Chuyên đề thể tích khối đa diện luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TỐN 49: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ( thể tích khối đa diện cắt từ khối khác) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Thể tích khối đa diện - Thể tích khối chóp : V = S d h - Thể tích khối lăng trụ : V = S d h - Thể tích khối lập phương : V = a , thể tích khối hộp chữ nhật : V = a.b.c Thể tích khối đa diện phân chia : +) Khối chóp tam giác : VS ABC SA SB SC = VS A′B′C ′ SA′ SB′ SC ′ S C' A' B' C A B +) Khối chóp tứ giác có đáy hình hành : VS ABCD a+b+c+d  SA SB SC SD  = = = = ,b = ,c ,d a  VS A′B′C ′D′ a.b.c.d  SA′ SB′ SC ′ SD′  a+c =b+d Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com S D' A' C' B' A D B C +) Thể tích khối lăng trụ tam giác : VABC MNP  AM BN CP  =  + +  VABC , A′B′C ′  AA′ BB′ CC ′  C B P A N M C' B' A' +) Khối hộp : VABCD.MNPQ  AM BN CP DQ   AM CP   = + + + = +    VABCD , A′B′C ′D′  AA′ BB′ CC ′ DD′   AA′ CC ′  AM CP BN DQ + = + AA′ CC ′ BB′ DD′ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com A D B C M Q N P A' D' B' C' II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ ♦ Khối đa diện cắt từ khối chóp ♦ Khối chóp cụt ♦ Khối hình hộp khác ♦ Khối lăng trụ khác ♦ Khối da diện cắt từ khối lăng trụ ♦… BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình hộp ABCD A B C D  có chiều cao diện       tích đáy Gọi M , N , P Q tâm mặt bên ABB A , BCC B , CDD C DAA D  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , D, M , N , P Q A 27 C 18 B 30 D 36 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính thể tích khối đa diện HƯỚNG GIẢI: B1:Tính thể tích khối B.EMN theo thể tích khối hộp với E trung điểm cạnh BB  B2:Hồn tồn tương tự, tính thể tích khối nhỏ VC NFP ;VD.GPQ ;VA.MHQ B3: Thể tích khối đa diện cần tìm thể tích khối EFGH ABCD trừ thể tích khối nhỏ VB EMN ;VC NFP ;VD.GPQ ;VA.MHQ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Gọi E , F , G, H trung điểm BB , CC , DD  AA′ Ta có: 1 V 1 1  EMN  AB C   B.EMN     VB.EMN  VB ABC   VABCD ABC D  VABCD ABC D 8 24 VB AB C    Hoàn toàn tương tự, V     48 ABCD A B C D Thể tích khối đa diện cần tìm thể tích khối EFGH ABCD trừ thể tích khối nhỏ VB EMN ;VC NFP ;VD.GPQ ;VA.MHQ VC NFP  VD.GPQ  VA.MHQ  VABCD AB C D   VABCD AB C D   VABCD AB C D  48 12 Mà VABCD AB C D   8.9  72 nên VMNPQABCD  72  30 (đvtt) 12 Bài tập tương tự phát triển: Suy VMNPQABCD   Mức độ ABC = 120° Câu 1Cho khối lăng trụ đứng ABCD A′B′C ′D′ có đáy hình thoi cạnh a ,  Biết góc hai mặt phẳng ( A′BC ) ( A′CD ) 60° Tính thể tích V khối lăng trụ cho A V = a B V = a C V = 3 a D V = 3 a Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com ABCD Ta có a, hình thoi cạnh  ABC = 1200 nên BD = a , AC = a a2 = AC.BD 2 = S ABCD O AC ∩ BD Ta có BD ⊥ ( A′AC ) ⇒ BD ⊥ A′C Gọi = Kẻ OM ⊥ A′C M A′C ⊥ ( BDM ) ⇒ A′C ⊥ MD , góc hai mặt phẳng ( A′BC ) ( A′CD ) = 60° góc hai đường thẳng MB MD Vậy BMD  BMD = 120° = 60° MB = MD nên tam giác BMD tam giác đều, OM = a TH1: BMD ⇒ OM = OC (vơ lý ∆OMC vuông M )  BMD = 120° TH2: = ⇒ MO BO= cot 60° tam giác a , MC = OC − MO = Có tam giác AA′C đồng dạng với tam giác MOC nên ′.S ABCD Vậy V AA = = Câu cân BMD M = 60° BMO nên a AA′ MO a = ⇒ AA′ = AC MC a a2 3 = a 2H1-3.2-2] Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân B , AC = 2a , cạnh bên AA′ = 2a Hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ A V = a B V = a3 C V = a D V = 2a Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Vì ABC tam giác vuông cân B nên trung tuyến BH đường cao HB = HA = HC = AC = a , A′H= A′A2 − AH 2= 2a − a 2= a ′H S ABC A′H = = V A= BH AC a ABC A′B′C ′ Câu [2H1-3.2-3] Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tâm O  ABC = 120° Góc cạnh bên AA′ mặt đáy 60° Đỉnh A′ cách điểm A , B , D Tính theo a thể tích khối lăng trụ cho A V = 3a B V = a3 C V = a3 D V = a 3 Lời giải Chọn C = 60° , suy tam giác ABD Hình thoi ABCD cạnh a ,  ABC  120 nên góc BAD a2 a2 cạnh a Diện tích đáy ABCD= S 2.= S ABD = Gọi H trọng tâm tam giác ABD Ta có A′H ⊥ ( ABCD ) Tính AO = a a A′AH= 60° , AH = Góc AA′ mặt đáy góc  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com 60° Ta= có A′H AH tan = Câu a a3 a ′H S a = trụ V A= a Thể tích lăng = = 2 Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên cạnh AB CD lấy điểm M      NC = −2 ND Mặt phẳng ( P ) chứa MN song song với N cho MA + MB = AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V = 18 B V = 216 C V = 108 D V = 11 216 Lời giải Chọn D A M P D B N Q C    , suy M trung điểm AB ; Ta có MA + MB =   NC = −2 ND , suy NC = ND Từ N kẻ NP // AC , N ∈ AD ; M kẻ MQ // AC , Q ∈ BC Mặt phẳng ( P ) ( MPNQ ) Gọi AH chiều cao khối chóp hạ từ A Ta có VABCD =⋅ AH ⋅ S BCD = 12 V = VACMPNQ = VAMPC + VMQNC + VMPNC Ta có VAMPC = AM AP ⋅ ⋅ VABCD = ⋅ ⋅ VABCD = VABCD AB AD 3 1 1 CQ CN VMQNC = VAQNC = ⋅ ⋅ ⋅ VABCD = ⋅ ⋅ VABCD = VABCD 2 2 CB CD = VMPNC 2 AM 1 ⋅ VABCD = ⋅ ⋅ ⋅ VABCD = VABCD = VMPCD VMACD = ⋅ ⋅ 3 3 AB 3 11 11 1 1 Vậy V =  + +  VABCD ⇒ = V V= ABCD 18 216 3 9 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi E , F trung điểm cạnh SB , SC Biết mặt phẳng ( AEF ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 12 B a3 C a3 24 D a3 24 Lời giải Chọn D S F N E A C H M B Gọi M , N trung điểm cạnh BC EF ; H trọng tâm tam giác ABC ( AEF ) ⊥ ( SBC ) Ta có  (1) EF ( AEF ) ∩ ( SBC ) =  EF // BC Trong mặt phẳng ( SBC ) , ta có  nên EF ⊥ SM ( )  SM ⊥ BC Từ (1) (2) suy SM vng góc với mặt phẳng ( AEF ) N Mặt khác HM Tam giác SHM vuông H có cos M = ( 3) SM MN Tam giác AMN vng N có