.:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: www.VNMATH.com CHU ẹE 15 DệẽNG HèNH Kin thc c bn: Dng hỡnh bng thc v com-pa l dng toỏn khú ũi hi ngi gii phi nm vng cỏc kin thc c bn, k nng cng nh s sỏng to vic k thờm cỏc yu t ph kt ni cỏc d kin Vỡ th nm vng k nng dng hỡnh s cú ý ngha quan trng vic gii toỏn hỡnh hc núi chung Bi toỏn dng hỡnh bng thc v compa cú ý ngha toỏn hc rt sõu sc v ni dung ca nú nhiu lỳc vt lnh vc hỡnh hc ễng Vua ca cỏc nh Toỏn hc Carl Friederich Gauss rt t ho vi kt qu tỡm cỏch dng a giỏc u 17 cnh ca mỡnh Kt qu ny cú c nh vo lng 360 ch thụng qua cỏc phộp tớnh s hc v phộp khai cn bc giỏc, c th Gauss ó tớnh c cos 17 gii bi toỏn dng hỡnh, ta i theo cỏc bc c bn sau: Phõn tớch: Gi s hỡnh ó dng c, tỡm cỏch kt ni cỏc i tng ó bit vi cỏc i tng cn dng bng nhng cu ni tỡm quy trỡnh dng: Bt u t mt thnh phn cú th dng c, tip tc dng cỏc thnh phn khỏc cho n hon thnh yờu cu Vớ d phộp dng mt tam giỏc s hon thnh ta dng c nh ca nú Cỏch dng: Nờu cỏc bc dng c cu hỡnh tha yờu cu bi toỏn Mi bc dng phi l nhng ng tỏc cú th thc hin c bng thc v compa (k ng thng ni hai im, v mt ng trũn cú tõm v bỏn kớnh xỏc nh, tỡm giao im ca hau ng thng, hai ng trũn ) Chng minh: Chng minh cỏch dng va nờu phn trờn s cho ta cu hỡnh cn dng Bin lun: Bin lun s nghim ca bi toỏn theo cỏc iu kin ban u cho Khi no vụ nghim, no ú nghim nht, no cú nghim hỡnh Kt lun: Tng kt li cỏc bc trờn a kt lun Ta ó bit v hỡnh bng nhiu dng c: thc (thc thng), compa, ờke, thc o gúc, Ta xột cỏc bi toỏn v hỡnh m ch s dng hai dng c l thc v compa, chỳng c gi l cỏc bi toỏn dng hỡnh Vi thc, ta cú th: - V c mt ng thng bit hai im ca nú - V c mt on thng bit hai u mỳt ca nú - V c mt tia bit gúc v mt im ca tia - Vi compa, ta cú th v c mt ng trũn bit tõm v bỏn kớnh ca nú hỡnh hc lp v hỡnh hc lp 7, vi thc v compa, ta ó bit cỏch gii cỏc bi toỏn dng hỡnh sau : (1) Dng trung trc ca mt on thng Dng trung im ca mt on thng Dng mt ng thng i qua mt im ó cho v vuụng gúc vi mt im ó cho (2) Dng mt ng thng i qua mt im ó cho v song song vi mt im ó cho (3) Dng mt on thng bng n ln on thng ó cho Dng mt on thng bng 1/n on thng ó cho (4) Dng mt gúc bng gúc ó cho Chia ụi mt gúc Dng tng v hiu ca hai gúc (5) Cho hai on thng cú di a, b, dng on thng cú di ab (6) Dng tip tuyn k t mt im n mt ng trũn (7) Dng ng trũn ni tip, ngoi tip ca mt tam giỏc (8) Dng tam giỏc bit ba cnh, hoc bit hai cnh v gúc xen gia, hoc bit mt cnh v hai gúc k Biờn son: Trn Trung Chớnh 91 .:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: Dng hỡnh bng phng phỏp i s: Gii mt bi toỏn dng hỡnh bng phng phỏp i s thng c quy v dng mt s on thng Ta gi cỏc di cỏc on thng phi tỡm l x, y, z Sau ú ta lp phng trỡnh biu th mi tng quan gia cỏc on thng ó bit l a, b, c Sau ú gii h phng trỡnh c cỏc n x, y, z Mt vi on thng dng c biu th bng biu thc n gin l: a.b.c x=ab ;x= e.f x = na, n N ; x = a b2 c2 