Các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 7

HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề : +Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q; +Quy tắc dấu ngoặc; +Quy tắc chuyển vế; +Tính chất[r]

Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ -*** CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q I KIẾN THỨC CẦN NHỚ : HS cần nắm vững kiến thức sau trước nghiên cứu nội dung chuyên đề : +Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa Q; +Quy tắc dấu ngoặc; +Quy tắc chuyển vế; +Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối phép nhân phép cộng … Từ các tính chất phép toán ta chứng suy các “Công thức ” sau : a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ; b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ; c) (a - b).(a + b) = a2 - b2 Thật : a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b) = a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b)(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b) * Các Công thức b)c) HS tự chứng minh Ta gọi các công thức trên là các đẳng thức đáng nhớ II DẠNG TOÁN : Dạng Các phép toán : + Khi cộng hay trừ phân số bước đầu tiên phải đưa các phân số cùng mẫu số cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân tử và mẫu phân số với giá trị thích hợp ) rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư cao Qua số bài tập sau đây chúng ta tìm hiểu kĩ giải vấn đề này cách làm “đặc biệt “ Câu Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1 1    Tính tổng : P   x  xy  xyz  y  yz  yzt  z  zt  ztx  t  tx  txy (HSG T.p HP – 1997) + Hướng dẫn giải : 1 1    - Ta có : P   x  xy  xyz  y  yz  yzt  z  zt  ztx  t  tx  txy x xy xyz     ( nhân vào tử và  x  xy  xyz x  xy  xyz  xy  xyz   x xyz   x  xy mẫu phân số với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = )  x  xy  xyz  = 1  x  xy  xyz * Có thể làm theo cách khác sau : a b c d - Vì xyzt = nên ta có thể đặt x  ; y  ; z  ; t  với a,b,c,d là các số thực khác Khi b c d a đó ta có : Biểu thức P biến đổi thành : Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim 1 1    a a b a b c b b c b c d c c d c d a d d a d a b 1   1   1   1   b b c b c d c c d c d a d d a d a b a a b a b c 1 1     a a a b b b c c c d d d 1   1   1   1   b c d c d a d a b a b c bcd acd abd abc     bcd  acd  abd  abc acd  abd  abc  bcd abd  abc  bcd  acd abc  bcd  acd  abd bcd  acd  abd  abc  bcd  acd  abd  abc  Vậy P = * Chú ý : bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích , ta có thể biến đổi a b c d cách làm trên (đặt x  ; y  ; z  ; t  ) b c d a A.B B  + Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( ) Kĩ A.C C tưởng đơn giản này giúp ích lớn việc giải nhiều bài toán khó Thật vây :      Câu Tính : A  1  (BD HSG toán 8- T.77)  1   1               1986  + Hướng dẫn giải : n  n  1 - Ta có : ( nhớ     n  )      A  1   1   1               1986             1  1   1   1      1     1   1986 1986  1                  1   1   1    2.3   3.4   1986.1987  1987.1986   10 1987.1986 10 27 1987.1986   ;(1) 12 20 1987.1986 Mặt khác : 1986.1987 – = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 = 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2) Từ (1) và (2) ta có : 4.1 5.2 6.3 1988.1985 A 2.3 3.4 4.5 1986.1987  4.5.6 1988 (1.2.3 1985)  (2.3.4 1986) (3.4.5 1987) Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim 1987.1988 1.2 2.3 1986.1987 1988 994   1986.3 2979 * Lưu ý : Bài toán tổng quát là :      A  1   1   1   với n là số tự nhiên lớn             n  + Với bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý số công thức sau : 0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = ; a1 = a 1) am.an = am + n am 2) am : an = am – n ( hay : n  a m  n ) a m n m.n 3) (a ) = a 4) (a.b)n = an.bn n an a 5)    n b b 6) a-n = n a ( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa ) 219.27  15.49.94 Câu Rút gọn : ( HSG quốc gia – 1971) 69.210  1210 + Hướng dẫn giải : 18 219.27  15.49.94 219.33  5.218.39  2.1  5.1.3   5.36 734 367 - Ta có :      10 10 19 10 20 18  12  2  2.1  3.2    3.4  10206 5103  Câu Rút gọn : A = + + 52 + 53 + … + 550 (NC&PT toán 7/T11) + Hướng dẫn giải : - Ta có : 5.A = + 52 + 53 + 54 + … + 551 551  Do đó : 5.A - A = 551 - Vậy A = * NX : Với biểu thức A trên người ta còn thường bài toán : Chứng minh A là số chẵn hay chứng minh A chia hết cho chứng minh A không là số nguyên Các em hãy thử tìm lời ? Dạng Chứng minh đẳng thức hữu tỉ : a b c    Câu Cho ba số a , b ,c đôi khác và thoả mãn hệ thức : bc c a a b a b c   0 Chứng minh : ( HSG toán – 1999 – A ) 2 (b  c) (c  a ) (a  b) + Hướng dẫn giải : a b c ab  b  ac  c - Từ giả thiết suy : , nhân hai vế với ta :    bc bc a c a b  a  c  a  b  a ab  b  ac  c  (b  c)  a  c  a  b  b  c  Tương tự : c  a  cb  c  ab  a  a  c  b  c  a  b  Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim a  b  ca  a  cb  b  a  c  b  c  a  b  Cộng theo cột hai vế ba đẳng thức trên ta có ĐPCM Câu Chứng minh a,b,c khác thì : bc ca a b 2       a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b  a  b b  c c  a + Hướng dẫn giải : - Ta có :  a  c   b  a    ; bc   a  b  a  c   a  b  a  c  a  b a  c (Các bài toán chọn lọc …) a b 1 ca 1     ;  c  a  c  b  c  a c  b  b  c  b  a  b  c b  a Cộng theo vế các kết vừa tìm , suy ĐPCM Tương tự : Dạng Toán tìm x : Câu Tìm số hữu tỉ x , biết : x  x  x  x 1    2000 2001 2002 2003 ( NC&PT toán -tập 1) + Hướng dẫn giải : - Ta cộng vào hai vế đẳng thức với cùng giá trị là , : x  x  x  x 1    2000 2001 2002 2003 x4 x3 x2 x 1 1 1  1 1 2000 2001 2002 2003 x  2004 x  2004 x  2004 x  2004    0 2000 2001 2002 2003 1 1      x  2004   0  2000 2001 2002 2003  1 1     ( hiển nhiên) nên x + 2004 = hay x = -2004 Vì 2000 2001 2002 2003 * Nhận xét : Với hệ thức chứa các phân số có quy luật trên ( + 2000 = + 2001 = + 2002 = + 2003 = 2004 ) thì kĩ biến đổi trên là công cụ hữu hiệu để giải bài toán x-ab x  ac x  bc    a  b  c với a  b; b  c; c  a Câu Tìm x , biết : a+b a  c bc + Hướng dẫn giải : Đẳng thức đã cho tương đương với :  x-ab   x  ac   x  bc   a b   c    a+b   ac   bc  Quy đồng mẫu số dấu ngoặc đặt thừa số chung ta : 1     x-ab-ac-bc   0  ab bc ca  1    thì x = ab + bc + ca ; Từ đó ab bc ca 1    thì có vô số giá trị x thoả mãn bài toán Nếu ab bc ca Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : * Các bài :1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26;27;29;30;31;33;34;38;39;40;41;42;44;45;47 NC&PT toán 8 207207  1) Tính : 201201 1999 199 99 2) Rút gọn phân số : ( TQ : ) (BD HSG toán 8- trang 73) 9995 99 995 1    2002 3) Tính : M  (HSG toán T.p HP– 2002 – A) 2001 2000 1999     2001 1 1     4) Rút gọn : A = 1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1     5) Rút gọn : B = ( HSG toán T.p HP– 1999 – A) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1 1     6) Rút gọn : N  2.4 4.6 6.8 2006.2008 7) Biết xyz = Hãy tính tổng : 5   A= ;( KQ = 5) (HSG toán – 2001 – A) x  xy  y  yz  z  zx  8*) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992 Chứng minh : 1992 x y z   1 ( BD HSG toán – trang 77) xy  1992 x  1992 yz  y  1992 xz  z    1 3  1    1  9) Tính : a) 6       1 :   1         b)  63  3.62  33  :13 1 1 1 1          ( HSG quận Ba Đình HN – 2005) 10 90 72 56 42 30 20 12 315  x 313  x 311  x 309  x      ( HSG q Hoàn Kiếm HN – 2004) 10) Tìm x,biết : 101 103 105 107 11) Tìm x , biết : a ) x  x  10  12 c)      b)  x          ( HSG Quận - T.p HCM – 2003)      a b c c) x    bc ca ab 12) TÍnh : a ) A           1999  2000  2001  2002  2003        b) B    1   1   1   1   1      16   25   121  ( HSG Quận - T.p HCM – 2003) Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim 1 2     13) a)Tính : 2003 2004 2005  2002 2003 2004 5 3     2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 x3  x  0, 25 xy  c) Cho A  TÌm giá trị A , biết x = và y là số nguyên âm lớn x y ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) x x +1 x + 14) Tìm x , biết : + +3 = 117 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) 15) Thực phép tính : 111  2  1,5   14  31  19   1:   1 1 93    12   6 3 ( HSG – Hà Tây – 2003 ) 1   a (a  b)  a  c  b  b  a  b  c  c  c  b  c  a  ( HSG quốc gia – 1963) 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n :       ( HSG quốc gia – 1978) 1   1   1   1          n 1  18) Cho a,b,c là các số thực có tích Chứng minh : 1    1; a)  a  ab  b  bc  c  ca   1    1  b)  a     b     c      a     b     c    ( Toán tuổi thơ 2- số 51) b  c  a  b  c  a  19) TÌm tất các số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức : b c a    ( Toán tuổi thơ 2- số 51) ab bc ca ab x ac x bc x 4x    1 20) Cho abc  và a + b + c  TÌm x , biết : c b a abc 1 21) Cho x,y,z là các số khác không và x   y   z  Chứng minh : y z x 2 Hoặc x = y = z x y z = 16) Thực phép tính : Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim IV HƯỚNG DẪN GIẢI : 8 207207 8 207 8 69       201201 201 67 1  103   1999 2.10  2      2)  10 9995 10   10 103   2  1    2002 3) M  2001 2000 1999     2001 1 Đặt A =    ; 2002 2001 2000 1999     B= , ta có : 2001 2000 1999 2002 B(  1)  (  1)   (  1)  2001 2002 2002 2002 2002 2002      2001 2002  1  2002      2002  2 A Vậy M   B 2002 * Tương tự ta có bài toán sau : Bài toán : Tính giá trị biểu thức: 1 1 1     97 99 a) A  1 1      1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1      99 100 b) B  99 98 97     99 Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: 1 1 1 100 100 100 100 (1  )  (  )  (  )    (  )      99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 100  