cos M = ( 4) AM HM MN ⇔ SM MN = HM AM (vì N trung điểm SM ) Từ (3) (4) ta có = SM AM a 2 1 = AM = ⇔ SM = AM ⇔ SM 3 Tam giác SHM vng H có= HM a SH và= = AM SM − HM = a a3 Khi VS ABC = S ABC SH = 24 Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có tất cạnh Gọi E , F trung điểm cạnh AA′ BB′ ; đường thẳng CE cắt đường thẳng C ′A′ E ′ , đường thẳng CF cắt đường thẳng C ′B′ F ′ Thể tích khối đa diện EFA′B′E ′F ′ A B C D 12 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Chọn A C' A' E' E B' F F' C A M B Thể tích khối lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ VABC = S ABC = AA′ A′B′C ′ = Gọi M trung điểm AB Suy CM ⊥ ( ABB′A′ ) CM = Thể tích khối chóp C ABFE = VC ABFE 1 3 S= = ABFE CM 3 2 12 Thể tích khối đa diện A′B′C ′EFC VA′B′C ′EFC = VABC A′B′C ′ − VC ABFE = 3 − = 12 Ta dễ dàng chứng minh A′ B′ trung điểm C ′E ′ C ′F ′ Thể tích khối chóp C.C ′E ′F ′ = VC C ′E ′F ′ 1 ′ = SC= 4.S= .1 ′E ′F ′ CC ′ C ′A′B′ CC 3 Khi đó, thể tích khối đa diện EFA′B′E ′F ′ VEFA′B′E ′F ′ = VC.C ′E ′F ′ − VA′B′C ′EFC = Câu 3 − = 6 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AC = a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SBC Gọi (α ) mặt phẳng chứa AG song song với BC , chia khối chóp thành hai phần Tính thể tích khối đa diện khơng chứa đỉnh S A 4a B 4a 27 C 2a D 5a 54 Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com S C' D' B' D A O B C a3 Ta có: VS ABCD = a a = 3 Ta có AD′ ⊥ ( SDC ) ⇒ AD′ ⊥ SD ; AB′ ⊥ ( SBC ) ⇒ AB′ ⊥ SB Do SC ⊥ ( AB′D′ ) ⇒ SC ⊥ AC ′ Tam giác S AC vuông cân A nên C ′ trung điểm SC Trong tam giác vng S AB′ ta có VS AB′C ′D′ VS ABCD = VS AB′C ′ + VS AC ′D′  SB′ SC ′ SD′ SC ′  SB′ SC ′ 1 ⋅ = = = ⋅ + ⋅ =   VS ABCD  SB SC SD SC  SB SC 3 Vậy VS AB′C ′D′ = Câu SB′ SA2 2a 2 = = = SB SB 3a a3 Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Điểm P điểm cạnh CD cho PC = PD Mặt phẳng ( MNP ) cắt cạnh AD Q Thể tích khối đa diện BDMNPQ A 11 216 B 27 C 108 D 216 Lời giải Chọn D Vì M , N trung điểm cạnh AB , BC nên MN đường trung bình tam giác ABC Khi MN // AC ⇒ ( MNP ) ∩ ( ACD ) = PQ // MN với P ∈CD Q ∈ AD Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 20 Website: tailieumontoan.com Thể tích khối tứ diện ABCD V0 = 12 Ta có: = VD.BPQ DP DQ DB 1 = VD.CAB = 1.V0 V0 DC DA DB 3 BM BN BQ 1 S ACQ AQ = VB ACQ = 1.VB ACQ = VB ACD = V0 V0 BA BC BQ 2 S ACD AD BP BQ BN 1 S PQC V = = VB.PQC 1.1 .