Chuyên đề luyện thi thpt quốc gia tích phân đầy đủ chi tiết

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯNG CAO SĐT: 0978421673-01234332133 TP HUẾ ne t CHUN ĐỀ LUYỆN THI TÍCH PHÂN w w w b ox ta ilie u Dùng cho học sinh lớp 12-Ôn thi Đại học Cao đẳng Don't try to fix the students, fix ourselves first The good teacher makes the poor student good and the good student superior When our students fail, we, as teachers, too, have failed HUEÁ, 01/2013 www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN MỤC LỤC Trang A NGUYÊN HÀM B TÍCH PHÂN C PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t  n f ( x ) VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA 11 DẠNG 1: a  x 11 DẠNG 2: x  a 14 a x hoaëc ax ax 18 a x u DẠNG 4: ne t DẠNG 3: x  a2 14 dx ilie VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GI ÁC 19 Dạng 1: Biến đổi lượng giác tích phân 19  a sin x  b cos x  c 23 Dạng 3: Tích phân dạng  a sin ta Dạng 2: Tích phân dạng ox dx 24 x  b sin x cos x  c cos2 x b w w Dạng 4: Tích phân dạng I1   f (sin x )cos xdx; I   f (cos x )sin xdx 25 1.Tích phân có dạng  sin m x.cosn xdx 26 w 2.Tích phân dạng I1   Dạng 5: Tích phân chứa sin m x dx; cosn x I1   cosm x dx; sin n x m, n    27   tan x;cos x dx;   cot x;sin x dx 28 Dạng 6: Đổi biến 29 VẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CĨ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 39 VẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 42 VẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 50 VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 58 VẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 69 VẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY 77 MỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI 83 D PHỤ LỤC 95 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN w w w b ox ta ilie u ne t PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG LÀM THAY ĐỔI CẬN TÍCH PHÂN 95 SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN 100 ĐỀ THI ĐẠI HỌ C TỪ 2009-2012 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO 109 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN A NGUYÊN HÀM Khái niệm nguyên hàm  Cho hàm số f xác định K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: F '( x )  f ( x ) , x  K  Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là:  f ( x )dx  F( x )  C , C  R  Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K    f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx   kf ( x )dx  k  f ( x )dx u  f '( x )dx  f ( x )  C (k  0) ta Nguyên hàm số hàm số thường gặp   0dx  C ax  C (0  a  1) ln a   cos xdx  sin x  C ox   a x dx  b   dx  x  C x  1  C , (  1)   x dx   1   dx  ln x  C x   e x dx  e x  C w w w   ilie  ne t Tính chất   sin xdx   cos x  C   cos   sin  2 x x dx  tan x  C dx   cot x  C ax  b e  C , (a  0) a  1 dx  ln ax  b  C   ax  b a  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C (a  0)  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C (a  0) e ax  b dx  Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Nếu  f (u)du  F (u)  C CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:  f u( x ).u '( x )dx  F u( x )  C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì:  udv  uv   vdu B TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân  Cho hàm số f liên tục K a, b  K Nếu F nguyên hàm f K thì:  f ( x )dx a u b t b ne F(b) – F(a) đgl