Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 7

HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề : +Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q; +Quy tắc dấu ngoặc; +Quy tắc chuyển vế; +Tính chất[r]

Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ Tác giả : Trần Văn Quang -*** CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q I KIẾN THỨC CẦN NHỚ : HS cần nắm vững kiến thức sau trước nghiên cứu nội dung chuyên đề : +Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa Q; +Quy tắc dấu ngoặc; +Quy tắc chuyển vế; +Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối phép nhân phép cộng … Từ các tính chất phép toán ta chứng suy các “Công thức ” sau : a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ; b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ; c) (a - b).(a + b) = a2 - b2 Thật : a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b) = a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b)(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b)2 * Các Công thức b)c) HS tự chứng minh Ta gọi các công thức trên là các đẳng thức đáng nhớ II DẠNG TOÁN : Dạng Các phép toán : + Khi cộng hay trừ phân số bước đầu tiên phải đưa các phân số cùng mẫu số cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân tử và mẫu phân số với giá trị thích hợp ) rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư cao Qua số bài tập sau đây chúng ta tìm hiểu kĩ giải vấn đề này cách làm “đặc biệt “ Câu Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1 1    Tính tổng : P   x  xy  xyz  y  yz  yzt  z  zt  ztx  t  tx  txy (HSG T.p HP – 1997) + Hướng dẫn giải : 1 1    - Ta có : P   x  xy  xyz  y  yz  yzt  z  zt  ztx  t  tx  txy x xy xyz     ( nhân vào tử và  x  xy  xyz x  xy  xyz  xy  xyz   x xyz   x  xy mẫu phân số với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = )  x  xy  xyz  = 1  x  xy  xyz * Có thể làm theo cách khác sau : a b c d - Vì xyzt = nên ta có thể đặt x  ; y  ; z  ; t  với a,b,c,d là các số thực khác Khi b c d a đó ta có : Biểu thức P biến đổi thành : Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 1 1    a a b a b c b b c b c d c c d c d a d d a d a b 1   1   1   1   b b c b c d c c d c d a d d a d a b a a b a b c 1 1     a a a b b b c c c d d d 1   1   1   1   b c d c d a d a b a b c bcd acd abd abc     bcd  acd  abd  abc acd  abd  abc  bcd abd  abc  bcd  acd abc  bcd  acd  abd bcd  acd  abd  abc  bcd  acd  abd  abc  Vậy P = * Chú ý : bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích , ta có thể biến đổi a b c d cách làm trên (đặt x  ; y  ; z  ; t  ) b c d a A.B B  + Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( ) Kĩ A.C C tưởng đơn giản này giúp ích lớn việc giải nhiều bài toán khó Thật vây :      Câu Tính : A  1  (BD HSG toán 8- T.77)  1   1               1986  + Hướng dẫn giải : n n  1 - Ta có : ( nhớ     n  )      A  1   1   1               1986            1  1   1   1    2  1   3  1   1986 1986  1                  1   1   1    2.3   3.4   1986.1987  1987.1986   10 1987.1986 10 27 1987.1986   ;(1) 12 20 1987.1986 Mặt khác : 1986.1987 – = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 = 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2) Từ (1) và (2) ta có : 4.1 5.2 6.3 1988.1985 A 2.3 3.4 4.5 1986.1987 4.5.6 1988 (1.2.3 1985)  (2.3.4 1986) (3.4.5 1987) Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 1987.1988 1.2  2.3 1986.1987 1988 994   1986.3 2979 * Lưu ý : Bài toán tổng quát là :      A  1   1   1   với n là số tự nhiên lớn             n  + Với bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý số công thức sau : 0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = ; a1 = a 1) am.an = am + n am m n m – n 2) a : a = a ( hay : n  a m  n ) a 3) (am)n = am.n 4) (a.b)n = an.bn n