100  100  100  99      99 100   99   100 100 100 b) Biến đổi số chia:                99   99   1  1  1 1  100  100        99   100        99  99 100  2 2 1) Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim Biểu thức này 100 lần số bị chia Vậy B  100 1   ( a  0), ta có : a a  a (a  1) 1 1     1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1 1 1 2009           1  2010 2009 2010 2010  1 1 5) Áp dụng kết :  , ta có :    a (a  1) (a  1)(a  2)  a (a  1)(a  2) 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1 1 1 1            1.2 2.3 2.3 3.4 1998.1999 1999.2000  11  1999.2000       1999.2000  2.1999.2000 1   , sau đó áp dụng kết 6) Hãy điền vào ô trống để có đẳng thức đúng : a (a  2) A A nhận vào giải bài toán * Chú ý : Từ kết các bài 4,5,6 trên ta rút số quy luật ( Công thức ) sau đây : 1   1) n(n  1) n n  k  1  k   2)  n(n  1)  n n 1  1 1     3)  n( n  k ) k  n n  k  k  1   4)  n( n  k )  n n  k  1  1  1      5)      2n(2n  2) 4n(n  1)  2n 2n    n n   1  1     6)  (2n  1)(2n  3)  2n  2n   1  2 7) n.(n  1) n (n  1).n  1 1 8)     a (a  1) (a  1)(a  2)  a (a  1)(a  2) 4) Áp dụng đẳng thức : (Trong đó: n, k  N , n  ) 7) Nhân tử và mẫu phân số với 1; x ; xy với chú ý xyz = , ta : 1  x  xy  5 5 5x 5xy A        x  xy  y  yz  z  zx  x  xy  xy   x  x  xy x  xy  * Chú ý : Cũng có thể đặt phần ví dụ mẫu Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim 8) Từ giả thiết xyz = 1992 (1) suy : xy  1992 (2) , thay (1) và (2) vào vế trái đẳng thức z : 1992 x y z   xy  1992 x  1992 yz  y  1992 xz  z  1992 x y z    1992  1992 x  1992 yz  y  xyz xz  z  z xz y z     xz  z y ( z   xz ) xz  z  xz z     xz  z z   xz xz  z  1  xz  z   xz  z   VP   1 3  1    1   1  4  2  4 16 3 4 9) a) 6       1 :   1  6   1 :    2 :         27       VT  b)  63  3.62  33  :13  62   3  33  :13   22.32.32  33  :13  33  3.22  1 :13  33.13 :13  33  27 c) 1 1 1 1          10 90 72 56 42 30 20 12 1 1 1 1  1               10  90 72 56 42 30 20 12     1 1 1              10  90 72 56 42 30 20  12    1 1 1             10  90 72 56 42 30  20    1 1            10  90 72 56 42  30    9  10 10 0  10) Tìm x , biết : 315  x 313  x 311  x 309  x      ( HSG quận Hoàn Kiếm HN – 101 103 105 107 2004) + Làm tương tự Câu : Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim 315  x 313  x 311  x 309  x    40 101 103 105 107 315  x 313  x 311  x 309  x  1 1 1 0 101 103 105 107 416  x 416  x 416  x 416  x     0 101 103 105 107 1     416  x      0  101 103 105 107  1      Vì   > nên dẫn đến 416 – x = hay x = 416  101 103 105 107  11) Tìm x , biết : a) Kết : x = 48      b)  x                1  x      8  1 :   8  1  x      8 1  x   64  x  64 9  x  ;x  64 64 a b c c) x    bc ca ab + Theo tính chất dãy tỉ số , ta có : a b c abc     b  c c  a a  b 2a  b  c 12) TÍnh : a ) A           1999  2000  2001  2002  2003 Vậy x =        b) B    1   1   1   1   1      16   25   121  a) b) Từ đến 121 có các số chính phương là : 4;9;16;25;36;49;64;81;100;121 nên :        B    1   1   1   1   1      16   25   121  3 8 15 24 35 48 63 80 99 120  ( ).( ).( ).( ).( ) 16 25 36 49 64 81 100 121 20 35 54 25 54 54  ( ).