228 Phần CHUYỂN ĐỘNG ỔN ĐỊNH CỦA CHẤT LỎNG I TÓM TẮT KIẾN THỨC 1 Định nghĩa Sự chảy ổn định (hay chảy thành dòng) của chất lỏng là sự chảy trong đó mỗi phần tử chất lỏng vạch thành những đường nhất đị[.]
Phần CHUYỂN ĐỘNG ỔN ĐỊNH CỦA CHẤT LỎNG I TÓM TẮT KIẾN THỨC Định nghĩa: Sự chảy ổn định (hay chảy thành dòng) chất lỏng chảy phần tử chất lỏng vạch thành đường định, không cắt Vectơ vận tốc phần tử chất lỏng điểm tiếp tuyến với dịng chảy ln khơng đổi (ổn định) Các định luật chảy ổn định chất lỏng a Phương trình liên tục: v2 v1S1 = v2S2 = A = const (v1, S1 vận tốc tiết diện (1) (2) ống vị trí 1; v2, S2 vận tốc tiết diện ống vị trí 2; A v1 lưu lượng chất lỏng) b Định luật Becnuli: Trong chảy ổn định chất lỏng, tổng áp suất trọng lực, áp suất tĩnh áp suất động bảo toàn pp + pt + pđ = const 1 hay ρgh1 +p1 + ρv12 = ρgh +p2 + ρv22 , với: 2 + p1(p) = ρgh1 , pt(1) = p1, pđ(1) = ρv12 áp suất trọng lực, áp suất tĩnh áp suất động vị trí 1 + p2(p) = ρgh , pt(2) = p2, pđ(2) = ρv22 áp suất trọng lực, áp suất tĩnh áp suất động vị trí 2) * Các trường hợp đặc biệt định luật Becnuli: 1 + Ống nằm ngang: pp(1) = pp(2) nên p1 + ρv12 = p2 + ρv22 2 + Chất lỏng yên tĩnh: pđ(1) = pđ(2) nên ρgh1 +p1 = ρgh +p2 c Cơng thức Torixenli: Với S2 b > n ρ T mg + T >0 ⇔1– (1 + ) > ⇒ ρ0 > ρ + ρ0 mg n mg – Bài tốn có nghiệm ⇒ mg + T < ρ0 mg = FAmax ρ (8) Vì T > nên điều kiện (8) thỏa mãn ρ < ρ0 (9) ρ0 mg lực đẩy Ác–si–mét cực đại nước tác dụng vào ρ thanh chìm hết nước Với: FAmax = 2 2ρ0 ρ T T + b > ⇔ 1 − > ⇒ + + < ρ 2ρ0 mg mg 2ρ0 2ρ0 mg + T ⇒ mg + T < mg ⇒ < ρ ρ mg ρ mg ρ ρ = FAmax Với: mg = ρ ρ0 ρ0 ⇒ mg + T < ρ0 mg ρ ρ ρ0 ρ mg 2ρ0 = ρ ρ 2ρ 2ρ = FAmax ρ0 ρ0 – Theo (9) điều kiện (11) thỏa mãn 2ρ > ⇒ ρ0 < 2ρ ρ0 (10) (11) – Kết hợp (9) (11) ta được: ρ < ρ0 < ρ Đó điều kiện để tốn có nghiệm 236 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Khơng khí chuyển động qua ống AB với lưu lượng Q = 10 lít/phút, diện tích tiết diện ống SA = 2cm2, SB = 0,5cm2, khối lượng riêng khơng khí ρ = 1,32 kg/m3, nước ống CD ρ/ = 1000 kg/m3 Tính độ B A c a h chênh lệch h hai mực nước Bài Trong bình chứa hai chất lỏng khơng trộn lẵn vào có khối lượng riêng ρ1 ρ , chiều dày tương ứng h1, h2 Từ bề mặt chất lỏng bình người ta thả rơi vật nhỏ, chạm đáy bình lúc vận tốc Tính khối lượng riêng vật Bỏ qua lực cản môi trường Bài Bình hình trụ diện tích đáy S = 10cm2 chứa nước có khối lượng riêng ρ = g/cm3 Thả vào bình vật khối lượng m = 50g Vật có hình dạng bất kì, khơng đồng nhất, bên rỗng khơng chìm khơng làm nước tràn khỏi bình Hỏi mức chất lỏng bình tăng thêm bao nhiêu? Bài Một bè cấu tạo từ 20 thân gỗ trịn giống nhau, thể tích thân gỗ 0,3m3, khối lượng riêng 700kg/m3 Hỏi bè chở vật nặng khối lượng tối đa bao nhiêu? Khối lượng riêng nước 1000kg/m3 Bài Để sửa chữa thuyền đáy bằng, người ta trám đáy thuyền lớp chất nhựa chiều dày d = 3cm Sau độ cao phần thuyền mặt nước giảm khoảng h = 1,8cm Tính khối lượng riêng nhựa Bài Hai cầu khối lượng m1 = 2kg, m2 = 1,6kg bán kính, nối với sợi dây thẳng đứng hạ xuống chất lỏng Tính lực căng dây nối Bỏ qua lực cản chất lỏng Bài Vật khối lượng M = 2kg thể tích V = 10−3 m3 chìm hồ nước, độ H A sâu h0 = 5m Hỏi phải thực công để nâng lên độ cao H = 5m mặt nước? Bài Một phễu hình trụ úp ngược lên mặt sàn nằm ngang, phía có cao su mỏng ép sát miệng phễu Cuống phễu ống hình trụ có tiết diện nhỏ để rót nước vào phễu Nước h chảy từ miệng phễu H mực nước cuống phễu cách mặt sàn A 237 độ cao h tìm khối lượng riêng m phễu Biết diện tích miệng phễu S, chiều cao thân phễu H thể tích hình nón là: V = SH Bài Một đế đóng vào đất đáy hồ nước có chiều sâu 3m, hình vẽ Diện tích phần chân đế đóng vào đất S =1m2, thể tích phần đế đặt nước V = 4m3, khối lượng riêng nước ρ = g/cm3, áp suất khí p0 = 105 N/m2 Tìm lực nước tác dụng lên đế Bài 10 Quả cầu thép mặt chậu thủy ngân Nếu đổ nước lên bề mặt thủy ngân đến vừa ngập cầu thể tích phần cầu ngập thủy ngân giảm so với thể tích cầu? Cho khối lượng riêng thép ρ = 7880 kg/m3, thủy ngân ρ1 = 13 600 kg/m3, nước ρ2 = 1000 kg/m3 Bài 11 Ở đáy bình hình trụ đường kính D có lỗ trịn nhỏ đường kính d (d D) Tìm phụ thuộc vận tốc hạ thấp mực nước bình vào chiều cao H mực nước Bài 12 Trong giây người ta rót 0,2 lít nước vào bình Hỏi đáy bình phải có lỗ đường kính để mực nước bình khơng đổi có độ cao H = 1m Bài 13 Giữa đáy thùng nước hình trụ có lỗ thủng nhỏ Mực nước thùng cách đáy H = 30cm Hỏi nước chảy qua lỗ với vận tốc nếu: a) Thùng nước đứng yên? b) Thùng nước nâng lên đều? c) Thùng nước chuyển động nhanh dần lên với gia tốc 1,2 m/s2? d) Thùng nước chuyển động ngang với gia tốc 1,2 m/s2? Bài 14 Sơ đồ cấu tạo máy phun nước hình vẽ SA pit-tơng chuyển động B ρ0 khơng ma sát dọc thành bình SB Tác dụng lên pit-tông lực F F không đổi S A , S B , ρ , ρ tiết diện A, B khối lượng h riêng nước, khơng khí L lưu lượng khơng khí A Tim độ cao cực đại h để máy hoạt động ρ 238 D HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài – Áp dụng phương trình liên tục cho hai điểm A B có độ cao dịng khí ống, ta có: vASA= vBSB = Q Q Q ⇒ vA = (1) ; vB = SA SB – Áp dụng định luật Béc–nu–li cho hai điểm A B có độ cao dịng khí ống, ta có: 1 pA + ρ v2A = pB + ρ v2B (2) 2 – Áp dụng định luật Béc–nu–li cho hai