Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn toán phần hình học

(Người với sách, Trường Athena củaRafaeln) .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com (O) (O; R) ABC SABC (ABC) a, b, c ha, hb, hc ma, mb, mc la, lb, lc R, r ra, rb, rc đpcm 2p CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG CHUYÊN ĐỀ : Đường trịn tâm O : Đường trịn tâm O, bán kính R : Tam giác ABC : Diện tích ABC : Đường trịn ngoại tiếp ABC : Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác : Bán kính đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Điều phải chứng minh abc : Chu vi tam giác (p = nửa chu vi) n a k = a1 + a + + a n : Tổng n số hạng từ a1 đến an = a1a a n : Tích n số hạng từ a1 đến an k=1 n a k k=1 TỔNG KẾT KIẾN THỨC Đường thẳng: Định nghĩa: Một đường thẳng hiểu đường dài (vô tận), mỏng (vô cùng) thẳng tuyệt đối Tiên đề Ơ'Clit: Qua hai điểm ta ln xác định đường thẳng đường thẳng Kí hiệu: Người ta thường dùng chữ in thường a, b, c, , m, n, p để đặt tên cho đường thẳng dùng hai chữ in hoa hay hai chữ in thường để đặt tên cho đường thẳng Ví dụ: AB, xy, y x A B Điểm không thuộc đường thẳng: Điểm A không nằm đường thẳng a, điểm A không thuộc đường thẳng a (hay nói cách khác đường thẳng a khơng qua điểm A) Kí hiệu: A  a Đoạn thẳng: Định nghĩa: Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B B A Hai điểm A B gọi hai đầu mút (hay gọi hai mút) đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm M nằm A B AM + MB = AB A, M, B thẳng hàng A M B Tia: Tia hình gồm điểm O phần đường thẳng bi chia điểm O gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy hình vẽ) Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: x y O Hai tia có chung góc O tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối nhau) Điểm: Để kí hiệu điểm, người ta dùng chữ in hoa A, B, C, Bất hình tập hợp điểm Trung điểm đoạn thẳng: Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm hai điểm A, B cách hai điểm A B M B A Trung điểm M đoạn thẳng AB cịn gọi điểm đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm hai điểm khác với điểm nằm hai điểm Mặt phẳng: Nửa mặt phẳng bờ a: Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a a Mặt phẳng hai nửa mặt phẳng hợp lại theo phương (phương vectơ) định u d P Q Góc: Góc nhọn Góc vng Góc bẹt Góc tù B A Góc phản Biên soạn: Trần Trung Chính Góc đầy Góc khối B A Đường phân giác .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com R R Chia đơi góc compa thước kẻ Góc ngồi tam giác Góc đối đỉnh Góc tâm đường trịn (1) Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900 x y O z   Góc xOy góc yOz hai góc phụ (2) Hai góc bù hai góc có tổng số đo 1800 y O x z   Góc xOy góc yOz hai góc bù (3) Hai góc so le trong: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B c A a b 2 B Khi đó:     A1  B1 A2  B2 (4) Hai góc đồng vị: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B Khi đó:         A =B , A B , A B , A B 1 2 3 Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: A a b c 4 B Tam giác: 7.1 Kí hiệu: Tam giác ABC kí hiệu ABC Một tam giác ABC có ba đỉnh (góc) A, B, C ba cạnh AB, BC, CA 7.2 Các đường tam giác: Đường cao: Là đoạn thẳng nối đỉnh vng góc với cạnh đối diện đỉnh Một tam giác có ba đường cao Giao điểm ba đường cao gọi trực tâm tam giác Trong ABC, có đường cao AH, BK, CF A K F B C H Đường trung tuyến: Là đường thẳng kẻ từ đỉnh qua trung điểm cạnh đối diện với đỉnh Một tam giác có ba đường trung tuyến Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác A M B N G P C Trong ABC, có đường trung tuyến AP, BN, CM Độ dài đường trung tuyến: BG AG CG = = = BN AP CM GN GP GM = = = BN AP CM GN GP GM = = = GB GA GC Đường trung trực: Là đường thẳng vng góc với cạnh trung điểm Một tam giác có ba đường trung trực Giao điểm ba đường trung trực gọi tâm đường ngoại tiếp tam giác Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com d B A Đường thẳng (d) đường trung