246 Phần Chuyên đề 1 CÁC ĐỊNH LUẬT VỀ KHÍ LÍ TƯỞNG I TÓM TẮT KIẾN THỨC 1 Định luật Bôi–Mariôt Ở nhiệt độ không đổi (đẳng nhiệt), tích của áp suất và thể tích của một lượng khí xác định là một hằng số[.]
Phần Chuyên đề 1: CÁC ĐỊNH LUẬT VỀ KHÍ LÍ TƯỞNG I TĨM TẮT KIẾN THỨC Định luật Bơi–Mariơt: Ở nhiệt độ khơng đổi (đẳng nhiệt), tích áp suất thể tích lượng khí xác định số pV = const hay p1V1 = p2V2 (p1, V1 áp suất thể tích khí trạng thái 1; p2, V2 áp suất thể tích khí trạng thái 2) Định luật Saclơ: Khi thể tích khơng đổi (đẳng tích), áp suất lượng khí xác định tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối khí p2 T = p1 T1 (p1, T1 áp suất nhiệt độ khí trạng thái 1; p2, T2 áp suất nhiệt độ khí trạng thái 2) Định luật Gay–Luytxắc: Khi áp suất không đổi (đẳng áp), thể tích lượng khí xác định tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối khí V2 T = V1 T1 p T2>T1 T1 O V p V1 V2>V1 O T V p1 p2>p1 (V1, T1 thể tích nhiệt độ khí trạng thái 1; V2, T2 thể tích nhiệt độ khí trạng O T thái 2) Định luật Đan–tôn: Áp suất hỗn hợp khí tổng áp suất riêng phần khí hỗn hợp p = p1 + p2 + Hệ thức độ C độ tuyệt đối: T(K) = to(C) + 273 II GIẢI TOÁN A Phương pháp giải – Liệt kê trạng thái khí – Khi áp dụng định luật chất khí đẳng trình cần ý: + Kiểm tra điều kiện khối khí nếu: • m = const, T = const: dùng định luật Bơi–Mariơt 246 • m = const, V = const: dùng định luật Saclơ • m = const, p = const: dùng định luật Gay–Luytxắc + Đổi đơn vị nhiệt độ: T(K) = t(oC) + 273 + Trong lòng chất lỏng: p = p0 + ph (p áp suất điểm M lịng chất lỏng, cách mặt thống chất lỏng đoạn h; ph áp suất trọng lực cột chất lỏng gây ra) Nếu tính mmHg thì: ρh ph = ( ρ , h (mm) khối lượng riêng độ cao cột chất lỏng; ρ Hg ρ Hg khối lượng riêng Hg) ) 273 – Khi áp dụng định luật Đan–tôn cần ý: Trong điều kiện, tỉ lệ áp suất riêng phần khí tỉ lệ số mol khí hỗn hợp + Biểu thức định luật Saclơ viết dạng: p = p0 α T ( α = B VÍ DỤ MẪU Ví dụ Nếu áp suất lượng khí biến đổi 2.105N/m2 thể tích biến đổi lít, áp suất biến đổi 5.105N/m2 thể tích biến đổi lít Tính áp suất thể tích ban đầu khí biết nhiệt độ khí khơng đổi Hướng dẫn Ta có: Trạng thái I (p1; V1; T1); trạng thái II (p2 = p1 + 2.105; V2 = V1 – 3; T2 = T1); trạng thái III (p3 = p1 + 5.105; V2 = V1 – 5; T3 = T1) Áp dụng định luật Bơi–Mariơt cho q trình đẳng nhiệt: Q trình (I) đến (II): p ⇒ V1 = +1 2.10 Quá trình (I) đến (III): p ⇒ V1 = +1 5.10 p2 p1 = V1 V2 ⇔ p1 + 2.105 V1 = p1 V1 − (1) p + 5.105 V1 p3 V = = ⇔ p1 V1 − p1 V3 (2) p p Từ (1) (2) ta có: +1 = +1 ⇒ p1 = 4.105 N/m2 2.10 5.10 4.105 V1 = +1 = lít 2.10 Vậy: Áp suất thể tích ban đầu khí 4.105 N/m2 lít 247 Ví dụ Một xilanh chứa khí đậy pittơng Pittơng trượt không ma sát dọc theo thành xilanh Pittông có khối lượng m, diện tích tiết diện S Khí tích ban đầu V Áp suất khí p0 Tìm thể tích khí xilanh chuyển động thẳng đứng với gia tốc a Coi nhiệt độ khí không đổi Hướng dẫn – Gọi V, p thể tích áp suất khí xilanh pittơng đứng cân bằng: Ta có: + Các lực tác dụng vào pittông: trọng lực P (P = mg), lực đẩy khí xilanh F1 (F1 = pS), xilanh F2 (F2 = p0S) + Điều kiện cân pittông: P + F1 + F2 = (1) ⇒ mg + p0S = pS – Gọi V’, P’ thể tích áp suất khí xilanh pittơng chuyển động: Ta có: + Các lực tác dụng vào pittông: trọng lực P (P = mg), lực đẩy khí xilanh F1' (F’1=p’S), xilanh F2' (F’2 = p0S) + Theo định luật II Niu–tơn: P + F1' + F2' = m a ⇒ mg + p0S – p’S = ± ma (đi lên xuống) V với: p’ = p (đẳng nhiệt) V' mg + p0 S V (mg + p0S) = ± ma ⇒ V’ = ⇒ mg + p0S – V m(g ± a) + p S V' Vậy: Thể tích khí xilanh chuyển động thẳng đứng với gia tốc a mg + p0 S V’ = V m(g ± a) + p S Ví dụ Ở độ sâu h1 = 1m mặt nước có bọt khơng khí hình cầu Hỏi độ sâu nào, bọt khí có bán kính nhỏ lần Cho khối lượng riêng nước D = 103 kg/m3, áp suất khí p0 = 105 N/m2, g = 10m/s2; nhiệt độ nước không đổi theo độ sâu Hướng dẫn Ở độ sâu h1, bọt khí tích V1, áp suất p1: p1 = p0 + Ở độ sâu h2, bọt khí tích V2, áp suất p2: p2 = p0 + h1 13,6 h2 13,6 248 3 πR1 R1 Vì nhiệt độ bọt khí khơng đổi nên: = = = = 23 = p1 V2 R 2 πR h p0 + h h 13,6 ⇔ = ⇔ p0 + = 8.( p0 + ) h 13,6 13,6 p0 + 13,6 p2 V1 ⇒ h2 = 95,2p0 + 8h1 = 95,2.76 + 8.100 = 8035,2cm = 80,352m Vậy: Ở độ sâu 80,352m bọt khí có bán kính nhỏ lần Ví dụ Một xilanh nằm ngang kín hai đầu, tích V = 1,2 lít chứa khơng khí áp suất p0 = 105 N/m2 Xilanh chia thành phần pittông mỏng khối lượng m = 100g đặt thẳng đứng Chiều dài xi lanh 2l = 0,4m Xilanh quay với vận tốc góc ω quanh trục thẳng đứng xilanh Tính ω pittơng nằm cách trục quay đoạn r = 0,1m khí có cân tương đối Hướng dẫn V = Sl, áp suất p0 – Khi xilanh quay, khí nửa xilanh I tích V1 = S(l – r), áp suất p1; khí nửa xilanh II tích V2 = S(l + r), áp suất p2 + Áp dụng định luật Bôi–Mariôt cho hai nửa xilanh ta được: (1) p0Sl = p1S(l – r) (2) p0Sl = p2S(l + r) (II) F2 (I) F1 l l ⇒ p1 = p p2 = p0 r l−r l+r l + Các lực tác dụng lên pittông theo phương ngang: F1 = p1S; F2 = p2lS Hợp lực gây gia tốc hướng tâm làm xilanh quay đều: l l F1 – F2 = mr ω2 ⇔ p0 S – p0 S = mr ω2 l−r l+r V 1 ⇔ p0 ( − ) = mr ω2 (V = S.2l) l−r l+r – Khi xilanh đứng n, khí nửa xilanh tích ⇒ ω= p0 V m(l -r ) = 105.1,2.10−3 = 200 rad/s 0,1.