( )  ( )   10 21 36 55 27 55 55 11 Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim 1 2     7 13) a) Ta có : 2003 2004 2005  2002 2003 2004    5 3 15     2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 + Ta có : S = 23(13 + 23 + 33 + …+ 103) = 8.3025 = 24200 x3  x  0, 25 xy  c) Cho A  TÌm giá trị A , biết x = và y là số nguyên âm lớn x y ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) + Vì y là số nguyên âm lớn nên y = -1 cùng với x = thay vào biểu thức A , : 2 1 1 1   4        1  9 3 9 4 2 2   8 A   :   2 1 1   1 2 14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + = 117 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) 3x + 3x +1 + 3x + = 117  3x(1 + + 32) = 117  13.3x = 117  3x = 117 : 13  3x = 32  x = 15) Thực phép tính : 111  2  1,5   14  31  19   1:    ( HSG – Hà Tây – 2003 )  1 1 93    12   6 3 1   16) Thực phép tính : a (a  b)  a  c  b  b  a  b  c  c  c  b  c  a  ( HSG quốc gia – 1963) + 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đây theo n :       ( HSG quốc gia – 1978) 1   1   1   1          n 1  + Ta có :  n       1   1   1   1           n 1  n 1 n 1 x y z 18) Vì abc = nên ta có thể đặt : a  ; b  ; c  với x,y,z là các số khác Khi đó ta có : y z x a) Vế trái đẳng thức a) biến đổi thành : 1 yz zx xy yz  zx  xy        1; x x y y z z xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx 1  1  1  y z z x x y Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim Vậy ta có ĐPCM b) Vế trái đẳng thức b) biến đổi thành : x z  y x  z y  x  y  z y  z  x z  x  y  x  y  z   y  z  x   z  x  y   ;(*)  1   1   1   y  z z  x x y z x xyz y Tương tự ta biến đổi vế phải đẳng thức b) biểu thức (*) suy ĐPCM 19) Đẳng thức đã cho tương đương với : 1    ;(*) a b c 1 1 1 b c a a b c Đặt x  ; y  ; z  ta có x,y,z là các số dương thoả mãn xyz = Khi đó ta có : b c a 1     *  x 1 y 1 z 1   xy  yz  zx    x  y  z   ( quy đồng mẫu số , khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = )  xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - =  (x -1)(y - 1)(z - 1) =  x = y = z = a  b  b  c c  a 20) Biến đổi đẳng thức đã cho tương đương với : 1   a  b  c  x      0  a b c abc  1  thì x = a + b + c Nếu :    a b c abc 1  thì có vô số giá trị x thoả mãn Nếu    a b c abc 1 yz 21) Từ giả thiết ta có : x  y    z y yz yx zx ;yz  Tương tự : x  z  yx zx Nhân theo vế ba đẳng thức trên :  x  y  x  z  y  z   x  y  x  z  y  z   x2 y z Đẳng thức này xảy x2y2z2 = x = y = z Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ -*** Buæi : CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q Ngµy so¹n: 15 /9 / 2009 Néi dung : So s¸nh hai sè h÷u tØ I KiÕn thøc cÇn nhí : HS cần nắm vững kiến thức sau : + SHT là số có thể viết dạng a/b với a,b thuộc Z; b khác + §Ó so s¸nh hai sè h÷u tØ x vµ y ta lµm nh­ sau : Viết x,y dạng hai phân số cùng mẫu dương x=a/m; y= b/m ( m >0) So s¸nh c¸c tö : NÕu a< b th× x<y NÕu a=b th× x=y NÕu a>b th× x>y Bæ sung : Cho x=a/b ; y=c/d ( a,b,c,d thuéc Z ; b,d > ) x=y <=> ad=bc x<y <=> ad< bc x>y <=> ad>bc II D¹ng bµi tËp to¸n : c a Bµi tËp 1: Cho SHT vµ ( b>0 ; d> ) CMR : b d c a c a ac NÕu < th× < < b d b bd d Gi¶i: Ta cã a c < => ad<bc (1) Tõ (1) ta cã ab+ad< ab+bc <=> a( b+d ) < (a+c )b hay b d a ac < (2) Tõ (1) ta l¹i cã ad + cd< bc + cd <=> d(a+c ) < c(b+c ) b bd ac c a ac c hay < (3) Tõ (2) vµ (3) suy < < (®pcm) bd d b bd d ( Gi÷a hai SHT, bao giê còng tån t¹i mét sè h÷u tû ) 1 1 ¸p dông viÕt ba sè h÷u tØ xen gi÷a hai SHT vµ a 1 a Bµi 3: Cho a,b thuéc Z (b>o) H·y so s¸nh hai SHT vµ b b 1 Gi¶i : Ta cã a(b+1)=ab+a vµ b(a+1) = ba +b NÕu a>b th× a(b+1) > b(a+1) NÕu a(b+1) > b(a+1) th× a>b VËy a a 1 < , nÕu a<b b b 1 ; a a 1 > , nÕu a>b b b 1 Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim ¸p dông : So s¸nh Bµi : Cho x=  17  16 vµ 25 26 vµ ; 12 với b thuộc Z Xác định b để: b  15 a, x lµ mét SHT b, x là SHT dương c, x lµ SHT ©m d, x=-1 g, x>1 e, 0<x<1 a b c d Bµi 5: Cho c¸c SHT x, y, z, víi x= ; y= ; z= m ac bd , đó m= , n= n 2 Cho biÕt x kh¸c y, h·y so s¸nh x víi z, y víi z ? Gi¶i : NÕu x<y th× a ac c a 2m c a m c < < hay < < , suy < < , đó x<y<z b bd d b 2n d b n d Tương tự, x > y thì x > z> y Bµi 6: Cho c¸c SHT x= c m a , y= vµ z = BiÕt ad-bc=1 ; cn - dm=1; b,d,n > b d n a, H·y so s¸nh c¸c sç x, y, z b, So s¸nh y víi t biÕt t = am víi b+ n kh¸c bn Gi¶i: a b c (1) d c m cn – dm = => cn > dm => > ( 2) ( V× b,d,n > ) d n a c m Tõ (1) vµ (2) suy > > VËy x > y >z b d n a, ad-bc=1 => ad>bc => > b, ad – bc = cn – dm = => ad + dm = bc + cn => d( a + m) = c( b + n) VËy c am = , suy y = t d bn BTVN : Cho sáu số nguyên dương a < b < c < d < m < n Chứng minh rằng: acm < abcd mn Hướng dẫn: a <b => 2a < a+ b ; c < d => 2c < c+d ; m < n => 2m< m+n Suy : 2(a+c+m) < (a+b+c+d+m+n), từ đó suy điều phải c/m Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ -*** CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q Ngµy so¹n: 25 / / 2009 Buæi : Néi dung : Céng , trõ, nh©n, chia sè h÷u tØ KiÕn thøc cÇn nhí : I A HS cần nắm vững kiÕn thức sau: a b Céng, trõ SHT: NÕu x= ; y = ( a, b, m thuéc Z , m >0 ) th× : m m a b a b ab a b x+y = + = ; x – y = x + (- y) = + (- ) = m m m m m m PhÐp céng Q cñng cã c¸c t/c c¬ b¶n nh phÐp céng Z; cñng cã quy t¾c “ dấu ngoặc ” nh tổng đại số Z Quy t¾c chuyÓn vÕ : Víi x, y, z , t thuéc Q th× : x + y – z = t <=> x – t = - y + z B Bæ sung: Tính chất đẳng thức và quy tắc “ chuyển vế ” đúng với BĐT II D¹ng bµi tËp to¸n : Bµi 1: TÝnh 3 - + 11 13 5  + 11 13 Bµi 2: a, b, + 1 - + 5 - + (1     100).(1 /  /  /  / 9).(6,3.12  21.3,6) /  /  /   / 100 /  /  / 11 /  / 25  / 125  / 625 + /  /  / 11 /  / 25  / 125  / 625 HD: a, Chú ý 6,3.12 - 21.3,6 = 63.1,2 - 63.1,2 = Do đó biểu thức b, KÕt qu¶ b»ng 1/4 + 3/4 = Bµi 3: Cho A = ( 1 1  1)  1).(  1).(  1) ( 100.100) 2.2 3.3 4.4 So s¸nh A víi Gi¶i : A là tích 99 số âm Do đó: 1 1 -A = (1- ).( 1- ) (1) .(1) 16 10000 15 9999 = 2.2 3.3 4.4 10000 Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim = 1.3 2.4 3.5 99.101 2.2 3.3 4.4 10000 1.2.3 98.98 3.4.5 100.101 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 101 101 1 = > 200 100 = = Bµi 4: TÝnh: Do đó A < 1 1 1 1 - 90 72 56 42 30 20 12 Bài 5: CMR không tồn hai SHT x và y trái dấu, không đối thỏa mãn đẳng thức : B = 1 = + x y x y Giải : Giả sử tồn hai số hữu tỉ x và y thỏa mãn đẳng thức 1 = + Suy x y x y yx = <=> ( x + y ) ( x+ y ) = xy đẳng thức này không xảy vì (x + y ).