162 Phần CƠ HỌC VẬT RẮN Dạng 1 TÍNH MÔMEN QUÁN TÍNH – XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM A TÓM TẮT KIẾN THỨC 1 Mô men quán tính là một đại lượng vật lý (với đơn vị đo trong SI là kilôgam mét vuông kg m2) đặc trưng cho[.]
Phần CƠ HỌC VẬT RẮN Dạng TÍNH MƠMEN QN TÍNH – XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM A TĨM TẮT KIẾN THỨC Mơ men qn tính - đại lượng vật lý (với đơn vị đo SI kilôgam mét vuông kg m2) đặc trưng cho mức quán tính vật thể chuyển động quay , tương tự khối lượng chuyển động thẳng - Với khối lượng m có kích thước nhỏ so với khoảng cách r tới trục quay, mô men quán tính tính bằng: I = m r2 -Với hệ nhiều khối lượng có kích thước nhỏ, mơ men qn tính hệ tổng mơ men qn tính khối lượng: I = ∑m r i i -Với vật thể rắn đặc, chứa phần tử khối lượng gần liên tục, phép tổng thay tích phân tồn thể tích vật thể: I = ∫ r dm -Với dm phần tử khối lượng vật r khoảng cách từ dm đến tâm quay Nếu khối lượng riêng vật ρ thì: dm = ρ dV Với dV phần tử thể tích Định lí trục song song (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)) Xét với trục quay ∆ song song với trục quay ∆G qua khối tâm G vật rắn, chúng cách khoảng d Khối lượng vật rắn M, mô men quán tính vật rắn trục quay ∆ I xác định qua mơ men qn tính IG trục quay ∆G I = IG + Md2 (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)) IG -là mơ men qn tính vật trục quay qua khối tâm m -là khối lượng vật d -là khoảng cách trục quay Khối tâm a) Đối với hệ chất điểm S trọng tâm điểm Mi có khối lượng mi, gọi O điểm tùy ý, ta có 162 OG= rG= ∑ m r= ∑ m r M ∑m i i i i với r i = OM i i Nếu ta chọn O G rG = b) Đối với vật rắn: = rG rdm ∫ rdm ∫= ∫ dm M B VÍ DỤ MẪU Ví dụ Cho khối trụ đồng chất khối lượng m C phân bố đều, có tiết diện hình vành khăn, bán kính ngồi r, bán kính R r Khối trụ lăn không trượt, không vận tốc ϕ O đầu từ đỉnh bán trụ cố định bán kính R Gọi I momen quán tính khối trụ trục Hãy tính I theo m r Hướng dẫn Khối lượng riêng khối trụ rỗng: D = m r π r − Khối lượng khối trụ đặc bán kính r: m1 = = r2 r r − Khối lượng khối trụ đặc bán kính r/2: m = 4m 3. π r m= m m−m = m 3 1 r2 Momen quán tính khối trụ rỗng: I = I1 − I = m1r − m = mr (1) 2 163 Ví dụ Cho bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R, tâm O(hình vẽ) Chứng minh khối tâm G v0 O bán cầu cách tâm O đoạn d = 3R/8 Hướng dẫn Do đối xứng, G nằm trục đối xứng Ox Chia bán cầu x thành nhiều lớp mỏng dày dx nhỏ( hình vẽ) Một lớp điểm có toạ độ x= R sin α, dày dx= Rcosα.dα có khối lượng dm = ρπ(Rcosα)2dx với m = ρ πR nên: m xG = π/2 ∫ xdm ∫ ρπR m = ⇒ d = xG = − x α O dx O cos α sin αdα m π/2 ρπR ρπR 3R ( đpcm) = = cos α 4m 4m Ví dụ Xác định tọa độ trọng tâm vật đồng chất có khối lượng ρ đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng sau a Đoạn dây hình cung, bán kính R, chắn