an a 5)    n b b 6) a-n = n a ( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa ) 219.27  15.49.94 Câu Rút gọn : ( HSG quốc gia – 1971) 69.210  1210 + Hướng dẫn giải : 18 219.27  15.49.94 219.33  5.218.39 2.1  5.1.3   5.36 734 367 - Ta có :  19 10 20  18    10 10  12  2 2.1  3.2  2  3.4  10206 5103 Câu Rút gọn : A = + + 52 + 53 + … + 550 (NC&PT toán 7/T11) + Hướng dẫn giải : - Ta có : 5.A = + 52 + 53 + 54 + … + 551 551  Do đó : 5.A - A = 551 - Vậy A = * NX : Với biểu thức A trên người ta còn thường bài toán : Chứng minh A là số chẵn hay chứng minh A chia hết cho chứng minh A không là số nguyên Các em hãy thử tìm lời ? Dạng Chứng minh đẳng thức hữu tỉ : a b c    Câu Cho ba số a , b ,c đôi khác và thoả mãn hệ thức : bc c a a b a b c   0 Chứng minh : ( HSG toán – 1999 – A ) 2 (b  c) (c  a ) (a  b) + Hướng dẫn giải : a b c ab  b  ac  c - Từ giả thiết suy : , nhân hai vế với ta :    bc bc a c a b a  c a  b  a ab  b  ac  c  (b  c) a  c a  b b  c  Tương tự : c  a   cb  c  ab  a a  c b  c a  b  Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 ca  a  cb  b  a  b  a  c b  c a  b  Cộng theo cột hai vế ba đẳng thức trên ta có ĐPCM Câu Chứng minh a,b,c khác thì : bc ca a b 2      a  b a  c  b  c b  a  c  a c  b  a  b b  c c  a + Hướng dẫn giải : - Ta có : a  c   b  a    ; bc  a  b a  c  a  b a  c  a  b a  c (Các bài toán chọn lọc …) a b 1 ca 1     ; c  a c  b  c  a c  b b  c b  a  b  c b  a Cộng theo vế các kết vừa tìm , suy ĐPCM Tương tự : Dạng Toán tìm x : Câu Tìm số hữu tỉ x , biết : x  x  x  x 1    2000 2001 2002 2003 ( NC&PT toán -tập 1) + Hướng dẫn giải : - Ta cộng vào hai vế đẳng thức với cùng giá trị là , : x  x  x  x 1    2000 2001 2002 2003 x4 x3 x2 x 1 1 1  1 1 2000 2001 2002 2003 x  2004 x  2004 x  2004 x  2004    0 2000 2001 2002 2003 1 1     x  2004  0  2000 2001 2002 2003  1 1     ( hiển nhiên) nên x + 2004 = hay x = -2004 Vì 2000 2001 2002 2003 * Nhận xét : Với hệ thức chứa các phân số có quy luật trên ( + 2000 = + 2001 = + 2002 = + 2003 = 2004 ) thì kĩ biến đổi trên là công cụ hữu hiệu để giải bài toán x-ab x  ac x  bc    a  b  c với a  b; b  c; c   a Câu Tìm x , biết : a+b a  c bc + Hướng dẫn giải : Đẳng thức đã cho tương đương với :  x-ab   x  ac   x  bc   a b   c    a+b   ac   bc  Quy đồng mẫu số dấu ngoặc đặt thừa số chung ta : 1    x-ab-ac-bc  0  ab bc ca  1    thì x = ab + bc + ca ; Từ đó ab bc ca Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 1    thì có vô số giá trị x thoả mãn bài toán Nếu ab bc ca III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : * Các bài :1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26;27;29;30;31;33;34;38;39;40;41;42;44;45;47 NC&PT toán 8 207207  1) Tính : 201201 1999 199 99 2) Rút gọn phân số : ( TQ : ) (BD HSG toán 8- trang 73) 9995 99 995 1    2002 3) Tính : M  (HSG toán T.p HP– 2002 – A) 2001 2000 1999     2001 1 1     4) Rút gọn : A = 1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1     5) Rút gọn : B = ( HSG toán T.p HP– 1999 – A) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1 1     6) Rút gọn : N  2.4 4.6 6.8 2006.2008 7) Biết xyz = Hãy tính tổng : 5   A= ;( KQ = 5) (HSG toán – 2001 – A) x  xy  y  yz  z  zx  8*) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992 Chứng minh : 1992 x y z   1 ( BD HSG toán – trang 77) xy  1992 x  1992 yz  y  1992 xz  z    1 3  1    1  9) Tính : a) 6       1 :   1         b) 63  3.62  33 :13 1 1 1 1          ( HSG quận Ba Đình HN – 2005) 10 90 72 56 42 30 20 12 315  x 313  x 311  x 309  x      ( HSG q Hoàn Kiếm HN – 2004) 10) Tìm x,biết : 101 103 105 107 11) Tìm x , biết : a ) x  x  10  12 c)      b)  x          ( HSG Quận - T.p HCM – 2003)      a b c c) x    bc ca ab 12) TÍnh : a ) A           1999  2000  2001  2002  2003        b) B    1   1   1   1   1      16   