trực đoạn thẳng AB A O B C Điểm O giao điểm ba đường trung trực Đường phân giác: Là đường thẳng chia góc thành hai góc có số đo Một tam giác có ba đường phân giác Giao điểm ba đường phân giác gọi tâm đường nội tiếp tiếp tam giác Trong ABC có: OM = ON = ON A N P C M Đường trung bình: Là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Một tam giác có ba đường trung bình Tam giác tạo ba đường trung bình đồng dạng với tam giác cho B A M B N C MN gọi đường trung bình tam giác Ta có: MN // BC MN  BC 7.3 Phân loại tam giác: Tam giác nhọn: Là tam giác có ba góc nhọn (số đo ba góc < 900) Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: A B C Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh ba góc Trong tam giác đều, đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực A 600 600 600 B C Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh hai góc đáy A B C Tam giác vng: Là tam giác có góc vuông (bằng 90 ) Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vng gọi cạnh huyền cạnh lớn  Cho ABC, có A  900 BC2 = AB2 + AC2 Đây hệ thức hệ thức Pitago B A C Định lý PITAGO: Định lý thuận: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vuông BC2 = AB2 + AC2 Định lý đảo: Tam giác có tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác vng Nếu tam giác ABC thỏa mãn BC2 = AB2 + AC2 ABC tam giác vng A Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com 7.4 Tính chất cạnh góc tam giác: Tính chất 1: Cho tam giác ABC, tổng ba góc:    A  B  C  1800 Tính chất 2: Độ dài cạnh lớn hiệu độ dài hai cạnh nhỏ tổng độ dài chúng AB + BC > AC > |AB - BC| Tính chất 3: Trong hai cạnh tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn    BC  AC  AB  A  B  C 7.5 Diện tích tam giác: (1) Cơng thức tính diện tích tam giác: S  b.h b độ dài cạnh h độ dài đường cao ứng với cạnh b h (2) Công thức Heron: S  p  p  a  p  b  p  c  b b  a  b  c  nửa chu vi tam giác Đường tròn: 8.1 Khái niệm: Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O cho trước khoảng không đổi R p  R O Kí hiệu: (O; R), ta có kí hiệu (O) Lưu ý: - Qua ba điểm không thẳng hàng ta xác định đường tròn - Một đường tròn có tâm đối xứng tâm đường trịn - Một đường trịn có vơ số trục đối xứng đường kính đường trịn D C A B O 8.2 Đường kính dây cung: Định lý 1: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính AB đường kính, CD dây cung AB > CD Định lý 2: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Nếu OH  AB H AH = HB Định lý 3: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm O dây không qua tâm vng góc với dây 8.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Định lý 1: Trong đường tròn: A B H Hai dây cách tâm Nếu AB = CD OM = ON C Hai dây cách tâm A A Nếu OM = ON AB = CD O O Định lý 2: Trong hai dây đường tròn: N Dây lớn dây gần tâm M C M N Nếu AB > CD OM < ON Dây gần tâm dây lớn D B D B Nếu OM < ON AB > CD Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: 8.4 Khoảng cách đường thẳng đường trịn: Gọi R bán kính đường tròn d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Ta có: O O O a H a a H (d > R) H (d = R) Đường thẳng đường trịn khơng giao Đường thẳng đường tròn tiếp xúc (d < R) Đường thẳng đường tròn cắt hai điểm (giao nhau) Định lý 1: A Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm O Nếu a tiếp tuyến với (O) H O H a  OH Định lý 2: a Tiếp tuyến với đường tròn: Nếu hai H tiếp tuyến đường trịn cắt B điểm điểm cách hai tiếp điểm AH = BH Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến  HO tia phân giác góc AHB Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm  OH tia phân giác góc AOB 8.5 Đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp: Đường tròn nội tiếp: - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đường tròn nội tiếp tam giác - Tâm đường tròn nội tiếp giao điểm ba đường phân giác góc tam giác Đường tròn ngoại tiếp: - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm ba đường phân giác