góc α Áp dụng cho đoạn dây nửa đường trịn bán kính R b Bản phẳng hình quạt bán kính R, góc tâm α Áp dụng cho bán nguyệt bán kính R Hướng dẫn a) Tọa độ trọng tâm cung trịn + Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G đoạn dây nằm trục Ox + Xét phần tử vi phân chiều dài bé có độ dài khối lượng tương ứng dl = R.dϕ dm = ρ R.dϕ d O α R x ( Vì khối lượng phân bố theo chiều dài) 164 +Tọa độ khối tâm G = xG α α α 2 1 = dm.R cos ϕ ∫ m −α m ( với m = ρ α R ) R cosϕ dϕ R cosϕ dϕ ∫= ∫α ρ= α α − 2 R sin − 2 α α 2R + Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn α =π ⇒ xG = b) Tọa độ trọng tâm hình quạt π + Biện luận câu a Trọng tâm nằm trục Ox + Xét phần tử vi phân diện tích dS dφ giới hạn hai đường trịn bán kính r (r + dr) có góc tâm dϕ có r O khối lượng tương ứng dm với dr C x = dr r.dϕ dr dS dl= dm ρ= dS ρ r.dϕ dr = ( Vì khối lượng phân bố theo diện tích) + Tọa độ khối tâm G α xG R 2 ρ = r dr ∫α cosϕ.dϕ m ∫0 − 4.R sin 3α α (với m = ρα R ) 4R 3π + Áp dụng cho hình bán nguyệt α =π ⇒ xG = 165 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Hai đĩa tròn đồng chất giống chuyển động mặt phẳng nằm ngang nhẵn, theo đường thẳng nối tâm đĩa, đến gặp Các đĩa quay chiều quanh trục thẳng đứng qua tâm ω2 ω1 chúng với tốc độ góc tương ứng ω1 ω2 Tác dụng lực ma sát đĩa mặt bàn khơng đáng kể, cịn tác dụng lực ma sát xuất điểm tiếp xúc hai đĩa với đáng kể Biết đĩa có khối lượng m, có dạng trụ trịn thẳng đứng, hai đáy phẳng, bán kính R; phần tâm đĩa có kht lỗ thủng hình trụ trịn đồng tâm với vành đĩa, bán kính R/2 Tính mơmen qn tính trục quay nói đĩa Bài Một vật hình cầu bán kính R đứng n gỗ mỏng CD Mật độ khối lượng vật phụ thuộc vào khoảng cách r đến tâm theo quy luật: = ρ 3m r 1+ , m 7π R R m OR số dương Tấm gỗ kéo mặt bàn nằm ngang theo chiều DC với gia tốc Tấm gỗ C Mặt bàn D không đổi a (xem hình vẽ) Kết vật lăn khơng trượt phía D đoạn rơi xuống mặt bàn Hệ số ma sát trượt vật mặt bàn k, gia tốc trọng trường g Tính khối lượng mơ men qn tính vật trục quay qua tâm Bài Một khối trụ đặc có bán kính R, chiều cao h, khối lượng m, lăn không trượt mặt sàn nằm ngang va vào tường thẳng đứng cố định (trục khối trụ song song với mặt sàn tường) Biết hệ số ma sát khối trụ tường µ; vận tốc trục khối R v0 166 trụ trước lúc va chạm v0; sau va chạm thành phần vận tốc theo phương ngang trục giảm nửa độ lớn; mơmen qn tính trục khối trụ I= mR (hình vẽ) Bỏ qua tác dụng trọng lực lúc va chạm bỏ qua ma sát lăn Biết mật độ khối lượng ρ điểm khối trụ phụ thuộc vào r2 m ρ A(1 + ) khoảng cách r từ điểm đến trục theo quy luật = R R h Tìm hệ số A Bài Cho vật mỏng đều, đồng chất, uốn theo dạng lòng máng thành phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có trục ∆, bán kính R gắn với điểm O cứng, mảnh, nhẹ Vật quay không ma sát quanh trục cố định (trùng