= VB.PQC V = = V0 V0 B PQN B ADC BP BQ BC 2 S ADC 9 = VB.MNQ 7 1 1 Vậy VBDMNPQ = VD.BPQ + VB.MNQ + VB.PQN =  + +  V0 = = 18 12 216 9 9 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi I điểm thuộc đoạn SO cho SI = SO Mặt phẳng (α ) thay đổi qua B I (α ) cắt cạnh SA, SC , SD M , N , P Gọi m, n GTLN, GTNN A B C VS BMPN m Tính VS ABCD n D Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 21 Website: tailieumontoan.com S P M I N B C O A  SA  SM = x +) Đặt   SC = y  SN +) Có , ( x, y ≥ 1) SB SD SO SD + =2 = 2.3 = ⇒ = SP SB SP SI +) Có x + y = +) D SO =6 ⇔ y =6 − x , 1≤ x ≤ SI VS BMPN x + + y + 3 12 = = = = = 20 xy xy x(6 − x ) x − x 4.x.1 y.5 VS ABCD +) Xét f ( x ) = ( ) , với ≤ x ≤ ( 6x − x2 ) 2x − +) Có f ′ ( x ) = ( x − x )2  f ' (x ) = +)  ⇔ x = 1 < x <  m=  3 m  25 +) f (1) = ; f ( 3) = ; f ( 5) = ⇒ ⇒ = 25 15 25 n n =  15 Câu Cho lăng trụ ABC A' B 'C ' có tất cạnh a Lấy điểm M , N nằm cạnh BC ; P, Q nằm cạnh AC , AB cho MNPQ hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật MNPQ.M ' N ' P 'Q ' nội tiếp lăng trụ ABC A' B 'C ' tích lớn : a3 A a3 B a3 C a3 D Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 22 Website: tailieumontoan.com Chọn C P A M Q C N B A' Q' P' B' N' M' C' Gọi độ dài đoạn MN x với (0 < x < a ) MQ = (a − x) Thể tích hình hộp chữ nhật MNPQ.M ' N ' P 'Q ' V = Xét hàm số f ( x ) = a 3x ( a − x ) f '( x) có = ax ( a − x ) a a ( a − 2x) ; f '( x) = ⇔ x = 2 a3 Nên chọn C Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh SA , SD Mặt phẳng (α ) chứa MN cắt cạnh SB , SC Q , P Đặt Vậy thể tích lớn hình hộp chữ nhật MNPQ.M ' N ' P 'Q ' SQ = x , V1 thể tích khối chóp S MNQP , V thể tích khối chóp S ABCD Tìm x SB để V1 = V A x = B x = −1 + 41 C x = Lời giải −1 + 33 D x = Chọn C S P Q M N B C O A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D Trang 23 Website: tailieumontoan.com   MN // BC ⇒ PQ // BC ∩ = α SBC PQ ( ) ( )   Do  VS MNQ V ⇔ Câu + VS NPQ V VS MNQ VS NPQ V1 SM SN SQ SP SN SQ = + = ⇔ ⇔ + = V 2VS ABD 2VS BCS SA SD SB SC SD SB x x2 −1 + 33 (vì x > ) + = ⇔ 2x2 + x − = ⇔x= 4 Cho hình đa diện hình vẽ S D B C A     ASB = BSC = CSD = DSA = BSD = 60° Thể tích Biết SA = , SB = , SC = , SD =  khối đa diện S ABCD A 10 B C D 30 Hướng dẫn giải Chọn C =′ SB =′ SC =′ SD = Ta có Trên SA , SB , SC lấy điểm A′ , B′ , C ′ cho SA ′B′ B= ′C ′ C= ′D DA A= =′ Khi hình chóp S A′B′D hình chóp S CB′D hình chóp tam giác có tất cạnh 23 2 VS= V = = S C ′B′D A′B′D 12 V 2 9 SA SB SD Mặt khác S ABD = , nên VS ABD = = VS A′B′D = = 3.= 2 VS A′B′D SA′ SB′ SD VS CBD 2 SC SB SD 3.= 2 = 2.= , nên VS CBD = 3V= = S C ′B′D VS C ′B′D SC ′ SB′ SD Thể tích khối đa diện S ABCD = V VS ABD + VS CBD = + 2 = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 24 Website: tailieumontoan.com S A' C' B' D C B Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SA = a Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB , SD , SC B′ , D′ , C ′ Thể tích khối chóp S AB′C ′D′ là: A V = 2a 3 B V = 2a 3 Chọn D C V = Lời giải 2a D V = a3 S C' D' B' D A O B C a3 Ta có: VS ABCD = a a = 3 Ta có AD′ ⊥ ( SDC ) ⇒ AD′ ⊥ SD ; AB′ ⊥ ( SBC ) ⇒ AB′ ⊥ SB Do SC ⊥ ( AB′D′ ) ⇒ SC ⊥ AC ′ Tam giác