số f(x) gọi là nhân tính trên tập xác định D với x, y ∈ D thì x y ∈ D và f(x y) = f(x) f(y) ™ Nếu với x, y ∈ D mà x+y ∈ D , x – y ∈ D và f( x – y) = f(x) – f(y) thì f(x) gọi là hàm cộng tính trên D ™ Hàm f(x) = ( là hàm nhân tính Hàm đơn điệu • Hàm số f(x) gọi là tăng trên (a, b) : Với x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) • Hàm số f(x) gọi là giảm trên (a, b) : Với x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Phần II CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG Phương pháp 1: Hệ số bất định Tạp chí toán học nhà trường, số – 2004 trang 62 – 66 (bản tiếng Nga) Nguyên tắc chung: Dựa vào điều kiện bài toán, xác định dạng f(x), thường là f(x) = ax + b f(x) = ax2+ bx + c Đồng hệ số để tìm f(x) Chứng minh hệ số khác f(x) không thỏa mãn điều kiện bài toán Phương pháp dồn biến → cho: Bài 1: Tìm f: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = xy.( x − y ), ∀x, y ∈ Giải: u+v ⎧ x= ⎧u = x + y ⎪⎪ Đặt ⇒⎨ ⎨ ⎩v = x − y ⎪y = u − v ⎪⎩ Lop12.net WWW.MATHVN.COM Page of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc ⇒ vf (u ) − uf (v) = (u − v )uv f (u ) f (v) ⇒ −u = − v , ∀u, v ≠ u v Cho v = ta có: f (u ) f (1) − u2 = − , ∀u ≠ u ⇒ f (u ) = u + au, ∀u ≠ (a = f(1) – 1) Cho x = y = ta có 2f(0) = đó f(0) = Kết luận f ( x) = x3 + ax, ∀x ∈ 2 ⎛ x −1 ⎞ Bài 2: f ( x − 1) − f ⎜ ⎟ = − x, ∀x ≠ ⎝ 1− 2x ⎠ Giải : x −1 y 1− y = y −1 ⇒ x = ⇒ x −1 = Đặt : − 2x y −1 y −1 ⎛ 1− y ⎞ −1 , ∀y ≠ ⇒ f⎜ ⎟ − f ( y − 1) = y −1 ⎝ y −1 ⎠ −1 ⎛ x −1 ⎞ , ∀x ≠ ⇒ f⎜ ⎟ − f ( x − 1) = 2x −1 ⎝ 1− 2x ⎠ ⎧ ⎛ x −1 ⎞ ⎪ f ( x − 1) − f ⎜ − x ⎟ = − x, ∀x ≠ ⎪ ⎝ ⎠ ⇒⎨ ⎪⇒ f ⎛ x − ⎞ − f ( x − 1) = −1 , ∀x ≠ ⎜ ⎟ ⎪⎩ 2x −1 ⎝ 1− 2x ⎠ ⇒ −8 f ( x − 1) = − x + 1− 2x 1⎛ ⎞ ⇒ f ( x − 1) = ⎜ −1 + x + ⎟ , ∀x ≠ 8⎝ 2x −1 ⎠ 1⎛ ⎞ ⇒ f ( x) = ⎜ + x + ⎟ , ∀x ≠ 8⎝ 2x +1 ⎠ Ví dụ 1: Đa thức f(x) xác định với ∀x ∈ và thỏa mãn điều kiện: f ( x) + f (1 − x) = x , ∀x ∈ (1) Tìm f(x) Giải: Ta nhận thấy vế trái biểu thức dấu f là bậc : x, – x vế phải là bậc hai x2 Vậy f(x) phải có dạng: f(x) = ax2 + bx + c Khi đó (1) trở thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ đó: 3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ Đồng các hệ số, ta thu được: ⎧ a = ⎪ ⎧3a = ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨b = ⎨b − 2a = ⎪a + b + 3c = ⎪ ⎩ ⎪ ⎪c = − Page of 108 ⎩ Lop12.net WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc f ( x) = ( x + x − 1) Thử lại ta thấy hiển nhiên f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán Công việc còn lại ta phải chứng minh hàm số khác f(x) không thỏa mãn điều kiện bài toán Thật giả sử còn hàm số g(x) khác f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán Do f(x) không trùng với g(x) nên ∃x0 ∈ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) Do g(x) thỏa mãn điều kiện bài toán nên: g ( x) + g (1 − x) = x , ∀x ∈ Thay x x0 ta được: g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 Vậy Thay x –x0 ta g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) Từ hai hệ thức này ta được: g ( x0 ) = ( x0 + x0 − 1) = f ( x0 ) Điều này mâu thuẫn với g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) Vậy phương trình có nghiệm là f ( x) = ( x + x − 1) Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) xác định , liên tục với ∀x ∈ và thỏa mãn điều kiện: f(f(x)) = f(x) + x , ∀x ∈ Hãy tìm hai hàm số (Bài này đăng trên tạp chí KVANT số năm 1986, bài M 995 – tiếng Nga) Giải Ta viết phương trình đã cho dạng f(f(x)) – f(x) = x (1) Vế phải phương trình là hàm số tuyến tính vì ta nên giả sử hàm số cần tìm có dạng : f(x) = ax + b Khi đó (1) trở thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ hay (a2 –a )x + ab = x, ∀x ∈ đồng hệ số ta được: ⎧ ⎧ ⎧a − a = ⎪a = + ⎪a = − ⇔⎨ ⎨ ∨⎨ ⎩ab = ⎪b = ⎪b = ⎩ ⎩ Ta tìm hai hàm số cần tìm là: 1± f ( x) = x Hiển nhiên thỏa mãn điều kiện bài toán Ví dụ 3: Hàm số f : → thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a ) f ( f (n)) = n, ∀n ∈ (1) b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ (2) c) f (0) = (3) Tìm giá trị f(1995), f(-2007) (olympic Ucraina 1995) Giải: Cũng nhận xét và lý luận các ví dụ trước, ta đưa đến f(n) phải có dạng: f(n) = an +b Khi đó điều kiện (1) trở thành: a n + ab + b = n, ∀n ∈ Đồng các hệ số, ta được: ⎧a = ⎧a = ⎧a = −1 ⇔⎨ ∨⎨ ⎨ Lop12.net ⎩b = ⎩b = ⎩ab + b = WWW.MATHVN.COM Page of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc ⎧a = Với ⎨ ta f(n) = n ⎩b = Trường hợp này loại vì không thỏa mãn (2) ⎧a = −1 Với ⎨ ta f(n) = -n + b ⎩b = Từ điều kiện (3) cho n = ta b = Vậy f(n) = -n + Hiển nhiên hàm số này thỏa mãn điều kiện bài toán Ta phải chứng minh f(n) = -n +1 là hàm thỏa mãn điều kiện bài toán Thật giả sử tồn hàm g(n) khác f(n) thỏa mãn điều kiện bài toán Từ (3) suy f(0) = g(0) = Từ (3) suy f(1) = g(1) = Sử dụng điều kiện (1) và (2) ta nhận được: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈ đó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈ Giả sử n0 là số tự nhiên bé làm cho f (n0 ) ≠ g (n0 ) Do f(n) thỏa mãn (4) nên ta có: g (n0 − 2) = g (n0 ) + = f (n0 ) + = f (n0 − 2) ⇔ g (n0 − 2) = f (n0 − 2) Mâu thuẫn với điều kiện n0 là số tự nhiên bé thỏa mãn (5) Vậy f(n) = g(n) , ∀n ∈ Chứng minh tương tự ta f(n) = g(n) với n nguyên âm Vậy f(n) = – n là nghiệm Từ đó tính f(1995), f(-2007) Các bài tập tương tự: Bài 1: Tìm tất các hàm số f : → thỏa mãn điều kiện: f ( x + y ) + f ( x − y ) − f ( x) f (1 + y ) = xy (3 y − x ), ∀x, y ∈ Đáp số f(x) = x3 Bài 2: Hàm số f : → thỏa mãn điều kiện f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ Tìm f(2005) Đáp số : 2006 Bài 3: Tìm tất các hàm f : → cho: f ( f (n)) + ( f (n)) = n + 3n + 3, ∀n ∈ Đáp số : f(n) = n + Bài 4: Tìm các hàm f : → : ⎛ x −1 ⎞ ⎛ 1− x ⎞ ⎧ ⎫ 3f ⎜ , ∀x ∉ ⎨0, − ,1, ⎬ ⎟−5 f ⎜ ⎟= ⎝ 3x + ⎠ ⎝ x − ⎠ x −1 ⎩ ⎭ 28 x + Đáp số : f ( x) = 5x Bài 5: Tìm tất các đa thức P(x) ∈ [ x ] cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x, y ∈ Đáp số : P(x) = x3 + cx Phương pháp xét giá trị Bài 1: Tìm f : → thỏa mãn: 1 f ( xy ) + f ( yz ) − f ( x ) f ( yz ) ≥ Lop12.net , ∀x , y , z ∈ 2 WWW.MATHVN.COM Page of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Giải: Cho x= y = z = 0: 1 f (0) + f (0) − f (0) ≥ 2 ⇔ ( f (0) − ) ≤ ⇔ f (0) = Cho y = z = 0: 1 1 + − f ( x) ≥ , ∀x ∈ 4 ⇔ f ( x) ≤ , ∀x ∈ Cho x= y = z = 1 1 f (0) + f (1) − f (1) ≥ 2 ⇔ ( f (1) − ) ≤ ⇔ f (1) = Cho y = z = 1 1 f ( x) + f ( x) − f ( x ) ≥ 2 ⇔ f ( x) ≥ , ∀x ∈ (1) (2) Từ ( 1) và (2) ta có f(x) = Bài 2: Tìm f : (0,1) → thỏa mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y , z ∈ (0,1) Giải : Chọn x = y = z: f(x3) = 3xf(x) f(x6) = x2 f(x2) Thay x, y, z x2 Mặt khác f(x6) = f(x x2 x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3) 2 Hay x f(x ) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x) 3x3 + ⇒ f ( x2 ) = f ( x), ∀x ∈ Thay x x3 ta : 3x9 + f ( x ), ∀x ∈ ⇒ f (x ) = 3x9 + xf ( x), ∀x ∈ ⇒ 3x2 f ( x2 ) = 3x3 + 3x9 + xf ( x), ∀x ∈ f ( x) = ⇒ 3x2 2 ⇒ f ( x) = 0, ∀x ≠ Vậy f(x) = với x Phương pháp 2: Sử dụng tính chất nghiệm đa thức (Bài giảng Tiến sỹ Nguyễn Vũ Lương – ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội) Ví dụ 1: Tìm P(x) với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức: ( x3 + 3x + x + 2) P( x − 1) = ( x3 − 3x Lop12.net + 3x − 2) P( x), ∀x (1) WWW.MATHVN.COM Page