tích phân f từ a đến b kí hiệu  f ( x )dx  F(b)  F(a) ilie a b b a a b ta  Đối với biến số lấy tích ph ân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: ox  f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du   F(b)  F(a) a w w b  Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục khơng âm đoạn [a; b] diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục Ox hai đườn g thẳng x = a, x = b là: b S   f ( x )dx w a Tính chất tích phân   f ( x )dx   b b a a b a a b  f ( x )dx   f ( x )dx   kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const)  b b b a a a   f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx  b c b a a c  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN b  f ( x )dx   Nếu f(x)  [a; b] a  Nếu f(x)  g(x) [a; b] b  a b f ( x )dx   g( x )dx a Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u( b ) a u( a )  f u( x ).u '( x )dx   f (u)du ne t đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục K, y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác định K, a, b  K u b) Phương pháp tích phân phần b b a   vdu a ox a b ta  udv  uv ilie Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b  K thì: Chú ý: w w b  Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm  Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho b  vdu dễ tính a b  udv a w Trong phần sau trình bày kỉ thuật lựa chọn u dv Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN C PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ N: VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t  n f (x) Phương pháp: Khi hàm dấu tích phân có chứa biểu thức có dạng n f ( x ) Lúc nhiều trường hợp ( khơng phải trường hợp), ta đổi biến cách - Bước 1: Đặt t  - Bước 2: Ghi nhớ “Đổi biến phải đổi cân” n f ( x )  t n  f ( x )  nt n1dt  f '( x )dx BÀI TẬP MẪU: Tính tích phân sau ne t Bài 1: Tính I   x  x dx u Giải: ilie  x  t2 = – x2  xdx = -tdt Đặt t = t Khi đó: I   x  x dx = 0 1  1  t  t.tdt =   t w w ox b x ta Đổi cận:  t3 t5   t dt =    =   15  w Bài 2: Tính I   x 3  x dx Giải: Đặt t =  x  t   x  x 3dx   t dt Đổi cận: x t Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Khi đó: I   x 33 e Bài 3: Tính I   CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN 3  x dx   t 3dt  t  40 16 16  ln x dx x Giải: Đặt t   ln x  t   ln x  2tdt  dx x Đổi cận:  ln x dx  x Khi đó: I   x  t.2tdt 2  t dt 2 1  x3  ox x  x3 dx  t3 2 2   31  x dx w w 2 dx Giải: Ta có: b t e Bài 4: Tính I   ne u t e ilie ta x x3  x3 w Đặt t   x  t   x  2tdt  x dx  x dx  2tdt Đổi cận: x t 2 Khi đó: Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 2 dx I  x  x3 3 dt  1   t     t   t   dt  2   x3 x dx  x3 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN  t 1  1 1 ln t   ln t    ln   ln  ln    t    2      1  ln  ln 2 1    1 dx x Bài 5: Tính I   x2  t Đổi cận: Khi đó: t u .b dt t 3  ln  ln 9 t3 w w t ta ox x dx tdt tdt   x x t 9 ilie  Đặt t  x   t  x   t    tdt  xdx; ne Giải: w BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính tích phân sau 1)  x3  x2 ln 2)  3) ln  ln ex e x ÑS : dx  1 10  e  x ÑS :   dx ex ex  141 20 dx ĐS : 20 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 4)  x3 8 5)  3 x 1 x 1 x 1 1 ÑS : ln  ln dx x 6)  3 ÑS :  ln dx 1 1 x4 CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN dx ( A  2004) ĐS : 11  ln e ln x  ln x dx (Khoái B  2004) x 7) ÑS :  3 3  23  9)  dx x x 4 e3 10)  x 1 dx ln x x ln x  ÑS : e2  e ne x u ÑS : ln (Khối A-2003) Đặt t  x  ilie x 1 ta 8)  e dx.