Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán Phần hình học

Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán Phần hình học Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán Phần hình học Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán Phần hình học Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán Phần hình học Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán Phần hình học Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán Phần hình học

(Người với sách, Trường Athena củaRafaeln) .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com (O) (O; R) ABC SABC (ABC) a, b, c ha, hb, hc ma, mb, mc la, lb, lc R, r ra, rb, rc đpcm 2p a n CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG CHUYÊN ĐỀ : Đư ng tròn tơm O : Đư ng tròn tơm O, bán kính R : Tam giác ABC : Diện tích ABC : Đư ng tròn ngoại tiếp ABC : Độ dƠi cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Độ dƠi đư ng cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dƠi đư ng trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dƠi đư ng phơn giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Bán kính đư ng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác : Bán kính đư ng tròn bƠng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Điều phải chứng minh abc lƠ nửa chu vi) : Chu vi tam giác (p = k = a1 + a + + a n : Tổng n số hạng từ a1 đến an k = a1a a n : Tích n số hạng từ a1 đến an a k=1 n k=1 TỔNG KẾT KIẾN THỨC Đường thẳng: Định nghĩa: Một đư ng thẳng hiểu lƠ đư ng dƠi (vơ tận), mỏng (vơ cùng) vƠ thẳng tuyệt đối Tiên đề 'Clit: Qua hai điểm ta ln xác định đư ng thẳng vƠ đư ng thẳng Kí hiệu: Ngư i ta thư ng dùng chữ in thư ng a, b, c, , m, n, p để đặt tên cho đư ng thẳng dùng hai chữ in hoa hay hai chữ in thư ng để đặt tên cho đư ng thẳng Ví dụ: AB, xy, y x A B Điểm khơng thuộc đư ng thẳng: Điểm A khơng nằm đư ng thẳng a, điểm A khơng thuộc đư ng thẳng a (hay nói cách khác lƠ đư ng thẳng a khơng qua điểm A) Kí hiệu: A  a Đoạn thẳng: Định nghĩa: Đoạn thẳng AB lƠ hình gồm điểm A, điểm B vƠ tất điểm nằm A vƠ B B A Hai điểm A vƠ B gọi lƠ hai đầu mút (hay gọi lƠ hai mút) đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm M nằm A vƠ B vƠ AM + MB = AB vƠ A, M, B thẳng hƠng A M B Tia: Tia hình gồm điểm O vƠ phần đư ng thẳng bi chia b i điểm O gọi lƠ tia gốc O (có hai tia Ox vƠ Oy hình vẽ) Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: x y O Hai tia có chung góc O tạo thƠnh đư ng thẳng gọi hai tia đối (hai tia Ox vƠ Oy hình vẽ lƠ hai tia đối nhau) Điểm: Để kí hiệu điểm, ngư i ta dùng chữ in hoa A, B, C, Bất hình nƠo lƠ tập hợp điểm Trung điểm đoạn thẳng: Trung điểm M đoạn thẳng AB lƠ điểm nằm hai điểm A, B vƠ cách hai điểm A vƠ B M B A Trung điểm M đoạn thẳng AB gọi lƠ điểm đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm hai điểm khác với điểm nằm hai điểm Mặt phẳng: Nửa mặt phẳng b a: Hình gồm đư ng thẳng a vƠ phần mặt phẳng bị chia b i a gọi lƠ nửa mặt phẳng b a a Mặt phẳng lƠ hai nửa mặt phẳng hợp lại theo phư ng (phư ng vect ) định u d P Q Góc: Góc nhọn Góc vng Góc bẹt Góc tù B A Góc phản Biên soạn: Trần Trung Chính Góc đầy Góc khối B A Đư ng phơn giác .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com R R Chia đơi góc compa thước kẻ Góc ngoƠi tam giác Góc đối đỉnh Góc tơm đư ng tròn (1) Hai góc phụ lƠ hai góc có tổng số đo 900 x y O z  góc yOz  lƠ hai góc phụ Góc xOy (2) Hai góc bù lƠ hai góc có tổng số đo 1800 y O x z  góc yOz  hai góc bù Góc xOy (3) Hai góc so le trong: Cho hai đư ng thẳng a //b vƠ đư ng thẳng c cắt a, b A, B b c A a 2 B Khi đó:  B  A  B  A 2 1 (4) Hai góc đồng vị: Cho hai đư ng thẳng a //b vƠ đư ng thẳng c cắt a, b A, B Khi đó: =B , A  B , A  B , A  B  A 1 2 3 Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: A a b c 4 B Tam giác: 7.1 Kí hiệu: Tam giác ABC kí hiệu lƠ ABC Một tam giác ABC có ba đỉnh (góc) lƠ A, B, C vƠ ba cạnh lƠ AB, BC, CA 7.2 Các đường tam giác: Đường cao: LƠ đoạn thẳng nối đỉnh vƠ vng góc với cạnh đối diện đỉnh Một tam giác có ba đư ng cao Giao điểm ba đư ng cao gọi lƠ trực tâm tam giác Trong ABC, có đư ng cao AH, BK, CF A K F B C H Đường trung tuyến: LƠ đư ng thẳng kẻ từ đỉnh vƠ qua trung điểm cạnh đối diện với đỉnh Một tam giác có ba đư ng trung tuyến Giao điểm ba đư ng trung tuyến gọi lƠ trọng tơm tam giác A M B N G P C Trong ABC, có đư ng trung tuyến AP, BN, CM Độ dƠi đư ng trung tuyến: BG AG CG = = = BN AP CM GN GP GM = = = BN AP CM GN GP GM = = = GB GA GC Đường trung trực: LƠ đư ng thẳng vng góc với cạnh trung điểm Một tam giác có ba đư ng trung trực Giao điểm ba đư ng trung trực gọi lƠ tơm đư ng ngoại tiếp tam giác Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com d B A Đư ng thẳng (d) lƠ đư ng trung trực đoạn thẳng AB A O B C Điểm O lƠ giao điểm ba đư ng trung trực Đường phân giác: LƠ đư ng thẳng chia góc thƠnh hai góc có số đo Một tam giác có ba đư ng phân giác Giao điểm ba đư ng phơn giác gọi lƠ tơm đư ng nội tiếp tiếp tam giác Trong ABC có: OM = ON = ON A N P C M Đường trung bình: LƠ đư ng thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Một tam giác có ba đư ng trung bình Tam giác tạo b i ba đư ng trung bình đồng dạng với tam giác cho B A M B N C MN gọi lƠ đư ng trung bình tam giác Ta có: MN // BC vƠ MN  BC 7.3 Phơn loại tam giác: Tam giác nhọn: LƠ tam giác có ba góc nhọn (số đo ba góc < 900) Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: A B C Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh vƠ ba góc Trong tam giác đều, đư ng cao lƠ đư ng trung tuyến, đư ng phơn giác, đư ng trung trực A 600 B 600 600 C Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh hai góc đáy A B C Tam giác vng: LƠ tam giác có góc vng (bằng 90 ) Trong tam giác vng, cạnh đối diện với góc vng gọi lƠ cạnh huyền vƠ lƠ cạnh lớn   900 BC2 = AB2 + AC2 Đơy lƠ hệ thức lƠ hệ thức Pitago Cho ABC, có A B A C Định lý PITAGO: Định lý thuận: Trong tam giác vng, bình phư ng cạnh huyền tổng bình