of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Giải: (1) ⇔ ( x + 2)( x + x + 1) P( x − 1) = ( x − 2)( x − x + 1) P( x), ∀x Chọn : x = −2 ⇒ P ( −2) = x = −1 ⇒ P (−1) = x = ⇒ P (0) = x = ⇒ P (1) = Vậy P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x) Thay P(x) vào (1) ta được: ( x + 2)( x + x + 1)( x − 1)( x − 2) x ( x + 1)G ( x − 1) = ( x − 2)( x − x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2)G ( x), ∀x 2 ⇒ ( x + x + 1) G ( x − 1) = ( x − x + 1)G ( x), ∀x G ( x − 1) G ( x) , ∀x = 2 x − x +1 x + x +1 G ( x − 1) G ( x) , ∀x ⇔ = 2 ( x − 1) + ( x − 1) + x + x + ⇔ G ( x) (x ≠ 0, ± 1, -2) x + x +1 ⇒ R ( x ) = R ( x − 1) (x ≠ 0, ± 1, -2) Đặt R( x) = ⇒ R( x) = C Vậy P( x) = C ( x + x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2) Thử lại thấy P(x) thỏa mãn điều kiện bài toán Chú ý : Nếu ta xét P(x) = (x3 + 1)(x – 1) Thì P(x + 1) = (x3 + 3x2 + 3x + 2)x Do đó (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) Từ đó ta có bài toán sau Ví dụ 2: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức: (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) với x Giải ví dụ này hoàn toàn không có gì khác so với ví dụ Tương tự trên ta xét: P(x) = (x2 + 1)(x2 – 3x + 2) Ta có bài toán sau: Ví dụ 3: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn đẳng thức: (4 x + x + 2)(4 x − x) P( x) = ( x + 1)( x − 3x + 2) P (2 x + 1), ∀x ∈ Các bạn có thể theo phương pháp này mà tự sáng tác các đề toán cho riêng mình Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp sai phân để giải phương trình hàm Trước hết ta nhắc lại khái niệm dãy số Dãy số là hàm đối số tự nhiên: x: → n x(n) Vì n ∈ {0,1, 2,3, } ⇒ ( xn ) = { xo , x1 , x2 , } Định nghĩa sai phân Xét hàm x(n) = xn Sai phân cấp hàm xn là Sai phân câp hàm xn là WWW.MATHVN.COM xn = xn +1 − xn Lop12.net Page of 108 xn = xn +1 − xn = xn + − xn +1 + xn www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc k Sai phân câp k hàm xn là k xn = ∑ (−1)i Cki xn + k −i i =0 Các tính chất sai phân Sai phân các cấp biểu thị qua các giá trị hàm số 9 Sai phân có tính tuyến tính: k k Δ (af + bg ) = aΔ f + bΔ k g Nếu xn đa thức bậc m thì: Là đa thức bậc m – k m> k Δ k xn Là số Là m= k m<k Ví dụ : Xét dãy số hữu hạn: 1, -1, -1, 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55 Tìm quy luật biểu diễn dãy số đó Giải: Ta lập bảng sai phân sau: -1 -1 11 xn Δxn Δ xn -2 2 19 2 29 10 41 12 55 14 2 Vậy Δ xn = const đó xn là đa thức bậc hai: xn = an + bn + c Để tính a, b, c ta dựa vào ba giá trị đầu x0 = 1, x1 = −1, x2 = −1 sau đó giải hệ phương trình ta nhận được: a = 1, b = -3, c = Do đó xn = n − 3n + Phương trình sai phân tuyến tính a0 xn + k + a1 xn + k −1 + + ak xn = 0, ak , a0 ≠ (1) Gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k (ở đây k = n +k -1) Phương trình đặc trưng a0 λ k + a1λ k −1 + a2 λ k − + Nghiệm tổng quát + ak = (2) Nếu (2) có k nghiệm phân biệt λ1 , λ2 , λ3 ,… , λk thì nghiệm tổng quát (1) là xn = c1λ1n + c2 λ2n + ck λkn Nếu (2) có nghiệm bội, chẳng hạn nghiệm λ1 có bội s thì nghiệm tổng quát (1) là: xn = c1λ1n + c2 nλ1n + c2 n λ1n + Ví dụ Ví dụ 1: cho dãy ( xn ) có cs n s −1λ1n + cs +1λsn+1 + + ck λkn xn +3 = xn + − 11xn +1 + xn x0 = 3, x1 = 4, x2 = −1 Hãy tìm xn Giải : Ta có xn +3 − xn + + 11xn +1 − xn = Phương trình đặc trưng là : WWW.MATHVN.COM Page of 108 Lop12.net www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc λ − 6λ + 11λ − = ⇔ λ = 1, λ = 2, λ = Suy ra: xn = c1 + c2 2n + c3 3n Để tìm c1 , c2 , c3 ta phải dựa vào x0 , x1 , x2 đó ta tìm : Từ đó ⎧ ⎪c1 = − ⎪ ⎨c2 = ⎪ ⎪c3 = − ⎩ xn = − + 8.2n − 3n 2 Ví dụ 2: Cho dãy số ( xn ) có x0 = 0, x1 = 1, x2 = và xn = xn −1 − 11xn − + xn −3 , ∀n ≥ Tìm xn Phương trình đặc trưng là : λ − 7λ + 11λ − = ⇔ λ = 1, λ = 1, λ = Vậy nghiệm tổng quát là : xn = c1 + c2 n + c3 5n Để tìm c1 , c2 , c3 ta phải dựa vào x0 , x1 , x2 đó ta tìm : ⎧ ⎪c1 = − 16 ⎪ ⎪ ⎨c2 = ⎪ ⎪ ⎪c3 = 16 ⎩ Từ đó ta được: xn = − + n + 5n 16 16 Chú ý : Với phương trình sai phân, ta có số loại khác phương trình sai phân tuyến tính không nhất, phương trình sai phân phi tuyến và có hệ thống phương pháp giải để tuyến tính hóa phương trình sai phân Song liên quan đến phương trình hàm bài viết này, nhắc lại phương trình sai phân tuyến tính đơn giản ( chưa xét đến phương trình sai phân tuyến tính có nghiệm phức) Áp dụng phương trình hàm Ví dụ 1: Tìm tất các hàm f : → thỏa mãn: f(f(x)) = 3f(x) – 2x , ∀x ∈ Giải : Thay x f(x) ta được: f(f(f(x))) = 3f(f(x)) – 2f(x) , ∀x ∈ ……………………… f ( f ( x)) = f ( f ( x)) − f ( f ( x)) n+2 WWW.MATHVN.COM n +1 Page of 108 n Lop12.net www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Hay Đặt Dich vu Toan hoc f n + ( x) = f n +1 ( x) − f n ( x), n ≥ xn = f n ( x), n ≥ Ta phương trình sai phân: xn + = 3xn +1 − xn Phương trình đặc trưng là : λ − 3λ + = ⇔ λ = ∨ λ = Vậy xn = c1 + c2 n Ta có: x0 = c1 + c2 = x x1 = c1 + 2c2 = f ( x) Từ đó ta c1 = x − f ( x), c2 = f ( x) − x Vậy f ( x) = x + c2 f ( x) = x − c1 Ví dụ 2: Tìm tất các hàm f xác định trên N và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: f (n) f (k + n) − f (k − n) = f (n) f ( k ), k ≥ n f (1) = Giải: Cho k = n = ⇒ f (0) − f (0) = f (0) ⇔ f (0) = ∨ f (0) = −2 Nếu f(0) = chọn n = ta được: -2 f(k) = đó f(k) = với k Chọn k = ta f(1) = mâu thuẫn với giả thiết Vậy f(0) = -2 Chọn n = ta phương trình: f (1) f ( k + 1) − f ( k − 1) = f (1) f ( k ), ∀k ⇔ f ( k + 1) − f (k − 1) = f ( k ), ∀k Đặt xk = f (k ) ta có phương trình sai phân xk +1 − 3xk − xk −1 = Phương trình đặc trưng là 2λ − 3λ − = ⇔ λ = ∧ λ = − n ⎛ 1⎞ Vậy f (n) = c1 + c2 ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ Ta tìm c1 , c2 từ điều kiện f(0) = -2 , f(1) = n Dễ tìm Vậy c1 = 0, c2 = −2 ⎛ 1⎞ f ( n ) = −2 ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ Phương pháp 4: WWW.MATHVN.COM n ĐIỂM BẤT ĐỘNG Đặc trưng hàm Lop12.net 10 Page 10 of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Như ta đã biết, phương trình hàm là phương trình thông thường mà nghiệm nó là hàm Để giải tốt vấn đề này, cần phân biệt tính chất hàm với đặc trưng hàm Những tính chất quan trắc từ đại số sang hàm số, gọi là đặc trưng hàm ™ Hàm tuyến tính f(x) = ax , đó f(x + y) = f(x) + f(y) Vậy đặc trưng là f(x + y) = f(x) + f(y) với x, y ™ Hàm bậc f(x) = ax + b, đó f(x) + f(y) = 2f( ⎛ x + y ⎞ f ( x) + f ( y ) Vậy đặc trưng hàm đây là f ⎜ , ∀x, y ∈ ⎟= ⎝ ⎠ Đến đây thì ta có thể nêu câu hỏi là : Những hàm nào có tính chất f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), ∀x, y ∈ Giải vấn đề đó chính là dẫn đến phương trình hàm Vậy phương trình hàm là phương trình sinh đặc trưng hàm cho trước ™ Hàm lũy thừa f ( x) = x k , x > Đặc trưng là f(xy) = f(x)f(y) ™ Hàm mũ f ( x) = a x (a > 0, a ≠ 1) Đặc trưng hàm là f(x + y) = f(x)f(y), ™ Hàm Logarit ∀x , y ∈ f ( x) = log a x (a>0,a ≠ 1) Đặc trưng hàm là f(xy) = f(x) + f(y) ™ f(x) = cosx có đặc trưng hàm là f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)f(y) Hoàn toàn tương tự ta có thể tìm các đặc trưng hàm các hàm số f(x) =sinx, f(x) = tanx và với các hàm Hypebolic: ¾ ¾ sin hypebolic e x − e− x shx = ¾ cos hypebolic chx = e x + e− x ¾ tan hypebolic thx = shx e x − e− x = chx e x + e− x ¾ cot hypebolic cothx = chx e x + e − x = shx e x − e− x tập giá trị là shx có TXĐ là chx có TXĐ là tập giá trị là [1, +∞ ) tập giá