(x+ y ) > x y xy còn x.y < ( x và y là hai số trái dấu, không đối ) Bµi 6: T×m SHT x vµ y ( y kh¸c 0), biÕt r»ng : x- y = xy = x : y Gi¶i : Từ x-y = xy => x= xy +y = y( x+1) => x:y = x+1 ( y khác ) Theo đề bài thì x : y = x –y , suy x + = x – y => y = -1 Thay y = - vµo x - y = xy ®­îc x - (-1) = x.(-1) => 2x = - => x = - VËy x = -1/2 ; y = -1 Bµi 7: Cho M= x (x-3) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× : a, M = ; b, M > ; c, M < x 1 Bµi : Cho P = Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P = ; P > ; P < x 1 BTVN: Cã tån t¹i hai sè d¬ng a vµ b kh¸c cho : = kh«ng? a b a b 1 ba HD : Gi¶ sö - = th× = => ( b- a) (a –b) = ab a b a b ab a b Vế trái có giá trị âm (vì tích hai số đối khác 0) , vế phải có giá trị dơng (vì là tích hai số d1 1 ¬ng) VËy kh«ng tån t¹i hai sè d¬ng a vµ b kh¸c mµ = a b a b Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG h×nh häc *** Buæi 3: I §­êng th¼ng vu«ng gãc - ®­êng th¼ng song song Ngµy so¹n : 10/ 10/ 2009 KiÕn thøc cÇn nhí: A HS cần nắm vững kiÕn thức sau: - Định nghĩa hai góc đối đỉnh ; Tính chất hai góc đối đỉnh - §Þnh nghÜa hai ®t vu«ng gãc ; TÝnh chÊt nhÊt cña hai ®t vu«ng gãc : Cã mét vµ chØ mét ®t ®i qua mét ®iÓm cho tríc vµ vu«ng gãc víi mét ®t cho tríc - §êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng - Định nghĩa hai đờng thẳng song song ; - Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song a // b , : +, CÆp gãc so le b»ng +, Cặp góc đồng vị +, CÆp gãc cïng phÝa bï - Tiên đề Ơ-clit hai đờng thẳng song song Từ đó suy : Hai đt phân biệt cùng song song víi ®t thø ba th× song song víi - TÝnh chÊt cña hai ®t song song : NÕu mét ®t c¾t hai ®t song song th× : +, CÆp gãc so le b»ng +, Cặp góc đồng vị +, CÆp gãc cïng phÝa bï B Bæ sung: - Mỗi góc có góc đối đỉnh - Mỗi đoạn thẳng có đờng trung trực - Hai gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc - Hai gãc cã c¹nh t¬ng øng song song - Có thể dùng tiên đề Ơ-clit để c/m ba điểm thẳng hàng : Cho ba điểm A, B, C ngoài đt a , nÕu cã AB // a vµ AC // th× A, B, C th¼ng hµng - NÕu hai gãc cã c¹nh t¬ng øng song song th× : + Chóng b»ng nÕu hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï + Chóng bï nÕu gãc nµy nhän , gãc tï + NÕu mét gãc vu«ng th× gãc cßn l¹i cñng vu«ng II D¹ng bµi tËp to¸n: Bài : Xét các cặp góc đối đỉnh Â1 và Â3 ; Â2 và Â4 đợc tạo hai đt cắt A Tìm số đo mçi gãcætong nh÷ng trêng hîp sau : a, ¢1 + ¢4 = 100 b, ¢2 - ¢4 = 20 c, ¢1 = ¢2 Bài : CMR hai tia phân giác hai góc đối đỉnh là hai tia đối Gi¶i 1 Cách 1: <xoy = <aob (đối đỉnh )=> <xoy = <aob 2 => «1 = «4 Ta cã «4 + <xon = 180 ( kÒ bï) => «1 + <xon = 180 V× om vµ on n»m vÒ hai phÝa cña xa nên om và oa là hai tia đối C¸ch : «1 = «2 ; «3 = «4 ; <xob = <aoy Mµ tæng gãc nµy b»ng 360 nªn : «1 + «3 + <xon = 180 Suy om và on là hai tia đối Bµi 3: Chøng tá r»ng hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï vu«ng gãc víi Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim Gi¶i : Gäi A0B vµ BOC lµ hai gãc kÒ bï, c¸c tia OM, ON thø tù lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña chóng Tpcm: OM ON ThËt vËy, hai gãc AOC vµ BOC kÒ bï nªn tia OC n»m gi÷a hai tia OA, ON <AOC + <BOC = 180 Tia