phư ng hai cạnh góc vng BC2 = AB2 + AC2 Định lý đảo: Tam giác có tổng bình phư ng cạnh tổng bình phư ng hai cạnh lại lƠ tam giác vng Nếu tam giác ABC thỏa mãn BC2 = AB2 + AC2 ABC lƠ tam giác vng A Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com 7.4 Tính chất cạnh vƠ góc tam giác: Tính chất 1: Cho tam giác ABC, tổng ba góc:  B  C   1800 A Tính chất 2: Độ dƠi cạnh lớn h n hiệu độ dƠi hai cạnh vƠ nhỏ h n tổng độ dƠi chúng AB + BC > AC > |AB - BC| Tính chất 3: Trong hai cạnh tam giác, cạnh đối diện với góc lớn h n lƠ cạnh lớn h n Góc đối diện với cạnh lớn h n lƠ góc lớn h n  B   C  BC  AC  AB  A 7.5 Diện tích tam giác: (1) Cơng thức tính diện tích tam giác: S  b.h b lƠ độ dƠi cạnh vƠ h lƠ độ dƠi đư ng cao ứng với cạnh b h (2) Cơng thức Heron: S  p  p  a  p  b  p  c   a  b  c  lƠ nửa chu vi tam giác Đường tròn: 8.1 Khái niệm: Đư ng tròn tơm O bán kính R (với R > 0) lƠ hình gồm điểm cách điểm O cho trước khoảng khơng đổi R b p  Kí hiệu: (O; R), ta có kí hiệu lƠ (O) Lưu ý: - Qua ba điểm khơng thẳng hƠng ta xác định đư ng tròn - Một đư ng tròn có tơm đối xứng lƠ tơm đư ng tròn - Một đư ng tròn có vơ số trục đối xứng lƠ đư ng kính đư ng tròn R O D C A O 8.2 Đường kính vƠ dơy cung: Định lý 1: Trong dơy đư ng tròn, dơy lớn lƠ đư ng kính AB lƠ đư ng kính, CD dây cung AB > CD Định lý 2: Trong đư ng tròn, đư ng kính vng góc với dơy qua trung điểm dơy Nếu OH  AB H AH = HB Định lý 3: Trong đư ng tròn, đư ng kính qua trung điểm O dơy khơng qua tơm vng góc với dơy 8.3 Liên hệ dơy vƠ khoảng cách từ tơm đ n dơy: Định lý 1: Trong đư ng tròn: A B H Hai dơy cách tơm Nếu AB = CD OM = ON C Hai dơy cách tơm A A Nếu OM = ON AB = CD O O Định lý 2: Trong hai dơy đư ng tròn: N Dơy nƠo lớn h n dơy gần tơm h n M C M N Nếu AB > CD OM < ON Dơy nƠo gần tơm h n dơy lớn h n D B D B Nếu OM < ON AB > CD Biên soạn: Trần Trung Chính B .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: 8.4 Khoảng cách đường thẳng vƠ đường tròn: Gọi R lƠ bán kính đư ng tròn vƠ d lƠ khoảng cách từ tơm O đến đư ng thẳng a Ta có: O O O a a a H (d > R) H (d = R) Đư ng thẳng vƠ đư ng tròn khơng giao Đư ng thẳng vƠ đư ng tròn tiếp xúc H (d < R) Đư ng thẳng vƠ đư ng tròn cắt hai điểm (giao nhau) Định lý 1: A Nếu đư ng thẳng lƠ tiếp tuyến đư ng tròn vng góc với bán kính qua tiếp điểm O Nếu a lƠ tiếp tuyến với (O) H O H a  OH Định lý 2: a Tiếp tuyến với đư ng tròn: Nếu hai H tiếp tuyến đư ng tròn cắt B điểm điểm cách hai tiếp điểm AH = BH Tia kẻ từ điểm qua tơm lƠ tia phơn giác góc tạo b i hai tiếp tuyến  HO lƠ tia phơn giác góc AHB Tia kẻ từ tơm qua điểm lƠ tia phơn giác góc tạo b i hai bán kính qua tiếp điểm  OH lƠ tia phơn giác góc AOB 8.5 Đường tròn n i ti p vƠ đường tròn bƠng ti p: Đường tròn nội tiếp: - Đư ng tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác lƠ đư ng tròn nội tiếp tam giác - Tơm đư ng tròn nội tiếp lƠ giao điểm ba đư ng phơn giác góc tam giác Đường tròn ngoại tiếp: - Đư ng tròn tiếp xúc ngoƠi với ba cạnh tam giác lƠ đư ng tròn ngoại tiếp tam giác - Tơm đư ng tròn ngoại tiếp lƠ giao điểm ba đư ng phơn giác góc ngồi tam giác 8.6 Vị trí tư ng đối hai đường tròn: Nếu gọi bán kính (O) lƠ R vƠ (O') lƠ r ta có: - Hai đư ng tròn có hai điểm chung gọi lƠ hai đư ng tròn cắt Hai điểm chung A, B gọi lƠ giao điểm Đoạn thẳng AB nối hai điểm gọi lƠ dơy chung Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com A O O O' A O O' O' A B (R - r < OO' < R + r) (R + r = OO') Hai đư ng cắt O Hai đư ng tiếp xúc (R - r = OO') Hia đư ng tròn nhau, O' (OO' > R + r) Hai đư ng ngoƠi 8.7 Góc với đường tròn: Góc tâm: Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tơm đư ng tròn gọi lƠ góc Số đo cung nhỏ số đo góc tơm chắn cung   AOB  s®AmB Số đo cung lớn hiệu số 3600 vƠ số đo cung nhỏ   360  s® AnB  s® AmB Số đo nửa đư ng tròn 1800   tơm m B A α O n 8.8 Liên hệ cung vƠ dơy cung: Định lý 1: Với hai cung nhỏ đư ng tròn hay hai đư ng tròn nhau: Hai cung căng hai dơy Hai dơy căng hai cung Định lý 2: Với hai cung nhỏ đư ng tròn hay hai đư ng O tròn nhau: Cung lớn h n căng dơy lớn h n Cung nhỏ h n căng dơy nhỏ h n 8.9 Góc n i ti p: O Định nghĩa: Góc nội tiếp lƠ góc có đỉnh nằm đư ng tròn vƠ hai cạnh chứa hai dơy cung dư ng tròn Định lý: Trong đư ng tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo A cung bị chắn   s® AB  AOB Hệ quả: Trong đư ng tròn: Biên soạn: Trần Trung Chính B .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: BƠi tập 10: Cho đư ng tròn (O; R) vƠ (I; r) tiếp xúc ngoƠi A (R > r) Dựng tiếp tuyến chung ngoƠi BC (B nằm đư ng tròn (O) vƠ C nằm đư ng tròn (I)) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đư ng tròn E a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Kẻ OE cắt AB N; IE cắt AC F Chứng minh: N; E; F; A nằm đư ng tròn c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 4Rr d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R; r Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 = 4Rr Ta có tứ giác FANE có góc vng (cmt)  FANE hình vng  OEI vng E vƠ EA  OI (tính chất tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AH2 = OA.AI (bình phư ng đư ng cao tích hai hình chiếu) BC2 BC OA = R; AI = r  Mà AH =  Rr  BC2 = Rr d) SBCIO = ? Ta có BCIO hình thang vng OB  IC  SBCIO = BC (r  R) rR S= BƠi tập 11: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A vƠ B cho OA = OB Một đư ng thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đư ng vng góc với AM H, cắt AO kéo dƠi I a) Chứng minh: Tứ giác OMHI nội tiếp  b) Tính OMI c) Từ O vẽ đư ng vng góc với BI K Chứng minh: OK = KH d) Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Hướng dẫn d) Tập hợp điểm K: Do OK  KB  = 900 Suy ra: OKB OB khơng đổi M di động  K nằm đư ng tròn đư ng kính OB Khi M ≡ O K ≡ O Khi M ≡ B K lƠ điểm cung AB Vậy quỹ tích điểm K lƠ đư ng tròn đư ng kính OB BƠi tập 12: Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB vƠ dơy CD vng góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E a) Chứng minh: AM lƠ phơn giác góc CMD b) Chứng minh: Tứ giác EFBM nội tiếp c) Chứng tỏ: AC2 = AE.AM d) Gọi giao điểm CB với AM lƠ N; MD với AB I Chứng minh: NI // CD e) Chứng minh: N lƠ tơm đư ng tròn nội tiếp CIM Hướng dẫn e) Chứng tỏ N lƠ tơm đư ng tròn nội tiếp ICM: Biên soạn: Trần Trung Chính 104 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com Ta phải chứng minh N lƠ giao điểm đư ng phơn giác CIM  Theo chứng minh, ta có MN lƠ phơn giác CMI   NBM  (cùng chắn cung MN) Do MNIB nội tiếp (cmt)  NIM   MAC  (cùng chắn cung CM) Góc MBC Ta lại có:   900 );   900 (góc nội tiếp ACB CAN   90 )   900 (vì NIB NIA Suy ra: ACNI nội tiếp   CIN  (cùng chắn cung CN)  CAN   NIM   CIN   IN phân giác CIM Vậy N lƠ tơm đư ng tròn nội tiếp ICM BƠi tập 13: Cho đư ng tròn (O) vƠ điểm A nằm ngoƠi đư ng tròn Vẽ tiếp tuyến AB;AC vƠ cát tuyến ADE Gọi H lƠ trung điểm DE a) Chứng minh: A; B; H; O; C nằm đư ng tròn  b) Chứng minh: HA lƠ phơn giác góc BHC c) Gọi I lƠ giao điểm BC vƠ DE Chứng minh: AB2 = AI.AH d) Kẻ BH cắt (O) K Chứng minh: AE//CK BƠi tập 14: Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB = 2R; xy lƠ tiếp tuyến với (O) B CD lƠ đư ng kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự lƠ M; N a) Chứng minh: Tứ giác MCDN nội tiếp b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN c) Gọi I lƠ tơm đư ng tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN vƠ H lƠ trung điểm MN Chứng minh: AOIH lƠ hình bình hành d) Khi đư ng kính CD quay xung quanh điểm O I di động đư ng nƠo? Hướng dẫn d) Quỹ tích điểm I: Do AOIH hình bình hành Suy ra: IH = AO = R khơng đổi  CD quay xung quanh O I nằm đư ng thẳng song song với xy vƠ cách xy khoảng R BƠi tập 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đư ng tròn tơm O Gọi D lƠ điểm cung nhỏ BC Kẻ DE; DF; DG vng góc với cạnh AB; BC; AC Gọi H lƠ hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O) a) Chứng minh: Tứ giác AHED nội tiếp b) Gọi giao điểm AH với HB vƠ với (O) lƠ P vƠ Q; ED cắt (O) M Chứng minh: HA.DP = PA.DE c) Chứng minh: QM = AB d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH e) Chứng minh: E; F; G thẳng hƠng (đư ng thẳng Sim s n) Hướng dẫn e) Chứng minh: E; F; G thẳng hƠng:   BDE  (cmt) GFC   CDG  (cmt) Ta có: BFE Do ABCD nội tiếp   BMC   1800 Suy ra: BAC Do GDEA nội tiếp   EAG   1800 Suy ra: EDG Biên soạn: Trần Trung Chính 105 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 ::   BDC   EDG   EDB   BDG  BCD   BDG   CDG  Mà EDG   CDG   EDB   BEF   GFC Vậy E; F; G thẳng hƠng BƠi tập 16: Cho tam giác ABC có A = 900; AB < AC Gọi I lƠ trung điểm BC Qua I kẻ IKBC (K nằm BC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK a) Chứng minh: Tứ giác ABIK nội tiếp đư ng tròn (O)   2ACB  b) Chứng minh: BMC c) Chứng tỏ rằng: BC = 2AC.KC d) Kéo dƠi AI cắt đư ng thẳng BM N Chứng minh AC = BN e) Chứng minh: Tứ giác NMIC nội tiếp BƠi tập 17: Cho (O) đư ng kính AB cố định Điểm C di động nửa đư ng tròn Tia phơn giác  cắt (O) tai M Gọi H; K lƠ hình chiếu M lên AC vƠ AB ACB a) Chứng minh: Tứ giác MOBK nội tiếp b) Chứng minh: Tứ giác CKMH lƠ hình vng c) Chứng minh: Ba điểm H; O; K thẳng hƠng d) Gọi giao điểm HK vƠ CM lƠ I Khi C di động nửa đư ng tròn I chạy đư ng nƠo? Hướng dẫn c) Chứng minh: Ba điểm H, O, K thẳng hƠng Gọi I lƠ giao điểm HK vƠ MC Do MHCK hình vng  HK  MC trung điểm I MC Do I lƠ trung điểm MC  OI  MC (t/c đư ng kính vƠ dơy cung) Vậy HI  MC; OI  MC KI  MC Suy ra: H; O;I thẳng hƠng   900 ; OM cố định d) Do OIM Suy ra: I nằm đư ng tròn đư ng kính OM Giới hạn: Khi C  B I  Q; Khi C  A I  P Vậy C di động nửa đư ng tròn (O) I chạy cung tròn PHQ đư ng tròn đư ng kính OM BƠi tập 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dƠi AB = 2a, chiều rộng BC = a Kẻ tia phơn giác  Từ A hạ AH vng góc với đư ng phơn giác nói ACD a) Chứng minh: Tứ giác AHDC nội tiếp đư ng tròn (O) Khi xác định tơm vƠ bán kính đư ng tròn theo a b) Kẻ HB cắt AD I vƠ cắt AC M; HC cắt DB N Chứng tỏ rằng: HB = HC vƠ AB.AC = BH.BI c) Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O) d) Từ D kẻ đư ng thẳng song song với BH; đư ng nƠy cắt HC K vƠ cắt (O) J Chứng minh: Tứ giác HOKD nội tiếp BƠi tập 19: Cho nửa đư ng tròn (O) đư ng kính AB, bán kính OC  AB Gọi M lƠ điểm cung BC Kẻ đư ng cao CH ACM a) Chứng minh: Tứ giác AOHC nội tiếp  b) Chứng tỏ CHM vng cân OH phân giác COM Biên soạn: Trần Trung Chính 106 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com c) Gọi giao điểm OH với BC lƠ I MI cắt (O) D Chứng minh rằng: Tứ giác CDBM lƠ hình thang cân d) Kẻ BM cắt OH N Chứng minh: BNI ∽ AMC Từ suy ra: BN.MC = IN.MA BƠi tập 20: Cho ABC nội tiếp (O; R) Trên cạnh AB vƠ AC lấy hai điểm M; N cho BM = AN a) Chứng tỏ rằng: OMN cân b) Chứng minh: Tứ giác OMAN nội tiếp c) Kéo dƠi BO cắt AC D vƠ cắt (O) E Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2 d) Đư ng thẳng CE vƠ AB cắt F Tiếp tuyến A (O) cắt FC I; AO kéo dƠi cắt BC J Chứng minh: BI qua trung điểm AJ Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2 Do BO lƠ phơn giác   BO  AC hay BOD vng D Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: BC2 = DB2 + CD2 = (BO + OD)2 + CD2= BO2 + 2.OB.OD + OD2 + CD2 (1) Mà OB = R   300 AOC O có OAC   600   1200  AOE  AOC  AOE lƠ tam giác đều, có AD  OE  OD = ED = R Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: OD2 = OC2 - CD2 = R2 - CD2 (2) R Từ (1) vƠ (2), suy ra: BC2 = R2 + 2.R + CD2 - CD2 = 3R2 BƠi tập 21: Cho ABC, (A = 900) nội tiếp đư ng tròn (O) Gọi M lƠ trung điểm cạnh AC Đư ng tròn (I) đư ng kính MC cắt cạnh BC N vƠ cắt (O) D a) Chứng minh: Tứ giác ABNM nội tiếp vƠ CN.AB = AC.MN b) Chứng tỏ rằng: B, M, D thẳng hƠng vƠ OM lƠ tiếp tuyến (I) c) Tia IO cắt đư ng thẳng AB E Chứng minh: Tứ giác BMOE lƠ hình bình hƠnh  d) Chứng minh: NM lƠ phơn giác AND BƠi tập 22: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi I lƠ điểm đư ng chéo AC Qua I kẻ đư ng thẳng song song với AB; BC Các đư ng nƠy cắt AB; BC; CD; DA P; Q; N; M a) Chứng minh: Tứ giác INCQ lƠ hình vng b) Chứng tỏ rằng: NQ // DB c) Kéo dƠi BI cắt MN E; MP cắt AC F Chứng minh: Tứ giác MFIN nội tiếp đư ng tròn Xác định tơm đư ng tròn d) Chứng tỏ tứ giác MPQN nội tiếp Tính diện tích theo a e) Chứng minh: Tứ giác MFIE nội tiếp BƠi tập 23: Cho hình vng ABCD Gọi N lƠ trung điểm DC; Kẻ BN cắt AC F Vẽ đư ng tròn (O) đư ng kính BN (O) cắt AC E Kéo dƠi BE cắt AD M; MN cắt (O) I a) Chứng minh: Tứ giác MDNE nội tiếp b) Chứng tỏ rằng: BEN vng cân c) Chứng minh: MF qua trực tơm H BMN d) Chứng minh: BI = BC IEF vng e) Chứng minh: FIE tam giác vng BƠi tập 24: Cho ABC có góc nhọn(AB < AC) Vẽ đư ng cao AH Từ H kẻ HK; HM vng góc với AB; AC Gọi J lƠ giao điểm AH MK Biên soạn: Trần Trung Chính 107 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: a) Chứng minh: Tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh: JA.JH = JK.JM c) Từ C kẻ tia Cx  AC vƠ Cx cắt AH kéo dƠi D Vẽ HI  DB HN  DC Chứng minh rằng:   HCN  HKM d) Chứng minh: M; N; I; K nằm đư ng tròn BƠi tập 25: Cho ABC (A = 900) Đư ng cao AH Đư ng tròn tơm H, bán kính HA cắt đư ng thẳng AB D vƠ cắt AC E; Trung tuyến AM ABC cắt DE I a) Chứng minh: D; H; E thẳng hƠng b) Chứng minh: Tứ giác BDCE nội tiếp Xác định tơm O đư ng tròn nƠy c) Chứng minh: AM  DE d) Chứng minh: Tứ giác AHOM hình bình hành BƠi tập 26: Cho ABC có góc nhọn Đư ng cao AH Gọi K lƠ điểm đối xứng H qua AB; I lƠ điểm đối xứng H qua AC Gọi E; F lƠ giao điểm KI với AB vƠ AC a) Chứng minh: Tứ giác AICH nội tiếp b) Chứng minh: AI = AK c) Chứng minh: Các điểm A; E; H; C; I nằm đư ng tròn d) Chứng minh: CE; BF lƠ đư ng cao ABC e) Chứng tỏ giao điểm đư ng phơn giác HFE lƠ trực tơm ABC BƠi tập 27: Cho ABC, (AB = AC) nội tiếp (O) Gọi M lƠ điểm cung nhỏ AC Trên tia BM lấy MK = MC vƠ tia BA lấy AD = AC   2BKC  a) Chứng minh: BAC b) Chứng minh: Tứ giác BCKD nội tiếp Xác định tơm đư ng tròn nƠy c) Gọi giao điểm DC với (O) lƠ I Chứng minh: B; O; I thẳng hƠng d) Chứng minh: DI = BI BƠi tập 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I lƠ điểm cung AB (cung AB khơng chứa điểm C; D) IC vƠ ID cắt AB M; N a) Chứng minh: D; M; N; C nằm đư ng tròn b) Chứng minh: NA.NB = NI.NC c) Kéo dƠi DI cắt đư ng thẳng BC F; đư ng thẳng IC cắt đư ng thẳng AD E Chứng minh: EF // AB d) Chứng minh: IA2 = IM.ID BƠi tập 29: Cho hình vng ABCD, cạh BC lấ để E Dựng tia Ax  AE, Ax cắt cạnh CD kéo dƠi F Kẻ trung tuyến AI AEF Kéo dƠi AIcắt CD K Qua E dựng đư ng thẳng song song với AB, cắt AI G a) Chứng minh: Tứ giác AECF nội tiếp b) Chứng minh: AF2 = KF.CF c) Chứng minh: Tứ giác EGFK lƠ hình thoi d) Chứng minh rằng: Khi E di động BC EK = BE + DK vƠ chu vi CKE có giá trị khơng đổi e) Gọi giao điểm EF với AD lƠ J Chứng minh: GJ  JK Hướng dẫn d) Chứng minh: EK = BE + DK Xét ADF ABE có: AD = AB; AF = AE (AEF vng cân)  ADF = ABE  BE = DF Mà FD + DK = FK FK = KE (t/c hình thoi)  KE = BE + DK Biên soạn: Trần Trung Chính 108 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com Chứng minh chu vi CKE khơng đổi: Gọi chu vi lƠ C = KC + EC + KE = KC + EC + BE + DK = (KC + DK) + (BE + EC) = 2BC khơng đổi e) Chứng minh: IJ  JK   JDK   900 Do JIK  Tứ giác IJDK nội tiếp   IDK  (cùng chắn cung IK),  JIK   450 (t/c hình vng) IDK   450  JIK vng I  JIK  JI = IK, mà IK = GI  JI = IK = GI = GK  GJK vng J hay GJ  JK BƠi tập 30: Cho ABC Gọi H lƠ trực tơm tam giác Dựng hình bình hƠnh BHCD Gọi I lƠ giao điểm HD vƠ BC a) Chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp đư ng tròn tơm O, nêu cách dựng (O)  OAC  b) So sánh BAH c) Kẻ CH cắt OD E Chứng minh: AB.AE = AH.AC d) Gọi giao điểm AI vƠ OH lƠ G Chứng minh: G lƠ trọng tơm ABC   900 C lƠ để tuỳ ý cung lớn AB Các đư ng cao BƠi tập 31: Cho đư ng tròn (O) vƠ AB AI; BK; CJ ABC cắt H Kẻ BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM vƠ AN gặp D a) Chứng minh: B; K; C; J nằm đư ng tròn b) Chứng minh: BI.KC = HI.KB c) Chứng minh: MN lƠ đư ng kính đư ng tròn (O) d) Chứng minh: Tứ giác ACBD lƠ hình bình hƠnh e) Chứng minh: OC // DH BƠi tập 32: Cho hình vng ABCD Gọi N lƠ để CD cho CN < ND; Vẽ đư ng tròn tơm O đư ng kính BN Đư ng tròn (O) cắt AC F; BF cắt AD M; BN cắt AC E a) Chứng minh: BFN vng cân b) Chứng minh: MEBA nội tiếp c) Gọi giao điểm ME vƠ NF lƠ Q Kẻ MN cắt (O) P Chứng minh: B; Q; P thẳng hƠng d) Chứng tỏ: ME // PC vƠ BP = BC e) Chứng minh: FPE tam giác vng Bài tập 33: Trên đư ng tròn tơm O lấy bốn để A; B; C; D cho AB = DB.AB vƠ CD cắt c E Kẻ BC cắt tiếp tuyến A đư ng tròn (O) Q; DB cắt AC K  a) Chứng minh: CB lƠ phơn giác ACE b) Chứng minh: Tứ giác AQEC nội tiếp c) Chứng minh: KA.KC = KB.KD d) Chứng minh: QE // AD BƠi tập 34: Cho (O) vƠ tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai để B vƠ C cho AB = BC Kẻ cát tuyến BEF với đư ng tròn Kẻ CE vƠ CF cắt (O) M vƠ N Dựng hình bình hƠnh AECD a) Chứng minh: D nằm đư ng thẳg BF b) Chứng minh: Tứ giác ADCF nội tiếp c) Chứng minh: CF.CN = CE.CM d) Chứng minh: MN // AC Biên soạn: Trần Trung Chính 109 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: e) Gọi giao điểm AF với MN lƠ I Chứng minh rằng: DF qua trung điểm NI BƠi tập 35: Cho (O; R) vƠ đư ng kính AB; CD vng góc với Gọi M lƠ điểm cung nhỏ CB a) Chứng minh: Tứ giác ACBD lƠ hình vng b) Kẻ AM cắt CD; CB P vƠ I Gọi J lƠ giao điểm DM vƠ AB Chứng minh: IB.IC = IA.IM  c) Chứng tỏ rằng: IJ // PD vƠ IJ lƠ phơn giác CJM d) Tính diện tích AID theo R Hướng dẫn d) Tính diện tích AID theo R:  SIAD = SCAD Mà SACD = SABCD 1  SIAD = SABCD.SABCD = AB.CD (diện tích có đư ng chéo vng góc) 2  SABCD = 2R.2R = 2R2  SIAD = Rb) BƠi tập 36: Cho (O; R) Một cát tuyến xy cắt (O) E vƠ F Trên xy lấy điểm A nằm ngoƠi đoạn EF Vẽ tiếp tuyến AB vƠ AC với (O) Gọi H lƠ trung để EF a) Chứng tỏ điểm: A; B; C; O; H nằm đư ng tròn b) Đư ng thẳng BC cắt OA I vƠ cắt đư ng thẳng OH K Chứng minh: OI.OA = OH.OK = R2 c) Khi A di động xy I di động đư ng nƠo? d) Chứng minh: KE vƠ KF lƠ hai tiếp tuyến (O) BƠi tập 37: Cho ABC (A = 900); AB = 15; AC = 20 (cùng đ n vị đo độ dƠi) Dựng đư ng tròn tơm O đư ng kính AB vƠ đư ng tròn (O’) đư ng kính AC Hai đư ng tròn (O) vƠ (O’) cắt điểm thứ hai D a) Chứng tỏ D nằm BC b) Gọi M lƠ để cung nhỏ DC AM cắt DC E vƠ cắt (O) N Chứng minh: DE.AC = AE.MC c) Chứng minh: AN = NE vƠ O; N; O’ thẳng hƠng   900 d) Gọi I lƠ trung để MN Chứng minh: OIO' e) Tính diện tích AMC Hướng dẫn c) Chứng minh: AN = NE Do BA  AO’(ABC vng A)  BA lƠ tiếp tuyến (O’)  = sđ AM   sđ AE  = sđ MC   AD  Sđ ED   DM   MC   AD   AM  Mà MC   BAC   AED  BAE B, mƠ BM  AE  NA = NE Chứng minh: O; N; O’ thẳng hƠng: Ta có: ON lƠ đư ng trung bình ABE   Biên soạn: Trần Trung Chính 110 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com  ON // BE vƠ OO’ // BE  O, N, O’ thẳng hƠng BƠi tập 38: Cho ABC đều, có cạnh a Gọi D lƠ giao điểm hai đư ng phơn giác góc A vƠ góc B ABC Từ D dựng tia Dx  DB Trên Dx lấy điểm E cho ED = DB (D vƠ E nằm hai phía đư ng thẳng AB) Từ E kẻ EF  BC Gọi O lƠ trung điểm EB a) Chứng minh: Tứ giác AEBC vƠ EDFB nội tiếp Xác định tơm vƠ bán kính đư ng tròn ngoại tiếp tứ giác theo a b) Kéo dƠi FE phía F, cắt (D) M Kẻ EC cắt (O) N Chứng minh: Tứ giác EBMC lƠ thang Tính diện tích  c) Chứng minh: EC lƠ phơn giác DAC d) Chứng minh: FD lƠ đư ng trung trực MB e) Chứng tỏ A; D; N thẳng hƠng f) Tính diện tích phần mặt trăng tạo b i cung nhỏ EB hai đư ng tròn Hướng dẫn e) Chứng minh: A; N; D thẳng hƠng:  ) ENB   BED   450 (cùng chắn DB  góc ngồi ANC  = 90o (cmt); ENA Ta có: BND   NAC   CAN   450  ENA   ENB   BND   1800  ENA  A, N, D thẳng hƠng f) Gọi diện tích mặt trăng cần tính lƠ S Ta có: S = Snửa (O) - Sviên phân EDB a 6 a 2 S(O) = .OE =    =   a 2  S1  O 12 2 .BD2 90o   a  a 2 Squạt EBD = =    360o   12 a2 SEBD = DB2 = a  a a (  2) - = Sviên phân = Squạt EBD - SEDB = 12 12 2 a  a (  2) a S= = 12 12 BƠi tập 39: Cho hình vng ABCD, E lƠ điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đư ng thẳng vng góc với DE, đư ng nƠy cắt đư ng thẳng DE vƠ DC theo thứ tự H vƠ K a) Chứng minh: Tứ giác BHCD nội tiếp  b) Tính CHK c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB d) Khi E di động BC H di động đư ng nƠo? Hướng dẫn  d) Do BHD  900 khơng đổi Suy ra: E di chuyển BC H di động đư ng tròn đư ng kính DB Biên soạn: Trần Trung Chính 111 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: BƠi tập 40: Cho đư ng tròn (O;R) đư ng kính AB Gọi C lƠ điểm thuộc đư ng tròn (C  A vƠ B) Hai điểm M, N lƠ điểm cung nhỏ AC vƠ BC Các đư ng thẳng BN vƠ AC cắt I, dơy cung AN vƠ BC cắt P a) Chứng minh: Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tơm K đư ng tròn ngoại tiếp tứ giác b) Chứng minh: KN lƠ tiếp tuyến đư ng tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đư ng tròn (O; R) đư ng thẳng MN ln tiếp xúc với đư ng tròn cố định Hướng dẫn c) Chứng minh C di động đư ng tròn (O) đư ng thẳng MN ln tiếp xúc với đư ng tròn cố định:  = MC  (gt) nên AOM  = MOC  Ta có AM  Vậy OM lƠ phơn giác AOC  COB  , mà AOC  kề bù nên MON  = 900 Tư ng tự ON lƠ phơn giác COB Vậy tam giác MON vng O R = khơng đổi Kẻ OH  MN, ta có OH = OM.sinM = R 2 Vậy C di động đư ng tròn (O) đư ng thẳng MN ln tiếp xúc với đư ng tròn cố  R 2 định  O;    BƠi tập 41: Cho đư ng tròn (O; R) có đư ng kính AB Trên đư ng tròn (O; R) lấy điểm M cho  = 600 Vẽ đư ng tròn (B; BM) cắt đư ng tròn (O; R) điểm thứ hai lƠ N MAB a) Chứng minh AM vƠ AN lƠ tiếp tuyến đư ng tròn (B; BM) b) Kẻ đư ng kính MI đư ng tròn (O; R) vƠ MJ đư ng tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hƠng vƠ JI.JN = 6R2 c) Tính phần diện tích hình tròn (B; BM) nằm bên ngoƠi đư ng tròn (O; R) theo R Hướng dẫn b) Chứng minh: N; I; J thẳng hƠng vƠ JI.JN = 6R2  = MNJ  = 900 (các góc nội tiếp chắn nửa đư ng tròn tơm O vƠ tơm B) MNI Nên IN  MN JN  MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hƠng MJI có BO lƠ đư ng trung bình nên IJ = 2BO = 2R  = 600 nên MAO AMO O (vì OM = OA), MAO AB  MN H (tính chất dơy chung hai đư ng tròn (O) vƠ (B) cắt nhau) 1 Nên OH = OA = R 2 R 3R Vậy HB = HO + OB = + R = 2 3R  NJ = = 3R Vậy JI.JN = 2R.3R = 6R2 c) Tính diện tích phần hình tròn (B; BM) nằm ngoƠi đư ng tròn (O; R) theo R: Gọi S lƠ diện tích phần hình tròn nằm (B; BM) nằm bên ngoƠi hình tròn (O; R) S1 lƠ diện tích hình tròn tơm (B; BM) S2 lƠ diện tích hình quạt MBN S3, S4 lƠ diện tích hai viên phơn cung MB vƠ NB đư ng tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4) Biên soạn: Trần Trung Chính 112 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 ::   600  MB   1200 Tính S1: MAB  MB = R  Vậy: S1 = π R Tính S2:  = 3πR  = 600  S2 = MBN   www.VNMATH.com π R 60 = πR 2 3600 Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB πR 1200 πR  = MOB = 120  Squạt MOB = 3600 R2 1 1 OA = OB  SMOB = SAMB = AM.MB = R.R = 2 4 2 πR R = S4 (do tính chất đối xứng) Vậy S3 =  πR 2πR R  11πR + 3R Từ S = S1 - (S2 + 2S3) = 3πR –  (đvdt) +  =   BƠi tập 42: Cho ba điểm A, B, C nằm đư ng thẳng xy theo thứ tự Vẽ đư ng tròn (O) qua B vƠ C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM vƠ AN Gọi E vƠ F lƠ trung điểm BC vƠ MN a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC b) Đư ng thẳng ME cắt đư ng tròn (O) I Chứng minh IN // AB c) Chứng minh tơm đư ng tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đư ng thẳng cố định đư ng tròn (O) thay đổi BƠi tập 43: Cho nửa đư ng tròn đư ng kính AB = 2R vƠ dơy MN có độ dƠi bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM vƠ BN cắt I Các dơy AN vƠ BM cắt K   AKB a) Tính MIN b) Tìm quỹ tích điểm I vƠ quỹ tích điểm K dơy MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I lƠ trực tơm tam giác KAB d) AB vƠ IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí nƠo dơy MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R BƠi tập 44: Cho nửa đư ng tròn đư ng kính AB = 2R Từ A vƠ B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đư ng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C vƠ D Các đư ng thẳng AD vƠ BC cắt N a) Chứng minh AC + BD = CD   900 b) Chứng