(0,22 − 0,12 ) Vậy: Vận tốc góc xilanh quay quanh trục thẳng đứng xilanh ω = 200 rad/s Ví dụ Một ống hình trụ hẹp, kín hai đầu, dài l = 105cm, đặt nằm ngang Giữa ống có cột thủy ngân dài h = 21cm, phần cịn lại ống chứa khơng 249 – – – – khí áp suất p0 = 72 cmHg Tìm độ di chuyển cột thủy ngân ống thẳng đứng Hướng dẫn Ban đầu, ống nằm ngang, khí hai bên h cột thủy ngân giống nhau, bên tích V0 = Sl1, áp suất p0 l Khi ống đặt thẳng đứng thì: + khí phần tích V1 = S(l1 + x), áp suất p1 + khí phần dươi tích V2 = S(l1 – x), áp suất p2 = p1 + h Áp dụng định luật Bơi–Mariơt cho khí hai phần: l1 (1) + phần trên: p0V0 = p1V1 ⇔ p0Sl1 = p1S(l1 + x) (2) I + phần dưới: p0V0 = p2V2 ⇔ p0Sl1 = (p1 + h).S(l1 – x) pl pl Từ (1) (2) suy ra: p1 = = h x l1 + x l1 x h ⇔ p0l1(l1 – x) = p0l1(l1 + x) – h(l1 + x)(l1 – x) II Thay số: p0 = 72cm; h = 21cm; l1 = (105 – 21) = 42cm ⇔ x2 + 288x – 1764 = ⇒ x1 = –294cm < (loại); x2 = 6cm Vậy: Độ di chuyển cột thủy ngân ống thẳng đứng x = 6cm Ví dụ Khi đun nóng đẳng tích khối khí thêm 10C áp suất khí tăng thêm 1/360 áp suất ban đầu Tính nhiệt độ đầu khí Hướng dẫn Khi chưa đun, khí bình có áp suất p1, nhiệt độ T1 p Khi đun nóng, khí bình có áp suất p2 = p1 + , nhiệt độ T2 = T1 + 360 p p1 + p2 T2 360 = T1 +1 Áp dụng định luật Sac–lơ: ⇔ = p1 T1 p1 T1 ⇔1 + 1 =1+ ⇒ T1 = 360K hay t1 = 87oC T1 360 Vậy: Nhiệt độ đầu khí t1 = 87oC Ví dụ Khối lượng riêng khơng khí phịng (270C) lớn khối lượng riêng khơng khí sân nắng (420C) lần? Biết áp suất khơng khí ngồi phịng Hướng dẫn Khi phịng, khơng khí có khối lượng riêng: D1 = m V1 (1) 250 Khi sân nắng, khơng khí có khối lượng riêng: D2 = Từ (1) (2) suy ra: D1 D2 = D1 D2 = (2) V2 (3) V1 Mặt khác, theo định luật Gay–Luytxac, ta có: Từ (3) (4) suy ra: m V2 T2 T1 = V2 V1 = T2 (4) T1 42 + 273 = 1,05 27 + 273 Vậy: Khối lượng riêng khơng khí phịng lớn khối lượng riêng khơng khí ngồi sân nắng 1,05 lần Ví dụ Một áp kế khí có hình dạng giống A trên, tiết diện ống 0,1cm2 Biết B 00C, giọt thủy ngân cách A 30cm, 50C cách A 50cm Tính dung tích bình Coi Hg dung tích bình khơng đổi Hướng dẫn Ở T1 = 273K, khí tích V1 = V + Sx1 Ở T2 = + 273 = 278K, khí tích V2 = V + Sx2 Với: V2 = V1 αT2 ⇒ V2 – V1 = V1( αT2 ) = S(x2 – x1) (1) (2) ⇔ (V + Sx1)( αT2 ) = S(x2 – x1) S(x2 x1 ) 0,1.