d (a2 + d2 > b2 + c2) a x= ,nN ; x = a b2 n na x= ; m, n N ; x = ab m ab x= ;x=a n;nN c Dng hỡnh bng phng phỏp bin hỡnh: Dng hỡnh bng phng phỏp bin hỡnh l ỏp dng phộp i xng, phộp tnh tin, phộp quay, ng dng Ta quy vic dng mt hỡnh v vic dng mt im M Dng trc tip im M ụi gp khú khn Trong trng hp ny ta chn mt phộp bin hỡnh l mt song ỏnh f ( f cú ỏnh x ngc) bin im M thnh im M' m im M' ny ta cú th ng c mt cỏch d dng Sau ó dng c im M' ta c phộp bin hỡnh ngc: f-1(M') = M Vớ d nh tnh tin a Bi ỏp dng: Bi 1: Dng ABC bit cnh BC = a, ng cao AH = h, trung tuyn AM = m Gii Phõn tớch A Gi s ta dng c ABC tho món: BC = a; AH = h; AM = m Ta phi xỏc nh nh A tho iu kin: - A cỏch BC mt khong bng h, suy A ng thng d// BC h m v cỏch BC mt khong h - A cỏch im M l trung im ca BC mt khong m Cỏch dng B HM - Dng BC bng a - Dng ng thng d // BC v cỏch BC mt A khong bng h - Dng ng trũn tõm M bỏn kớnh m ct d ti A ABC l tam giỏc cn dng h Chng minh m ABC cú BC = a (cỏch dng) ng cao AH = h (cỏch dng) B C HM Trung tuyn AM = m (cỏch dng) ABC l tam giỏc cn dng Bin lun * m > h bi toỏn cú nghim (4 im A) * m = h bi toỏn cú nghim (2 im A) * m < h bi toỏn vụ nghim (khụng cú im A) Biờn son: Trn Trung Chớnh C d 92 .:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: www.VNMATH.com Bi 2: Cho ng thng m song song vi ng thng n v im A khụng thuc ng thng ú Dng im B m, C n cho ABC l tam giỏc u Gii Phõn tớch Gi s ó dng c im B m, im C n ABC u Dng hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn im M l E Dng tam giỏc u AEF Xột AEB v AFC ta cú: AE = AF (ABF u) BAE 600 CAE CAF AB = AC (ABC u) AEB = AFC (c.g.c) CFA 900 (vỡ AE BE) BEA B Cỏch dng T A h AE m ti E - Dng AEF u - T F dng ng vuụng gúc vi AF ct n ti C - Ni A vi C, dng ng trũn tõm A bỏn kớnh AC ct m ti B - Ni A vi B, B vi C ta c ABC cn dng Chng minh Xột vuụng ABE v vuụng ACF cú: AB AC (Cỏch dng) ABF = ACF (c.g.c) AE AF AE = AF CAF BAE EAF CAE 600 CAE M CAF BAC CAE V BAE 600 BAC 600 ABC cú: AB = AC v BAC ABC u d) Bin lun Bi toỏn cú nghim vỡ ta cú th dng c u Bi 3: Dng ABC bit BC = a; AB + AC = d; ABC Gii a) Phõn tớch Gi s ta ó dng c ABC tho cỏc iu kin ca u bi Kộo di BA v trờn ng kộo di ly im D cho AD = AC Suy ra: BD = AB + AD = AB + AC = d DAC cõn A = BD ng trung trc ca CD b) Cỏch dng - Dng on BC = a - Dng tia Bx cho xBC - Dng im D trờn Bx cho BD = d - Ni D vi C Biờn son: Trn Trung Chớnh A F m E n C D A B C 93 .:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: - Dng im A l giao ca BD v ng trung trc ca CD - Ni A vi C ta c ABC cn dng c) Chng minh ABC = (cỏch dng) BC = a (cỏch dng) A ng trung trc ca DC AD = AC A, D Bx; BD = d (cỏch dng) BD = AB + AD = AB + AC = d ABC l cn dng d) Bin lun - d < a bi toỏn vụ nghim - d > a Bi toỏn cú mt nghim Bi 4: Dng ABC bit BC = a, trung tuyn AM = m, ng cao CH = h Gii Phõn tớch: Gi s ó dng c ABC tho iu kin ca u bi A ng trũn tõm M bỏn