CHUYÊN ĐỀ: SO SÁNH ( LỚP: + ) DẠNG 1: SO SÁNH LŨY THỪA Bài 1: So sánh: a, 9920 999910 HD: b, 2300 3200 c, 3500 300 a, Ta có: 9920 = ( 992 ) ( 99.101) = 999910 b, Ta có: 2300 = ( 23 ) 10 10 = 8100 3200 = ( 32 ) 100 100 d, 85 3.47 = 9100 , Mà: 8100 91000 = 2300 3200 c,Ta có : 3500 = ( 35 ) 100 = 143100 7300 = ( 73 ) 100 = 343100 , Mà : 143100 343100 = 3500 7300 d, Ta có : Bài 2: So sánh : a, 2711 818 HD : a, Ta có : b, Ta có : c, Ta có : d, Ta có : Bài 3: So sánh : a, 523 6.522 HD: a, Ta có: 85 = ( 23 ) = 215 = 2.214 3.214 = ( 22 ) = 3.47 , Vậy 85 3.47 d, 32 n 23n c, 536 1124 b, 6255 1257 2711 = 333 ;818 = 332 6255 = 520 ;1257 = 521 536 = 12512 ;1124 = 12112 32 n = 9n ;23n = 8n c, 399 1121 b, 199 20 200315 523 = 5.522 6.522 b, Ta có: 19920 20020 = (8.5) = 260.540 200315 200015 = ( 4.53 ) = 260.545 c, Ta có: 1121 2721 = ( 33 ) = 363 399 Bài 4: So sánh: a, 10750 7375 HD : a, Ta có : 15 20 21 c, 544 2112 b, 291 535 10750 10850 = 2100.3150 7375 7275 = 2225.3150 b, Ta có : 291 = ( 213 ) = 81927 535 = ( 55 ) = 31257 c, Ta có : 544 = ( 2.27 ) = 24.312 2112 = 312.712 d, Ta có : Bài 5: So sánh: a, 5143 7119 Bài 6: So sánh: a, 637 1612 HD : a, Ta có : d, 89 7 98 108 = 1004 = 100.1003 Và 89 = 5123 5003 = 53.1003 = 125.1003 b, 21995 5863 c, 3976.42005 71997 b, 5299 3501 c, 323 515 d, 127 23 51318 637 647 = ( 82 ) = 814 Và 1612 = ( 24 ) = 248 = 23.16 = 816 12 b, Ta có : 5299 5300 = ( 53 ) GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức 100 ( 35 ) 100 = 3300 2501 c, Ta có : 323 = 32+ 21 = ( 33 ) = 9.277 515 = ( 52 ) = 5.257 d, Ta có : 127 23 12823 = ( 27 ) = 2161 51318 51218 = ( 29 ) = 2162 7 Bài 7: So sánh : a, 2115 275.498 Bài 8: So sánh: a, 202303 303202 b, 7245 − 7244 7244 − 7243 c, 200410 + 20049 200510 b, ( −32 ) ( −18) c, 111979 371320 13 HD: a, Ta có : 202303 = ( 2.101) ( −32 ) = ( 23.1013 ) 101 3.101 Và 303202 = ( 3.101) b, Ta có : 18 23 2.101 = ( 32.101) 101 , Mà : 8.1013 = 8.101.1012 9.1012 = −329 = −245 , Mà 245 252 = 1613 1813 Vậy −245 −1813 = ( −18) 13 c, Ta có : 111979 111980 = (113 ) Và 371320 = ( 37 ) 660 660 = 1331660 = 1369660 Bài 9: Chứng minh : 527 263 528 HD : Ta chứng minh : 527 263 : Ta có : 527 = ( 53 ) = 1259 263 = ( 27 ) = 1289 Ta chứng minh : 263 528 : Ta có : 263 = ( 29 ) = 5127 528 = ( 54 ) = 6257 Bài 10: So sánh : a, 10750 7375 HD : a, Ta có : 9 7 b, 291 535 c, 1255 257 d, 354 281 10750 10850 = ( 4.27 ) = 2100.3150 50 Và 7375 7275 = (8.9 ) = 2225.3150 75 b, Ta có : 291 290 = ( 25 ) = 3218 18 Và 535 536 = ( 52 ) = 