(50 30) 0,1.30 = 106,2cm3 αT2 278 273 Vậy: Dung tích bình 106,2cm3 Ví dụ Hai bình cầu, nối với ống có khóa, chứa hai chất khí khơng tác dụng hóa học với nhau, nhiệt độ Áp suất khí hai bình p1 = 2.105 N/m2 p2 = 106 N/m2 Mở khóa nhẹ nhàng để hai bình thơng với cho nhiệt độ không đổi Khi cân xảy ra, áp suất hai bình p = 4.105 N/m2 Tính tỉ số thể tích hai bình cầu Hướng dẫn – Khi chưa mở khóa: bình I (p1, V1, T); bình II (p2, V2, T) – Khi mở khóa: bình I (p’1, (V1 + V2), T); bình II (p’2, (V1 + V2), T) – Theo định luật Bơi–Mariơt, ta có: V1 p1V1 = p’1(V1 + V2) ⇒ p’1 = p1 (1) (I) V1 +V2 (II) ⇒V= Sx1 = K 251 p2V2 = p’2(V1 + V2) ⇒ p’2 = V1 V1 +V2 p2 (2) – Theo định luật Đan–tơn, ta có: p = p’1 + p’2 = ⇒ V1 V2 = p2 p p p1 = 10.105 − 4.105 4.105 − 2.105 V1 V1 +V2 (p1+p2) =3 Vậy: Tỉ số thể tích hai bình cầu V1 V2 = Ví dụ 10 Một hỗn hợp khơng khí gồm 23,6g ơxi 76,4g nitơ Tính: a) Khối lượng mol hỗn hợp b) Thể tích hỗn hợp áp suất 750 mmHg, nhiệt độ 270C c) Khối lượng riêng hỗn hợp điều kiện d) Áp suất riêng phần ôxi nitơ điều kiện Hướng dẫn a) Khối lượng mol hỗn hợp Gọi μ, μ1 , μ khối lượng mol khơng khí, oxi nitơ Theo phương trình Clapâyrơn–Menđêlêép, ta có: m m RT pV = RT ⇒ p = μ μ V p1V = p2V = m1 μ1 m2 μ2 RT ⇒ p1 = m1 RT μ1 V (2) RT ⇒ p2 = m RT μ V (3) Theo định luật Đan–tôn, ta có: p = p1+p2 m RT m RT m RT ⇔ = + μ1 V μ V μ V ⇒ (1) (4) m m m m 100 = 1+ ⇒μ= = = 29 g/mol m1 m 23,6 76,4 μ1 μ μ + + 32 28 μ1 μ Vậy: Khối lượng mol khơng khí 29g/mol b) Thể tích hỗn hợp khí Thể tích m gam khơng khí điều kiện chuẩn là: V0 = m 22,4 (lít) μ Thể tích m gam khơng khí áp suất p, nhiệt độ T là: 252 V= p0 T p T m 760 300 100 V0 = 22,4 = 22,4 = 86 lít p T0 μ p T0 750 273 29 m 100 = 1,16 g/l = V 86 d) Áp suất riêng phần ơxi nitơ: Vì áp suất khí tỉ lệ với số mol khí hỗn hợp nên: m1 p m μ μ 23,6 29 Với khí oxi: = ⇒ p1 = p = 750 = 160 mmHg m p μ1 m 32 100 μ Với khí nitơ: p2 = p – p1 = 750 – 160 = 590 mmHg c) Khối lượng riêng hỗn hợp khí: D = C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Khi nén đẳng nhiệt từ thể tích lít đến lít, áp suất khí tăng thêm 0,75at Tìm áp suất ban đầu khí Bài Mỗi lần bơm đưa V0 = 80cm3 khơng khí vào ruột xe Sau bơm diện tích tiếp xúc vỏ xe với mặt đường 30cm2 Thể tích ruột xe sau bơm 2000cm3 Áp suất khí p0 = atm Trọng lượng xe 600N Coi nhiệt độ khơng đổi Tìm số lần bơm Bài Một bơm hút khí dung tích ∆ V Phải bơm lần hút khí bình tích