kớnh m H ng trũn ng kớnh BC CH = h; B, H, A thng hng Cỏch dng: - Dng BC = a, trung im M ca BC - Dng ng trũn (M, m) H - Dng ng trũn ng kớnh BC - Dng im H ng trũn ng kớnh BC cho HC = h - Dng im A l giao im ca BH v (M, m) B Chng minh: BC = a CH = h (cỏch dng) B' A (M, m) AM = m ABC l tam giỏc cn dng Bin lun: h < BC = a Bi toỏn cú nghim 2m > h Bi toỏn cú hai nghim BH ct (M, m) ti hai im l A v A' Bi 5: Dng ABC bit B = < 900, ng cao BH v ng cao AD Gii Phõn tớch: Gi s ABC ó dng c vuụng ABD l dng c ta ch cn dng im C Mun vy ta phi i dng im H: H giao ca hai ng trũn ng kớnh AB v ng trũn tõm B bỏn kớnh BH C = AH BD Cỏch dng: - Dng ABD vuụng ti D B cho ABD < 900 v AD cho trc - Dng im H l giao im Biờn son: Trn Trung Chớnh A m h C M A H D C 94 .:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: www.VNMATH.com ca hai ng trũn: (B, BH) v ng trũn ng kớnh AB (BH cho trc) - Dng im C l giao ca BD v AH ABC l ta cn dng Chng minh: ABD = < 900 (cỏch dng) AD l ng cao cú di cho trc (cỏch dng) BH bng on cho trc (cỏch dng) ABC tho yờu cu ca bi Bin lun: Bi toỏn luụn cú nghim Bi toỏn cú mt nghim Bi 6: Dng hỡnh bỡnh hnh ABCD bit nh i din A v C cũn nh B v D thuc mt ng trũn (O, R) cho trc Gii Phõn tớch: Gi s ó dng c hỡnh bỡnh hnh tho iu kin ca bi l ABCD Nu I l giao im ca ng chộo ca ABCD thỡ: I AC v IA = IC, I BD v IB = ID; B, D (O,R) OI BD Cỏch dng: - Dng I l trung im ca AC B - Dng ng thng qua I v OI ct (O) ti B v D I C ABCD l hỡnh bỡnh hnh cn dng A Chng minh: O OI BD IB = ID D IA = IC (cỏch dng); B, D (O, R) (cỏch dng) AIB = DIC (c.g.c) ABI = IDC AB // CD ABCD l hỡnh bỡnh hnh tho u bi Bin lun: Bi toỏn cú nghim im I ng trũn (O) ú bi toỏn cú nghim Bi 7: Cho ng trũn (O, R) v im A ng thng d Dng ng trũn tip xỳc vi C(O,R) v tip xỳc vi d ti A Gii Phõn tớch: d' Gi s ó dng c (O',R') tip xỳc vi (O, R) v tip xỳc vi d ti A O' d' l ng thng qua A v vi d Dng im E cho O'E = O'O (AE = R) O O' nm trờn ng trung trc ca OE O' l giao ca ng trung trc ca OE & p Cỏch dng: O' - Dng ng thng d' d ti A - Dng im E d' cho AE = R A - Dng ng trung trc ca d OE l m, m d' O' - Dng ng trũn (O',O'A) E ú l ng trũn cn dng Chng minh: (O', O'A) tip xỳc vi d ti A (cỏch dng) Ni O vi O' Vỡ O' ng trung trc ca OE OO' = O'E Biờn son: Trn Trung Chớnh 95 .:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: M O'E = O'A + AE OO' = OA + AE = O'A +R (O, R) & (O', O'A) tip xỳc vi (O') l ng trũn cn dng Bin lun: Trờn p cú th ly E1 ng trũn (O') cho AE1 = R Vy bi toỏn cú nghim hỡnh Bi 8: Cho hỡnh thang ABCD, AD // BC Dng ng thng EF//BC chia ụi din tớch hỡnh thang Gii Phõn tớch: Gi s ó dng c EF//BC chia ụi din tớch hỡnh thang kộo di BC, CD ct ti O Suy ra: OBC OEF OAD t OB = a, OA = b, OE = x S SOAD b a2 Ta cú: OBC ; SOEF x SOEF x SOBC SOAD a b2 SOEF x2 M: S OBC + S OAD = S OEF + Shỡnh thang EBCF + S OAD = S OEF + Shỡnh thang AEFD + S OAD = 2SOEF a b2 2x2 = a2 + b2 x x2 a b2 2 t y a2 b2 ;z x y2 z 2 y z a a b z b x Cỏch dng: - Kộo di BA, CD ct O - Dng on trung bỡnh nhõn ca a, a ta c y b , b ta c z - Dng vuụng cú y, z l cnh gúc vuụng di cnh huyn ca ú l x - Trờn OB ly OE = x, dng EF // BC ta s c on EF cn dng - Dng on trung bỡnh nhõn ca Biờn son: Trn Trung Chớnh 96 .:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: www.VNMATH.com Chng minh: Gi hỡnh thang ADEF din tớch l S1 v hỡnh thang EBCF cú din tớch l S2 Ta phi chng minh S1 = S2 Ta cú OAD DEF (vỡ AD//EF) a T s ng dng l: x S S0 a OAD SOEF x S0 S1 OEF OBC SOBC b S0 S1 S2 SOEF x S0 S1 O b a x A E D F 2S S S 2S S S a b a b 2 a b x S0 S1 S0 S1 C B 2S S S 2S0 S1 S2 2S0 2S1 S1 S2 S0 S1 Shỡnh thang ADEF = Shỡnh thang EBCF Bin lun: Bi toỏn luụn cú mt nghim hỡnh Bi 9: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD Dng hai ng thng i qua nh A v chia hỡnh bỡnh hnh thnh phn cú din tớch bng Gii Phõn tớch: Gi s ó dng c ng thng qua A ct BC ti E, ct CD ti F tho món: S ABE = SBECF = S AFD = SABCD Gi di: BE = x, ng cao AH = h S ABE = h.x SABCD = AH.BC = h.BC M SABCD = S ABE h.BC = hx BC = x x = BC 2 Tng t ta gi: DF = y y = DC A D Cỏch dng: - Dng on BE = BC F - Dng on DF = DC B - Ni A vi E, A vi F ta c: E C S ABE = S AFD = SAECF = SABCD Chng minh: 1 1 Ta cú: S ABE = hx = h BC = h.BC = SABCD 2 3 2 Biờn son: Trn Trung Chớnh 2 97 .:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: Tng t: S ADF = SAECF = SABCD SABCD iu phi chng minh Bin lun: Bi toỏn cú mt nghim hỡnh Bi 10: Cho im A, B nm v mt phớa ca ng thng d Tỡm im M d cho AM + MB l nh nht Gii Phõn tớch: Gi s ó dng c im M d (AM + MB) ngn nht Ta ly im A' i xng vi A qua d IA = IA'; MA = MA' (AM + MB) ngn nht khi: A, M, B B thng hng M giao ca ng thng ni im A', B v ng thng A d Cỏch dng: - Dng im A' i xng A qua d d - Ni A' vi B M' M - Dng M = A'B d ú l im M cn dng Chng minh: A' - Ly M' d (M' tu ý) v ta chng minh: M'A + M'B > MA + MB Theo cỏch dng thỡ A', M, B thng hng v AM = A'M Xột A'BM' ta cú: M'A + M'B > A'B (1) M theo cỏch dng thỡ A'B = MA' + MB = MA + MB (2) T (1) v (2), suy ra: MA' + MB' > MA + MB (MA + MB) (pcm) Bin lun: Bi toỏn cú nghim hỡnh vỡ im A' dng c l nht Bi 11: Cho ng thng b // c, im A b, c Dng ABC u cho B b, Cc Gii Phõn tớch: Gi s ta dng c ABC u tho iu kin ca bi toỏn B b, C c Ta thc hin phộp quay theo chiu kim ng h ta cú: r(A, 600)(B) = C; r(A, 600)(b) = b' A M B b C b' B' b B Mt khỏc: C c c b' = C Cỏch dng: c - Dng ng thng C C' b' = r(A, 60 )(b) - Dng im C b' l giao im ca b' v c - Dng im B bng cỏch: r(A, 600)(C) = B Biờn son: Trn Trung Chớnh 98 .:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: www.VNMATH.com Chng minh: r(A, -600)(C) = B; r(A, -600)(b') = b M C b' B b (pcm) Bin lun: Bi toỏn cú nghim hỡnh Bi 12: Cho ABC Dng hỡnh vuụng MNPQ cho M AB; N,P BC, Q AC Gii Phõn tớch: Gi s ó dng c hỡnh vuụng MNPQ tho iu kin ca