minh: COD AB2 c) Chứng minh: AC.BD = d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh: AB lƠ tiếp tuyến đư ng tròn đư ng kính CD f) Chứng minh: MN  AB g) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn g) Ta có: Chu vi tứ giác: ACDB = AB + AC + CD + BD Mà AC + BD = CD Suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD Biên soạn: Trần Trung Chính 113 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: MƠ AB khơng đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ Và CD nhỏ CD lƠ khoảng cách giữ Ax vƠ By tức lƠ CD vng góc với Ax vƠ By Khi CD // AB Suy ra: M phải lƠ trung điểm cung AB BƠi tập 45: Cho đư ng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đư ng thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP vƠ gọi K lƠ trung điểm NP Kẻ tiếp tuyến MB (B lƠ tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H lƠ giao điểm AC vƠ BD, I lƠ giao điểm OM vƠ AB a) Chứng minh: Tứ giác AMBO nội tiếp b) Chứng minh: Năm điểm O, K, A, M, B nằm đư ng tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2 d) Chứng minh: Tứ giác OAHB hình thoi e) Chứng minh: Ba điểm O, H, M thẳng hƠng f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đư ng thẳng d Hướng dẫn e) Theo OAHB hình thoi Suy ra: OH  AB; theo OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hƠng (vì qua O có đư ng thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi Suy ra: AH = AO = R Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đư ng thẳng d lƠ nửa đư ng tròn tơm A bán kính AH = R BƠi tập 46: Cho nửa đư ng tròn đư ng kính AB = 2R Từ A vƠ B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đư ng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C vƠ D Các đư ng thẳng AD vƠ BC cắt N a) Chứng minh: AC + BD = CD   900 b) Chứng minh: COD AB2 c) Chứng minh: AC BD = d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh AB lƠ tiếp tuyến đư ng tròn đư ng kính CD e) Chứng minh: MN  AB f) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn f) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mƠ AC + BD = CD Suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mƠ AB khơng đổi Chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ MƠ CD nhỏ CD lƠ khoảng cách giữ Ax vƠ By, tức lƠ CD vng góc với Ax vƠ By Khi CD // AB  M phải lƠ trung điểm cung AB BƠi tập 47: Cho đư ng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đư ng thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP Gọi K lƠ trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B lƠ tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H lƠ giao điểm AC vƠ BD, I lƠ giao điểm OM vƠ AB a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đư ng tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2 d) Chứng minh OAHB lƠ hình thoi e) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hƠng Biên soạn: Trần Trung Chính 114 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đư ng thẳng d Hướng dẫn e) Theo OAHB hình thoi Suy ra: OH  AB; theo OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hƠng (vì qua O có đư ng thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi Suy ra: AH = AO = R Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đư ng thẳng d lƠ nửa đư ng tròn tơm A bán kính AH = R BƠi tập 48: Cho đư ng tròn (O; R) đư ng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax vƠ lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đư ng tròn b) Chứng minh BM // OP c) Đư ng thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP lƠ hình bình hành d) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN vƠ OM kéo dƠi cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hƠng Hướng dẫn d) Tứ giác OBNP lƠ hình bình hƠnh Suy ra: PN // OB hay PJ // AB Mà ON  AB  ON  PJ Ta có PM  OJ (PM lƠ tiếp tuyến ) MƠ ON vƠ PM cắt I nên I lƠ trực tơm tam giác POJ Dễ thấy tứ giác AONP lƠ hình chữ nhật   AON   ONP   900 Vì có PAO Suy ra: K lƠ trung điểm PO (tính chất đư ng chéo hình chữ nhật) (6)   Ta có: AONP lƠ hình chữ nhật  APO  NOP (so le) (7) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt thì:   APO   MPO  (8) PO lƠ tia phơn giác góc APM Từ (7) (8)  IPO I có IK lƠ trung tuyến đơng th i lƠ đư ng cao Suy ra: IK  PO (9) Từ (6) (9)  I, J, K thẳng hƠng Bài tập 49: Cho đư ng tròn (O) bán kính R có hai đư ng kính AB vƠ CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đư ng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đư ng tròn P Chứng minh : a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO lƠ hình bình hƠnh c) CM CN khơng phụ thuộc vƠo vị trí điểm M d) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định nƠo Hướng dẫn d) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c)   900 Suy ra: ODP Suy ra: P chạy đư ng thẳng cố định vng góc với CD D Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A’B’ song song vƠ AB Bài tập 50: Cho ABC vng A.vƠ điểm D nằm A vƠ B Đư ng tròn đư ng kính BD cắt BC E Các đư ng thẳng CD, AE cắt đư ng tròn F, G a) Chứng minh: ABC ∽ EBD b) Chứng minh: Tứ giác ADEC vƠ AFBC nội tiếp c) Chứng minh: AC // FG d) Chứng minh: Các đư ng thẳng AC, DE, FB đồng quy Biên soạn: Trần Trung Chính 115 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: Hướng dẫn d) Dễ thấy CA, DE, BF lƠ ba đư ng cao DBC nên CA, DE, BF đồng quy S BƠi tập 51: Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B); đư ng thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngoƠi đư ng tròn; MA MB thứ tự cắt đư ng tròn (O) C vƠ D Gọi I lƠ giao điểm AD vƠ BC a) Chứng minh MCID lƠ tứ giác nội tiếp b) Chứng minh đư ng thẳng AD, BC, MH đồng quy I c) Gọi K lƠ tơm đư ng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH lƠ tứ giác nội tiếp BƠi tập 52: Cho hình vng ABCD Lấy B lƠm tơm, bán kính AB, vẽ 1/4 đư ng tròn phía hình vng Lấy AB lƠm đư ng kính, vẽ 1/2 đư ng tròn phía hình vng Gọi P lƠ điểm tuỳ ý cung AC (khơng trùng với A vƠ C) H vƠ K lƠ hình chiếu P AB vƠ AD, PA vƠ PB cắt nửa đư ng tròn I vƠ M a) Chứng minh I lƠ trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH lƠ hình thang e) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB lƠ BƠi tập 53: Cho đư ng tròn (O) vƠ dơy AB Gọi M lƠ điểm cung nhỏ AB Vẽ đư ng kính MN Cắt AB I Gọi D lƠ điểm thuộc dơy AB Tia MD cắt đư ng tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp b) Chứng minh tích MC MD có giá trị khơng đổi D di động dơy AB   AO  c) Gọi O' lƠ tơm đư ng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh rằng: MAB 'D d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hƠng vƠ MA lƠ tiếp tuyến đư ng tròn ngoại tiếp tam giác ACD  = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D BƠi tập 54: Cho tam giác vng cân ABC ( A tia AC Vẽ đư ng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tư ng ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đư ng tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hƠng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP lƠ H, K Tam giác HNK lƠ tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC BƠi tập 55: Cho hai đư ng tròn (O) vƠ (O') cắt hai điểm A vƠ B Đư ng thẳng AO cắt đư ng tròn (O) vƠ (O') C vƠ C' Đư ng thẳng AO' cắt đư ng tròn (O) vƠ (O') D D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hƠng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đư ng thẳng CD vƠ đư ng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp BƠi tập 56: Từ điểm C ngoƠi đư ng tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ lƠ đư ng kính vng góc với AB Các đư ng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đư ng tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM vƠ AB đồng quy điểm D b) Chứng minh tiếp tuyến đư ng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD BƠi tập 57: Cho hai đư ng tròn ( O; R) vƠ ( O'; R' ) tiếp xúc ngoƠi A ( R > R' ) Đư ng nối tơm OO' cắt đư ng tròn (O) vƠ (O') theo thứ tự B vƠ C ( B vƠ C khác A) EF lƠ dơy cung đư ng tròn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đư ng tròn (O') D a) Tứ giác BEFC lƠ hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hƠng c) CF cắt đư ng tròn (O’) G Chứng minh ba đư ng EG, DF vƠ CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đư ng tròn (O’) BƠi tập 58:Cho đư ng tròn (O) vƠ (O’) tiếp xúc ngoƠi C AC vƠ BC lƠ đư ng kính (O) vƠ (O’), DE lƠ tiếp tuyến chung ngoƠi (D  (O), E  (O’)) AD cắt BE M Biên soạn: Trần Trung Chính 116 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com a) MAB tam giác gì? b) Chứng minh: MC lƠ tiếp tuyến chung (O) vƠ (O’) c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh: D, N, C thẳng hƠng d) Về phía nửa mặt phẳng b AB, vẽ nửa đư ng tròn đư ng kính AB vƠ OO’ Đư ng thẳng qua C cắt hai nửa đư ng tòn I, K Chứng minh OI // AK Bài tập 59: Cho đư ng tròn (O ; R) Đư ng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngoƠi (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đư ng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC lƠ phơn giác ngoƠi tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi ln qua A, B Chứng minh IQ ln qua điểm cố định BƠi tập 60:Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN a) Đư ng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A vƠ D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lƠ lớn Bài tập 61: Cho (O; R) Điểm M cố định ngoƠi (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A vƠ B Tiếp tuyến (O) A vƠ B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đư ng tròn tơm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định lƠ O vƠ H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I lƠ trung điểm AB Chứng minh: MA.MB = MI.MN d) Chứng minh: IM.IN = IA2 Bài tập 62: Cho nửa đư ng tròn đư ng kính AB tơm O C lƠ điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN a) So sánh AMC BCN b) CMN tam giác gì? c) Kẻ dơy AE//MC Chứng minh tứ giác BECN lƠ hình bình hƠnh d) Đư ng thẳng d qua N vƠ vng góc với BM Chứng minh d ln qua điểm cố định Bài tập 63: Cho đư ng tròn (O ; R), đư ng thẳng d cắt (O) hai điểm C vƠ D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I lƠ trung điểm CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đư ng tròn b) Gọi H lƠ trực tơm MAB, tứ giác OAHB lƠ hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB ln qua điểm cố định d) Đư ng thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD E vƠ K Chứng minh: EC = EK BƠi tập 64: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp đư ng tròn (O) vƠ M lƠ điểm di động đư ng tròn Gọi D lƠ hình chiếu B AM vƠ P lƠ giao điểm BD với CM a) Chứng minh BPM cân b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đư ng tròn (O) BƠi tập 65: Đư ng tròn (O ; R) cắt đư ng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d vƠ ngoƠi đư ng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ   QPO  vƠ đư ng tròn ngoại tiếp MPQ qua hai điểm cố định M a) Chứng minh rằng: QMO di động d b) Xác định vị trí M để MQOP lƠ hình vng? c) Tìm quỹ tích tơm đư ng tròn nội tiếp MPQ M di động d BƠi tập 66: Hai đư ng tròn tơm O vƠ tơm I cắt hai điểm A vƠ B Đư ng thẳng d qua A cắt đư ng tròn (O) vƠ (I) P, Q Gọi C lƠ giao điểm hai đư ng thẳng PO vƠ QI Biên soạn: Trần Trung Chính 117 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F lƠ trung điểm AP, AQ, K lƠ trung điểm EF Khi đư ng thẳng d quay quanh A K chuyển động đư ng nƠo? c) Tìm vị trí d để PQB có chu vi lớn BƠi tập 67: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm vƠ A’C = 13 cm Tính thể tích vƠ diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật BƠi tập 68: Cho hình lập phư ng ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích vƠ diện tích toƠn phần hình lập phư ng BƠi tập 69: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vƠ  A 'AC'  600 Tính thể tích vƠ diện tích toƠn phần hình hộp chữ nhật BƠi tập 70: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh vƠ thể tích biết cạnh đáy dƠi cm vƠ góc AA’B 300 BƠi tập 71: Cho ABC cạnh a