S AC vuông cân A nên C ′ trung điểm SC SB′ SA2 2a 2 Trong tam giác vuông S AB′ ta có = = = SB SB 3a VS AB′C ′D′ VS AB′C ′ + VS AC ′D′  SB′ SC ′ SD′ SC ′  SB′ SC ′ 1 = = = = +  = VS ABCD VS ABCD  SB SC SD SC  SB SC 3 Vậy VS AB′C ′D′ = a3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 25 Website: tailieumontoan.com Câu Cho khối tứ diện ABCD tích 2017 Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , ABD , ACD , BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ A 2017 27 B 4034 81 C Lời giải 8068 27 D 2017 Chọn A VAEFG S EFG 1 VABCD ⇒ VAEFG = = = VABCD S BCD VAMNP SM SN SP 8 VABCD= ⇒ VAMNP= VAEFG= VABCD = = 27 27 27 VAEFG SE SE SG 27 VQMNP 1 =⇔ VQMNP = VAMNP Do mặt phẳng ( MNP ) // ( BCD ) nên VAMNP 2 2017 VQMNP = VABCD = VABCD = 27 27 27 Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = 2a Gọi B′; D′ hình chiếu vng góc A cạnh SB, SD Mặt phẳng ( AB′D′) A 16a 45 cắt cạnh SC C ′ Tính thể tích khối chóp S AB′C ′D′ B a3 2a C Lời giải Chọn A D a3 S C' B' I D' B A O D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C Trang 26 Website: tailieumontoan.com Ta có VS AB′C ′D′ = 2VS AB′C ′ (1) mà VSAB′C ′ SB′ SC ′ = ( *) VSABC SB SC ( ∆SAC vuông A nên SC =SA2 + AC =( 2a ) + a 2 ) =6a suy SC = a Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB′ SB ⊥ AB′ suy AB′ ⊥ ( SBC ) nên AB′ ⊥ BC Tương tự AD′ ⊥ SC Từ suy SC ⊥ ( AB′D′ ) ≡ ( AB′C ′D′ ) nên SC ⊥ AC ′ SC ′.SC = SA2 Mà suy SC ′ SA2 4a 2 = = = SC SC 6a SB′ SA2 SA2 4a = = = = 2 2 SB SB SA + AB 4a + a V Từ (*) ⇒ SAB′C′ = suy VSABC 15 VSAB′C ′ = Ta có 8 VSABC VSABCD VSABCD = = 15 15 30 mà 2a S ABCD SA = 3 2a 8a Suy ra= VSAB′C ′ = 30 45 VSABCD = Từ (1) suy V= 2= VS AB′C ′ S AB′C ′D ′ 16a 45 Câu 11 Một hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy góc α Thể tích khối chóp có đáy đáy lăng trụ đỉnh điểm đáy cịn lại A a b cos α B a b sin α Chọn D C Lời giải a b cos α 12 A' D a b sin α 12 C' S B' A C H' H B Gọi H hình chiếu A′ ( ABC ) Khi α =  A′AH ′A.sin α b sin α nên thể tích khối lăng trụ Ta= có A′H A= a 2b sin α ′H S ∆ABC = VABC A′B′C ′ A= Lại có chiều cao chóp theo yêu cầu đề chiều cao lăng trụ A′H nên a 2b sin α thể tích khối chóp= VS ABC = VABC A′B′C ′ 12 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 27 Website: tailieumontoan.com Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích 48 Trên cạnh SA , SB , SA′ SC ′ SB′ SD′ = = SC , SD lấy điểm A′ , B′ , C ′ D′ cho = = SA SC SB SD Tính thể tích V khối đa diện lồi SA′B′C ′D′ A V = B V = C V = D V = Lời giải Chọn B S C' A' D' D B' A C B VS D′A′B′ + VS D′C ′B′ Ta= có V VSA= ′B′C ′D′ 3 3 VS D′A′B′ = VS DAB = VS ABCD = 48 = 4 32 16 Tương tự: VS D′C ′B′ = Vậy V = Câu 13 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng: A B Chọn A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C