V từ áp suất p0 đến áp suất p? Coi nhiệt độ khí khơng đổi Bài Một ống nhỏ tiết diện đều, đầu kín Một cột thủy ngân cao 75mm đứng cân bằng, cách đáy 180mm ống thẳng đứng miệng ống cách đáy 220mm ống thẳng đứng miệng ống Tìm áp suất khí độ dài cột khơng khí ống ống nằm ngang Bài Một ống thủy tinh đầu kín, dài 57cm chứa khơng khí có áp suất áp suất khơng khí (76 cmHg) Ấn ống vào chậu thủy ngân theo phương thẳng đứng, miệng ống Tìm độ cao cột thủy ngân vào ống đáy ống ngang mặt thoáng thủy ngân Bài Ống thủy tinh đầu kín dài 112,2cm, chứa khơng khí áp suất khí p0 = 75cmHg Ấn ống xuống chậu nước theo phương thẳng đứng, miệng ống Tìm độ cao cột nước vào ống đáy ống ngang với mặt nước Bài Ống thủy tinh đầu kín dài 80cm chứa khơng khí áp suất áp suất khí p0 = 75cmHg Ấn ống vào thủy ngân theo phương thẳng đứng, miệng ống (thấp hơn) mặt thủy ngân 45cm Tìm độ cao cột thủy ngân vào ống Bài Ống thủy tinh dài 60cm, thẳng đứng, đầu kín dưới, đầu hở Cột khơng khí cao 20cm ống bị giam cột thủy ngân cao 40cm Áp suất khí p0 = 80cmHg Nhiệt độ khơng đổi Khi ống bị lật ngược, hãy: a) tìm độ cao cột thủy ngân lại ống 253 b) tìm chiều dài ống để tồn cột thủy ngân khơng chảy ngồi Bài Trong khoảng chân khơng phong vũ biểu thủy ngân, có lọt vào khơng khí nên phong vũ biểu có số nhỏ áp suất thực khí Khi áp suất khí 768 mmHg, phong vũ biểu 748 mmHg, chiều dài khoảng chân không 56mm Tìm áp suất khí phong vũ biểu 734 mmHg Coi nhiệt độ không đổi Bài 10 Một phong vũ biểu sai có không khí lọt vào ống Ở áp suất khí p0 = 755 mmHg phong vũ biểu p1 = 748 l mmHg Khi áp suất khí p’0 = 740 mmHg, phong vũ biểu p2 = 736 mmHg Coi diện tích mặt thủy ngân chậu lớn, tiết diện ống nhỏ, nhiệt độ không đổi Hãy tìm chiều dài l ống phong vũ biểu Bài 11 Một ống thủy tinh có chiều dài l = 50cm, tiết diện S = 0,5cm2, hàn kín đầu chứa đầy khơng khí Ấn ống chìm vào nước theo phương thẳng đứng, đầu kín Tính lực F cần đặt lên ống để giữ ống nước cho đầu ống nước cho đầu ống thấp mặt nước đoạn h = 10cm Biết khối lương ống m = 15g áp suất khí p0 = 760 mmHg Bài 12 Áp suất khí trơ bóng đèn tăng lần đèn sáng nhiệt độ đèn tắt 250C, sáng 3230C? Bài 13 Một bình đầy khơng khí điều kiện chuẩn, đậy vật có khối lượng m = 2kg Tiết diện miệng bình 10cm2 Tìm nhiệt độ cực đại khơng khí bình để khơng khí khơng đẩy nắp bình lên ngồi Biết áp suất khí p0 = 1atm Bài 14 Ở nhiệt độ 2730C thể tích lượng khí 10 lít Tính thể tích lượng khí 5460C áp suất khí khơng đổi Bài 