góc ngồi tam giác 8.6 Vị trí tương đối hai đường trịn: Nếu gọi bán kính (O) R (O') r ta có: - Hai đường trịn có hai điểm chung gọi hai đường trịn cắt Hai điểm chung A, B gọi giao điểm Đoạn thẳng AB nối hai điểm gọi dây chung Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com A A O O' O O O' O' A B (R - r < OO' < R + r) (R + r = OO') Hai đường cắt O Hai đường tiếp xúc (R - r = OO') Hia đường tròn nhau, O' (OO' > R + r) Hai đường 8.7 Góc với đường trịn: Góc tâm: Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm m B A Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung   s®AmB  AOB Số đo cung lớn hiệu số 3600 số đo cung nhỏ   s® AmB  360  s® AnB Số đo nửa đường tròn 1800   α O n 8.8 Liên hệ cung dây cung: Định lý 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây Hai dây căng hai cung Định lý 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường O tròn nhau: Cung lớn căng dây lớn Cung nhỏ căng dây nhỏ 8.9 Góc nội tiếp: O Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung dường trịn Định lý: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo A cung bị chắn   AOB  s® AB Hệ quả: Trong đường trịn: Biên soạn: Trần Trung Chính B .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: - Các góc nội tiếp chắn cung    AOB  ACB  s® AB - Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung - Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng O C O A B 8.10 Góc tạo tiếp tuyến dây cung: Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn A O a B   (sđ AB  ABa ) 8.11 Góc có đỉnh bên đường trịn góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn m D A E O C B n  BEC =    s®BmC +s®AnD  Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn B M B M A D B M n A O O O A C           CMD = s®CD - s®AB ; BMC = s®BC - s®AB ; 2 8.12 Độ dài đường tròn, cung tròn: Biên soạn: Trần Trung Chính m C     AMB = s®AmB - s®AnB  10 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com - Cơng thức tính độ dài đường tròn: C = 2R = d (R bán kính, d đường kính) - Cơng thức tính độ dài cung trịn: Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n0 tính sau: Rn l 180 8.13 Diện tích hình trịn, hình quạt trịn: - Diện tích hình trịn: S = R2 - Diện tích hình quạt trịn: S R n lR hay S  360 R O n0 l R O n0 Hình học khơng gian: l Hình trụ - diện tích xung quanh hình trụ: - Diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh R (R bán kính đáy h chiều cao) - Diện tích tồn phần: Stp = 2Rh + 2r2 = 2R(h + R) h - Thể tích hình trụ: V = Sh = R2h (S diện tích đáy, h chiều cao) Hình nón - hình nón cụt: * Hình nón: - Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = Rl (với l độ dài đường sinh, r bán kính đáy) - Diện tích tồn phần hình nón (tổng diện tích xung quanh diện tích đáy) Stp = Rl + R2 = R(l + R) (với l độ dài đường sinh, r bán kính đáy) - Thể tích hình nón: V  R h (với l độ dài đường sinh, r bán kính đáy) * Hình nón cụt: - Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt: r1 Sxq    r1  r2  l - Thể tích hình nón cụt: V  h  r12  r22  r1r2  (h chiều cao) - Hình cầu: Biên soạn: Trần Trung Chính l l h R h r2 11 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: - Cơng thức tính diện tích mặt cầu: S = 4R2 hay S = d2 (Với R bán kính mặt cầu, d đường kính mặt cầu) - Thể tích hình cầu: V  R 3 (Với R bán kính mặt cầu) Biên soạn: Trần Trung Chính 12 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHỦ ĐỀ NHẬN BIẾT VÀ TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT HÌNH Kiến thức bản: 1.1 Tam giác cân: Các phương pháp chứng minh tam giác cân: Phương pháp 1: Tam giác có hai cạnh tam giác cân Phương pháp 2: Tam giác có hai góc tam giác cân Phương pháp 3: Tam giác có đường cao vừa đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác góc ngược lại tam giác tam giác cân Lứu ý: Có thể chứng minh tam giác tam giác cân dựa vào biểu thức hệ thức chứng minh 1.2 Tam giác đều: Các phương pháp chứng minh