Lời giải D Trang 28 Website: tailieumontoan.com S N E H D C M F O A B Giả sử điểm hình vẽ E =SD ∩ MN ⇒ E trọng tâm tam giác SCM , DF // BC ⇒ F trung điểm BM ( )  = 60° ⇒ SO= a , SF = SO + OF = a Ta có: SD , ( ABCD ) = SDO 2 a a ⇒ d ( O, ( SAD ) ) = OH = h= ; S SAD = SF AD = VMEFD ME MF MD = ⋅ ⋅ = VMNBC MN MB MC 5 1 5a VMNBC = ⋅ ⋅ d ( M , ( SAD ) ) ⋅ S SBC = ⋅ 4h ⋅ S SAD = 6 18 72 3 7a a VS ABCD = SO.S ABCD = ⇒ VSABFEN = VS ABCD − VBFDCNE = ⋅ 36 V Suy ra: SABFEN = ⋅ VBFDCNE ⇒ VBFDCNE = Câu 14 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng với C qua D ; N trung điểm SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A B C Lời giải Chọn B D S N 60° A B K I a O H M Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D a C Trang 29 Website: tailieumontoan.com  V1  VSABIKN V Đặt    ?   V  VNBCDIK V2   * VS ABCD  a 6 a  a 1 SO 1a 6 a NH S BMC  S BMC  a.2a  3 12 MK * Nhận thấy K trọng tâm tam giác SMC   MN V MD MI MK 1   * M DIK  VM CBN MC MB MN 2 * VN BMC  5 6  V2  VM CBN VM DIK  VM CBN  a  a 6 12 72  V1  VS ABCD a V1 6 7 72 V2  a  a  a    V2 72 72 5 a 72 Câu 15 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích bầng V Lấy điểm A′ cạnh SA cho SA′ = SA Mặt phẳng qua A′ song song với mặt đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC , SD B′, C ′, D′ Khi thể tích chóp S A′B′C ′D′ bằng: A V B V 27 Chọn B C Lời giải V Vì ( A′B′C ′D′ ) / / ( ABCD ) ⇒ A′B′ / / AB, B′C ′ / / BC , C ′D′ / / CD SA ' SB′ SC ′ SD′ Mà = ⇒ = = = SA SB SC SD Gọi V1 , V2 VS ABC , VS ACD D V 81 V Ta có V1 + V2 = VS A′B′C ′ SA′ SB′ SC ′ V1 = =⇔ VS A′B′C ′ = 27 VS ABC SA SB SC 27 VS A′D′C ′ SA′ SC ′ SD′ V2 = =⇔ VS A′C ′D′ = VS ACD SA SC SD 27 27 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 30 Website: tailieumontoan.com Vậy VS A′B′C ′D′ = VS A ' B 'C ' + VS A 'C'D' = Vậy VS A ' BC ' D ' = V1 + V2 V = 27 27 V 27 Câu 16 Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác SAB , SBC , SCD , SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ V , thể tích khối chóp S ABCD là: A 81V B 9 C   V 2 Lời giải 27V Chọn B D 9V S N M P Q C K B F H I O E D Ta có A J d ( S , ( MNPQ ) ) SM = = SI d ( S , ( ABCD ) ) S ∆DEJ 1 1 ⇒ S ∆DEJ = S = = 16 S ∆BDA 1 = ⇒ S ∆JAI = Mặt khác gọi S = S ABCD ta có Tương tự ta có S ∆JAI S ∆DAB    Suy S HKIJ = S 1 −  16 +   S =    S MNPQ  2 Mà = = ⇒ S MNPQ = S ABCD  S HKIJ   9 27 Suy VS ABCD d ( S , ( MNPQ ) ) S = = d ( S , ( ABCD ) ) S = V 3 2 Câu 17 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , M trung điểm SC Mặt phẳng ( P ) qua AM song song với BD cắt SB , SD N , K Tính tỉ số thể tích khối S ANMK khối chóp S ABCD A B Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C D Lời giải Trang 31 Website: tailieumontoan.com E SH ∩ AM ⇒ E trọng tâm ∆SAC Gọi H