15 12g khí chiếm thể tích lít 70 Sau nung nóng đẳng áp khối lượng riêng khí 1,2g/lít Tìm nhiệt độ khí sau nung Bài 16 Một áp kế khí gồm bình cầu thủy A tinh tích 270cm3 gắn với ống nhỏ B AB nằm ngang có tiết diện 0,1cm2 Trong ống có giọt thủy ngân Ở 00C giọt thủy Hg ngân cách A 30cm Tìm khoảng di chuyển giọt thủy ngân nung bình cầu đến 100C Coi dung tích bình khơng đổi 254 Bài 17 Khi lị theo ống khói hình trụ Ở đầu dưới, khí có nhiệt độ 7270C chuyển động với vận tốc 5m/s Hỏi vận tốc khí đầu ống (có nhiệt độ 2270C) Áp suất khí coi khơng đổi Bài 18 Trong bình kín có hỗn hợp mêtan ơxi nhiệt độ phòng áp suất p0 = 760 mmHg Áp suất riêng phần mêtan ôxi Sau xảy nổ bình kín, người ta làm lạnh để nước ngưng tụ dẫn ngồi Sau người ta lại đưa bình nhiệt độ ban đầu Tính áp suất khí bình sau Bài 19 Một hỗn hợp khí hêli argon áp suất p = 152.103 N/m2 nhiệt độ T = 300K, khối lượng riêng ρ = 2kg/m3 Tính mật độ phân tử hêli argon hỗn hợp Biết He = 4, Ar = 40 D HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Ta có: Trạng thái (p1; V1 = lít; T1); trạng thái (p2 = p1 + 0,75; V2 = lít; T2 = T1) p V Áp dụng định luật Bơi–Mariơt cho q trình đẳng nhiệt: = p1 V2 ⇔ p1 + 0,75 = 1,5 ⇒ p1 = 1,5at = p1 Vậy: Áp suất ban đầu khí p1 = 1,5at Bài – Sau n lần bơm, lượng khí vào bánh xe: + trạng thái I (p1 = atm; V1 = 2000 + nV0 = 2000 + 80n) 600 + trạng thái II (p2 = p0 + p′ = 1+ = atm; V2 = 2000 cm3) −3 3.10 – Áp dụng định luật Bơi–Mariốt cho q trình đẳng nhiệt: p2 V 2000 + 80n ⇒ n = 50 = ⇔ = p1 V2 2000 Vậy: Số lần bơm xe n = 50 Bài Ban đầu, khí bình có: thể tích V, áp suất p0 Sau bơm lần thứ nhất, khí bình có: thể tích (V + ∆V ), áp suất p1: p1 V = p0 V + ΔV Sau bơm lần thứ hai, khí bình có: thể tích (V + ∆V ), áp suất p2: p2 p p V V V = =( )( )=( )2 p0 p1 p0 V + ΔV V + ΔV V + ΔV 255 ... I T? ?M T? ? ?T LÝ THUY? ?T pV pV pV = const hay 1 = 2 – Phương trình trạng thái: T1 T2 T Trong đó: + p1, V1, T1 áp su? ?t, thể t? ?ch nhi? ?t độ khí trạng thái + p2, V2, T2 áp su? ?t, thể t? ?ch nhi? ?t độ khí trạng... 4 .105 N/m2 2 .10 5 .10 4 .105 V1 = +1 = l? ?t 2 .10 Vậy: Áp su? ?t thể t? ?ch ban đầu khí 4 .105 N/m2 l? ?t 247 Ví dụ M? ?t xilanh chứa khí đậy pittơng Pittơng trư? ?t khơng ma s? ?t dọc theo thành... 2 .105 N/m2 thể t? ?ch biến đổi l? ?t, áp su? ?t biến đổi 5 .105 N/m2 thể t? ?ch biến đổi l? ?t Tính áp su? ?t thể t? ?ch ban đầu khí bi? ?t nhi? ?t độ khí khơng đổi Hướng dẫn Ta có: Trạng thái I (p1; V1; T1 ); trạng