trị là (-1,1) thx có TXĐ là cothx có TXĐ là \ {0} tập giá trị là ( −∞, −1) ∪ (1, +∞ ) Ngoài bạn đọc có thể xem thêm các công thức liên hệ các hàm hypebolic, đồ thị các hàm hypebolic Điểm bất động Trong số học, giải tích, các khái niệm điểm bất động, điểm cố định quan trọng và nó trình bày chặt chẽ thông qua hệ thống lý thuyết Ở đây, tôi nêu ứng dụng nó qua số bài toán phương trình hàm Ví dụ 1: Xác định các hàm f(x) cho: f(x+1) = f(x) + ∀x ∈ Giải: Page 11 of 108 Lop12.net Ta suy nghĩ sau: Từ giả thiết ta suy c = c + đó c = ∞ WWW.MATHVN.COM 11 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Vì ta coi là f(1) ta f(x + 1) = f(x) + f(1) (*) Như ta đã chuyển phép cộng phép cộng Dựa vào đặc trưng hàm, ta phải tìm a : f(x) = ax để khử số Ta (*) ⇔ a ( x + 1) = ax + ⇔a=2 Vậy ta làm sau: Đặt f(x) = 2x + g(x) Thay vào (*) ta được: 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) + 2, ∀x ∈ Điều này tương đương với g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ Vậy g(x) là hàm tuần hoàn với chu kì Đáp số f(x) = 2x + g(x) với g(x) là hàm tuần hoàn với chu kì Qua ví dụ 1, ta có thể tổng quát ví dụ này, là tìm hàm f(x) thỏa mãn: f(x + a) = f(x) + b, ∀x ∈ , a, b tùy ý Ví dụ 2: Tìm hàm f(x) cho: f(x + 1) = - f(x) + 2, ∀x ∈ Giải: (1) ta đưa đến c = -c + đó c = đặt f(x) = + g(x), thay vào (1) ta phương trình: g(x + 1) = - g(x), ∀x ∈ Do đó ta có: ⎧ g ( x + 1) = − g ( x ) ⎨ ⎩ g ( x + 2) = g ( x ) ⎧ ⎪ g ( x ) = [ g ( x ) − g ( x + 1) ] ⇔ ⎨ ∀x ∈ ⎪⎩ g ( x + 2) = g ( x ) Ta chứng minh nghiệm (3) có dạng : g ( x) = [ h( x) − h( x + 1)] , ∀x ∈ đó h(x) là hàm tuần hoàn với chu kì (3) qua ví dụ này, ta có thể tổng quát thành: f(x + a) = - f(x) + b, ∀x ∈ , a, b tùy ý Ví dụ 3: Tìm hàm f(x) thỏa mãn : f(x + 1) = 3f(x) + 2, ∀x ∈ (1) Giải: Ta tìm c cho c = 3c + dễ thấy c = -1 Đặt f(x) = -1 + g(x) Lúc đó (1) có dạng g(x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ Coi g(1) ta g(x + 1) = g(1).g(x) ∀x ∈ (2) Từ đặc trưng hàm, chuyển phép cộng phép nhân, ta thấy phải sử dụng hàm mũ : a x +1 = 3a x ⇔ a = Vậy ta đặt: g ( x) = 3x h( x) thay vào (2) ta được: h(x + 1) = h(x) ∀x ∈ Vậy h(x) là hàm tuần hoàn chu kì f ( x) = −1 + 3x h(Lop12.net x) với h(x) là hàm tuần hoàn chu kì Kết luận WWW.MATHVN.COM 12 Page 12 of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Ở ví dụ này, phương trình tổng quát loại này là : f(x + a) = bf(x) + c, ∀x ∈ , a, b, c tùy ý, b > 0, b khác Với loại này chuyển hàm tuần hoàn Còn f(x + a) = bf(x) + c, ∀x ∈ , a, b, c tùy ý, b < 0, b khác chuyển hàm phản tuần hoàn Ví dụ 4: Tìm hàm f(x) thỏa mãn f(2x + 1) = 3f(x) – ∀x ∈ (1) Giải: Ta có: c = 3c – suy c = Đặt f(x) = + g(x) Khi đó (1) có dạng g(2x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ (2) Khi biểu thức bên có nghiệm ≠ ∞ thì ta phải xử lý cách khác Từ 2x + = x suy x = Vậy đặt x = -1 + t ta có 2x + = -1 + 2t (2) có dạng: g(-1 + 2t) = 3g(-1 + t ) ∀t ∈ Đặt h(t) = g(-1 + 2t), ta h(2t) = 3h(t) (3) 2t = t ⇔ t = (2t ) m = 3.t m ⇔ m = log Xét ba khả sau: ƒ Nếu t = ta có h(0) = ƒ Nếu t> đặt h(t ) = t log 3ϕ (t ) thay vào (3) ta có ϕ (2t ) = ϕ (t ), ∀t > Đến đây ta đưa ví dụ hàm tuần hoàn nhân tính ƒ Nếu t < đặt h(t ) =| t |log ϕ (t ) thay vào (3) ta ϕ (2t ) = −ϕ (t ), ∀t < ⎧ϕ (2t ) = −ϕ (t ), ∀t < ⇔⎨ ⎩ϕ (4t ) = ϕ (t ), ∀t < ⎧ ⎪ϕ (t ) = [ϕ (t ) − ϕ (2t ) ] , ∀t < ⇔⎨ ⎪⎩ϕ (4t ) = ϕ (t ), ∀t < Bài toán tổng quát dạng này sau: f (α x + β ) = f ( ax ) + b α ≠ 0, ± Khi đó từ phương trình α x + β = x ta chuyển điểm bất động 0, thì ta hàm tuần hoàn nhân tính Nếu a = bài toán bình thường Nếu a = chẳng hạn xét bài toán sau: Tìm f(x) cho f(2x + 1) = f(x) – 2, ∀x ≠ -1 (1) Nghiệm 2x + = x ⇔ x = −1 nên đặt x = -1 + t thay vào (1) ta f(-1 + 2t) = f(-1 + t) + 2, ∀t ≠ Đặt g(t) = f( - + t) ta g(2t) = g(t) + ∀t ≠ (2) Từ tích chuyển thành tổng nên là hàm loga Ta có log a (2t ) = log a t − ⇔a= Vậy đặt g (t ) = log t + h(tLop12.net ) Page 13 of 108 WWW.MATHVN.COM 13 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Thay vào (2) ta có Dich vu Toan hoc h(2t ) = h(t ), ∀t ≠ Đến đây bài toán trở nên đơn giản §Þnh lý Roll vμ ¸p dông vμo ph−¬ng tr×nh TiÕn Sü : Bïi Duy H−ng Tr−êng THPT Chuyªn Th¸i B×nh I) Định lý Roll : lμ tr−ờng hợp riêng định lý Lagrăng 1.Trong ch−ơng trình toán giải tích lớp 12 có định lý Lagrăng nh− sau : Nếu hμm số y = f(x) liên tục trên [a; b] vμ có đạo hμm trên (a; b) thì tồn mét ®iÓm c ∈ (a; b) cho: f / (c) = f ( b ) − f (a ) b−a ý nghĩa hình học định lý nh− sau: Xét cung AB đồ thị hμm số y = f(x), với toạ độ điểm A(a; f(a)) , B(b; f(b)) HÖ sè gãc cña c¸t tuyÕn AB lμ: f ( b ) − f (a ) b−a f ( b ) − f (a ) f / (c) = b−a k = §¼ng thøc : nghÜa lμ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm C(c; f(c)) cña cung AB b»ng hÖ sè gãc cña ®−êng th¼ng AB VËy các điều kiện định lý Lagrăng đ−ợc thoả mãn thì tồn điểm C cung AB, cho tiếp tuyến đó song song với cát tuyến AB NÕu cho hμm sè y = f(x) tho¶ m·n thªm ®iÒu kiÖn f(b) = f(a) th× cã f / (c) = Ta có định lý sau đây có tên gọi lμ : Định lý Roll Nếu hμm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hμm f / (x) trên (a; b) vμ có f(a) = f(b) th× tån t¹i ®iÓm xo ∈ (a , b) cho f’ (xo) = Nh− định lý Roll lμ tr−ờng hợp riêng định lý Lagrăng Tuy nhiên có thể chứng minh định lý Roll trùc tiÕp nh− sau: Hμm số f(x) liên tục trên [a; b] nên đạt các giá trị max, trên đoạn [a; b] Page 14 of 108 Lop12.net gäi m = f(x) , M = max f(x) WWW.MATHVN.COM 14 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc x ∈ [ a, b ] x ∈ [ a, b ] Nếu m = M thì f(x) = C lμ số nên ∀ xo ∈ (a , b) có f’(xo ) = Nếu m < M thì ít hai giá trị max, hμm số f(x) đạt đ−ợc điểm nμo đó xo ∈ (a; b) VËy xo ph¶i lμ ®iÓm tíi h¹n cña f(x) trªn kho¶ng (a; b) ⇒ f’ (xo ) = §Þnh lý ®−îc chøng minh ý nghĩa hình học định lý Roll : Trên cung AB đồ thị hμm số y = f(x), víi A(a; f(a)) , B(b; f(b)) vμ f(a) = f(b), tån t¹i ®iÓm C ( c; f(c) ) mμ tiÕp tuyÕn t¹i C song song víi Ox II ) áp dụng định lý Roll Bμi to¸n Cho n lμ sè nguyªn d−¬ng , cßn a, b, c lμ c¸c sè thùc tuú ý tho¶ m·n hÖ thøc : a c b + + = (1) n + n +1 n CMR ph−¬ng tr×nh : a x + bx + c = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ( 0; 1) Gi¶i : XÐt hμm sè: ax n + bx n +1 cx n f(x) = + + n + n +1 n Hμm số f (x) liên tục vμ có đạo hμm ∀ x ∈ R Theo gi¶ thiÕt (1) cã f(0) = , f(1) = a b c + + =0 n + n +1 n Theo định lý Roll tồn xo ∈ (0; 1) cho f’(xo ) = mμ: n +1 n n −2 f’(x) = a x + bx + cx n +1 n n −1 f’(x ) = ⇒ ax o + bx o + cx o = ⇔ x on −1 (ax o2 + bx o +c) = ( x o ≠ ) ⇔ ax o2 + bx o + c = VËy ph−¬ng tr×nh a x + bx + c = cã nghiÖm x o ∈ (0;1) (®pcm) Bμi to¸n : Gi¶i ph−¬ng tr×nh : +6 = +5 Gi¶i : Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với : x x x x x − x = x − 3x (2) Râ rμng x o = lμ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) Ta gäi α lμ nghiÖm bÊt kú cña ph−¬ng tr×nh (2) XÐt hμm sè : α α f(x) = ( x + 1) − x , víi x > Hμm số f(x) xác định vμ liên tục trên ( 0; + ∞ ) vμ có đạo hμm : α −1 α −1 f’ (x) = α( x + 1) - α x = α [ ( x + 1) − x ] Tõ (2) cã f(5) = f(3) VËy tån t¹i c ∈ ( 3; 5) cho f’(c) = 0, hay lμ : α [ (c + 1) α −1 − c α −1 ] = o ⇔ α =o, α =1 Thử lại thấy x = , x = thoả mãn ph−ơng trình (2) α −1 α −1 Vậy ph−ơng trình đã cho có đúng nghiệm lμ : x = 0, x = Bμi to¸n WWW.MATHVN.COM Lop12.net 15 Page 15 