(Dự bị khối D-2005) Đặt t  ln x  ox t HD : Đặt t   ln x e   ln x 11)    ln x  dx HD : I  I1  I   x  ln x 12) 1 x x 1 dx x  10 t  x  DS : 76 15 2  3 62  30 ln w w w b ÑS : e  ÑS : x dx 1 x 13) x sin x dx   1 x dx 1 x Hướng dẫn : I   x sin x 3dx   Ta tính I1 = x sin x 3dx đặt t = x3 ta tính I = -1/3(cos1 - sin1) x dx đặt t = Ta tính I2 =  1 x x ta tính I =  (1    )dt  2(1  )   1 t Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN D PHỤ LỤC PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG LÀM THAY ĐỔI CẬN TÍCH PHÂN   Bài tốn mở đầu : Tính tích phân I=  x  x  dx 3 Khi gặp toán này, chắn tất bạn nghĩ cách khai triển biểu thức dấu tích phân để đưa tích phân để tính Đó cách suy nghĩ thường hay gặp phải Nhưng bạn thử làm xem sao, thử thay (x 3-3x2+2)3 (x 3-3x2+3)7 , (x3-3x2+3)9 tính nhé! Sau mời bạn nghiên cứu lời giải sau: 5    ne   t 3    3t  dt    t  3t  dt 3 ta    x  x  dx   I  I   I  3  u   I    (2  t )  3(2  t )  dt  ilie 3 t dx   dt  Lời giải: Đặt x=2 -t   x  3 : t   x  : t  3  ox Khi đọc xong lời giải chắn bạn đặt câu hỏi : Tại lại đặt ẩn phụ vậy? Để tìm câu trả lời xin mời bạn nghiên cứu tiếp toán tổng quát sau: a w w Chứng minh b Bài toán tổng quát: Cho f(x) hàm lẻ, liên tục [-a; a]  f ( x )dx  a w Đây tập quen thuộc với bạn học tích phân nhiều bạn biết cách giải Xong bạn xem kỹ lời giải sa u để “ phát hiện” vấn đề dx   dt  Lời giải: Đặt x= -t   x   a : t  a  x  a : t  a  I  a  a a f ( x )dx    f (t )dt  I  a a  a a  f (t)dt Do f(x) hàm lẻ nên f(-x)=-f(x) a a a a a f (t )dt    f (t )dt    f ( x )dx   I  I   I  Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN Qua tốn trên, điểm chung cách đặt ẩn phụ gì? Câu trả lời : Đặt ẩn phụ không làm thay đổi cận tích phân Cách đặt tổng quát gặp tích phân b  f ( x )dx mà không thay đổi cận đặt x=a+b-t a Bài toán mở đầu cịn có cách giải khác hay để dẫn tới “ suy nghĩ” sau: dx   dt 4 3  Đặt x=1 -t   x  3 : t   I    (1  t )3  3(1  t )2  dt   t  3t dt 4  x  : t  4      ne t Sử dụng kết chứng minh toán ta I=0 ( f(t)= -t3+3t hàm số lẻ) Vậy “ suy nghĩ” gì? Việc đặt ẩn phụ ta dẫn đến tích phân có cận “đối  f ( x )dx a ab t ta bạn đặt x  b ilie u xứng” Trong trường hợp tổng quát để dẫn đến cận “ đối xứng” gặp tích phân   w w  sin x  cos6 x dx ( Đề thi đại học năm 2000) 6x  b Bài toán 3: Tính tích phân I  ox Bây vận dụng suy nghĩ để giải số toán sau: Lời giải: w  dx   dt     x=-t Đặt   x   : t  ( cách đặt khơng làm thay đổi cận tích phân) 4      x  : t     Khi I      sin (t )  cos (t ) dt  6 t  6    6t sin t  cos t dt  6t  6 4   x sin x  cos6 x dx 6x  Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 96 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO   2I     x sin x  cos x dx  6x  6      sin x  cos x dx  6x  6    sin   x  cos6 x dx       5  2  3s in x cos x dx     s in x  dx     s in x  dx     cos4 x  dx 4      8       CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN 2  4 4  t  5x     sin x    32  -  16 b b x sin x dx x4  cos ta Bài toán 4: Tính tích phân I =  ilie f (x) f (x) I x dx   a x x dx  I   f ( x )dx b a 1 b a  b u b ne Chú ý: Bài tốn có dạng tổng quát sau: Nếu f(x) hàm số liên tục, chẵn ox Thơng thường gặp tích phân trên, hầu hết bạn nghĩ đến phương pháp tính tích phân phần Xong bạn thử làm t hế so sánh với lời giải sau: w w b dx   dt  Lời giải : Đặt