với trục ∆) qua điểm O Trên hình vẽ, OA OB cứng độ dài R, OAB nằm mặt phẳng vng góc với trục ∆, chứa khối tâm G vật 1, C giao điểm OG lịng máng Tìm vị trí khối tâm G vật D HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài (R + r ) 5mR m Mô men: I = ∫ ( = )2πr1 dr1 ; r = R/2, I = m 2 r π( R − r ) R Bài R Khối lượng vật: ∫ ρ dV = m Mơ men qn tính: = dI0 2 3m = dm.r 4πr r dr 3 πR 167 I0 ⇒= R ∫ RdI= 0 44 mR 105 Bài Sử dụng hệ toạ độ trụ: mA R r2 I =∫ r dm =2πh ∫ ρr dr =2πh ∫ (1 + )r dr = mR R h0 R 12 →A= 25π R Bài Do tính đối xứng, ta thấy G nằm đường thẳng đứng Oy (xem hình vẽ) nên cần tính tọa độ yG = OG vật Mật độ khối lượng : ρ = Xét phần tử dài d 2m πR , có khối lượng dm = ρ.d = 2m 2m d = dα π πR 2R π4 2m Theo cơng thức tính tọa độ khối tâm : y = dα = π R cos α ∫ m −4 π π Vậy OG = 2R π 168 Dạng ĐỘNG HỌC - ĐỘNG LỰC HỌC A TÓM TẮT KIẾN THỨC Các ý động học động lực học vật rắn: − Các đại lượng ϕ, ϕ0, ω, γ đại lượng đặc trưng cho chuyển động quay vật rắn Trong hệ quy chiếu, ω có giá trị với trục quay song song với − Các đại lượng at ; a n ; a; v đặc trưng cho điểm vật rắn − Giữa chuyển động quay vật rắn chuyển động tịnh tiến có đại lượng vật lí tương đương nhau: − Các đại lượng liên quan đến chuyển động chất điểm (hay chuyển động tịnh tiến vật rắn) gọi đại lượng dài − Các đại lượng liên quan đến chuyển động quay vật rắn quanh trục gọi đại lượng góc Các đại lượng dài: Các đại lượng góc: - Gia tốc - Gia tốc góc - Vận tốc - Vận tốc góc - Lực - Momen lực - Động lượng - Momen động lượng Nếu đại lượng dài đại lượng vectơ đại lượng góc tương ứng đại lượng vectơ − Định lý phân bố vận tốc: Xét vật rắn P dịch chuyển hệ quy chiếu (HQC) O Xét hai điểm vật rắn A B Gọi ω vận tốc góc quay vật rắn hệ quy chiếu O Hệ thức quan trọng vận tốc A B vật rắn thời điểm cho trước là: v B = v A + ω ∧ AB (1) Đặc điểm lực tác dụng lên vật rắn - Lực tác dụng lên vật rắn điểm đặt tùy ý giá → → → - Hệ lực tác dụng lên vật rắn ( F , F , F ) tìm hợp lực khơng tìm hợp lực Cần phân biệt hợp lực tổng véc tơ lực Lý thuyết thực nghiệm cho thấy, xảy ba trường hợp (TH) 169 đây: TH1: Vật chuyển động tịnh tiến giống chất điểm Trong trường hợp hệ lực tương đương với lực đặt khối tâm tổng lực hợp lực TH2: Vật quay quanh trục qua khối tâm Trong trường hợp hệ lực tương đương với ngẫu lực mà ta biết khơng thể tìm hợp lực Vì hệ lực khơng có hợp lực nên ta phải nói tổng lực tác dụng vào vật 0, tổng momen lực trục qua khối tâm khác khơng vật quay quanh khối tâm đứng yên (nếu lúc đầu vật đứng yên) TH3: Vật vừa chuyển động tịnh tiến, vừa quay quanh khối tâm Trong trường hợp này, hệ lực tương đương với lực đặt khối tâm ngẫu lực Do đó, lực tương đương đặt khối tâm hợp lực mà tổng lực Cách xác định tổng lực: a Phương pháp hình học: Giả sử vật rắn chịu ba lực đồng thời tác dụng → → → F , F F (Hình a) Lấy điểm P không gian làm điểm đặt lực, ta vẽ → → → lực F'1 , F' F' song song, chiều → → → độ lớn với lực F , F F (Hình b) Dùng quy tắc hình bình hành ta tìm hợp lực → → → hệ lực đồng quy F'1 , F' F' Hợp lực → → → tổng lực hệ lực F , F F b Phương pháp đại số: Chọn hệ trục toạ độ Đề-các (Ox, Oy) nằm mặt phẳng vật chiếu → → → → lực F , F , F lên trục toạ độ Tổng lực lực F , có hình → → chiếu lên trục toạ độ tổng đại số hình chiếu lực F , F → F lên trục đó: Fx = F1x + F2x + F3x = ∑Fix Fy = F1y + F2y + F3y = ∑Fiy Tóm lại, tổng lực lực tương đương với hệ lực tác dụng gây chuyển động tịnh tiến cho vật rắn mà Biểu thức véctơ mômen lực trục quay Biểu thức momen lực trục quay ∆ viết dạng vectơ sau: → → → → M = r ∧ F t , đó, F t thành phần 170 → tiếp tuyến lực F với quỹ đạo chuyển động điểm đặt M vectơ lực, → → r = OM vectơ bán kính điểm đặt M → → → Theo tính chất tích có hướng hai vectơ ba vectơ r , F t M tạo thành → tam diện thuận Theo đó, vectơ momen M có phương vng góc với mặt → → phẳng chứa r F t , tức có phương trục quay ∆ Vì momen lực đại lượng góc biểu diễn vectơ nằm dọc theo trục quay (vectơ trục) Nếu chọn chiều dương cho trục quay (phù hợp với chiều dương chuyển động quay) momen lực đại lượng đại số Momen lực có giá trị dương vectơ → M chiều với chiều dương trục quay ngược lại Định luật Niu-tơn II cho chuyển động tịnh tiến chuyển động quay − Trong trường hợp tổng quát, chịu lực tác dụng, vật rắn vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay quanh khối tâm → → Để tìm gia tốc a chuyển động tịnh tiến (cũng gia tốc a khối tâm), ta áp → → dụng phương trình: ∑F = ma , (1) (1.b) hay: ∑Fx = max ∑Fy = may Để tìm gia tốc góc chuyển động quay quanh trục qua khối tâm, ta áp dụng phương trình: → → ∑ M = IG γ , (2) hay: ∑M = IGγ (dạng đại số) − Điều kiện cân tổng quát trường hợp riêng hai phương trình (1) → → → → (2) a = γ = Nếu ban đầu vật đứng n vật tiếp tục đứng n Ta có trạng thái cân tĩnh → Cần ý là, vật trạng thái cân tĩnh ∑ M = không trục qua khối tâm, mà trục − Đối với vật rắn quay quanh trục cố định chuyển động tịnh tiến vật bị khử phản lực trục quay 171 ... hệ số ma s? ?t trư? ?t khối trụ m? ?t phẳng nghiêng: µn = ? ?t = µ Thả hệ t? ?? trạng thái nghỉ: a T? ?m điều kiện µ để khối trụ lăn khơng trư? ?t m? ?t phẳng nghiêng T? ?nh gia t? ??c a0 trục khối trụ gia t? ??c a m b... xuống m? ?t bàn Hệ số ma s? ?t trư? ?t v? ?t m? ?t bàn k , gia t? ??c trọng trường g Bi? ?t khối lượng mơ men qn t? ?nh v? ?t trục quay qua t? ?m m I0 = m O R T? ??m gỗ C M? ?t bàn D 44 mR 105 Hãy xác định thời gian v? ?t lăn... m? ?t bàn Hệ số ma s? ?t trư? ?t v? ?t m? ?t bàn k, gia t? ??c trọng trường g T? ?nh khối lượng mơ men qn t? ?nh v? ?t trục quay qua t? ?m Bài M? ?t khối trụ đặc có bán kính R, chiều cao h, khối lượng m, lăn không trượt