cac chuyen de boi duong hoc sinh gioi dai so 9

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ I BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Dạng Thu gọn biểu thức đại số tính giá trị biểu thức Dạng Các câu hỏi liên quan giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số 10 Dạng Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên 15 Dạng Bài toán tổng hợp .16 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊN 32 THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ I BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn thức bậc hai -Căn bậc hai số thực a số thực x cho x2 = a -Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu a số thực khơng âm x mà bình phương a :  x  a     x = a  a=x -Với hai số thực không âm a, b ta có: a  b  a  b -Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: + A A A2 = A =  A − A + A2 B = A B = A B với A, B  0; A2 B = A B = − A B với A  0; B  + A A.B A.B = = với AB  0, B  B B B M + = A M A với A  0; (Đây gọi phép khử thức mẫu) A M + A B = M ( A B A− B ) với A, B  0, A  B (Đây gọi phép trục thức mẫu) Căn thức bậc ba, bậc n a Căn thức bậc Căn bậc số a kí hiệu -Cho a  R; a = x  x3 = ( a) 3 a số x cho x3 = a =a -Mỗi số thực a có bậc -Nếu a  a  -Nếu a  a  -Nếu a = a = a 3a = với b  b 3b - ab = a.3 b với a, b - a  b  a  b THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ - A3 B = A3B A = B -3 3 - - A = B AB2 với B  B A B3 A B = A2 AB + B2 với A  B A B b Căn thức bậc n Cho số a  , n  , n  Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a -Trường hợp n số lẻ: n = 2k + 1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: 2k +1 a = x  x2k+1 = a a  0, 2k +1 a  0, a  2k +1 a  0, a = 2k +1 a=0 -Trường hợp n số chẵn: n = 2k, k  N Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a) Căn bậc chẵn âm kí hiệu −2k a, 2k a = x  x  x2k = a; −2k a = x  x  x2k = a B PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng Thu gọn biểu thức đại số tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức dấu dạng A2 = A sau dựa vào dấu A để mở dấu giá trị tuyệt đối có Ngồi cần nắm đẳng thức quen thuộc: • ab + bc + ca = m  a2 + m = a2 + ab + bc + ca = ( a + b)( a + c) ; • a + b + c = n  na + bc = ( a + b + c) a + bc = ( a + b)( a + c) ; • Với abc = • 1  1 1 Nếu a + b + c = a + b + c = 3abc, + + =  + +  với abc  a b c  a b c 1 + + = 1; a + ab + b + bc + ca + c + a 3 Ví dụ Rút gọn biểu thức: a A = x − x − x + x  b B = 4x − 4x − + 4x + 4x − x  THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ c C = − + + 10 − Lời giải:  1 a A = x − x − x + = x −  x −  = x − 2  + Nếu x 1  x  + Nếu x 1   x  x− x− 1 = x −  A= 2 x− 1 = − x +  A=2 x − 2 b B = 4x − 4x − + 4x + 4x − = B = 4x − 1− 4x − + + 4x − 1+ 4x − + ( Hay B = ) ( 4x − − + ) 4x − + = + Nếu 4x − −   4x −   x  + Nếu 4x − −   4x −   ( ) 4x − − + 4x − + = 4x − − + 4x − + 4x − − = 4x − − suy B = 4x − 1  x  4x − − = − 4x − + suy B = 2 c Để ý rằng: − = −  − = − Suy C = − + + 10(2 − 3) = − + 28 − 10 ( ) = − + 5 − Hay C = − + 5(5 − 3) = − 25 = − = = Ví dụ Chứng minh: a Tính A = − − + b B = + 84 84 + 1− số nguyên 9 (Trích đề Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) c Chứng minh rằng: x = a + a + 8a − a + 8a − với a  số tự nhiên + a− 3 3 )( e Cho số thực x, y thỏa mãn: ( x + ) ( d Tính x + y biết x + x2 + 2019 y + y2 + 2019 = 2019 )( ) y2 + y + x2 + = Tính giá trị x + y Lời giải: a Dễ thấy A  0, THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Cách 1: Ta có A2 =  − − +  = − + + − − + = 16 − 2.4 =   Suy A = − = −2 Cách 2: Ta viết lại A= ( 6− )−( 6+ ) = − − + = − − − = −2 b Áp dụng đẳng thức: ( u + v) = u3 + v3 + 3uv(u + v) Ta có:  84 84  B3 =  1+ + 1−  9    = 1+   84 84 84 84   1+ 84 1− 84  + 1− + 3 + 1−  9 9  9      84  84  84 Hay B3 = + 33  1+  1−  B  B3 = + 33 − B  B3 = − B  B3 + B − =      81   1  ( B − 1) B + B + = mà B + B + =  B +  +  suy B = Vậy B số nguyên 2  ( ) 2 c Áp dụng đẳng thức: ( u + v) = u3 + v3 + 3uv ( u + v) ( ) Ta có x3 = 2a + (1 − 2a) x  x3 + ( 2a − 1) x − 2a =  ( x − 1) x2 + x + 2a = (1) Xét đa thức bậc hai x2 + x + 2a với  = 1− 8a  + Khi a = 1 ta có x = + = 8 1 + Khi a  , ta có  = 1− 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x = Vậy với a  8 a + 8a − a + 8a − + a− = số tự nhiên 3 3 Ta có: x = a + d Nhận xét: ( x2 + 2019 + x )( ) x2 + 2019 − x = x2 + 2019 − x2 = 2019 x2 + 2019 − x = y2 + 2019 + y Kết hợp với giả thiết ta suy  y2 + 2019 + y + x2 + 2019 + x = x2 + 2019 − x + y2 + 2019 − y  x + y = Tổng quát ta có: ( x2 + a + x )( ( e Nhân vế đẳng thức với: x − 1+ y2 THCS.TOANMATH.com ) y2 + a + y = a x + y = )( y − ) 1− x2 ta có: Trang )( (x + (x (x CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ y2 + x − + y2 )( y − − x2 )( y + ) ( x2 + = x − + y2 )( y − ) 1− x2 )( ) (1+ x )(1+ y ) − y − 1)( y − x − 1) = 2xy + (1 + x )(1 + y ) − ( x + 1+ y )( y + 1+ x )  − ( x − y ) = 2xy + (1+ x )(1+ y ) −  (1− xy ) = ( x − y ) + (1+ x )(1+ y ) − y2 − y2 − x2 − = xy − x 1+ x2 − y + y2 + 2 2 2 2 2 ( Hay (1− xy ) = x2 − y2 ) +2 2 2 2 ( xy − 1) + ( x + y) 2  (1− xy )  2 ( xy − 1) + ( x + y) 2  xy − Dấu đẳng thức xảy ( x + y ) =  x = − y hay x + y = Ví dụ a Cho x = + 10 + + − 10 + Tính giá trị biểu thức: P= x4 − 4x3 + x2 + 6x + 12 x2 − 2x + 12 b Cho x = 1+ Tính giá trị biểu thức B = x4 − 2x4 + x3 − 3x2 + 1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015 – 2016) c Cho x = 1+ + Tính giá trị biểu thức: P = x5 − 4x4 + x3 − x2 − 2x + 2015 Lời giải:   a Ta có: x =  + 10 + + − 10 +  = + + 10 + − 10 +    x2 = + − = + ( ) −1 = + = ( ) +1  x = + Từ suy ( x − 1) =  x2 − 4x = (x Ta biến đổi: P = ) ( ) − 2x − x2 − 2x + 12 x2 − 2x + 12 = 42 − 3.4 + 12 = + 12 b Ta có x = +  ( x − 1) =  x3 − 3x2 + 3x − − Ta biến đổi biểu thức P thành: P = x2 (x3 − 3x2 + 3x − 3) + x( x3 − 3x2 + 3x − 3) + ( x3 − 3x2 + 3x − 3) + 1945 = 1945 c Để ý rằng: x = 22 + + ta nhân thêm vế với a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) Khi ta có:  ( ) ( 3 − 1để tận dụng đẳng thức: ) ( −1 x = )( −1 ) 22 + + − x =  2x = x +  ( x + 1)  x3 − 3x2 − 3x − = ( )( ) Ta biến đổi: P = x3 − 4x4 + x3 − x2 − 2x + 2015 = x2 − x + x3 − 3x2 − 3x − + 2016 = 2016 Ví dụ THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ a Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a 1− b2 + b 1− c2 + c 1− a2 = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = b Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x 1− y2 + y − z2 + z − x2 = ( ) c Tìm số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x y − + y x − = xy ( d Giả sử ( x; y ) số thực thỏa mãn x + + x2 )( y + ) + y2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + xy + y2 e Tìm GTLN, GTNN biểu thức: P = 1+ x + 1− x + 1− x2 Lời giải: a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có a2 + 1− b2 b2 + 1− c2 c2 + 1− a2 a 1− b + b 1− c + c 1− a  + + = 2 2 2 a = 1− b2 a2 = − b2    Đẳng thức xảy b = 1− c2  b2 = 1− c2  a2 + b2 + c2 = (đpcm)  c2 = 1− a2 c = − a   b Ta viết lại giải thiết thành: 2x 1− y2 + 2y − z2 + 2z − x2 = Áp dụng bất đẳng thức: 2ab  a2 + b2 ta có: 2x 1− y2 + 2y − z2 + 2z − x2  x2 + 1− y2 + y2 + − z2 + z2 + − x2 = Suy VT  VP Dấu đẳng thức xảy khi:  x2 + y2 + z2 = 3; x, y, z   x, y, z   x = − y2  2  2   x + y = x + y =   x = 1; y = 0; z = y = y − z   2 y + z =  y2 + z2 =   z = − x z2 + x2 = z2 + x2 =   c a x − 4, b = y − với a, b  phương trình cho trở thành: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) a2 + b + b2 + a = a2 + b2 + Chi vế cho a2 + b2 + phương trình trở thành 2b 2a + = Để ý a = b = không thỏa mãn phương trình b +4 a +4 Xét a, b  Theo bất đẳng thức AM − GM ta có: b2 +  4b2 = 4b.a2 +  4a Suy VT  2a 2b + = 1, dấu đẳng thức xảy 4a 4b  a =  a = b =  x = y = Vậy x = 8, y =  b =   nghiệm phương trình THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ d Đặt a = x + + x2   a − x = + x2  a2 − 2ax + x2 = + x2  x = Tương tự đặt b = y + + y2   x = Theo giả thiết ta có: ab =  x + y = x2 + xy + y2 = a2 − 2a a b 3 b2 − Khi x + y = + − − 2 2a 2b 2b a a a a + − − = +  = Lại có 2a 2a a a 2 3 x + y ) + ( x − y )  ( x + y )  x2 + xy + y2  Dấu đẳng thức xảy ( 4 (  x = y = Vậy x2 + xy + y2 ) = e Đặt a = 1+ x, b = 1− x  a, b  0, a4 + b4 = Ta có: P = a + b + ab Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có ( ) ( a +b  a +b 4 2 ) 2 ( a + b)  a + b  a4 + b4 = 16  a + b  1   ( a + b)  = ( ) 2  2 ( a + b) Suy P  a + b + ( )  Dấu xảy a = b =  x = ( Ta có: a4 + b4  a4 + 2a2b2 + b4  a2 + b2 )  a2 + b2  2, mà a2 + b2  a2 + 2ab + b2 = ( a + b) với a, b  Suy a + b  a2 + b2  Vậy P = a + b + ab  a + b  dấu xảy a = b = tức x = x = −1 Ví dụ Cho x, y, z  xy + yz + zx = (1+ y )(1+ z ) + y (1+ z )(1+ x ) + z (1+ x )(1+ y ) a Tính giá trị biểu thức: P = x b Chứng minh rằng: 2 + x2 x y z + − = 2 + x + y + z2 2 + y2 ( )( 2xy )( + x2 + y2 + z2 + z2 ) Lời giải: a Để ý rằng: 1+ x2 = x2 + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z) Tương tụ 1+ y2;1+ z2 ta có (1+ y )(1+ z ) = x ( y + x)( y + z)( z + x)( z + y) = x y + z ( ) x 1+ x2 ( x + y)( x + z) Suy P = x ( y + z) + y ( z + x ) + z( x + y ) = ( xy + yz + zx ) = b Tương tự câu a) THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Ta có: = x y z x y z + − = + − 2 + x + y + z ( x + y )( x + z) ( x + y )( y + z) ( z + y )( z + x ) x ( y + z) + y ( z + x ) − z( x + y ) ( x + y)( y + z)( z + x) = 2xy = ( x + y)( y + z)( z + x ) 2xy (1+ x )(1+ y )(1+ z ) 2 Ví dụ x12 − 12 + x22 − 22 + + n xn2 − n2 = a Tìm x1, x2 , , xn thỏa mãn: b Cho f (n) = 4n + 4n2 − 2n + + 2n − ( 2 x1 + x2 + + xn2 ) với n nguyên dương Tính f (1) + f (2) + + f (40) Lời giải: a Đẳng thức tương đương với: )( ( x12 − 12 − ) x22 − 22 − + + ( xn2 − n2 − n ) =0 Hay x1 = 2, x2 = 2.22 , , xn = 2.n2  x2 + y2 = 4n  b Đặt x = 2n + 1, y = 2n −   xy = 4n2 −  x2 − y2 =  Suy f ( n) = x2 + xy + y2 x3 − y3 3 1 = 2 = x −y =  x+ y 2 x −y ( có: f (1) + f ( 2) + + f ( 40) = = ( ( 1  ) )( 33 − 13 + ( 2n + 1) ) 53 − 33 + + ( − ( 2n − 1)   Áp dụng vào toán ta  ) 813 − 793   ) 813 − 13 = 364 Ví dụ a Cho số nguyên dương n  Tính giá trị biểu thức sau theo n P = 1+ 1 1 1 + + 1+ + + + 1+ + 2 2 3 n + n + ( ) ( ) b Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = a + b + c = Chứng minh: a b c + + = 1+ a 1+ b 1+ c (1+ a)(1+ b)(1+ c) Lời giải: a Với số thực a, b, c khác cho: a + b + c =  1 1  1 1 1 2 1 ( a + b + c) 1 + + = + + + + +  + + = + 2+ 2+ = 2+ 2+     2 2 abc a b c  a b c  a b c ab bc ca  a b c  a b c 2 Áp dụng vào tốn ta có: THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ  1 1 1 1 1 1+ + = + + =  1+ −   1+ + = 1+ − 2 3 ( −3)   Áp dụng với số hạng lại ta được:  1 1 1   1  1 P = 1+ − + 1+ − + +  1+ − −  +  1+  = n+ − 3 n+  n +1 n +   n + n +  b Đặt ( ) x = a, y = b, z = c  x2 + y2 + z2 = x + y + z =  2( xy + yz + zx ) = ( x + y + z) − x2 + y2 + z2 = 2 Suy xy + yz + zx = dẫn đến 1+ a = xy + yz + zx + x2 = ( x + y )( x + z) , tương tự 1+ b = ( y + z)( y + z) ,1+ c = ( z + x )( z + y ) suy VT = = x y + z + ( x + y )( x + z ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + y ) = ( x + y)( y + z)( z + x) = x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y) ( x + y )( y + z )( z + x ) đpcm (1+ a)(1+ b)(1+ c) Dạng Các câu hỏi liên quan giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số Phương pháp giải: Để giải tập dạng ta cần ý tính chất bản: Với số thực A, B  A  + + A + B  A.B (Bất đẳng thức AM − GM ) Dấu đẳng thức xảy A = B A2 + B2 + C2 + D2  + ( ) ( ( A + C) + ( B + C) )( ( ) với số thực A, B,C, D  ) + A + B  A2 + B2 , A + B  A3 + B3 với A, B  Ví dụ a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = b Tìm giá trị nhỏ B = c Tìm giá trị nhỏ C = x +1 x +1 x+2 x +5 x +1 a a −1 + b b−2 + c c −3 với số thực a, b, c thỏa mãn a  1, b  4, c  d Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = 1− x + 1+ x + x e Cho số thực x thỏa mãn:  x  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của: P = x − x + (5 − x) x + THCS.TOANMATH.com Trang 10 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Ta có nhận xét, a4  12 a5  2a4 = 24 a6  2a5 = 48 Khi a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6  12 + 24 + 48  79 khơng thỏa mãn u cầu tốn Do ta a4  12 Để ý trừ số số cịn lại dãy số bội số đứng trước nó, ta có cách chọn bốn số a1 = 1;a2 = 2;a3 = 4;a4 = Ta có a5 = ma4 = 8m a6 = na5 = 8mn với m, n số nguyên dương lớn Mặt khác ta lại có a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 79 Từ ta + + + + 8m + 8mn = 79  m (1 + n ) = Giải phương trình nghiệm nguyên kết hợp với điều kiện số thứ sáu dãy lớn ta m = 2; n = nên ta a6 = 48 Vậy dãy số cần tìm 1; 2; 4; 8; 16; 48 Bài 19 Gọi 21 số a1 ;a2 ;a3 ; ;a21 Khơng tính tổng quát ta giả sử a1  