2518 18 Bài 11: So sánh : a, 528 2614 b, 521 12410 c, 3111 1714 d, 421 64 Bài 12: So sánh : a, 291 535 b, 544 2112 c, 230 + 330 + 430 3.2410 Bài 13: So sánh: a, 281 b, 3452 342.348 c, 321 231 d, 5299 3501 HD: c, Ta có: 231 = 2.810 321 = 3.320 = 3.910 d, Ta có: 5299 5300 = 125100 3501 3500 = 243100 Bài 14: So sánh: a, 523 6.522 b, 1010 48.505 c, 1255 257 d, 354 281 HD : 523 = 5.522 6.522 a, Ta có : 1010 = 210.510 = 2.29.510 48.505 = 3.24 ( 25.510 ) = 3.29.510 b, Ta có : Vậy : 1010 48.503 c, Ta có : 1255 = ( 53 ) = 515 257 = ( 52 ) = 514 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Vậy : 1255 257 d, Ta có : 354 = ( 36 ) = 7299 , 281 = ( 29 ) = 5129 9 Vậy : 354 281 Bài 15: So sánh: a, (−32)9 (−16)13 HD : a, Ta có : b, (−5)30 (−3)50 ( −32 ) c, 528 2614 d, 421 647 = −329 = − ( 25 ) = −245 ( −16 ) = −16 13 = − ( 24 ) = −252 13 13 Mà : −245 −252 = ( −32 ) ( −16 ) b, Ta có : 30 = 530 = ( 53 ) = 12510 50 = 350 = ( 35 ) = 24310 ( −5) ( −3) 13 10 10 Mà : 12510 24310 c, Ta có : 528 = ( 52 ) = 2514 < 2614 d, Ta có : 421 = ( 43 ) = 647 Bài 16: So sánh: a, 231 321 HD : 14 b, 2711 818 c, 6255 1257 d, 536 1124 a, Ta có : 321 = 3.320 = ( 32 ) = 3.910 231 = 2.810 b, Ta có : 2711 = ( 33 ) = 333 818 = ( 34 ) = 324 c,Ta có : 6255 = ( 54 ) = 520 1257 = ( 53 ) = 521 Mà : 520 521 536 = 12512 1124 = 12112 , d, Ta có : Bài 17: So sánh: a, 333444 444333 HD : a, Ta có : b, Ta có : c, Ta có : 10 Mà : 3.910 2.810 11 Mà : 333 324 Mà : 12512 12112 b, 200410+20049 200510 333444 = ( 3.111) 4.111 c, 3452 342.348 = 8991111.111333 444333 = ( 4.111) 3.111 = 64111.111333 , Mà : 8991111.111333 64111.111333 200410 + 20049 = 20049 ( 2004 + 1) = 2005.20049 2005.20059 3452 = 345.345 = (342 + 3)345 = 342.345 +1035 342.348 = 342 (345 + 3) = 342.345 + 1026 Mà : 342.345 + 1035 342.345 + 1026 Bài 18: So sánh: a, 199010 + 19909 199110 b, 12.131313 13.121212 HD : a, Ta có : 199010 + 19909 = 19909 (1990 + 1) = 1991.19909 Và 199110 = 1991.19919 Mà : 1991.19909 1991.19919 12.131313 = 12.13.10101 13.121212 = 13.12.10101 b, Ta có : Bài 19: So sánh: A = 222333 B = 333222 HD : Ta có : 222333 = ( 2223 ) 111 = ( 23.1113 ) 111 333222 = ( 3332 ) 111 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức = (8.111.1112 ) 111 = ( 32.1112 ) 111 = (888.1112 ) 111 = ( 9.1112 ) 111 Bài 20: So sánh : 2009 20 2009200910 Bài 21: So sánh : 269 531 HD: ( ) ( ) = 512 = 5 = ( ) = 625 269 = 263.26 = 29 22 Và 531 28 7 3 Bài 22: So sánh: A = + + + + 1000 B = 1.2.3.4 11 HD: (1 + 1000) 1000 103.103 = 106 Ta có: A = + + + + 1000 = Và B = ( 2.5)( 3.4 )( 6.7 )(8.9 )10.11 10 103 = 106 Bài 23: So sánh : 17 + 26 + 99 HD: Ta có : 17 16 = 4; 26 25 = nên 17 + 26 + + + = 10 = 100 99 Bài 24: So sánh: a, 98.516 19 20 b, 7150 & 3775 HD: a, Ta có: 98.516 = 316.516 = 1516 1916 1920 b, Ta có: 50 7150 7250 = ( 8.9 ) = 2150.3100 3775 3675 = ( 4.9 ) = 2150.3150 Bài 25: So sánh: 75 1 1 b, − 4 8 a, 300 200 2 3 HD : 1 c, 32 16 100 100 1 1 200 = 100 = 100 9 a, Ta có : 1 1 = 100 = 300 8 b, Ta có : 1 1 1 −1 1 = = 16 = = 15 , mà : 216 215 2 4 8 c, Ta có : 1 1 1 1 = = 35 = = 36 mà : 235 236 2 16 16 32 32 = = 1 , Mà : 100 100 9 100 Bài 26: So sánh: 13 a, 243 83 HD: −1 b, 16 100 a, Ta có : = 45 243 c, Ta có : 500 c, (2008 − 2007)2009 (1997 −1998)2999 13 13 1 1 1 = 52 45 = 3 83 81 243 1 1 −1 −1 = 100 = 400 = 500 , mà: 2400 2500 16 2 16 2 2009 2999 2999 2009 ( 2008 − 2007 ) = = (1997 − 1998) = ( −1) = −1, Mà: 1>-1 100 b, Ta có : −1 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức 500 Bài 27: So sánh : 15 1 a, 80 HD: 3 10 1 b, 10 1 a, 199 300 Bài 28: So sánh: 3 b, 243 243 8 20 1 1 = 28 = 30 80 81 243 a, Ta có: 53 125 243 243 35 243 3 b, Ta có: = 15 = 15 = 15 = 15 15 15 3 2 243 8 11 1 Bài 29: So sánh: M = 1 − 1 − 1 − 1 − với 19 16 100 Bài 30: So sánh: ( −32 ) ( −18) 13 Bài 31: So sánh: a, 2711 818 b, 6255 1257 e, 2115 275.498 g, 199 20 200315 Bài 32: So sánh: 230 + 330 + 430 3.2410 HD: ( ) (2 ) Ta có: 430 = 230.230 = 23 10 15 d, 7.213 216 i, 7245 − 7244 7244 − 7243 c, 536 1124 h, 399 1121 ( ) 810.315 810.310 = 2410.3 Vậy 230 + 330 + 430 3,224 Bài 33: So sánh: + 33 29 + 14 HD: Ta có: = 36 29 33 14 => 36 + 33 29 + 14 Bài 34: So sánh: A = 20 + 20 + 20 + + 20 ( 2018 dấu căn) với B = HD: Ta có: 20 = A 20 = , Ta lại có: 20 25 = = A 20 + 20 + 20 + + 25 = , A B = Bài 35: Chứng minh rằng: A = + + + + (2018 dấu căn) số không nguyên Bài 36 : Chứng minh : B = 56 + 56 + 56 + + 56 (2018 dấu căn) số khơng ngun GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức DẠNG 2: SO SÁNH BIỂU THỨC PHÂN SỐ Phương pháp chính: Tùy tốn mà ta có cách biến đổi a a a+m + Cách 1: Sử dụng tính chất: = ngược lại, b b b+m (Chú ý ta chọn phân số có mũ lớn để biến đổi ) + Cách 2: Đưa hỗn số + Cách 3: Biến đổi giống để so sánh Bài 1: So sánh: 2005 72 98 19 a, b, 2004 99 73 19 Bài 2: So sánh qua phân số trung gian: 15 72 58 18 b, b 37 73 99 31 HD: 18 18 18 15 a, Xét phân số trung gian là: , Khi ta có: 37 31 37 37 72 72 58 72 b, Xét phân số trung gian , Khi ta có: 73 99 99 99 n +1 n Bài 3: So sánh : n+2 n+3 