x    t   x  : t   x   : t      (  t )sin(  t ) (  t )sin t sin t t sin t dt   dt    dt   dt 2 2 cos (   t )  cos t  cos t  cos t   0 w Khi I       sin x x sin x sin x  dx   dx    dx  I 2 cos x  cos x  cos x    sin x  sin x  2I    dx  I   dx 2 cos2 x  cos x  sinxdx   dt  Đặt cosx  t   x  : t   x   : t  1  Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 97 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN  ln dt  dt  t2  I      ln t  1 (t  2)(t  2) t  1  1 Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: Cho hàm số f(x) liên tục thoả mãn: f(a+b-x) = f(x) b b ab Khi  xf ( x )dx  f ( x )dx a a ( để chứng minh kết bạn đặt x= a+b-t )  1 x 1 ( Đề thi khối A năm 2004) ne xdx t Bài toán 5: Tính tích phân I = Với tốn trên, cách đặt để không thay đổi cận tích phân u Lời giải: Đặt t   x  ilie dx  2(t  1)dt  Khi x -1 = (t -1) hay x=(t -1)    x  1: t  ( cách đặt đảm bảo cận không đổi !) x  : t    2 (t  1) (t  1)2  1 t 2  t  3t  4t  1 dt    t  3t    dt t t 1 dt   b ox ta w w w  t3 2 t2     4t  ln | t |    ln 3 1 Chú ý: Bài tốn tổng quát dạng b  a p( x ) mx  n  c dx với p(x) đa thức chứa biến x; m,n,c số Ta đặt t  mx  n  c t  mx  n giải  sin3 x dx sin x  cos x Bài tốn 6: Tính tích phân I   Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 98 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN  dx   dt     Lời giải: Đặt x   t   x  : t  2     x  : t      sin3   t  2 co s t co s3 x   I   dt   dt   dx  J sin t  cos t sin x  cos x      0 sin   t   cos   t  2  2      sin x co s x sin x  co s x dx   dx   dx   (1  sin x.cos x )dx sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x 0 0 3  u ne  I+J   t  I  J  1    1  I  I  J     1    (1  sin x )dx   x  co s2 x    Vậy  0 2 ilie  sin k mx a sin mx  cos mx dx ; n  n sin m ax sin m ax  n cosm ax b b ox ta Chú ý: Bài tốn tổng qt thành dạng sau: w w Qua toán trên, tác giả muốn bạn học sinh có thêm cách nhìn để tiếp cận với phương pháp đặt ẩn phụ tính tích phân Rất mong nhận quan tâm trao đổi w Cuối mời bạn vận dụng vào số tập sau: Tính tích phân: I1   4x  3x    I3    lg 1  I5  2004   2000  I2  dx  3 x  1000  x   dx 2  x  x  16 dx  lg 1   x   x dx  I4   cos x.ln  x    x  dx I6   ex 1 4 x  x Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net  x  16  n 1 dx 99 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN    (e 1 x dx  1)( x  1)   I9    sin x.sin x.cos5 x dx ex  I10   x (tgx  cot gx )dx    x sin x I11   dx cos x   I13    sin x I12   sin x  cos x dx   4sin x I14   cos x  sin x dx dx t  I8   sin x  cos x  ne I7 sin x.sin x.cos3 x dx 2x  u SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN ta ilie Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học , Cao đẳng, THCN hàng năm toán tích phân khơng thể thiếu, tốn tích phân tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phương pháp tính tích phân ox Chun đề hy vọng góp phần giúp em học sinh hiểu sâu tránh sai lầm thường mắc phải giải tốn tích phân Đưa hệ thống lí thuyết, hệ thống phương pháp giải - Bài tập ứng với dạng toán, lỗi thường mắc phải học sinh w w b - dx 2 ( x  1) w Bài tập 1: Tính tích phân sau I =  Giải: Hàm số y = không xác định x= -1  2;2  suy hàm số không liên tục  2;2  ( x  1)2 tích phân khơng tồn Chú ý: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm sau: dx I=  = 2 ( x  1) d ( x  1)  ( x  1) 2 =- x 1 2 =- -1 = 3 Nguyên nhân sai lầm : Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 100 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Hàm số y = CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN khơng xác định x= -1  2;2  suy hàm số không liên tục  2;2  ( x  1)2 nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải Chú ý học sinh: b Khi tính  a f ( x )dx cần ý xem hàm số y=f(x) có liên tục  a; b  khơng? có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho cịn khơng kết luận tích phân không tồn dx t    sin x ne Bài :Tính tích phân: I = u Giải:  x 2dt 1  t2 dx = ; =  t  sin x (1  t )2 b Sai lầm thư ờng gặp: Đặt t = tan w w 2dt dx = =  2(t  1)2 d(t+1) =  sin x (1  t ) w    I= tan dx 0  sin x =  2 x tan    2  ox ta  ilie x  d   4 x    dx dx  I=  =     tg    0 = tg  tg   sin x  x    2 4 0  cos  x   cos2    2  2 4  = 2 tan  1 - +c t 1 tan  không xác định nên tích phân khơng tồn Ngun nhân sai lầm: Đặt t = tan x x x   0;   x =  tan khơng có nghĩa 2 Chú ý học sinh: Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 101 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục  a; b  Một số tập tương tự: Tính tích phân sau   1/ dx 0 sin x dx  cos x 2/  Bài 3: Tính I =  x  x  dx Sai lầm thường gặp:  x  3 dx    x  3 d  x  3 x  x  dx =   b w w  x  3 =- 2  x  3  2 Chú ý học sinh : b I=   2n a  x  3 dx   x  d  x  3     x  3 d  x  3    x  3 d  x  3 w   4 2 ta x  x  dx =  ox 4  x  với x   0;4  không tương đương Lời giải đúng: I= ilie  x  3 Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi  x  3  t  ne I= u f x  2n b   2n  f  x   f  x  dx a  5 2 2n  f  x  ,  n  1, n  N  ta phải xét dấu hàm số f(x)  a; b  dùng tính chất tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập tương tự: Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 102 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO  1/ I =   sin 2x dx ; 2/ I =  x  x  x dx  3/ I = CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN     x    dx x   4/ I =   tg x  cot g x  dx x Bài 4: Tính I = 1 dx  2x  2 Sai lầm thường gặp:  1 d  x  1  x  1  arctan  x  1 1 1  arctan1  arctan  u Nguyên nhân sai lầm :  t I= ne ilie Đáp số tốn khơng sai Nhưng sử dụng công thức bảng nguyên hàm  ta Lời giải đúng:  Khi I =  1  tan t  dt  w   w w với x = t = b với x=-1 t = tan t  ox Đặt x+1 = tant  dx   tan t dt   dt  t    Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân dạng b   1 x a b   a dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx t = cotx 1  x2 dx đặt x = sint x = cost Một số tập tương tự : Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 103 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN 1/ I = x  16 dx x  Bài 5: Tính :I =  2/ I = x3  x2 2x  2x  0 x  dx 3/ I =  x 3dx  x8 dx Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt  x3  x2 dx   sin3 t dt cos t ne t = ? u với x= t Đổi cận: với x = t =  x thường đặt x = sint tích phân khơng tìm xác t = ? ta Khi gặp tích phân hàm số có chứa ilie Nguyên nhân sai lầm: ox gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x =  x  dt = x  x2 dx  tdt  xdx w w Đặt t = b Lời giải đúng: I = w Đổi cận: với x = t = 1; với x = x3 dx  x2 = 15  15 t =    t tdt t  15   t  1  t  dt   t     15  15 15 15  33 15        192 192   Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa  x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x đặt x = tant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp cịn khơng phải nghĩ đến phương pháp khác 104 