of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Chøng minh r»ng víi c¸c sè thùc bÊt kú a, b, c ph−¬ng tr×nh : acos3x + bcos2x + csinx = (3) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng ( ; π ) Gi¶i a sin 3x b sin 2x + + c sin x − cos x Hμm f(x) liên tục trên [ 0; π ] , có đạo hμm trên ( 0; π ) vμ có đạo hμm lμ: XÐt hμm sè f(x) = f’ (x) = acos3x + bcos2x +ccosx + sinx mÆt kh¸c cã f(0) = - , f ( π ) = - Theo định lý Roll tồn x o ∈ (0;2π) để f’( x0 ) = VËy x o ∈ (0;2π) lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ( ) ( ®pcm ) Bμi to¸n 3cos x − cos x = cosx (4) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : Gi¶i : Ph−¬ng tr×nh (4) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm x = Gäi α lμ nghiÖm (4) Khi đó có : 3cos α − cos α = cos α ⇔ 3cos α − cos α = cos α − cos α cos α − t cos α , (víi t > ) XÐt hμm sè f(x) = t (5) Hμm số f(x) liên tục trên khoảng (1; + ∞ ) vμ có đạo hμm lμ: cos α −1 f’ (x) = cos α.t − cos α Từ đẳng thức (5) có : f(2) = f (3) Vậy tồn giá trị c ∈ ( 2; ) cho: cos α −1 − cos α = f’(c) = ⇔ cos α c ⇔ cos α(c cos α −1 − 1) = ⇔ cos α = hoÆc cos α = π ⇔ α = + kπ ; α = k 2π Víi k ∈ Ζ Thö l¹i thÊy tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh (4) VËy (4) cã nghiÖm x = π + kπ , x = k2 π ( ∀k ∈ Ζ ) Nhận xét : Từ định lý Roll có thể rút số hệ quan trọng nh− sau : Cho hμm số y = f (x) xác định trên [a; b] vμ có đạo hμm ∀x ∈ (a; b) HÖ qu¶ : NÒu ph−¬ng tr×nh f(x) = cã n nghiÖm ph©n biÖt th×: ph−¬ng tr×nh f’ (x) = cã Ýt nhÊt n – nghiÖm ph©n biÖt (k ) ph−¬ng tr×nh f (x) = cã Ýt nhÊt n – k nghiÖm ph©n biÖt, víi k = 2, 3, … HÖ qu¶ : NÕu ph−¬ng tr×nh f(x) = cã n nghiÖm ph©n biÖt th× ph−¬ng tr×nh : f(x) + α f’ (x) = cã Ýt nhÊt n-1 nghiÖm ph©n biÖt , víi ∀α ∈ R mμ α ≠ Chøng minh : x XÐt hμm F (x) = e α f ( x ) Hμm sè F (x) liªn tôc trªn [a; b] vμ cã n nghiÖm ph©n biÖt Theo hÖ qu¶ th× ph−¬ng tr×nh F’ (x) = o cã Ýt nhÊt n-1 nghiÖm ph©n biÖt MÆt kh¸c cã: x α x α F’(x) = e f ' ( x ) + e f ( x ) α Page 16 of 108 Lop12.net WWW.MATHVN.COM 16 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc x eα = [ f(x) + α f’(x) ] α VËy ph−¬ng tr×nh : f(x) + α f’(x) = cã Ýt nhÊt n-1 nghiÖm Chó ý : Trong tr−ờng hợp ph−ơng trình f’(x) = có n-1 nghiệm phân biệt thì ph−ơng trình f(x) = ch−a đã cã n nghiÖm ph©n biÖt XÐt vÝ dô sau ®©y : Ph−ơng trình : x − 3x + = có đúng nghiệm nh−ng ph−¬ng tr×nh : 3x − x = cã nghiÖm HÖ qu¶ : NÕu f’’(x) > o hoÆc f’’ (x) < o ∀x ∈ (a; b) th× ph−¬ng tr×nh f(x) = cã kh«ng qu¸ hai nghiÖm HÖ qu¶ : NÕu f’’’(x) > hoÆc f’’’(x) < ∀x ∈ (a; b) th× ph−¬ng tr×nh f(x) = cã kh«ng qu¸ ba nghiÖm Bμi to¸n : x + 3x + = x + x + Gi¶i ph−¬ng tr×nh : Gi¶i : (6) §iÒu kiÖn x ≥ Ph−¬ng tr×nh (6) ⇔ XÐt hμm sè: x + 3x + − x − x − = x + 3x + − x − x − Víi x ∈ [0;+∞) f’(x) = + − 2x − x 3x + 1 f’’(x) = − − < 0.∀x > x (3x + 1) f(x) = Theo hÖ qu¶ suy ph−¬ng tr×nh (6) cã kh«ng qu¸ nghiÖm Thö trùc tiÕp x = 0, x = tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh Vậy (6) có đúng nghiệm x = 0, x = Bμi to¸n 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : = + x + log (1 + x ) Gi¶i : §iÒu kiÖn: + 2x > ⇔ x > Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với : x x + x = (1 + x ) + log (1 + x ) ( ) XÐt hμm f(t) = t + log t , víi t ∈ (0;+∞) ta cã : > 0, ∀t > Vậy f (t) đồng biến trên ( 0; + ∞ ) f’(t) = + t ln x Ph−ơng trình ( ) đó trở thμnh: f ( ) = f ( + 2x ) ⇔ 3x = + 2x ⇔ 3x − x − = (8) Lop12.net WWW.MATHVN.COM 17 Page 17 of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc XÐt hμm sè: g (x) = − x − víi x ∈ ( − ;+∞ ) ta cã : x g’(x) = ln − x x g’’(x) = ln > ∀x > − VËy ph−¬ng tr×nh (8) cã kh«ng qu¸ nghiÖm kho¶ng ( - ;+∞) x = 0, x = lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (8) VËy ph−¬ng tr×nh (8) cã nghiÖm x , x Kết luận : Ph−ơng trình đã cho có đúng nghiệm x = 0, x = MÆt kh¸c thö trùc tiÕp thÊy Bμi to¸n : Gi¶i ph−¬ng tr×nh : ( + 2)(4 − x ) = 12 (9) Gi¶i : x Xét hμm số f (x) = ( + 2)(4 − x ) − 12 Xác định vμ liên tục trên R x f’(x) = ln 2.( − x ) − ( + 2) x x f’’(x) = ln 2.( − x ) − ln − ln x x x = ln 2.[ln 2.( − x ) − 2] f’’(x) = ⇔ ( x − 4) ln + = x ⇔ xo = − ln Ph−¬ng tr×nh f’’(x) = cã nghiÖm nhÊt Theo định lý Roll thì ph−ơng trình ( ) có không quá nghiệm , vì (9) cã nghiÖm ph©n biÖt th× f’’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm ph©n biÖt Thö trùc tiÕp thÊy (9) tho¶ m·n víi x = , x = , x = Vậy (9) có đúng nghiệm x = 0, x = 1, x = Bμi to¸n : Chøng minh r»ng : Víi ∀m ∈ R ph−¬ng tr×nh : x 2005 + x + m( x − 1) − x + = (10) có đúng nghiệm Gi¶i : XÐt hμm sè f(x) = x + x + m( x − 1) − x + H m số f(x) liên tục vμ có đạo hμm trên R 2004 + x + 2mx − f’(x) = 2005 x 2003 f’’(x) = 2005.2004 x + 12x + 2m 2002 f’’’(x) = 2005.2004.2003 x + 12 > 0.∀x VËy ph−¬ng tr×nh (10) cã kh«ng qu¸ nghiÖm MÆt kh¸c lim f(x) = - ∞ , lim f(x) = + ∞ , f(- 1) = 11 > 0, f(1) = - < x → −∞ x → +∞ Cho nªn : ∃x ∈ (−∞;−1) mμ f ( x ) = 2005 ∃x ∈ (-1;1) mμ f( x ) = ∃x ∈ (1;+∞) mμ f( x ) = Lop12.net NghÜa lμ ph−¬ng tr×nh (10 ) cã Ýt nhÊt nghiÖm ph©n biÖt x < x < x WWW.MATHVN.COM 18 Page 18 of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Vậy ph−ơng trình ( 10 ) có đúng nghiệm phân biệt (Đpcm) Bμi to¸n : Cho biÕt ph−¬ng tr×nh : x + ax + bx + c = (11) cã nghiÖm ph©n biÖt Chøng minh r»ng : ab < Gi¶i : XÐt P (x) = x + ax + bx + c liªn tôc trªn R f(x) = P’ (x) = x + 3ax + b Ph−ơng trình (11) có nghiệm phân biệt , theo định lý Roll suy ra: ph−¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f CD f CT < MÆt kh¸c cã f’(x) = 12 x + 6ax = 6x.( 2x + a ) a a + 4b f CD f CT = f (o).f (− ) = b.( ) (®iÒu kiÖn a ≠ ) §iÒu kiÖn f CD f CT < ⇔ b(a + 4b) < (12) Tõ (12) dÔ dμng suy ab < Bëi v× nÕu cã : a > , b > th× : vÕ tr¸i (12) > a < , b < th× : VÕ tr¸i (12) > b=0 th× : VÕ tr¸i (12) = VËy ab < (§iÒu ph¶i chøng minh ) Bμi to¸n 10 : Cho sè n nguyªn d−¬ng tuú ý lín h¬n , vμ c¸c sè thùc a , a , a , .a n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : n −1.a n a 2a 4a an a1 a + + + + + + + = 0= n +1 n +1 3 (13) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh : a + 2a x + 3a x + + na n x n −1 = o cã nghiÖm Gi¶i : a 3x a n x n +1 a1x a x XÐt F(x) = + + + + n +1 Đa thức F(x) liên tục trên R , có đạo hμm cấp tuỳ ý trên R n F’(x) = a x + a x + a x + + a n x F’’(x) = a + 2a x + 3a x + + na n x n −1 a1 a a + + + n n +1 a a 2 a n +1.a n + + + + F(2) = n +1 n −1 a 2a 4a a n =4( + + + + ) n +1 F(0) = 0, F(1) = Theo gi¶ thiÕt (13) suy F(0) = F(1) = F(2) Theo định lý Roll suy ph−ơng trình F’(x) = có ít nghiệm phân biệt x ∈ (0;1), x ∈ (1;2) Suy ph−¬ng tr×nh F’’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm x0 VËy ph−¬ng tr×nh : a + 2a x + + na n x = cã nghiÖm (§pcm) ΙΙΙ ) C¸c bμi to¸n luyÖn tËp : Lop12.net Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh vμ hÖ ph−¬ng tr×nh sau n −1 WWW.MATHVN.COM 19 Page 19 of 108 www.MATHVN.com http://www.vnmath.com x 1) = + log ( x + 1) Dich vu Toan hoc 2) x + − x = x − 5x + x 3) ( + 2)( − x ) = 4) log ( x + 1) + log (2x + 1) = ⎧ x = + log2 y ⎪ ⎨ y = + log2 z ⎪ z = + log x ⎩ 5) ⎧4 x + x = y + ⎪ 6) ⎨ y + y = z + z ⎪ z ⎩4 + = 4x + Tø GI¸C TOμN PHÇN NéI TIÕP, NGO¹I TIÕP Th¹c sü : Ph¹m C«ng SÝnh Tæ to¸n tr−êng t.h.p.t Chuyªn Th¸i B×nh lêi nãi ®Çu Lop12.net ******* WWW.MATHVN.COM 20 Page 20 of 108 www.MATHVN.com