Đư ng thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tơm G ABC Trên đư ng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chứng minh rằng: SA = SB = SC b) Tính diện tích toƠn phần vƠ thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a a BƠi tập 72: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy lƠ a vƠ đư ng cao lƠ a) Chứng minh mặt bên hình chóp lƠ tam giác b) Tính thể tích vƠ diện tích xung quanh hình chóp BƠi tập 73: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy vƠ cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp BƠi tập 74: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15cm vƠ thể tích lƠ 1280cm3 a) Tính độ dƠi cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp BƠi tập 75: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ lƠ 75cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ vƠ chiều cao lƠ cm Tính thể tích hình chóp cụt BƠi tập 76: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD lƠ hình vng cạnh a, SA = a vƠ SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên lƠ tam giác vng c) Tính diện tích xung quanh hình chóp BƠi tập 77: Một hình trụ có đư ng cao đư ng kính đáy Biết thể tích hình trụ lƠ 128cm3, tính diện tích xung quanh BƠi tập 78: Một hình nón có bán kính đáy cm vƠ diện tích xung quanh 65cm2 Tính thể tích hình nón BƠi tập 79: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đư ng cao 12cm vƠ đư ng sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh vƠ thể tích hình nón cụt BƠi tập 80: Một hình cầu có diện tích bề mặt lƠ 36 cm2 Tính thể tích hình cầu Biên soạn: Trần Trung Chính 118 [...]... hình thang vng: Phư ng pháp 1: Hình thang vng là hình thang có một góc vng Phư ng pháp chứng minh hình thang cơn: Phư ng pháp 1: Hình thang cân lƠ hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau Phư ng pháp 2: Hình thang cơn lƠ hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau Phư ng pháp 3: Hình thang cơn lƠ hình thang có hai đư ng chéo bằng nhau 1.6 Hình bình hành: Định nghĩa: Hình bình hƠnh lƠ tứ giác có các... 1.5 Hình thang, hình thang cân, hình thang vng: Diện tích hình thang: 1 S   AB  CD  AH 2 Tính chất: Định lý 1: Trong hìn thang cơn, hai cạnh bên bằng nhau Định lý 2: Trong hình thang cơn, hai đư ng chéo bằng nhau Định lý 3: Hình thang có hai đư ng chéo bằng nhau lƠ hình thang cơn Đư ng trung bình của hình thang: Đư ng trung bình của hình thang lƠ đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình. ..  10 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com - Cơng thức tính độ dƠi đư ng tròn: C = 2R = d (R là bán kính, d lƠ đư ng kính) - Cơng thức tính độ dài cung tròn: Trên đư ng tròn bán kính R, độ dƠi l của một cung n0 được tính như sau: Rn l 180 8.13 Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: - Diện tích hình tròn: S = R2 - Diện tích hình quạt tròn: S R 2 n lR hay S  360 2 O n0 O n0 l R 9 Hình học. .. vi hình chữ nhật: C  2  AB  BC   2  AD  DC  ABCD Biên soạn: Trần Trung Chính 14 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com Diện tích hình chữ nhật: S  AB.CD Các phương pháp chứng minh hình chữ nhật: Phư ng pháp 1: Tứ giác có ba góc vng Phư ng pháp 2: Hình thang cân có một góc vng Phư ng pháp 3: Hình bình hành có một góc vng Phư ng pháp 4: Hình bình hƠnh có hai đư ng chéo bằng nhau 1.8 Hình. .. l R l h R h r2 11 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: - Cơng thức tính diện tích mặt cầu: S = 4R2 hay S = d2 (Với R lƠ bán kính mặt cầu, d lƠ đư ng kính mặt cầu) - Thể tích hình cầu: 4 V  R 3 3 (Với R lƠ bán kính mặt cầu) Biên soạn: Trần Trung Chính 12 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: www.VNMATH.com CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHỦ ĐỀ 1 NHẬN BIẾT VÀ TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT HÌNH 1 Ki n thức c bản: 1.1 Tam... l Hình trụ - diện tích xung quanh của hình trụ: - Diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh R (R lƠ bán kính đáy vƠ h lƠ chiều cao) - Diện tích tồn phần: Stp = 2Rh + 2r2 = 2R(h + R) h - Thể tích hình trụ: V = Sh = R2h (S lƠ diện tích đáy, h lƠ chiều cao) Hình nón - hình nón cụt: * Hình nón: - Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = Rl (với l lƠ độ dƠi đư ng sinh, r lƠ bán kính đáy) - Diện tích tồn phần. .. bằng nhau Phư ng pháp 3: Hình bình hƠnh có hai đư ng chéo vng góc với nhau Phư ng pháp 4: Hình bình hƠnh có một đư ng chéo lƠ đư ng phơn giác của một góc 1.9 Hình vng: B A ABCD ABCD C D Định nghĩa: Hình vng lƠ tứ giác có bốn góc vng vƠ bốn cạnh bằng nhau Tính chất: Hình vng có tất cả các tính chất của hình chữ nhật vƠ hình thoi Chu vi hình vng: C  4AB  4BC  4CD  4AD Diện tích hình vng: S  AB  BC... CD  AD Phương pháp chứng minh hình vng: Phư ng pháp 1: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau Phư ng pháp 2: Hình chữ nhật có hai đư ng chéo vng góc với nhau Phư ng pháp 3: Hình chữ nhật có một đư ng chéo lƠ đư ng phơn giác của một góc ABCD 2 2 2 2 ABCD Biên soạn: Trần Trung Chính 15 .:: CHUN Đ ƠN THI VÀO L P 10 :: Phư ng pháp 4: Hình thoi có một góc vng Phư ng pháp 5: Hình thoi có hai đư ng chéo bằng... ƠN THI VÀO L P 10 :: B A N M C D Định lý 1: Đư ng thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang vƠ song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai Định lý 2: Đư ng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy vƠ bằng nửa tổng hai đáy 1 MN  AB  CD  2 Phư ng pháp chứng minh hình thang: Phư ng pháp 1: Hình thang lƠ tứ giác có hai cạnh đối song song Phư ng pháp chứng minh hình. .. D O B C Định nghĩa: Hình thoi lƠ tứ giác có bốn cạnh bằng nhau Tính chất: Trong hình thoi: Hai đư ng chéo vng góc với nhau Hai đư ng chéo lƠ các đư ng phơn giác của các góc của hình thoi Chu vi hình thoi: C  4AB  4BC  4CD  4DA Diện tích hình thoi: 1 S  AC.BD  BO.AC  OD.AC 2 Các phương pháp chứng minh hình thoi: Phư ng pháp 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau Phư ng pháp 2: Hình bình hành có hai