Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề luyện thi vào lớp 10
CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN SAU RÚT GỌN LUYỆN THI VÀO 10 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học x - Một cách tổng quát: x a x a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b khơng âm ta có: a b a b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2 A a Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số , người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu A xác định (hay có nghĩa) A A2 A b Hằng đẳng thức - Với A ta có - Như vậy: + A2 A A2 A A + A2 A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phương a Định lí: + Với A B ta có: A.B A B b c A.1.4 a b + Đặc biệt với A ta có ( A )2 A2 A Quy tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích thừa số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số khơng âm, ta nhân số dấu với khai phương kết Liên hệ phép chia phép khai phương A A Định lí: Với A B > ta có: B B Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a khơng âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta chia số a cho số b khai phương kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có + Nếu A B + Nếu A < B b Đưa thừa số vào dấu A2 B A B , tức A2 B A B A2 B A B + Nếu A B A B A2 B + Nếu A < B A B A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy - Với biểu thức A, B mà A.B B 0, ta có A B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B B B - Với biểu thức A, B, C mà A A B , ta có C C ( A B) A B2 AB - Với biểu thức A, B, C mà A 0, B A B , ta có C ( A B) C A B A B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a ( a )3 a3 a b Tính chất - Với a < b a b - Với a, b ab a b - Với a b a 3a b 3b AB B B MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1: Tính: 3- a A = 2- 3+ + 3+ 2 b B = 2+ - 2 5+ 5- + 5- 5+ HƯỚNG DẪN GIẢI: a A = = 3- 3+ + 2( - 3) = + 2( + 3) 2- + 2 2+ - 2 4- + 4+ - 2( - 3)2 + 2( + 3) 24 2( - 3) 2( + 3) = = =- + 3- - - 1+ + 1- 5+ 5- (5 + )2 + (5 - )2 25 + 10 + + 25 - 10 + 60 b B = + = = = 20 = 25 - 5- 5+ (5 - )(5 + ) 1 x 1 Bài 2: Cho biểu thức A = : x 1 x x x 1 a) Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b.Tim giá trị x để A = c.Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện x Với điều kiện đó, ta có: A b) Để A = x 1 x c) Ta có P = A - x = x x 1 x 1 x 1 : x 1 x 1 x 9 x x (thỏa mãn điều kiện) Vậy x A = 4 x 9 x 1 x x x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ –si cho hai số dương ta có: x Suy ra: P 6 5 Đẳng thức xảy x Vậy giá trị lớn biểu thức P 5 x x x x x x 6 x 9 Bài 3:Cho biểu thức M = x 1 x3 x5 x 6 x 3 2 x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z HƯỚNG DẪN GIẢI: x 9 x 1 x 3 M= x5 x 6 x 3 2 x a.ĐK x 0; x 4; x 0,5đ Rút gọn M = x 9 Biến đổi ta có kết quả: M = b M x x x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 M= x 3 x 2 x 3 x 1 M x 2 x 2 x 1 x 3 x x x 15 16 x 16 x 16 Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x c M = x x x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 Vậy x = 16 M = 1 x 3 x 3 x 3 Do M z nên x ước x nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; x 1;4;16;25;49 x x 1;16;25;49 Lập bảng giá trị ta được: a a-1 a+1 ) ( ) Với a > a ≠ 2 a a+1 a-1 a) Rút gọn biểu thức P b Tìm a để P < HƯỚNG DẪN GIẢI: a a-1 a+1 a) P = ( ) ( ) Với a > a ≠ a a+1 a-1 Bài 4: Cho biểu thức P = ( a a 1 a 1 P ( ) ( ) 2 a a 1 a 1 P ( a 1 a a 1 a a 1 ) a 1 a a a ( a 1)2 ( a 1)2 P ( ) a ( a 1)( a 1) P (a 1)4 a a 4a a Vậy P = 1 a với a > a ≠ a b) Tìm a để P < 0Với a > a ≠ nên a > P= 1-a < - a < a > ( TMĐK) a 1 Bài 5: Cho biểu thức A y x y x x 3 1 x y x x y y : y x y xy a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > , y > 1 a) A y x y x x 1 : y x y x y : xy xy x y x y : xy xy b) Ta có Do A xy x y xy xy y x y x xy x y y Vậy A = xy xy x y x xy y xy y x y x x x3 y x x y y3 16 16 x y x y x xy xy ( xy = 16 ) x y x y xy 16 y xy x x y y 2 x y xy xy C MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho biểu thức : x2 1 1 x2 x 1 x 1 1) Tim điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Giải phương trình theo x A = -2 A( Câu2 Cho biểu thức : A ( )2 xx x 2 ) : x x x x x 1 a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị A x x 1 Câu3 Cho biểu thức : A : x x x x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Coi A hàm số biến x vẽ đồ thi hàm số A 1 Câu4 Cho biểu thức : A= : 1- x x x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ a a 1 a a a Câu Cho biểu thức : A = : a a a a a2 a Tìm ĐKXĐ b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên a để A nguyên Câu Cho biểu thức P 1 x x : 1 x 1 x 1 x x x x 1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trịn nguyên x để P x nhậ giá trị nguyên a a a a Câu Cho P 1 1 ; a 0, a a a a) Rút gọn P b) Tìm a biết P > c) Tìm a biết P = a 2x 16x Câu Cho P ; x 4x 2 a) Chứng minh P 2x b) Tính P x 2 24 2.Tính Q 12 x 1 x 1 x x x Câu Cho biểu thức B : x x x x x a) Rút gọn B b) Tính giá trị B x 2 c) Chứng minh B với gía trị x thỏa mãn x 0; x 1 a : 1 1 a 1 a2 Câu 10 Cho M a) Tìm TXĐ b) Rút gọn biểu thức M c) Tính giá trị M a 2 a a a a Câu 11 Cho biểu thức: A 1 1 ; a 0, a a 1 a 1 Rút gọn biểu thức A Tìm a ≥0 a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2 y y xy : ; x 0, y 0, x y Câu 12 Cho biểu thức: S x xy x xy x y Rút gọn biểu thức Tìm giá trị x y để S=1 x 2 x x 1 Câu 13 Cho biểu thức: Q ; x 0, x x x x x a Chứng minh Q x 1 b Tìm số ngun x lớn để Q có giá trị số nguyên 1 x 2 x 1 ; x , x 1, x Câu 14 Cho biểu thức: A : x 1 x 1 x x Rút gọn A Tìm x để A = x2 x 1 x 1 ; x 0, x Câu 15 Cho biểu thức: T x x 1 x x 1 x 1 Rút gọn biểu thức T Chứng minh với x > x≠1 ln có T0) Gọi y (m) chiều dài đoàn tàu (y>0) +/ Tàu chạy ngang ga giây nghóa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) giây Ta có phương trình : y=7x (1) +/ Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây nghóa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) 25giây Ta có phương trình : y+378=25x (2) y 7x y+378=25x +/ Kết hợp (1) (2) ta hệ phương trình : +/ Giải ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT) Vậy vận tốc đoàn tàu 21m/s Chiều dài đoàn tàu : 147m Bài 2: Một thuyền xuôi, ngược dòng khúc sông dài 40km hết 4h30 phút Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km Tính vận tóc dòng nước ? HD Giải: +/ Gọi x (km/h)là vận tốc thuyền nước yên lặng Gọi y(km/h) vật tốc dòng nước (x,y>0) +/ Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương trình : xy xy +/ Vì thuyền xuôi, ngược dòng khúc sông dài 40km hết 4h30 phút (= h) 40 40 xy xy x y x y Ta có hệ phương trình : 40 40 x y x y nên ta có phương trình : +/ Giải ta có : x=18 ; y= Vậy vận tốc dòng nước km/h Bài 3: Trên đường tròn chu vi 1,2 m, ta lấy điểm cố định A Hai đim chuyển động M , N chạy đường tròn , khởi hành từ A với vận tốc không đổi Nếu chúng di chuyển trái chiều chúng gặp sau 15 giây Nếu chúng di chuyển chiều điểm M vượt Nđúng vòng sau 60 giây.Tìm vận tốc điểm M, N ? HD Giải: +/ Gọi x(m/s) vận tốc điểm M Gọi y(m/s) vận tốc điểm N (x>y>0) +/ Khi chúng di chuyển trái chiều , chúng gặp sau 15 giây nên ta có phương trình : 15x+15y=1,2 (1) +/ Khi M,N di chuyển chiều điểm M vượt N vòng sau 60 giây nên ta có phương trình : 60x-60y=1 (2) Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > Chứng minh AFHE hình chữ nhật AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC BEFC tứ giác nội tiếp chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH AE AB = AF AC cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai AC F nửa đờng tròn HD GII: Ta có : BEH = 90 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AEH = 900 (vì hai góc kề bù) (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2) EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba gãc vu«ng) A E )1 B I O1 1( F H O2 C Tø giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đợc đờng tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (O1) (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE + EFC = 1800 (vì hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC EFC hai góc đối tứ giác BEFC BEFC tứ giác nội tiếp Xét hai tam giác AEF ACB ta có A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn) => AEF ACB => AE AF AC AB => AE AB = AF AC * HD c¸ch 2: Tam giác AHB vuông H có HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông H cã HF AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1 O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chøng minh t¬ng tù ta cịng cã O2F EF VËy EF lµ tiÕp tuyến chung hai nửa đờng tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vÒ mét phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K) Chøng minh EC = MN Chøng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) TÝnh MN TÝnh diƯn tÝch h×nh đợc giới hạn ba nửa đờng tròn E N H 1 M A I C O K HD GIẢI: Ta cã: BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K) => ENC = 900 (vì hai góc kề bù) (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 900 (vì hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật ) Theo giả thiết EC AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (I) (K) => B1 = C1 (hai góc nội tiếp chắn cung CN) Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng bán kính) => tam giác KBN cân K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN N => MN tiếp tuyến (K) N Chứng minh tơng tự ta có MN tiếp tuyến (I) M, Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã: S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta cã diÖn tích phần hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn S = S= ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 Bµi 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp B Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE HD GII: C C 123 O O D S E M A H×nh a D B F M 1 2 F E S 2 A B H×nh b Ta cã CAB = 900 ( v× tam giác ABC vuông A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CDB = 900 nh D A nhìn BC dới góc 900 nên A D nằm đờng tròn đờng kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp ABCD tứ giác nội tiếp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung nhau) => CA tia phân giác góc SCB XÐt CMB Ta cã BACM; CD BM; ME BC nh BA, EM, CD ba đờng cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM tia phân giác góc ADE.(1) Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nửa đờng tròn (O)) => MEB = 900 Tứ giác AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đờng tròn => A2 = B2 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => A1= B2( nội tiếp chắn cung CD) => A1= A2 => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) Ta có M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => CE CS SM EM => SCM = ECM => CA tia phân giác góc SCB Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và Tam giác ABC đồng dạng với tam điểm D nằm A B Đờng tròn giác EBD đờng kính BD cắt BC E Các đờng thng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G.Chứng minh : Tứ giác ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy HD GII: Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC góc chung => DEB CAB Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kỊ bï); BAC = 900 ( ABC vuông A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ giác nội tiếp B O E F D G S A C * BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 900 nh F A nhìn BC dới góc 900 nên A F nằm đờng tròn đờng kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp Theo ADEC tứ giác nội tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mà hai góc so le nªn suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đờng cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC LUYỆN THI VÀO 10 Bài 1: x, y, z chøng minh r»ng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x + y + z - xy – yz - zx = ( x y) ( x z) ( y z) ®óng víi mäi x;y;z R V× (x-y)2 víix ; y DÊu b»ng x¶y x=y (x-z)2 víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z (y-z)2 víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x + y + z xy+ yz + zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ®óng víi mäi x;y;z R VËy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z R DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiƯu x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) DÊu(=)x¶y x=y=z=1 Bài 2: chøng minh r»ng : a2 b2 a b a) b) Gi¶i a2 b2 c2 a b c 3 a2 b2 a b a) Ta xÐt hiÖu a b a 2ab b = 4 = 2a 2b a b 2ab = a b 2 a2 b2 a b VËy DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiƯu a2 b2 c2 a b c 3 2 = a b b c c a 2 a2 b2 c2 a b c VËy 3 DÊu b»ng x¶y a = b =c Bài 3: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh r»ng b2 ab b) a b ab a b c) a b c d e ab c d e a) a Gi¶i: b ab 4a b 4ab 4a 4a b (bất đẳng thức đúng) 2a b a) a b2 VËy a ab (dÊu b»ng x¶y 2a=b) b) a b ab a b 2(a b 2(ab a b) a 2ab b a 2a b 2b (a b) (a 1) (b 1) Bất đẳng thức cuối Vậy a b ab a b DÊu b»ng x¶y a=b=1 c) a b c d e ab c d e 4 a b c d e 4ab c d e a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c a 2b a 2c a 2d a 2c 2 2 Bất đẳng thức ®óng vËy ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh Bài 4: Chøng minh r»ng: a10 b10 a b a b8 a b Gi¶i: a 10 a b a b b a 8b 2 2 a2b2(a2-b2)(a6-b6) a12 a10b a b10 b12 a12 a 8b a b8 b12 a2 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) b10 a b a b a b Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Bi 5: Cho x.y =1 x.y x2 y2 Chøng minh 2 x y Giải: x y 2 :x y nªn x- y x2+y2 2 ( x-y) x y 2 x2+y2- 2 x+ 2 y x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh ã S dng mt s bt ng thức cổ điển thông dụng: a) x y xy b) x y xy dÊu( = ) x = y = c) x y 2 xy a b b a d) 2)Bất đẳng thức Cauchy (Cosi): a1 a a3 a n n a1 a2 a3 an n 3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski (BCS) Víi a 2 a22 an2 x12 x22 2n a1 x1 a2 x2 an xn 4) Bất đẳng thøc Trª- B-SÐp: abc A B C aA bB cC a b c A B C 3 abc A B C aA bB cC a b c A B C 3 NÕu NÕu abc A B C DÊu b»ng x¶y Bài 6: Cho a, b ,c lµ số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 xy Tacã a b2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac 2 2 a b b c c a 64a b c 8abc (a+b)(b+c)(c+a) 8abc DÊu “=” x¶y a = b = c VËy a b c d ab c bc d d c a 10 Bài 7: Cho a>b>c>0 vµ a b c chøng minh r»ng a3 b3 c3 bc a c a b Giải: Do a,b,c đối xứng ,gi¶ sư a b c a2 b2 c2 b c a b c a c a b áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có a b c a2 b2 c2 a b c b2 c2 = = bc ac ab bc a c a b 2 a3 b3 c3 1 VËy DÊu b»ng x¶y a=b=c= bc ac ab a2 Bài 8: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng : a b c d ab c bc d d c a 10 Gi¶i: Ta cã a b 2ab 2 c d 2cd Do abcd =1 nªn cd = ab Ta cã a b c 2(ab cd ) 2(ab Mặt khác: ab c bc d d c a =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = ab )4 ab (1) 1 ac bc ab ac bc Bài 9: Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a c) (b d ) a b c d Gi¶i: Ta có: a c b d a b 2ac bd c d 2 2 a2 b2 a2 b2 c2 d c2 d Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Tacó ac+bd a b c d (a c) (b d ) a b c d Bài 10: Chøng minh r»ng a b c ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có: (a b c ) 1.a 1.b 1.c a b c a b c 2ab bc ac 2 2 2 a b c ab bc ac 2 2 2 Điều phải chứng minh Dấu x¶y a=b=c Bài 11: Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng 1 a b c d 2 abc bcd cd a d ab Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã a a ad 1 abc abc abcd a a MỈt khác : abc abcd (1) (2) Từ (1) (2) ta cã a a ad < < abcd abc abcd (3) T¬ng tù ta cã b b ba abcd bcd abcd c c bc abcd cd a abcd d d d c abcd d ab abcd (4) (5) (6) céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã 1 a b c d điều phải chứng minh abc bcd cd a d ab Bài 11: Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam giác chứng minh a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải a)Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta cã 0 a b c 0 b a c 0 c a b a a(b c) b b(a c) c c ( a b) Céng tõng vế bất đẳng thức ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta cã a > b-c a a (b c) > b > a-c b2 b (c a)2 > c > a-b c c (a b)2 Nhân vế bất đẳng thức ta đợc a 2b c a b c b c a c a b 2 a b c a b c b c a c a b 2 2 abc a b c b c a c a b a b c Bài 12: Cho a,b,c > Chøng minh r»ng (1) bc ca ab Gi¶i : yzx zx y x yz ; b= ;c= 2 yzx zx y x yz ta cã (1) 2x 2y 2z y z x z x y 1 1 1 x x y y z z y x z x z y ( )( )( )6 x y x z y z y x z y z x Bất đẳng thức cuối ( 2; nên ta có điều ph¶i 2; x y y z x z §Ỉt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= chøng minh Bài 13: Cho a,b,c > vµ a+b+c Theo bất đẳng thức Côsi ta có x y z 3 xyz 1 1 x y z xyz x y z . Mµ x+y+z < x y z 1 (®pcm) x y z VËy Bài 14: Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng x y2 8 x y 2 Ta cã Giải : (vì xy = 1) x y x y xy x y 2 x 2 y2 x y 4.x y Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với x y 4 4x y 2 8.x y 2 x y 4 4x y 2 x y 22 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh Bi 15: Cho xy Chøng minh r»ng 1 2 1 x 1 y xy Gi¶i : 1 2 1 x 1 y xy 1 1 2 x y y xy Ta cã xy x xy y 0 x 1 xy y 1 xy x( y x) y( x y) 1 x .1 xy 1 y .1 xy y x 2 xy 1 1 x y .1 xy B§T cuèi xy > Vậy ta có điều ph¶i chøng minh Bài 16: a Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chøng minh r»ng a b c b Cho a,b,c sè d¬ng 1 Chøng minh r»ng a b c . a b c Giải : a Ta có áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) 1.a 1.b 1.c2 1 1.a b2 c a b c2 3.a b2 c a b2 c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 1 b a b c . a b c a a b b c c 1 1 b c a c a a a b a c b c 3 b a c a c b x y áp dụng BĐT phụ Với x,y > y x 1 Ta cã B§T cuèi 1 Vậy a b c . a b (đpcm) c Bi 17: Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i : Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = Vµ x x x x x x VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y x (2) DÊu b»ng x¶y x Vậy T có giá trị nhỏ x Bi 18: Tìm giá trị lín nhÊt cđa S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > x+y+z =1 Giải : Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta có (1) (2) x+ y + z 3 xyz xyz 1 xyz 27 áp dụng bất đẳng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã x y y z . z x 3 x y . y z . x z 3 x y y z . z x DÊu b»ng x¶y x=y=z= VËy S 8 27 27 729 VËy S có giá trị lớn x=y=z= 729 Bi 19:Cho xy+yz+zx = Tìm giá trị nhá nhÊt cđa Gi¶i : x4 y z áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z) 2 Ta cã xy yz zx x2 y z x2 y z (1) Ap dơng B§T Bunhiacèpski cho ( x2 , y , z ) vµ (1,1,1) Ta cã ( x y z )2 (12 12 12 )( x y z ) ( x y z )2 3( x y z ) Tõ (1) vµ (2) 3( x4 y z ) x4 y z VËy x4 y z có giá trị nhá nhÊt lµ x=y=z= 3 Bài 20: Tìm số nguyên x,y,z thoả mÃn x2 y z xy y z Giải : Vì x,y,z số nguyên nên: x2 y z xy y z x y z xy y z y2 3y2 x xy y 3 z 2z 2 y y x 1 z 1 2 2 2 2 (*) y y Mµ x 1 z 1 y y x 1 z 1 2 2 y x x 1 y 1 y 2 z 1 z 1 x Các số x,y,z phải tìm y z 1 x, y R ... tốc lúc 3km/h nên thời gian thời gian 20 phút Tính vận tốc lúc 10 CHỦ ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC (KHUYẾT) LUYỆN THI VÀO 10 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I Hµm sè bËc nhÊt a Khái niệm hàm số bậc... thuộc vào giá trị m 15 HƯỚNG DẪN: * ' m 2 * Q 2007x1 x2 4014x1 x2 20072m 2 4014m 3 16056 CHỦ ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ LUYỆN THI VÀO 10 A KIẾN... biểu thức M Tìm x để M ≥ 1 x 1 x x ; x 0; x CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO 10 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương pháp chung: Bước 1: Gọi ẩn phù