OM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOC nªn tia OM n»m gi÷a hai tia OA, OC (2) vµ <MOC = <AOC Tia ON lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOC nªn tia ON n»m gi÷a hai tia OB, OC (3) vµ <CON = <BOC Từ (1), (2), (3) suy tia OC nằm hai tia OM, ON, đó :  AOC   BOC 180 <MON = <MOC + <CON = + = 90 2 Hai tia OM , ON c¾t t¹i O vµ <MON = 90 nªn OM vu«ng gãc víi ON Bài 4: Cho góc MON có số đo 120 Vẽ các tia OA , OB góc đó cho OA vuông góc với OM, OB vu«ng gãc víi ON a) Chøng tá r»ng <AON = BOM b) VÏ tia Ox vµ tia Oy thø tù lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc AON vµ BOM Chøng tá r»ng Ox vu«ng gãc víi Oy c) KÓ tªn nh÷ng cÆp gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc Gi¶i : a) OA vu«ng gãc víi OM nªn <AOM = 90 OB vu«ng gãc víi ON nªn <BON = 90 C¸c tia OA, OB ë gãc MON nªn: <AON = <MON - <AOM = 120 – 90 = 30 <BOM = <MON - <BON = 120 – 90 = 30 VËy <AON = BOM = 30 b) Tia Ox lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AON nªn <Nox = 15 Tia Oy lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM nªn < MOy = 15 Tia Ox n»m gi÷a hai tia OM, ON nªn <MOx = MON - <NOx = 120 – 15 = 105 Tia Oy n»m gi÷a hai tia OM, Ox nªn <xOy = <MOx - <MOy = 105 – 15 = 90 VËy Ox vu«ng gãc víi Oy Bµi 5: ë miÒn gãc tï xOy , vÏ c¸c tia Oz, Ot cho Oz vu«ng gãc víi Ox, Ot vu«ng gãc víi Oy CMR : a) <xOt = <yOz; b) <xOy + <zOt = 180 Gi¶i: a) <xOt + <zOt = <xOz = 90 nªn <xOt = 90 - <zOt (1) <yOz + <zOt = <yOt = 90 nªn <yOz = 90 - <zOt (2) VËy <xOt = <yOz b) <xOy + <zOt = ( <xOz + <zOy) + <zOt = <xOz + (<zOy+ <zOt) =<xOz + <yOz = 90 + 90 = 180 BTVN: Cho h×nh vÏ, biÕt ¢ = a , C = b, <ABC = a + b, <ABm = 180 – a CMR: a, Ax // Bm b, Cy // Bm Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim Ngµy so¹n: 22 / 10 / 2009 Buæi : Nội dung : Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ I KiÕn thøc cÇn nhí :  x, x  Víi x thuéc Q th×: |x| =  ;  x , x  |x| = | -x | ; |x|  ; |x|  x Víi |x| < m <=> -m < x < m |x| > m <=> HoÆc x > m hoÆc x < -m II D¹ng bµi tËp: Bµi 1: T×m x, biÕt a) | 2,5 – x | = 1,3 b) 16 - | x – 0,2 | = c) | x – 1,5 | + | 2,5 - x | = Bµi 2: T×m GTLN cña : a) A = 0,5 - | x – 3,5 | b) B = - | 1,4 –x | - c) C = 10 - | x – | Bµi 3: T×m GTNN cña : a) M = 1,7 + | 3,5 – x | b) N = | x + 2,8 | - 3,5 c) L = | 3x -1 | - ( víi x lµ sè nguyªn) | x | 3 Gîi ý : ¸p dông c«ng thøc |x|  vµ  - |x| C©u 3(d) : |x|  th× Q > d) Q = Xét |x| < thì x thuộc Z nên |x| hoặc 2, đó Q – -3 -6 Vậy GTNN cña Q b»ng -6 vµ chØ x = hoÆc x= -2 Bµi 4: Cho x , y thuéc Q Chøng tá r»ng : a) | x | +| y |  | x + y | b) | x – y |  | x | -| y | ( §Ò thi HSG huyÖn Léc Hµ n¨m häc 2007-2008) Gi¶i : a) Víi mäi x , y thuéc Q ta lu«n cã | x |  x vµ | x |  - x | y |  y vµ | y | - y =>| x | + | y |  x + y vµ | x | + | y |  - (x + y ) hay x + y  - ( | x | + | y |) Do đó : | x | + | y |  x + y  - ( | x | + | y |) VËy | x | +| y |  | x + y | b) Theo kÕt qu¶ c©u a cã : | x - y | + | y |  | x - y + y | = | x | Bµi 5: T×m GTNN cña A = | x – 2009 | + |x+1| Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net => | x – y |  | x | -| y | Trần Thanh Hải – Trường THCS Thạch Kim Gi¸o ¸n d¹y n©ng cao to¸n lớp THCS Lop7.net