điểm đầu C điểm cuối D cột nước, với vận tốc nước C D 0: pD = pC + ρ/ gh – Mặt khác: pC = pB pD = pA ⇒ pA = pB + ρ/ gh (3) – Thay (1) (3) vào (2) ta được: pB + ρ gh + ρ / ⇒ h= Q S A Q = pB + ρ S B 2 ρQ (SA − SB ) 2ρ/ g S2A S2B với Q = 10 lít/phút = 10.10−3 10−3 = (m /s) 60 10−3 1,32 −4 −4 (2.10 ) − (0,5.10 ) ⇒h= = 6,9 10−4 m = 0,69mm −4 −4 2.1000.10 (2.10 ) (0,5.10 ) Vậy: Độ chênh lệch hai mực nước h = 0,69mm Bài Gọi F1 F2 lực đẩy Ác–si–mét chất lỏng ρ1 ρ tác dụng lên vật (hình vẽ) Gọi V ρ thể tích khối lượng riêng vật Áp dụng định lí động ta có: AP + A F + A F = ∆ Wđ (1) F với: AP = mg(h1 + h2) = ρ gV(h1 + h2)(2) A F = –F1h1 = – ρ1 gVh1; A F = –F2h2 = – ρ2 gVh2 (3) ρ1 ρ2 P F2 P h1 h2 239 (4) ∆ Wđ = W2đ – W1đ = Thay (2), (3) (4) vào (1) ta có: ρ gV(h1 + h2) – ρ1 gVh1 – ρ2 gVh2 = ⇒ρ= ρ1 h1 + ρ2 h h1 + h Vậy: Khối lượng riêng vật ρ = ρ1 h1 + ρ2 h h1 + h Bài Gọi V phần thể tích vật bị chìm nước (bằng phần thể tích nước dâng lên); h mức tăng thêm chất lỏng bình Vì trọng lực lực đẩy Ác–si–mét cân nên: F P = FA ⇔ mg = ρ gV = ρ gSh m ρS với: ρ = g/cm3 = 1000 kg/m3; ⇒ h= S = 10cm2 = 10−3 m2 0,05 P ⇒ h= = 0,05m = 5cm −3 1000.10 Vậy: Mức chất lỏng dâng lên bình 5cm * Nhận xét : Kết không phụ thuộc vào hình dạng phân bố khối lượng vật Bài Gọi m V khối lượng thể tích bè; M khối lượng vật chở bè Gọi F lực đẩy Ác–si mét nước tác dụng lên bè Phương trình cân lực: (m + M)g = F ≤ Fmax = V ρn g (với Fmax = V ρn g lực đẩy Ác–si–mét tối đa nước tác dụng lên thuyền (ứng với thuyền ngập toàn nước) Suy ra: M ≤ Vρn – m = Vρn – V ρg = nV0( ρn – ρg ) ⇒ Mmax = nV0( ρn – ρg ) = 20.0,3.(1000 – 700) = 1800kg Vậy: Bè chở vật nặng có khối lượng tối đa 1800kg Bài Ta có: Độ cao phần thuyền mặt nước giảm khoảng h nghĩa độ cao phần thuyền chìm nước tăng khoảng h Khi chưa có lớp nhựa, độ cao thuyền nước H Gọi S tiết diện thuyền, ρ khối lượng riêng nước Thuyền nước nên: P = FA = ρVg = ρSHg (1) 240 Khi có lớp nhựa dày d, khối lượng riêng ρ1 , độ cao thuyền nhựa nước H’, với H’ = H + d + h Vì thuyền nước nên: P – ρ1Sdg = F’A = ρSH′g ⇔ P – ρ1Sdg = ρS(H + d + h)g H (2) h Từ (1) (2) suy ra: ρSHg = ρS(H + d + h)g + ρ1Sdg ⇒ ρ1 = H’ d ρ(d+h) 1000.(0,03 + 0,018) = = 1600kg/m3 0,03 d Vậy: Khối lượng riêng nhựa ρ1 = 1600kg/m3 Bài Giả sử m1 phía Các lực tác dụng vào cầu có phương chiều hình vẽ Các cầu xuống nên gia tốc chúng Chọn chiều dương theo chiều chuyển động hai vật Phương trình chuyển động cầu: (1) P1 – F1A – T = (2) P2 – F2A + T = Vì hai cầu có bán kính nên: (3) F1A = F2A = FA F2A – Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2) có ý đến (3), ta được: m2 P1 – P2 – 2T = T P2 