tâm hình vng ABCD , = V SE SK SN SA.SK SM 1 Ta có S AKM = ⇒ = = = = = ⇒ VS AKM = VS ABCD SH SD SB VS ADC SA.SD.SC 3 V 1 Tương tự S ANM = ⇒ VS ANM = VS ABCD VS ABC 1 VS ANM += VS AKM Từ VS= VS ABCD + VS ABCD = VS ABCD ANMK 6 Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ A B V1 ? V C Lời giải D Chọn A S P N I M D C O A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 B Trang 32 Website: tailieumontoan.com SM SN = x, = y , < x , y ≤ SB SD x 1 SA SC SB SD Vì nên + = + ⇒ y = + = + SA SP SM SN x y 3x − V V V SA SN SP SA SM SP 1 1 Khi = S ANP + S AMP = + = y + x V 2VS ADC 2VS ABC SA SD SC SA SB SC 2 2 Đặt x  1 ( x + y ) =  x +  4 3x −  Vì x > , y > nên < x < x  1  Xét hàm số f = ( x )  x +   ;1 4 3x −  3   1 Ta có f ′ (= x) 1 −  ; f ′( x) = ⇔ x =  ( x − 1)  = Bảng biến thiên x y′ 3 – + || y Vậy giá trị nhỏ V1 V Câu 19 Cho tứ diện S ABC Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ∆SAB, ∆SBC , ∆SCA Tính A 48 VS G1G2G3 VS ABC B 27 C Lời giải Chọn B 36 D 81 S G3 G2 G1 A C P M N B Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , BC , CA Ta có Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 33 Website: tailieumontoan.com VSG1G2G3 VSMNP 2 8 = ⇒ VSG1G2G3 = VSMNP = = VSABC = 3 9 27 Câu 20 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh A′B′ BC Mặt phẳng ( DMN ) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số A 55 89 B 37 48 V1 V2 C D S M A' M A' E B' B' K D' D' C' C' A A B B N N D C H D C Lời giải Chọn A H AB ∩ DN ; MH cắt B ' B K , cắt A ' A S ; SD cắt A ' D ' E Gọi = Thiết diện tương ứng ngũ giác DNKME Phần đa diện chứa A tích là: V1 =VS ADH − VS A ' EM − VK BNH Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BA = BH ; AH = A ' M ; AD = A ' E = SA ' B= 'K A' A = ; KB 3 1 1 Ta có: VS ADH =SA AD AH =1 +  1.2 = 6 3 1 1 ;= = VS A ' EM = VS ADH VK BNH = VS ADH 64 144 18 1 55 Vậy phần đa diện chứa A tích là: − − = 144 18 144 55 89 Suy phần đa diện khơng chứa A tích là: 13 − = 144 144 Đặt độ dài cạnh hình lập phương thì: = SA ' Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 34 ... 49: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ( thể tích khối đa diện cắt từ khối khác) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Thể tích khối đa diện - Thể tích khối chóp : V = S d h - Thể tích khối lăng trụ : V = S d h - Thể tích khối. .. tính thể tích khối đa diện HƯỚNG GIẢI: B1:Tính thể tích khối B.EMN theo thể tích khối hộp với E trung điểm cạnh BB  B2:Hoàn toàn tương tự, tính thể tích khối nhỏ VC NFP ;VD.GPQ ;VA.MHQ B3: Thể. .. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ ♦ Khối đa diện cắt từ khối chóp ♦ Khối chóp cụt ♦ Khối hình hộp khác ♦ Khối lăng trụ khác ♦ Khối da diện cắt từ khối lăng trụ ♦… BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)