HD : n Xét phân số trung gian : n+2 Bài 4: So sánh: 12 13 64 67 19 17 73 73 a, b, c, d, 77 85 49 47 83 81 31 35 d, Xét phần bù Bài 5: So sánh : 123 2003.2004 − 2004.2005 − 149 456 449 a, b, c, 128 2003.2004 2004.2005 157 461 457 Bài 6: So sánh: 20082007 + 20082008 + 100100 + 100101 + a, A = B = b, A = B = 20082009 + 20082008 + 100100 + 10099 + HD: 2007 20082008 + 20082008 + + 2007 20082008 + 2008 2008 2008 + = =B a, A = = A = 20082009 + 20082009 + + 2007 20082009 + 2008 2008 20082008 + ( ( 100 100101 + 100101 + + 99 100101 + 100 100 (100 + 1) = B = = =A b, Ta có : B = 100100 + 100100 + + 99 100100 + 100 100 (10099 + 1) Bài 7: So sánh: 1315 + 1316 + a, A = 16 B = 17 13 + 13 + HD: GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức b, A = ) ) 19991999 + 19992000 + B = 19991998 + 19991999 + a, B = 15 1316 + 1316 + + 12 1316 + 13 13 (13 + 1) = B = = =A 1317 + 1317 + + 12 1317 + 13 13 (1316 + 1) Vậy A>B 1999 19992000 + 19992000 + + 1998 19992000 + 1999 1999 (1999 + 1) = B = = b, B = =A 19991999 + 19991999 + + 1998 19991999 + 1999 1999 (19991998 + 1) Bài 8: So sánh: 10098 + 100100 + a, A = B = 10097 + 10099 + HD: b, A = 1010 + 1011 − B = 1012 − 1011 + 98 100100 + 100100 + + 9999 100100 + 102 100 (100 + 1) = A = = = B Vậy A>B a, A = 10099 + 10099 + + 9999 10099 + 102 1002 (10097 + 1) 10 1011 − 1011 − + 11 1011 + 10 10 (10 + 1) = A 12 = = =B b, A = 12 10 − 10 − + 11 1012 + 10 10 (1011 + 1) Bài 9: So sánh: 107 + 108 + 108 + 108 a, A = B = b, A = B = 10 − 10 − 10 − 10 − HD: 107 + 107 − + 13 13 a, A = = = 1+ 7 10 − 10 − 10 − 8 13 13 10 + 10 − + 13 13 = A B mà: B= = = 1+ 8 10 − 10 − 10 − 10 − 10 − 108 + 108 − + 3 b, A = = = 1+ 8 10 − 10 − 10 − 8 3 10 10 − + 3 = A B Mà: B= = = 1+ 8 10 − 10 − 10 − 10 − 10 − Bài 10: So sánh: 1002009 + 1002010 + 1920 + 1921 + a, A = 20 B = 21 b, A = B = 1002009 + 1002008 + 19 − 19 − HD: 1920 + 1920 − + 13 13 a, A = 20 = = + 20 20 19 − 19 − 19 − 21 21 13 13 19 + 19 − + 13 13 21 = A B , Mà: 20 B = 21 = = + 21 21 19 − 19 − 19 − 19 − 19 − 2009 1002010 + 1002010 + + 99 100 100 + = B = = A , AB a, B = 17 10 + 10 + + 10 (1016 + 1) b, B = 2004 102005 + 102005 + + 10 (10 + 1) = B = = A Vậy A>B 102006 + 102006 + + 10 (102005 + 1) GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 12: So sánh: 101992 + 101993 + a, A = 1991 B = 1992 10 + 10 + HD: b, A = 1010 + 1010 − B = 1010 − 1010 − 1992 101993 + 101993 + + 10 (10 + 1) = B 1992 = = A B>A a, B = 1992 10 + 10 + + 10 (101991 + 1) 1010 + 1010 −1 + 2 = = + 10 10 10 10 − 10 − 10 −1 10 10 2 10 − 10 − + 2 = A B , mà: B = 10 = = + 10 10 10 − 10 − 10 − 1010 − 1010 − Bài 13: So sánh: 152017 + 1020 + 1021 + 152016 + a, A = 21 B = 22 b, A = 2017 B = 2018 15 + 10 + 10 + 15 + HD: 21 1021 + 1021 + + 54 1021 + 60 10 (10 + ) = B 22 = = = A , Vậy A>B a, B = 22 10 + 10 + + 54 1022 + 60 10 (1021 + ) b, A = 2016 152017 + 152017 + + 74 152017 + 75 15 (15 + 5) = B 2018 = = = A A>B b, B = 2018 15 + 15 + + 74 152018 + 75 15 (152017 + 5) Bài 14: So sánh: 1021 + 1020 + a, A = 21 B = 22 10 + 10 + HD: b, A = 2021 + 2022 + B = 2023 + 28 2022 + 20 1021 + 1021 + + 26 1021 + 30 10 (10 + 3) = B 22 = = = A , A>B a, B = 22 10 + 10 + + 26 1022 + 30 10 (1021 + 3) b, B = 21 2022 + 2022 + + 52 2022 + 60 20 ( 20 + 3) = B = = = A Vậy A>B 2023 + 28 2023 + 28 + 52 2023 + 80 20 ( 2022 + ) Bài 15: So sánh: A = 100100 + 10069 + Và B = 10068 + 10099 + HD: Quy đồng mẫu ta có: A = (100100 + 1)(10068 + 1) , B = (10069 + 1)(10099 + 1) Xét hiệu A − B = (100 + 1) (10068 + 1) − (10089 + 1)(10099 + 1) = 100100 − 10099 − 10069 + 10068 = 100.10099 − 10099 − 100.10068 + 10068 = 99.10099 − 99.10068 = 99 (10099 − 10068 ) = A B Bài 16: So sánh: 1522 + 1523 − 218 − 220 − a, A = 20 B = 22 b, A = 22 B = 21 15 − 15 − 138 −3 −3 HD: a, Chú ý trường hợp ta trừ tử mẫu với số ta đảo chiều bất đẳng thức 18 220 − 220 − − 220 − 12 2 − B = 22 = B 22 = = = A Vậy B>A −3 − − 222 − 12 22 220 − ( ( ) ) 22 1523 − 1523 − + 63 1523 + 60 15 (15 + ) = A 22 = = = B , Vậy A>B b, A = 22 15 − 138 15 − 138 + 63 1522 − 75 15 (1521 − 5) GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1014 + 1014 − Bài 17: So sánh: A = 15 B = 15 10 − 11 10 + Bài 18: Cho a, b,c độ dài cạnh cảu tam giác và: 7a + 2015 7a N = b+c , Hãy so sánh M N M = b+c 7 + 2015 −7 −15 −15 −7 Bài 19 : So sánh : N = 2005 + 2006 M = 2005 + 2006 10 10 10 10 Bài 20: So sánh: 2004 2005 2000 2001 2004 + 2005 2000 + 2001 + + a, A = B = b, A = B = 2005 2006 2001 2002 2005 + 2006 2002 + 2002 HD: 2004 + 2005 2004 2005 2004 2005 = + + =A a, B = 4011 4011 4011 2005 2006 2000 + 2001 2000 2001 2000 2001 = + + =A b, B = 4004 4004 4004 2001 2002 Bài 21: So sánh: 5(11.13 − 22.26) 1985.1987 − 1382 − 690 a, A = b, A = B = 1980 + 1985.1986 22.26 − 44.54 1372 − 548 HD: 1985.