P1 − P2 (m1 − m )g (2 − 1,6).10 ⇒T= = = = 2N 2 T F 1A Vậy: Lực căng dây nối hai vật T = 2N m1 * Nhận xét : Dễ dàng thấy m2 phía T < 0, loại Bài P1 – Khi vật chuyển động nước có lực tác dụng, vật chuyển động khơng khí có lực tác dụng Trong lực kéo F lực đẩy Ác–si–mét FA khơng phải lực thế, cịn trọng lực lực – Gọi ρn khối lượng riêng nước Theo định luật bảo toàn lượng tổng cơng lực khơng phải lực độ biến thiên vật: (1) AF + A F = ∆ W ⇒ AF = ∆ W – A F A với: A F = FAh0 = V ρn gh0 A A (2) (3) ∆ W = W – W0 = mg(h0 + H) – = mg(h0 + H) – Thay (2) (3) vào (1) ta được: AF = mg(h0 + H) – V ρn gh0 241 ⇔ AF = g m(h + H) − Vρn h = 10 2(5 + 5) − 10−3.103.5 = 150J Vậy: Công cần thực A = 150J Bài – Khi áp lực thủy tĩnh điểm A miệng phễu tổng trọng lượng phễu nước phễu nước bắt đầu chảy Gọi m khối lượng phễu, V thể tích phễu (bằng thể tích nước chứa phễu), ρ khối lượng riêng nước Ta có: (1) ρ gh.S = mg + ρ gV – Vì cuống phễu có tiết diện nhỏ nên ta bỏ qua phần thể tích cuống phễu Suy thể tích phễu thể tích phần hình nón phễu bằng: V = SH (2) H – Từ (1) (2) suy ra: m = ρ S h − (3) 3 h H A m H + ρS Như vậy, để thỏa mãn điều kiện toán, tức h > H: m H h= + > H ⇒ m > ρ SH ρS 3 Bài – Áp suất vị trí có chân đế là: p = p0 + ρgh – Lực đẩy Ác–si–mét tác dụng vào đế là: FA = ρgV * Nhận xét : Từ (3) suy h = – Lực nước tác dụng lên đế là: F = pS – FA = (p0 + ρgh )S – ρgV Thay số: Với ρ =1g/cm3 = 103kg/m3 ⇒ F = (105+103.10.3).1 – 103.10.4 = 90000N Vậy: Lực nước tác dụng lên đế F = 90000N Bài 10 – Các lực tác dụng vào cầu có phương, chiều hình vẽ Hình (a) ứng với trước đổ nước vào, hình (b) ứng với sau đổ nước vào – Gọi V thể tích cầu; V1 thể tích phần cầu ngập thủy ngân trước đổ nước vào; V1/ thể tích phần cầu ngập thủy ngân sau đổ nước vào ; V2 = V – V1/ thể tích phần cầu ngập nước – Phương trình cân bằng: + Hình a: P = F1A = V1 ρ1 g (1) 242 + Hình b: / + F2A = V1/ ρ1 g + (V – V1/ ) ρ2 g P = F1A F1A (2) – Từ (1) (2) suy ra: V1 ρ1 = V1/ ρ1 + (V – V1/ ) ρ2 ⇒ V1 = V1/ + V ρ ρ2 – V1/ ρ1 ρ1 (a) (3) P – Tỉ số thể tích phần cầu ngập nước giảm so với thể tích cầu là: H= V − V1/ ∆V = V V – Thay (3) vào (4) ta được: H = (4) ρ2 ρ2 V/ (1 – ) (5) ρ1 V F2A / F1A (b) ρ1 P – Từ (1) (2) suy ra: P = V1/ ρ1 g + (V – V1/ ) ρ2 g Với P = V ρ g , ta có: V ρ g = V1/ ρ1 g + (V – V1/ ) ρ2 g ⇔ V1/ ( ρ1 – ρ2 ) = V( ρ – ρ2 ) ⇒ ρ − ρ2 V1/ = ρ1 − ρ2 V (6) – Thay (6) vào (5) ta được: ρ ρ −ρ 1000 13600 − 7880 H = = = 0,033 = 3,3% ρ1 ρ1 − ρ2 13600 13600 − 1000 Bài 11 Gọi v1 vận tốc hạ thấp mực nước bình; v2 vận tốc phun chất lỏng qua lỗ nhỏ đáy bình (hình vẽ) – Theo cơng thức To–ri–xen–li ta có: v2 = 2gH – Vì chất lỏng khơng nén nên khoảng thời gian t, thể tích nước bình giảm lượng thể tích nước phun qua lỗ nhỏ đáy bình Ta có: S1v1t = S2v2t ⇔ d2 πD2 πd v1 = v2 ⇒ v1 = v2 4 D – Thay (1) vào (2) ta được: v1 = d2 D2 (1) D v1 H d v2 (2) 2gH 243 Bài 12 Gọi S tiết diện ngang bình; V thể tích nước rót vào bình giây; v1 vận tốc hạ thấp mực nước bình khơng rót nước vào Gọi D đường kính tiết diện ngang bình; d đường kính lỗ nhỏ đáy bình; H chiều cao mực nước bình d2 (1) 2gH D2 – Để mực nước bình khơng đổi thể tích nước rót vào bình giây thể tích nước bình giảm nước phun qua lỗ nhỏ đáy bình Ta có: – Tương tự 11 ta có: v1 = V = Sv1 = πD2 v1 (2) – Thay (1) vào (2) ta được: V = ⇒ d=2 V π 2gH =2 πD2 d D2 0,2.10−3 3,14 2.10.1 2gH = πd 2gH = 7,5 10−3 m = 0,75cm Vậy: Đường kính lổ đáy bình d = 0,75cm Bài 13 a) Thùng nước đứng yên: Theo cơng thức To–ri–xen–li ta có: v= 2gH = 2.10.0,3 = 2,4 m/s b) Thùng nước nâng lên đều: Xét hệ quy chiếu gắn với thùng nước gia tốc rơi tự g Vì ta có kết câu a: v= 2gH = 2.10.0,3 = 2,4 m/s c) Thùng nước chuyển động nhanh dần lên với gia tốc 1,2 m/s2: Xét hệ quy chiếu gắn với thùng nước gia tốc rơi tự g/ = g + a Theo cơng thức To–ri–xen–li ta có: v= 2g/ H = 2(g + a)H = 2.(10 + 1,2).0,3 = 2,59 m/s d) Thùng nước chuyển động ngang với gia tốc 1,2 m/s2: Xét hệ quy chiếu gắn với thùng nước gia tốc rơi tự g Vì ta có kết câu a: v= 2gH = 2.10.0,3 = 2,4 m/s Bài 14 Nước phải lên tới B máy phun hoạt động: p= p0 − h ρ g ( p0 : áp suất khí quyển) B p= p0 + A F SA Gọi v A , vB vận tốc khí A, B 244 ⇒ vA S B S L = ⇒ vB = A v A v A = SA vB S A SB Áp dụng định lí Becnouli: 1 p0 v A2 =+ pB p0 vB2 2 F 1 ⇒ p0 + + ρ0 v A2 = p0 − h ρ g + ρ0 vB2 SA 2 pA + ⇒ h ρ= g = S2 F F ρ0 (vB2 − v A2 ) − = ρ0 (v A2 A2 − v A2 ) − SA SB SA 1 L2 S F F ρ0 ( A2 − 1) = − ρ0 L2 ( − ) − S A SB SA SB S A S A 1 F ρ0 L ( − ) − SB S A S A ρg 2 1 F Điều kiện: h ≥ ⇒ ρ L2 ( − ) − ≥0 SB S A SA 1 ⇒ F ≤ ρ0 L2 S A ( − ) SB S A = ⇒h 245 ... vào thuyền trọng lượng thuyền t? ?ng lên nên lực đẩy Ác–si–m? ?t tăng theo để cân Suy thể t? ?ch nước thuyền chiếm chỗ t? ?ng lên, t? ??c thuyền chìm thêm đẩy nước dâng lên, t? ??c mực nước t? ?ng lên e) Thuyền... = 24 l? ?t/ ph? ?t = 24 .10? ??3 = 0,4 .10? ??3 m3/s; 60 S = 4cm2 = 4 .10? ??4m2 nên: 103 .(0,4 .10? ??3 )2 = 0,57N 4 .10? ??4 Vậy: Lực t? ?c dụng thành ống lên nước chỗ uốn cong F’ = F = 0,57N Ví dụ M? ?t thuyền s? ?t bể nước... miệng ống Pitơ đ? ?t gần s? ?t m? ?t nước T? ?nh v h1 h v Hướng dẫn Gọi áp su? ?t khí p0 X? ?t hai điểm A B đầu cuối c? ?t ch? ?t lỏng (đứng yên) ống, vận t? ??c chúng 0, theo định lu? ?t Béc–nu? ?li ta có: (1) pB