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN Một số tập tương tự: 1/ tính I = x3   x2 Bài 6: Tính I = dx 2/tính I = x dx x2  1 x2  1  x dx   1   x   x2  Sai lầm thường gaëp : I =  dx  2   1 1 x x  x  2 x2   ne  1   dt     dx x x   u Đặt t = x+ 1 t ilie Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; 2 2   ln  ln 2  2 t t 2 2 ox 2  ln 2 b = ln 2 ta dt 1 I= =(  )dt =(ln t  -ln t  ) t 2 t  2 t  w w w 1 x2  x sai  1;1 chứa x = nên chia  Nguyên nhân sai lầm :   1 x  x x2 tử mẫu cho x = Nhưng từ sai lầm bạn thấy x=0 không thuộc thuộc tập xác định cách làm thật tuyệ t vời Lời giải đúng: Xét hàm số F(x) = F’(x) = Do I = 2 2 ln x2  x  x2  x  (ln x2  x  x2  x  ( áp dụng phương pháp hệ số bất định ) )  x2  x  x2  ln = dx  2 x2  x  1  x x2  x4  1 1  ln 2 2 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 105 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN w w w b ox ta ilie u ne t Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải khơng chứa điểm x = Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 106 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2009 -2012 NĂM 2012: Tính tích phân sau Bài ĐH Khối A – 2012: I=   ln  x  1 x 1 Bài ĐH Khối B – 2012:  dx 2  ln  ln 3 ĐS: ĐS: ln3  ln 2 x3 dx x  3x   I   x 1  sin x  dx Bài ĐH Khối D – 2012: 2 ĐS: 32 x x 1 ĐS: ilie NĂM 2011: Tính tích phân sau  I=  x sin x  ( x  1)cos x dx x sin x  cos x ox   x sin x dx cos2 x I  w w w Bài ĐH Khối D – 2011: b Bài ĐH Khối B – 2011:  I  Bài CD Khối A,B,D-2011: ĐS: ta Bài ĐH Khối A – 2011: u dx ne I  Bài CD Khối A,B,D-2012: t  4x 1 2x   2x  dx x  x  1 ĐS: 3 dx   ln(   ) 2   ln 2 ĐS: 34  10 ln ĐS: ln NĂM 2010: Tính tích phân sau Bài ĐH Khối A – 2010 I   e Bài ĐH Khối B – 2010 I   x  e x  x 2e x dx  2e x ĐS: I  ln x dx x (2  ln x )2 1  2e  ln 3 ĐS: I    ln Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 107 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN e  3 Bài ĐH Khối D – 2010 I    x   ln xdx x 1 2x 1 dx x 1 I  Bài CD Khối A,B,D-2010 ĐS: I  e2  2 ĐS: I  e2  2 NĂM 2009: Tính tích phân sau  Bài ĐH Khối A – 2009 I   (cos3 x  1)cos2 xdx ĐS: I  3  ln x dx ( x  1) 1 27  ĐS: I    ln  4 16  dx e 1 u   ilie I   e-2 x  x e x dx ĐS:  e w w w b ox  ĐS: ln e2  e   x ta Bài CD Khối A,B,D-2009  ne t Bài ĐH Khối B – 2009 I   Bài ĐH Khối D – 2009 I     15 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 108 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp, Huỳnh Công Thái (2008), Các kĩ thuật phương pháp tính tích phân Phạm Kim Chung (2008), Bài giảng tích phân Trần Đình Cư (2011), Bài giảng l uyện thi cấp tốc chuyên đề tích phân Phan Huy Khải (2008), Nguyên hàm- Tích phân ứng dụng Trần Sĩ Tùng (2010), Tuyển tập toán tích phân w w w b ox ta ilie u ne t Toán hoc tuổi trẻ Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ www.boxtailieu.net 109 ... ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 39 VẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 42 VẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 50 VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 58 VẤN ĐỀ... www.boxtailieu.net 49 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT PHƯƠNG PHÁP: Dựa vào việc đán h giá cận tích phân tính chất hàm số dấu tích phân ta lựa...LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN MỤC LỤC Trang A NGUYÊN HÀM B TÍCH PHÂN C PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: VẤN ĐỀ 1: PHÉP