(1986 + 1) − 1985.1986 + 1985 − 1985.1986 + 1984 a, A = = = 1 1980 + 1985.1986 1980 + 1985.1986 1985.1986 + 1980 (11.13 − 22.26 ) 1 138 1 = = + B = = A B = 1+ b, A = mà: 137 137 137 (11.13 − 22.26 ) 4 Bài 22: So sánh: 423134.846267 − 423133 244.395 − 151 3774 33.103 a, A = B = b, A = B = 423133.846267 + 423134 244 + 395.243 5217 5.10 + 7000 HD: 34 33 a, 7000 = 7.103 = A = B = => A0) b, A = B = (n>1) n+3 n +1 n +4 n +1 HD: n n+2 n+2 = A = =B a, Ta có : A = n +1 n +1+ n + n2 − n2 + − −2 b, Ta có : A = = = 1+ n +1 n +1 n +1 2 −2 −2 −2 n + n + −1 −1 = 1+ = A B Và B = , Mà: = = 1+ n + 2n + 2n + n +4 n +4 n +4 Bài 32: So sánh: 2017 2015 2016 2016 10 11 10 + + a, A = 10 + B = 10 + b, A = B = 20 30 100 10020 10030 100 50 50 50 50 HD: 10 10 1 a, A = 10 + + B = 10 + 10 + , Mà: 10 = A B 50 50 50 50 50 50 50 50 2016 2015 2016 1 2015 + + = A B + + b, A = B = , mà: 30 20 20 30 20 30 30 100 100 100 10020 100 100 100 100 Bài 33: So sánh: n 3n + n −1 n a, A = B = b, A = B = n+3 6n + 2n + n+4 HD: n n −1 n −1 =B a, A = n+3 n+3 n+4 n 3n 3n + = =B b, A = 2n + 6n + 6n + Bài 34: So sánh: 7 2003.2004 − 2004.2005 − a, A = + B = + b, A = B = 8 8 2003.2004 2004.2005 HD: 4 3 3 3 a, A = + = + + , B = + = + + , Mà: = A B 8 8 8 8 8 8 −1 −1 −1 −1 = A B b, A = + , B = 1+ , Mà: 2003.2004 2004.2005 2003.2004 2004.2005 Bài 35: So sánh : 22012 + 22010 + 3123 + 3122 a, A = 2007 B = 2009 b, A = 125 B = 124 +1 +1 +1 +1 HD: 22010 + 23 − 7 22012 + 23 − 7 a, A = = − B = = 23 − 2009 2007 2002 2009 +1 +1 +1 +1 125 8 3123 + + + 1) + ( 1 9=3 = + , Tương tự : B = + b, A = 125 125 +1 +1 32 3125 + 32 3124 + GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 11 2 2 + + + + 60.63 63.66 117.120 2011 5 5 B= + + + + + 40.44 44.48 48.52 76.80 2011 HD: 3 3A = + + + + + = 2 − 117.120 2011 60.63 63.66 60 120 2011 = 2 + = + 120 2011 60 2011 A= + 180 2011 4 1 4B = + + + + = 5 − + 76.80 2011 40.44 44.48 40 80 2011 20 = 5 + = + 80 2011 16 2011 1 B= + + =A > 64 2011 180 2011 Bài 36: So sánh : A = 1 1 1 Bài 37: So sánh tổng S = + + + + với 10 41 42 HD: 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + = = nên S + + 41 42 40 40 20 10 8 20 −15 −7 −15 −7 Bài 38: So sánh không qua quy dồng : A = 2005 + 2006 B = 2005 + 2006 10 10 10 10 HD: −7 −7 −8 −8 −7 −7 A = 2005 + 2006 + 2006 , B = 2005 + 2005 + 2006 10 10 10 10 10 10 −9 −19 −9 −19 Bài 39: So sánh: A = 2012 + 2011 & B = 2011 + 2012 10 10 10 10 HD: −9 −9 −10 A = 2012 + 2011 + 2011 10 10 10 −9 −9 −10 −10 −10 B = 2011 + 2012 + 2012 , Mà: 2011 2012 = A B 10 10 10 10 10 2009 2010 2009 + 2009 − Bài 40: So sánh : A = B = 2010 2009 + 20092011 − HD: 20092010 − + 2011 B = B =A 20092011 − + 2011 a −1 b +1 & Bài 41: So sánh phân số : với a, b số nguyên dấu a # b a b HD: a −1 b +1 = 1− & = 1+ Ta có : a a b b 1 1 *Nếu a>0 b>0 & *Nếu a