25   121  Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 ( HSG Quận - T.p HCM – 2003) 1 2     13) a)Tính : 2003 2004 2005  2002 2003 2004 5 3     2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 x  x  0, 25 xy  c) Cho A  TÌm giá trị A , biết x = và y là số nguyên âm lớn x y ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) x x +1 x + 14) Tìm x , biết : + +3 = 117 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) 15) Thực phép tính : 111  2  1,5   14  31  19   1:   1 1 93    12   6 3 ( HSG – Hà Tây – 2003 ) 1   a (a  b) a  c  b b  a b  c  c c  b c  a  ( HSG quốc gia – 1963) 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n :       ( HSG quốc gia – 1978) 1   1   1   1          n 1 18) Cho a,b,c là các số thực có tích Chứng minh : 1    1; a)  a  ab  b  bc  c  ca   1    1  b)  a     b     c      a     b     c    ( Toán tuổi thơ 2- số 51) b  c  a  b  c  a  19) TÌm tất các số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức : b c a    ( Toán tuổi thơ 2- số 51) ab bc ca ab x ac x bc x 4x    1 20) Cho abc  và a + b + c  TÌm x , biết : c b a abc 1 21) Cho x,y,z là các số khác không và x   y   z  Chứng minh : y z x 2 Hoặc x = y = z x y z = 16) Thực phép tính : Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 IV HƯỚNG DẪN GIẢI : 8 207207 8 207 8 69       201201 201 67 1  103   1999 2.10  2      2)  10 9995 10   10 103   2  1    2002 3) M  2001 2000 1999     2001 1 Đặt A =    ; 2002 2001 2000 1999     B= , ta có : 2001 2000 1999 2002 B(  1)  (  1)   (  1)  2001 2002 2002 2002 2002 2002      2001 2002  1  2002      2002  2 A Vậy M   B 2002 * Tương tự ta có bài toán sau : Bài toán : Tính giá trị biểu thức: 1 1 1     97 99 a) A  1 1      1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1      99 100 b) B  99 98 97     99 Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: 1 1 1 100 100 100 100 (1  )  (  )  (  )    (  )      99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 1) Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 100  100  100  100  99      99 100   99   100 100 100 b) Biến đổi số chia:                99   99   1  1  1 1  100  100        99   100        99  99 100  2 2 Biểu thức này 100 lần số bị chia Vậy B  100 1  4) Áp dụng đẳng thức :  ( a  0), ta có : a a  a (a  1) 1 1     1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1 1 1 2009           1  2010 2009 2010 2010  1 1 5) Áp dụng kết :  , ta có :    a (a  1) (a  1)(a  2)  a (a  1)(a  2) 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1 1 1 1            1.2 2.3 2.3 3.4 1998.1999 1999.2000  11  1999.2000       1999.2000  2.1999.2000 1   , sau đó áp dụng kết 6) Hãy điền vào ô trống để có đẳng thức đúng : a (a  2) A A nhận vào giải bài toán * Chú ý : Từ kết các bài 4,5,6 trên ta rút số quy luật ( Công thức ) sau đây : 1   1) n(n  1) n n  k  1  k   2)  n(n  1)  n n 1 1 1     3)  n( n  k ) k  n n  k  k  1   4)  n( n  k )  n n  k  1  1  1      5)      2n(2n  2) 4n(n  1)  2n 2n    n n   1  1     6)  (2n  1)(2n  3)  2n  2n   1  2 7) n.(n  1) n (n  1).n  1 1 8)     a (a  1) (a  1)(a  2)  a (a  1)(a  2) Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 (Trong đó: n, k  N , n  ) 7) Nhân tử và mẫu phân số với 1; x ; xy với chú ý xyz = , ta : 1  x  xy  5 5 5x 5xy A        x  xy  y  yz  z  zx  x  xy  xy   x  x  xy x  xy  * Chú ý : Cũng có thể đặt phần ví dụ mẫu 1992 8) Từ giả thiết xyz = 1992 (1) suy : xy  (2) , thay (1) và (2) vào vế trái đẳng thức z : 1992 x y z VT    xy  1992 x  1992 yz  y  1992 xz  z  1992 x y z    1992  1992 x  1992 yz  y  xyz xz  z  z xz y z     xz  z y ( z   xz ) xz  z  xz z     xz  z z   xz xz  z  1  xz  z   xz  z   VP   1 3  1    1   1  4  2  4 16 3 4 9) a) 6       1 :   1  6   1 :    2 :         27       b) 63  3.62  33 :13  62 6  3  33  :13  22.32.32  33 :13  33 3.22  1:13  33.13 :13  33  27 c) 1 1 1 1          10 90 72 56 42 30 20 12 1 1 1 1  1               10  90 72 56 42 30 20 12     1 1 1              10  90 72 56 42 30 20  12    1 1 1             10  90 72 56 42 30  20    1 1            10  90 72 56 42  30    9  10 10 0  10) Tìm x , biết : 315  x 313  x 311  x 309  x      ( HSG quận Hoàn Kiếm HN – 101 103 105 107 2004) + Làm tương tự Câu : Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 315  x 313  x 311  x 309  x    40 101 103 105 107 315  x 313  x 311  x 309  x  1 1 1 0 101 103 105 107 416  x 416  x 416  x 416  x     0 101 103 105 107 1    416  x     0  101 103 105 107  1      Vì   > nên dẫn đến 416 – x = hay x = 416  101 103 105 107  11) Tìm x , biết : a) Kết : x = 48      b)  x                1  x      8  1 :   8  1  x      8 1  x   64  x  64 9  x  ;x  64 64 a b c c) x    bc ca ab + Theo tính chất dãy tỉ số , ta có : a b c abc     b  c c  a a  b a  b  c  12) TÍnh : a ) A           1999  2000  2001  2002  2003 Vậy x =        b) B    1   1   1   1   1      16   25   121  a) b) Từ đến 121 có các số chính phương là : 4;9;16;25;36;49;64;81;100;121 nên :        B    1   1   1   1   1      16   25   121  3 8 15 24 35 48 63 80 99 120  ( ).( ).( ).( ).( ) 16 25 36 49 64 81 100 121 20 35 54 25 54 54  ( ).( )  ( )   10 21 36 55 27 55 55 11 Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 1 2     7 13) a) Ta có : 2003 2004 2005  2002 2003 2004    5 3 15     2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 + Ta có : S = 23(13 + 23 + 33 + …+ 103) = 8.3025 = 24200 x  x  0, 25 xy  c) Cho A  TÌm giá trị A , biết x = và y là số nguyên âm lớn x y ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) + Vì y là số nguyên âm lớn nên y = -1 cùng với x = thay vào biểu thức A , : 2 1 1 1   4       1  9 3 9 4 2 8 A     :   2 1 1   1   14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + = 117 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) x x +1 x + +3 +3 = 117  3x(1 + + 32) = 117  13.3x = 117  3x = 117 : 13  3x = 32  x = 15) Thực phép tính : 111  2  1,5   14  31  19   1:    ( HSG – Hà Tây – 2003 )  1 1 93    12   6 3 1   16) Thực phép tính : a (a  b) a  c  b b  a b  c  c c  b c  a  ( HSG quốc gia – 1963) + 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đây theo n :       ( HSG quốc gia – 1978) 1   1   1   1          n 1 + Ta có :  n       1   1   1   1           n 1 n 1 n 1 x y z 18) Vì abc = nên ta có thể đặt : a  ; b  ; c  với x,y,z là các số khác Khi đó ta có : y z x a) Vế trái đẳng thức a) biến đổi thành : Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590 1 yz zx xy yz  zx  xy        1; x x y y z z xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx 1  1  1  y z z x x y Vậy ta có ĐPCM b) Vế trái đẳng thức b) biến đổi thành : x z  y x  z y  x  y  z y  z  x z  x  y x  y  z   y  z  x  z  x  y   ;(*)  1   1   1   y  z z  x x y z x xyz y Tương tự ta biến đổi vế phải đẳng thức b) biểu thức (*) suy ĐPCM 19) Đẳng thức đã cho tương đương với : 1    ;(*) a b c 1 1 1 b c a a b c Đặt x  ; y  ; z  ta có x,y,z là các số dương thoả mãn xyz = Khi đó ta có : b c a 1    *  x 1 y 1 z 1  xy  yz  zx   x  y  z   ( quy đồng mẫu số , khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = )  xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - =  (x -1)(y - 1)(z - 1) =  x = y = z = a  b  b  c c  a 20) Biến đổi đẳng thức đã cho tương đương với : 1  a  b  c  x     0  a b c abc  1  thì x = a + b + c Nếu :    a b c abc 1  thì có vô số giá trị x thoả mãn Nếu    a b c abc 1 yz 21) Từ giả thiết ta có : x  y    z y yz yx zx ;yz  Tương tự : x  z  yx zx Nhân theo vế ba đẳng thức trên : x  y x  z  y  z  x  y x  z  y  z   x2 y z Đẳng thức này xảy x2y2z2 = x = y = z Tài liệu sử dụng cho ôn luyệnLop8.net học sinh giỏi các lớp 6- – – THCS