tam giác đều: Phương pháp 1: Tam giác có ba cạnh tam giác Phương pháp 2: Tam giác có ba góc 600 tam giác Phương pháp 3: Tam giác cân có số đo góc đỉnh cân 60 tam giác Phương pháp 4: Tam giác có đường cao vừa đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực ngược lại tam giác 1.3 Tam giác vuông: Các phương pháp chứng minh tam giác vuông: Phương pháp 1: Tam giác có góc vng tam giác vng Phương pháp 2: Tam giác có hai cạnh nằm hai đường thẳng vng góc tam giác vng Phương pháp 3: Sử dụng định lý đảo đường trung tuyến tam giác vuông Định lý: Trong tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền tam giác tam giác vuông Phương pháp 4: Sử dụng định lý đảo định lý Pitago Định lý: Nếu tam giác thỏa mãn bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác tam giác vuông Tức là, BC2 = AB2 + AC2 tam giác ABC vng A Phương pháp 5: Tam giác nội tiếp đường trịn có cạnh đường kính tam giác tam giác vng 1.4 Tam giác vuông cân: Các phương pháp chứng minh tam giác vuông cân: Phương pháp 1: Tam giác vuông có hai cạnh góc vng tam giác vng cân Phương pháp 2: Tam giác vng có góc nhọn 450 tam giác vng cân Phương pháp 3: Tam giác cân có số đo góc đáy 45 tam giác vuông cân 1.5 Hình thang, hình thang cân, hình thang vng: Diện tích hình thang: S   AB  CD  AH Tính chất: Định lý 1: Trong hìn thang cân, hai cạnh bên Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Đường trung bình hình thang: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang ABCD Biên soạn: Trần Trung Chính 13 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: B A N M C D Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai Định lý 2: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy MN  AB  CD  Phương pháp chứng minh hình thang: Phương pháp 1: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Phương pháp chứng minh hình thang vng: Phương pháp 1: Hình thang vng hình thang có góc vng Phương pháp chứng minh hình thang cân: Phương pháp 1: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Phương pháp 2: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Phương pháp 3: Hình thang cân hình thang có hai đường chéo 1.6 Hình bình hành: Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song B A O D H C Diện tích hình bình hành: S  AH.CD  AH.AB Các phương pháp chứng minh hình bình hành: Phương pháp 1: Tứ giác có cạnh đối song song Phương pháp 2: Tứ giác có cạnh đối Phương pháp 3: Tứ giác có cạnh đối song song Phương pháp 4: Tứ giác có góc đối Phương pháp 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường 1.7 Hình chữ nhật: Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng ABCD A B D C Chu vi hình chữ nhật: C   AB  BC    AD  DC  ABCD Biên soạn: Trần Trung Chính 14 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com Diện tích hình chữ nhật: S  AB.CD Các phương pháp chứng minh hình chữ nhật: Phương pháp 1: Tứ giác có ba góc vng Phương pháp 2: Hình thang cân có góc vng Phương pháp 3: Hình bình hành có góc vng Phương pháp 4: Hình bình hành có hai đường chéo 1.8 Hình thoi: ABCD A D O B C Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Tính chất: Trong hình thoi: Hai đường chéo vng góc với Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Chu vi hình thoi: C  4AB  4BC  4CD  4DA Diện tích hình thoi: S  AC.BD  BO.AC  OD.AC Các phương pháp chứng minh hình thoi: Phương pháp 1: Tứ giác có bốn cạnh Phương pháp 2: Hình bình hành có hai cạnh kề Phương pháp 3: Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với Phương pháp 4: Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc 1.9 Hình vng: B A ABCD ABCD C D Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh Tính chất: Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Chu vi hình vng: C  4AB  4BC  4CD  4AD Diện tích hình vng: S  AB  BC  CD  AD Phương pháp chứng minh hình vng: Phương pháp 1: Hình chữ nhật có hai cạnh kề Phương pháp 2: Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với