a2  a3   a21 Khi ta a21 = 2014 Theo ta có a1 + a2 + a3 + + a11  a12 + a13 + + a21 Nên ta a1  ( a12 − a ) + ( a13 − a ) + + ( a 21 − a11 ) Do a1 ;a2 ;a3 ; ;a21 21 số guyên đôi khác a1  a2  a3   a21 nên ta suy a12 − a2  10; a13 − a3  10; ; a21 − a11  10 Do ta a1  100 nên suy a1  101 Theo 21 số có số 101 nên từ kết ta suy a1 = 101 Và ta có 101  ( a12 − a ) + ( a13 − a ) + + ( a 21 − a11 ) Do 100  ( a12 − a ) + ( a13 − a ) + + ( a 21 − a11 ) nên a12 − a2 = a13 − a3 = = a21 − a11 = 10 Từ ta a11 = a21 − 10 = 2014 − 10 = 2004 Từ a11 = 2004 đến a21 = 2014 có 11 số nguyên khác nên ta THCS.TOANMATH.com Trang 16 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ a12 = 2005;a13 = 2006; ;a20 = 2013 Từ ta a2 = a12 − 10 = 2005 − 10 = 1995;a3 = a13 − 10 = 2006 − 10 = 1996; ;a10 = 2004 Vậy 19 số cần tìm 19 số nguyên liên tiếp từ 1995 đến 2013 Bài 20 Giả sử n số tự nhiên chia 17 dư 10, n  n có dạng n = 17k + 10 với k  N Gọi 100 số tự nhiên chọn 17k1 + 10;17k2 + 10;17k3 + 10; ;17k100 + 10 Khơng tính tổng quát ta giả sử k1  k2  k3   k100 Nếu k100  118 thi 17k100 + 10  17.118 + 10 = 2016 Do k100  117 Ta chứng minh k3  20 Thật vậy, giả sử k3  21 Khi từ k1  k2  k3   k100 suy k4  k3 + 1; k5  k4 + 1; k6  k5 + 1; ; k100  k99 + Nên từ k3  21 suy k4  21 + = 22; k5  22 + = 23; k6  23 + = 24; ; k100  117 + = 118 , điều trái với k100  118 Do k3  20 Vì k3  20 nên suy k2  19; k1  18 Với kết ta chon ba số nhỏ 100 số 17k1 + 10;17k2 + 10;17k3 + 10 Khi ta 17k1 + 10 + 17k + 10 + 17k + 10  (17.18 + 10 ) + (17.19 + 10 ) + (17.20 + 10 ) = 999 Vậy ta ln chọn ba số có tổng khơng lớn 999 toán chứng minh THCS.TOANMATH.com Trang 17 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ XII NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN TRONG GIẢI TOÁN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Nguyên lý bất biến Cho a, b, c số thực ta xét tổng S = a + b + c Nếu ta đổi chỗ a cho b, b cho c, c cho a, tổng S ln ln (không đổi) Tổng không thay đổi thứ tự phép cộng Dù a, b, c có thay đổi thứ tự S không thay đổi, nghĩa S bất biến việc thay đổi biến khác Trong thực tế toán học, nhiều vấn đề liên quan đến số đối tượng nghiên cứu lại bất biến thay đổi nhiều đối tượng khác Các bước áp dụng nguyên lý bất biến giải toán Để giải toán đại lượng bất biến ta thực theo bước sau: + Bước 1: Ta phải phát đại lượng bất biến tốn Bước tương đối khó ta không luyện tập thường xuyên + Bước 2: Xử lý tiếp đại lượng bất biến để tìm điểm mâu thuẫn B BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài toán Trên bảng ta viết 10 dấu cộng 15 dấu trừ vị trí Ta thực xóa dấu viết vào dấu cộng xóa dấu giống dấu trừ xóa dấu khác Hỏi bảng cịn lại dấu ta thực thao tác 24 lần? Lời giải: Ta thay dấu cộng số dấu trừ -1 Ta thấy tích số bảng -1 Mà theo cách thực ta xóa số viết vào tích số đó, đồng thời ta thực 24 lần nên suy tích tất số bảng khơng đổi tích số bảng ln -1 Do đó, thực thao tác 24 lần bảng cịn lại dấu - Bài toán Giả sử n số lẻ ta viết lên bảng số từ đến 2n, sau chọn số a b viết lại số a − b Chứng minh số cuối lại bảng số lẻ Lời giải: Tổng số bảng ban đầu là: S = + +….+ 2n = n(2n + 1) Ta thấy n lẻ nên S lẻ Mà với thao tác tổng giảm 2.min a; b tính chãn lẻ tổng khơng đổi Vì ban đầu S số lẻ nên số cuối lại bảng số lẻ Bài toán Cho số 2,8,1,0,1,9,9,5 viết vòng tròn Cứ số cạnh ta cộng thêm vào số Hỏi sau số lần thực thao tác số vòng trịn khơng? THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Lời giải: Ta nhận thấy tổng số vòng tròn số lẻ nên thực thao tác tổng tăng lên nên tính chẵn lẻ tổng khơng đổi Mặt khác số số vòng tròn chẵn nên số tổng số lẻ suy mâu thuẫn Bài toán Một tờ giấy bị cắt nhỏ thành mảnh 11 mảnh Các mảnh nhận lại chọn để cắt (thành mảnh 11 mảnh nhỏ hơn) Cứ ta nhận 2005 mảnh cắt không ? Lời giải: Sau lần cắt mảnh giấy thành mảnh 11 mảnh số mảnh giấy tăng lên 10 Như tính bất biến tốn “số mảnh giấy tăng lên bội số 5” Vậy số mảnh giấy sau lần cắt có dạng + 5k, mặt khác 2005 có dạng 5k nên với cách cắt trên, từ tờ giấy ban đầu, ta khơng thể cắt thành 2005 mảnh Bài tốn Mỗi số dãy 21, 22, 23, , 22005 thay tổng chữ số Tiếp tục làm với số nhận tất số có chữ số Chứng minh dãy : số số nhiều số số Lời giải: Ta thấy : “Số tự nhiên A tổng chữ số A số dư phép chia cho 9” Mặt khác ta có : 21 chia cho dư ; 22 chia cho dư ; 23 chia cho dư ; 24 chia cho dư ; 25 chia cho dư ; 26 chia cho dư ; 27 chia cho dư ; Do 26k + r nhận số dư phép chia cho 2, 4, 8, 7, 5, tương ứng với giá trị r 1, 2, 3, 4, 5, Dãy cuối nhận gồm 2005 số thuộc tập hợp {2 ; ; ; ; ; 1} Ta có 2005 = 334 x + nên dãy cuối có 335 số (nhiều số số khác số) Vậy số số nhiều số số số Bài toán Một hình trịn chia thành 10 hình quạt, ô người ta đặt viên bi Nếu ta di chuyển viên bi theo quy luật : lần lấy ô viên bi, chuyển sang ô liền THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ kề theo chiều ngược chuyển tất viên bi không ? Lời giải: Trước tiên, ta tô màu xen kẽ hình quạt, có ô tô màu (ô màu) ô khơng tơ màu (ơ trắng) Ta có nhận xét : Nếu di chuyển bi ô màu bi trắng tổng số bi ô màu không đổi Nếu di chuyển ô màu, ô bi tổng số bi ô màu giảm Nếu di chuyển trắng, bi tổng số bi ô màu tăng lên Vậy tổng số bi ô màu không đổi, giảm tăng lên Nói cách khác, tổng số bi ô màu không thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu Ban đầu tổng số bi ô màu viên (là số lẻ) nên sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật tổng số bi ô màu khác khác 10, khơng thể chuyển tất viên bi ô C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1:Một tờ giấy xe thành mảnh, lại xé mảnh nhỏ thành mảnh nhỏ khác Cứ tiếp tục hỏi có 1995 2011 mảnh nhỏ hay không? Bài 2: Trong bảng ô vuông 100x100 ô điền dấu( + )và dấu ( - ) Một bước thực cách đổi toàn dấu hàng cột sang dấu ngược lại hỏi sau hữu hạn bước làm bảng ô vuông nhận 1970 dấu (–) không Bài 3: Trên bảng có số 96 ; ; , Mỗi lần thực cho phép xóa số a;b bảng 96 96 96 thay a + b - 2ab hỏi sau 95 lần thực phép xóa số cịn lại bảng số nào? Bài 4: Hai người chơi trò chơi với đống kẹo Đống thứ có 12 đống thứ có 13 người chơi lấy kẹo từ đống kẹo chuyển kẹo từ đống thứ sang đống thứ Người chơi thực thao tác thua Hãy chứng minh người chơi thứ khơng thể thua, người thắng khơng? Bài Trên bảng ghi số nguyên dương có hai chữ số trở lên Người ta thiết lập số cách xóa chữ số hàng đơn vị số cho, sau cộng vào số cịn lại lần số vừa bị xóa Ban đầu bảng ghi số 6100 Hỏi sau số bước thực ta thu 1006 hay khơng ? Tại ? THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Bài Giả sử n số lẻ Đầu tiên ta viết số từ tới 2n bảng đen Sau ta chọn hai số a, b xoá chúng, thay chúng a − b Chứng minh số lại cuối số lẻ Bài Người ta viết bảng dãy số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 Thực trò chơi sau: Tiến hành xóa hai số a, b dãy số viết lại số a + b Thực trò chơi trên bảng lại số Hỏi số cịn lại bảng 9876543212016 khơng Bài Có 2010 viên sỏi Hai người chơi thay phiên bốc sỏi, lượt người chơi quền bốc số lượng viên sỏi luỹ thừa với số mũ tự nhiên 2(1, 2, 4, .) Ai bốc viên sỏi cuối thắng Giả sử hai người chơi người thông minh Hỏi người thắng cuộc? Bài Trong hộp có 2010 viên sỏi Có hai người tham gia trò chơi, người phải bốc 11 viên sỏi nhiều 20 viên sỏi Người bốc viên sỏi cuối thua Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc người thắng Bài 10 Trên bảng có ghi 2013 số z= 1 1 ; ; ; ; Mỗi lần xóa hai số bảng ta thay số 2013 xy giữ nguyên số lại Sau 2012 lần thực bảng cịn lại số Tìm số cịn x + y +1 lại Bài 11 Cho hình trịn cia thành 10 hình quạt Trêm hình quạt ta đặt hịn bi Thực trò chơi sau: Mỗi lần lấy hai ơ hịn bi chuyển sang ô liền kề theo chiều ngược Hỏi sau số lần thực trị chơi chuyển tất cỏ viên bi ô không Bài 12 Cho bảng ô vuông chứa số hình 4a Ta thực thuật tốn T sau: Chọn số nằm hai ô vuông cạnh cộng số với số nguyên Hỏi sau số lần thực thuật tốn T bảng hình vng chứa số hình 4a thành bảng hình vng hình 4b hay khơng ? 6 Hình a Hình b Bài 13 Cho bàn cờ quốc tế 8.8 Hỏi quân mã nước từ ô bên trái kết thúc ô bên phải hay không Với điều kiện phải qua tất bàn cờ ô qua lần Bài 14 Mỗi số số a1 ;a2 ;a3 ; ;an nhận hai giá trị −1 THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Biết S = a1.a2 a3 a4 + a2 a3 a4 a5 ++ an a1.a2 a3 = Chứng minh n chia hết cho Bài 15 Trên mặt phẳng cho 2011 điểm cho khơng có điểm thẳng hàng Xét tất đoạn thẳng nối cặp điểm 2011 điểm Vẽ đường thẳng d không qua điểm số 2011 điểm nói Chứng minh đường thẳng d cắt số đoạn thẳng xét số đoạn thẳng bị đường thẳng d cắt số chẵn Bài 16 Cho trước số nguyên dương n lẻ Tại ô vng bàn cờ kích thước n x n người ta viết số +1 −1 Gọi a k tích tất số ghi hàng thứ k (tính từ xuống) bk tích tất số ghi cột thứ k (tính từ trái sang) Chứng minh với cách điền số trên, có: a1 + a2 + an + b1 + b2 + + bn  Bài 17 Ta định nghĩa viên gạch hình móc câu hình gồm vng đơn vị hình vẽ hình nhận lật hình đó(sanh trái, sang phải, ) hình nhận xoay hình góc Xác định hình chữ nhật kích thức m.n với m, n số nguyên dương cho lát viên gạnh hình móc câu Bài 18 Cho bảng ô vuông 6x6 đây: + + − + + + + + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − + + + + − − + + Bảng Bảng Bảng Thực thao tác biến đổi sau: Mỗi bước biến đổi cho phép đảo ngược dấu tất ô hàng cột đường chéo dọc theo đường song song với hai đường THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ chéo Hỏi sau số bước biến đổi đưa bảng bảng khơng có dấu trừ không Bài 19 Trên bảng đen viết ba số 2; 2; Ta bắt đầu thực trò chơi sau: Mỗi lần chơi ta xố hai số ba số bảng, giả sử a b viết vào vị trí vừa xố hai số a+b a−b đồng thời giữ nguyên số lại Như sau lần chơi bảng ln có ba số Chứng minh dù ta có chơi lần bảng khơng đồng thời có ba số 2 ; 2; + Bài 20 Trên bảng cho 2014 số tự nhiên từ đến 2014 Thực liên tiếp phép biến đổi sau: Mỗi lần xoá hai số a, b có bảng viết thêm số a + b − ab vào bảng Khi bảng cịn lại số dừng lại Tìm số cịn lại Bài 21 Trên bảng viết số 2014 2015 , , , , Mỗi lần biến đổi, xóa hai số a, b 2015 2015 2015 2016 thay số a + b − 5ab Hỏi sau 2014 lần thực phép biến đổi bảng lại số nào? HƯỚNG DẪN Bài 1: Sau lần xé số mảnh tăng thêm 5, nên số mảnh sau lần xé có dạng 5k + 1995 khác dạng 5k + cịn 2011 có dạng 5k +1 Bài 2: Không Bài 3: Gọi số bảng a1 ;a2 ; ;ak xét tích sau: ( 2a1 − 1)( 2a − 1) ( 2a k − 1) Khi xóa số a i ; a j ( tích ) thừa số ( ) ( 2a i ( − 1) 2a j − ) lai nhân thêm thừa số : a i + a j − 2a i a j − = ( 2a i − 1) 2a j − , nên giá trị tuyệt đối tích khơng đổi…Đáp số: cịn lai số n 2n – = nên n = Bài 4: Tính bất biến tính chẵn hay lẻ tổng hay hiệu hai đống kẹo Tổng số kẹo hai đống giảm số kẹo đống thứ giảm đi, trò chơi phải kết thúc , nên người thứ hai thắng Bài Chẳng hạn số ban đầu bảng số x = 10a + b, a  1; 2; 3; ; 9 ; b  0; 1; 2; 3; ; 9 Số thu sau thao tác đề y = a + 7b Ta thấy y = x − 9a + 6b THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Số ban đầu ghi bảng 100 chia hết cho Theo sau số bước thực thao tác đề bài, số thu số chia hết cho Vậy nên sau số bước thực thao tác đề bài, khơng thể thu 1006 , số không chia hết cho Bài Gọi S tổng tất số bảng Lúc đầu ta có S = + + ++ 2n = n ( 2n + 1) số lẻ n số lẻ Ta cần tìm đại lượng bất biến Hai số bị xóa a b, khơng tính tổng qt ta giả sử a  b Khi số thay vào a − b = a − b Như sau lần thực thuật toán đầu nói S bị giảm một đại lượng có giá trị a + b − ( a − b ) = 2b số chẵn Vì tính chẵn lẻ S giữ nguyên sau lần thực xáo hai số bảng Trong trường hợp S ln số lẻ bảng cịn lại số số số lẻ Bài Với dãy số tự nhiên từ đến 100 ta có tổng + + + + 100 = (100 + 1) 100 = 5050 Tiến hành xóa hai số a, b dãy số viết lại số a + b Khi tổng dãy số bảng ( ) tăng đại lượng a + b3 − ( a + b ) Ta thấy + + + + 100 = 5050 chia có số dư ( ) Lại thấy a + b3 − ( a + b ) = ( a − 1) a ( a + 1) + ( b − 1) b ( b + 1) Do đại lượng tăng lên chia hết cho Như sau lần tiến hành trị chơi tổng dãy số bảng ln chia cho có số dư Mà ta lại có 9876543212016 chia hết cho Do sau số lần tiến hành trị chơi bảng khơng thể cịn lại số 9876543212016 Bài Cách người sau sau: Khi người trước bốc k viên sỏi + Nếu k số lẻ k chia dư 2, người sau bốc viên sỏi + Nếu k số chẵn k chia dư người sau bốc viên sỏi Như người trước ln đối mặt với tình số viên sỏi cịn lại chia hết cho khơng bốc viên sỏi cuối Vậy người sau thắng THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Bài Để đảm bảo thắng cuộc, nước cuối người bốc sỏi phải để lại hộp 11 viên sỏi Ở nước trước phải để lại hộp 11 + (20 + 11) = 42 viên sỏi Suy người bốc sỏi phải đảm bảo hộp lúc 11 + 31k viên sỏi Ta có (2010 − 11) : 31 = 65 dư 15 Như người bốc sỏi lần thứ phải bốc 15 viên Tiếp theo, đối phương bốc k viên sỏi ( k = 1, 2, , 20 ) người bốc sỏi phải bốc 31 − k viên sỏi, cuối để lại 11 viên sỏi cho đối phương Bài 10 Ta có  1 1   1 1+ x + y 1 + + + =  + 1  + 1 = = + + Khi ta + = z xy x y z xy xy x y  x  y  Như sau lần xóa    1 + + ta thay số + =  +   +  x z y  x  y  Như tích số sau lần xóa thay số không đổi           1 1 Do k số cuỗi ta + =  +  +   +  = 2014! k           2013  Từ ta k = 2014!− Bài 11 Trước hết ta tô màu xen kẽ hình quạt, ta có ô tô màu ô không tô màu Nếu di chuyển viên bi ô màu viên bi ô không màu sang ô liền kề tổng số viên bi màu ô không màu không thay đổi Nếu di chuyển hai viên bi ô màu sang khơng màu tổng số viên bi ô màu bị giảm Còn di chuyển hai viên bi hai ô không màu sang ô liền kề tổng số viên bi màu tăng lên Như sau lần thực trò chơi thỉ tổng số viên bi ố màu khơng thay đổi tính chẵn lẻ so với lúc đầu Mà ban đầu tổng số viên bi ô màu 5, vây sau hữu nhạn lần thực trị chơi tổng số viên bi o màu ln số lẻ Do tổng số viên bi ô màu khác khác 10 Như sau số lần thực trị chơi ta khơng thể tất viên bi ô Bài 12 Tơ màu hình vng hình vẽ với màu đen(Đ) màu trắng(T) Đ T T THCS.TOANMATH.com Đ Đ T Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Đ T Đ Đặt B tổng số ô màu đen W tổng số ô màu trắng Ta thấy lần thực thuật tốn T ta cộng thêm số cạnh với số nguyên nên dễ thấy hiệu B − W không đổi Nhưng với giả thuyết tốn hình a B − W = , cịn hình b B − W = −1 Điều trái với quy tắc bất biến Vậy sau lần thực thuật tốn T từ hình a ta khơng thể nhận hình b Bài 13 Ta tơ ô bàn cờ xen kẽ màu đen trắng bàn cờ vua(hình vẽ) Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Do “ bình đẳng màu “ nên khơng tính tổng qt ta giả sử bên trái có màu trắng Từ cách mã ta nhận thấy sau nước mã sang ô khác màu với mà đứng Vì sau số lẻ nước mã ô màu đen , sau số chẵn nước mã màu trắng Đây tính bất biến Trở lại toán ta thấy từ ô bên trái lên ô bên phảI cần 63 nước Vì bên phải cần mang màu đen(Theo tính bất biến) Điều vơ lý Vậy quân mã từ ô bên trái nên ô bên phải yêu cầu đầu Nhận xét Bài toán giải xung quanh toán nhiều điều cần phải suy nghĩ Chẳng hạn xét bàn cờ X.X với X số lẻ liệu có cách từ ô bên trái lên ô bên phải thoả mãn yêu cầu tốn hay khơng? Bài 14 Đây tốn lý thuyết số ta dùng bất biến để giải Tính bất biến sau: Ta thấy S không thay đổi số dư chia cho ta đổi dấu số hạng liên tiếp THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Thật vậy, có số dương số âm khơng có chuyện thay đổi, có số khác dấu số cịn lại đổi dấu giá trị S thay đổi −4 điều khơng ảnh hưởng tới số dư S chia cho cả, cuối số dấu đổi dấu S thay đổi đại lượng hay −8 điều dĩ nhiên khơng ảnh hưởng tới số dư S chia cho Bây quay lại toán, thực thuật toán đổi dấu số hạng liên tiếp cho cuối đưa tất n số thành số dương Khi S = n theo tính bất biến S chia hết cho (vì ban đầu S = chia hết cho 4) Vậy n chia hết cho ta có kết luận cho tốn Bài 15 Đường thẳng không qua điểm 2011 điểm nên d cắt đoạn thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mà 2011 điểm nằm hai nửa mặt phẳng đối nửa chứa chẵn số điểm, nửa lại chứa lẻ số điểm(do 2011 số lẻ) Mặt khác nối chẵn số điểm nửa bên với lẻ số điểm bên ta chứng minh số đoạn thẳng nối số chẵn Thật vậy, giả sử d chia điểm nửa thứ có m điểm(m chẵn) nửa mặt phẳng chứa n điểm(n lẻ) Cứ điểm bên nửa nối đoạn thẳng với nửa bên nên số đoạn thẳng nối m.n, m chẵn nên m.n chẵn Bài toán chứng minh Bài 16 Trước hết ta dược ak {−1; +1}, bk {−1; +1},ak + bl {−2; 0; +2} (k , l  {1, 2, n}) + Nếu đổi dấu số ô vuông thuộc hàng k cột l số a k b l đổi dấu theo, số lại (của dãy a1 , a2 ,,an , b1 , b2 ,, bn ) không đổi dấu Hơn nữa, tổng a k + bl khơng đổi, tăng thêm giảm + Mỗi bảng với cách điền số đó, suy từ bảng gồm toàn số +1 cách thực đổi dấu số phần tử Tổng a1 + a2 + a1 + a2 + + an + b1 + b2 + + bn bảng sau đổi tổng + bn bảng toàn số số bội + Khi tổng bảng sau đổi a1 + a + Do n lẻ nên a1 + a + + an + b1 + b2 + + a n + b1 + b2 + + a n + b1 + b2 + + bn  2n ( mod ) + bn  ( mod ) Vậy với cách điền số ta ln có a1 + a2 + + an + b1 + b2 + + bn  Bài 17 Nhận thấy m n khác 1, 2, Chia hình chữ nhật m.n thành m.n vuông đơn vị đánh số hàng từ lên, đánh số cột từ trái qua phải Ta gọi ô ( p; q ) ô nằm hàng thứ p cột thứ q Hai hiên gạch hình móc câu ghép thành hình X O O O THCS.TOANMATH.com O O O Trang 10 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ X O X O O X O X X X O X O X X X X Do để lát hình chữ nhật m.n tích m.n phải chia hết cho 12 Nếu hai số m n chia hết cho lát hình chữ nhật m.n Thật vậy, m chia hết cho n chia hết cho hình chữ nhật m.n chia thành hình chữ nhật 4.3 có lát Nếu m chia hết cho n không chia hết cho ta viết n dạng n = 3a + 4b với a b số nguyên dương, bảng m.n lát Bây ta chứng minh hai số m n chia hết cho Giả sử ngược lại m n chia hết cho không chia hết cho Để chứng minh điều không xẩy ta cần tạo bất biến Để tạo bất biến ta điền vào hình chữ nhật theo quy tắc sau: Xét ô ( p; q ) Nếu hai tọa độ p q chia hết cho ta điền vào ( p; q ) số 1, p q chia hết cho ta điền vào ( p; q ) số Với điền ta thu bất biến tổng số ô hình thứ hình số hai số lẻ Do m n số chẵn nên tổng số hình chữ nhật m.n số chẵn Muốn lát hình chữ nhật m.n tổng số hình thứ hình thứ hai phải số chẵn Khi m.n chia hết cho 24, điều khơng xảy m, n khơng chia hết cho Bài 18 • Với bảng thứ ta thay dấu cộng bảng +1 dấu trừ bảng −1 Rõ ràng tích tất số ô vuông tính chẵn lẻ dấu trừ tính chẵn lẻ tổng số khơng phải bất biến Mặc dù tích số tất ô vuông bảng bất biến tích số số ô vuông cố định lại bất biến Để tìm vng cố định ta cần tìm tập hợp ô vuông cho thực biến đổi số vng đảo dấu ln số chẵn Dẽ thấy tập hợp ô vuông đánh dấu x bảng sau có tính chất thế: x THCS.TOANMATH.com x x x x x x x x x Trang 11 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ x x x x x x Tại trạng thái xuất phát tích tất số vng đánh dấu nói −1 Do tính nàu bất biến nên sau số phép biến đổi ta đưa bảng trạng thái khong có dấu trừ được(vì tích tất ố dánh dấu +1 ) • Với bảng thứ hai ta lập luận tương tự bảng thứ • Với bảng thứ ba ta thay dấu cộng bảng +1 dấu trừ bảng −1 Rõ ràng tích tất số vng tính chẵn lẻ dấu trừ tính chẵn lẻ tổng số bất biến Mặc dù tích số tất vng bảng khơng phải bất biến tích số số vng cố định lại bất biến Để tìm vng cố định ta cần tìm tập hợp vng cho thực biến đổi số ô vuông đảo dấu ln số chẵn Dẽ thấy tập hợp ô vuông đánh dấu x bảng sau có tính chất thế: x x x x x x x x x x x x x x Tại trạng thái xuất phát tích tất số vng đánh dấu nói −1 Do tính bất biến nên sau số phép biến đổi ta đưa bảng trạng thái khong có dấu trừ (vì tích tất ố dánh dấu +1 ) Bài 19 Giả sử ba số bảng a, b,c , thay a, b x = a+b y = a−b 2  a + b   a − b  a + 2ab + b2 + a − 2ab + b2 2 = a + b2 Khi ta có x + y =   =  +       THCS.TOANMATH.com Trang 12 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Như sau xoá số a, b thay hai số a+b a−b tổng bình phương hai số khơng đổi Do tổng bình phương ba số bảng không đổi + + Mặt khác tổng bình phương ba số bảng ba số 2 13 = 2 1  13 Vậy đồng thời ; 2; +  + + + 2   2 8  ; 2; + Bài 20 Trong trình biến đổi, giả sử bảng có dãy số a1 ; a2 ; ; a n Ta xét biểu thức sau: P = ( a1 − )( a − ) ( a n − ) Ta chứng minh su lần xóa giá trị biểu thức P giảm hai lần Giả sử ta xóa hai số a b tích P thừa số ( a − )( b − ) thay (a − )( b − ) 1 a + b − ab tích P có thêm thừa số a + b − ab − = giảm nửa nên P giảm 2 nửa Khi xóa hai số thay số nên sau lần xóa bảng giảm số Mà bảng có 2014 số nên sau 2013 lần xóa P giảm 2013 lần Khi ta có giá trị P = (1 − )( − ) ( 2014 − ) = Giả sử số lại bảng x ta có P = x − =  x = Vậy số cuối bảng Bài 21 Trong dãy số có số 403 = 2015 Nếu xóa hai số a b thay số c = a + b − 5ab , sau lần xóa dãy giảm số Như sau 2014 lần xóa bảng cịn lại số Đến lúc ta xóa Như xóa số 1 1 số b ta thay c = + b − b = 5 5 1 lại xuất số Vậy số cuối lại 5 THCS.TOANMATH.com Trang 13 ... xét: ( x2 + 20 19 + x )( ) x2 + 20 19 − x = x2 + 20 19 − x2 = 20 19 x2 + 20 19 − x = y2 + 20 19 + y Kết hợp với giả thiết ta suy  y2 + 20 19 + y + x2 + 20 19 + x = x2 + 20 19 − x + y2 + 20 19 − y  x + y... = u3 + v3 + 3uv(u + v) Ta có:  84 84  B3 =  1+ + 1−  9    = 1+   84 84 84 84   1+ 84 1− 84  + 1− + 3 + 1−  9 9  9      84  84  84 Hay B3 = + 33  1+  1−  B  B3... Tính x + y biết x + x2 + 20 19 y + y2 + 20 19 = 20 19 )( ) y2 + y + x2 + = Tính giá trị x + y Lời giải: a Dễ thấy A  0, THCS.TOANMATH.com Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Cách 1: Ta