bi toỏn BQ ' Ni B vi Q v thc hin phộp v t: V(B, k = ) (Q' BQ): Q Q'; M M'; N N'; P BQ P' A M 'Q ' N 'M ' N 'P ' P 'Q ' MQ NM NP PQ M MQ = MN = NP = PQ v NMQ = 900 M'Q' = M'N' = N'P' = P'Q'; N'M'Q' = 900 M M'N'P'Q' l hỡnh vuụng Q Cỏch dng: - Ly M' AB, dng M'N' BC Q' M' - Dng hỡnh vuụng M'N'P'Q' - K BQ' ct AC ti Q - Thc hin phộp v t: BQ ' C N' M' P' P V(B; k = ) (Q') = Q; p' p; M' M; N' N B BQ ta dng c hỡnh vuụng MNPQ cn dng Chng minh: MQ NM NP PQ v t giỏc M'N'P'Q' l hỡnh vuụng; Theo cỏch dng ta cú: M 'Q ' N 'M ' N 'P ' P 'Q ' N 'M 'P ' 900 MN = NP = PQ = MQ & NMP = 900 MNPQ l hỡnh vuụng Bin lun: Bi toỏn cú nghim hỡnh Bi 13: Dng tam giỏc bit di ba ng trung tuyn Gii Phõn tớch: A Gi s ABC ó dng xong v cú trung tuyn: AM = ma, BN = mb, CP = mc E Nhỡn vo hỡnh v ta cha thy cú yu t no cú th dng c, N P tr cỏc on thng AM, BN, CP mt cỏch riờng l G V d nhiờn, nu ta ó dng, chng hn AM thỡ cú th xỏc nh thờm c G Tuy nhiờn, nu ta gi E l trung im ca AG thỡ B BG BN AG AM CP M PE ; EG v PG (tớnh cht 3 ng trung tuyn v tớnh cht ng trung bỡnh) nờn cỏc cnh ca PEG hon ton xỏc nh Khi ó xỏc nh c PEG, ta d dng xỏc nh c cỏc im C, A, M v cui cựng l B Biờn son: Trn Trung Chớnh C 99 .:: CHUYấN ễN THI VO LP 10 :: T ú suy cỏch dng Cỏch dng: mb m m ; PG c ; EG a 3 - Ni di PG v phớa G, trờn ú dng C cho GC = 2GP; - Ni di GE v phớa E, trờn ú dng A cho EA = EG; - Ni di EG v phớa G, trờn ú dng M cho GM = GE; - Ni AP v MC ct ti B ABC chớnh l tam giỏc cn dng Chng minh: Theo cỏch dng trờn thỡ AM = ma v CP = mc Cng theo cỏch dng v tớnh cht ng trung tuyn thỡ G chớnh l trng ABC Do ú BG l ng trung tuyn 2m b Vỡ PE l ng trung bỡnh tam giỏc ABG nờn BG = 2PE = Suy ng trung tuyn k t B bng mb Nh vy ta cú ABC cú ba trung tuyn bng vi ma, mb, mc Bin lun: m m m Bc dng th nht dng c a ; b ; c l di cnh ca mt tam giỏc 3 iu ny tng ng vi ma, mb, mc l di cnh ca mt tam giỏc Cỏc bc dng tip theo u thc hin c mt cỏch nht Suy nu di on thng ó cho l di cnh ca mt tam giỏc thỡ bi toỏn cú nghim hỡnh Trong trng hp ngc li bi toỏn vụ nghim Ghi chỳ: T bi toỏn dng hỡnh núi trờn, ta suy mt kt qu thỳ v sau: Ba ng trung tuyn ca tam giỏc ABC l di cnh ca mt tam giỏc cú din tớch bng 3/4 din tớch tam giỏc ABC - Dng PEG cú: PE Bi 14: Cho hai ng trũn (C1), (C2) cú bỏn kớnh R1 < R2 ct ti A v B Hóy dng tip tuyn chung ca hai ng trũn Gii M Phõn tớch: N A Gi s tip tuyn chung tip xỳc (C1) ti M v (C2) ti N Ni di NM ct ng thng O1O2 ti P Vỡ O1M v O2N u vuụng gúc vi MN nờn chỳng song song vi O2 O1 PO1 O1M R1 Theo nh lý Talet ta cú nờn t õy ta dng B PO2 O2 N R c im P Vỡ PMO1 = 900 nờn M nm trờn ng trũn ng kớnh PO1 Nh vy M l giao im ca ng trũn ng kớnh PO1 v (C1) Cỏch dng: PO1 R1 - Dng im P trờn O2 cho PO R - Dng ng trũn ng kớnh PO1; - ng trũn ng kớnh PO1 ct (C1) ti M; - Ni PM, ú l tip tuyn chung cn dng Chng minh: Theo bc 2, thỡ PM vuụng gúc vi MO1 Biờn son: Trn Trung Chớnh 100