Phương pháp 3: Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc ABCD 2 2 ABCD Biên soạn: Trần Trung Chính 15 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Phương pháp 4: Hình thoi có góc vng Phương pháp 5: Hình thoi có hai đường chéo Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm ABC D điểm cung BC khơng chứa điểm A Xác định vị trí điểm D để tứ giác BHCD hình bình hành Giải A Giả sử tìm điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD // HC CD // HB H Vì H trực tâm tam giác ABC nên CH  AB BH  AC O  BD AB CD  AC   B C Do đó: ABD  9000 ACD  90 Vậy AD đường kính đường trịn tâm O Ngược lại D đầu đường kính AD đường trịn tâm O tứ giác D BHCD hình bình hành Bài tập 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R C điểm thuộc đường tròn (C  A; C  B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C Kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N Chứng minh BAN MCN cân Giải x Xét ABM NBM, ta có: AB đường kính Q N C    NMB  900 Nên AMB M điểm cung nhỏ AC nên M     ABM  MBN  BAM  BNM A  BAN cân đỉnh B B Xét tứ giác AMCB nội tiếp:     BAM  MCN (cùng bù với MCB )     MCN  MNC (cùng BAM )  MCN cân đỉnh M Bài tập 3: Cho ABC cân A, (AB > BC) Điểm D di động cạnh AB, (D không trùng với A, B) Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C D cắt K a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp? b) Tứ giác ABCK hình gì? Vì sao? c) Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK hình bình hành? Giải A K c) Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang Do đó, tứ giác ABCK hình bình hành  AB // CK D    BAC = ACK     Mà ACK = sđ EC = sđ BD = DCB 2   Nên BCD = BAC O  = BAC  Dựng tia Cy cho BCy B C  Khi đó, D giao điểm AB Cy Biên soạn: Trần Trung Chính 16 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com      Với giả thiết AB > BC BCA > BAC > BDC  D  AB Vậy điểm D xác định điểm cần tìm Bài tập tự luyện: Bài tập 1:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O D E điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L a) Chứng minh DI = IL = LE b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình Bài tập 2:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có đường chéo vng góc với I a) Chứng minh từ I ta hạ đường vng góc xuống cạnh tứ giác đường vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đường vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác Bài tập 3:Cho tam giác vng ABC ( A = 1v) có AH đường cao Hai đường trịn đường kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đường tròn (O 1) (O2) M N a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì? c) Gọi F, E, G trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đường nào? Bài tập 4:Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường trịn phía hình vng.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB Bài tập 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM N Chứng minh tam giác AMN tam giác Bài tập 6: Từ điểm A bên đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đường tròn điểm N Tia AN cắt đường tròn điểm D a) Chứng minh MB2 = MC MN b) Chứng minh AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi CHỦ ĐỀ CHỨNG MINH SONG SONG Kiến thức bản: Các phương pháp chứng minh: Phương pháp 1: Hai đường thẳng song song với chúng vng góc với đường thẳng thứ ba Biên soạn: Trần Trung Chính 17 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Phương pháp 2: Dựng mối quan hệ góc: So le nhau, đồng vị nhau, phía nhau, … Phương pháp 3: Sử dụng định lý đảo định lý Talét Định lý: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tỷ lệ hai đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác Phương pháp 4: Áp dụng tính chất tứ giác đặc biệt, đường trung bình tam giác Phương pháp 5: Áp dụng tính chất hai dây chắn hai cung băng đường tròn Bài tập áp dụng:  Bài tập 1: Cho ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D Đường  phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh rằng: ED // BC Giải  A Trong  ABM có MD phân giác AMB nên, ta có: AD MA = (1) (định lý) DB MB  E D Trong  AMC có ME phân giác AMC nên, ta có: AE MA = (2) (định lý) EC MC C B M Vì MB = MC (giả thiết) Nên từ (1) (2) AD AE Suy ra: = DB EC Trong  ABC có DE định cạnh AB, AC đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD Gọi K, L trọng tâm tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh KL // AD B Giải A Gọi M trung điểm BC Vì K trọng tâm  ABC K M nên MK= MA (tính chất trọng tâm tam giác) L MK hay = (1) C D MA Và L trọng tâm  BCD ML nên ML = MD hay = (2) MD MK ML Từ (1) (2) suy nên KL //AD (định lý Talét đảo) = MA MD Do  AMD có KL định cạnh MA, MD đoạn thẳng tỷ lệ nên KL // AD (định lý Talét đảo) Bài tập 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD K giao điểm BM AC Chứng minh rằng: IK //AB Giải B A Ta có: IM MD (do AB // MD hay  AIB ∽  MID) = IA AB K I (Do AB // MC) Mà MD = MC (giả thiết) D Biên soạn: Trần Trung Chính M C 18 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com IM KM Nên: = IA KB Suy IK // AB (Điều phải chứng minh) Vì  AMB có IK định cạnh MA, MB đoạn thẳng tỷ lệ nên IK // AB (định lý Talét đảo) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ AK // BC, AKBD = E; Kẻ BI //AD; BIAC = F (K, I  CD) Chứng minhn rằng: EF // AB Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD Qua B, vẽ Bx // CD cắt AC E Qua C vẽ Cy // BA cắt BD F Chứng minh rằng: EF // AD Bài tập 3: Cho hình bình hành ABCD đường phân giác góc BAD cắt BD M, đường phân giác góc ADC cắt AC N Chứng minh rằng: MN //AD Bài tập 4: Cho  ABC Lấy điểm M tùy ý cạnh BC Lấy N tùy ý cạnh AM Đường thẳng DE // BC (D  AB, E  AC) Gọi P giao điểm DM BN Q giao điểm CN EM Chứng minh rằng: PQ // BC Bài tập 5: Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b Đường phân giác góc A cắt BC M, đường phân giác góc C cắt BA N Chứng minh rằng: MN // AC Bài tập 6: Cho đường trịn (O), điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) Vẽ đường kính NOC Chứng minh AO // MN CHỦ ĐỀ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Kiến thức bản: Phương pháp chứng minh đường thẳng a đường thẳng b vng góc với nhau: Phương pháp 1: Chứng minh chúng song song với hai đường vng góc khác Phương pháp 2: Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại Phương pháp 3: Dựng tính chất ba đường cao cạnh đối diện tam giác Phương pháp 4: Đường kính qua trung điểm dây Phương pháp 5: Phân giác hai góc kề bù Phương pháp 6: Sử dụng góc nối tiếp nửa đường trịn Phương pháp 7: Sử dụng tính chất đường trung trực Phương pháp 8: Tính chất tiếp tuyến đường kính đường trịn Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho ABC, đường cao BD CE Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ B, C đến DE Gọi I trung điểm DE, K trung điểm BC Chứng minh rằng: KI  ED? Chứng minh Xét BDC có: DK đường trung tuyến  DK = BC (1) Xét BEC có: EK đường trung tuyến  EK = BC (2) Từ (1) (2), suy ra: DK = EK Suy ra: EKD cân K Mà I trung điểm DE Do đó: KI đường cao EKD  KI  ED Bài tập 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB S điểm nằm bên ngồi đường trịn SA SB cắt đường tròn M, N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh SH  AB Biên soạn: Trần Trung Chính 19 ....:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com (O) (O; R) ABC SABC (ABC) a, b, c ha, hb, hc ma, mb, mc la, lb, lc R, r ra, rb, rc đpcm 2p CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG CHUYÊN ĐỀ : Đường trịn... đo ba góc < 900) Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: A B C Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh ba góc Trong tam giác đều, đường cao đường trung tuyến, đường phân giác,... tích hình trịn, hình quạt trịn: - Diện tích hình trịn: S = R2 - Diện tích hình quạt trịn: S R n lR hay S  360 R O n0 l R O n0 Hình học khơng gian: l Hình trụ - diện tích xung quanh hình trụ: