Chuyên đề tiệm của của hàm số luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 47: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (CHƯA CÓ PHẦN KIẾN THỨC CẦN NHỚ) BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Xét số thục dương a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b > x y a= b= ab Giá trị nhỏ biều thức P= x + y thuộc tập hợp đây?  5 B  2;   2 A (1; 2) 5  D  ;3  2  C [3; 4) Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN:Đây dạng tốn tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số HƯỚNG GIẢI: B1:Tính giới hạn hàm số +∞ −∞ B2:Kết giới hạn , suy tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B D  \ {−1} Tập xác định=  2 x 1 −  1− x−2  x  lim x 1⇒ y= Ta có lim = = lim = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →±∞  x →±∞ x →±∞ x + 1 1 1+ x 1 +  x  x Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho x, y số thực lớn cho y x ( e x ) = x y ( e y ) Tìm giá trị nhỏ biểu ey ex − x2 + y thức: P = A B C D Lời giải Chọn C Cách Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang1 Website: tailieumontoan.com e e e e Ta có: y x ( e x ) = x y ( e y ) ⇔ ln  y x ( e x )  = ln  x y ( e y )      x y y e x + ln x có (*) (vì = ⇔ x ln y + xe y = y ln x + ye x ⇔ = x y ln x + e ln y + e y ' = e x + > 0; ∀x > nên y ≥ y (1) = e > 0) x y Xét hàm số: f ( t ) = x y x t ln t + et − − tet 1; +∞ ta có Với hàm số f ' t = ( ) ( ) ln t + et ( ln t + et ) g ( t )= ln t + et − − tet có g ' ( t ) = ( ln t + et − − tet ) ' = − tet < 0, ∀t > t Nên g ( t ) < g (1) =−1 ⇒ f ' ( t ) < 0; ∀t > ⇒y= f ( t ) hàm nghịch biến (1; +∞ ) nên với (*) f ( x ) = f ( y ) ⇒ y = x > − x2 + y = − x + x ≤ 4, ∀x > Khi P = Dấu “=” xảy khi: x = Vậy: Pmin = khi: x= y= Câu ( ) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn log x + log 20 y ≥ + log x + 16 y Giá trị nhỏ = P log x − log 2 y A B D C Lời giải Chọn C Theo ta có log x + log 20 y ≥ + log ( x + 16 y ) ⇔ log x + + log y ≥ + log ( x + 16 y ) ⇔ log xy ≥ log ( x + 16 y ) ⇔ xy ≥ x + 16 y ⇔ x ( y − 1) ≥ 16 y ≥ ⇒ y − ≥ ⇒ x ≥ 16 y y −1 cauchy x y2 2 ≥ = 4y + + = 4y − + +4 ≥ 2 y y −1 y −1 y −1 x ⇒= P log x − log 2= y log ≥ log 2= 2y ⇒ ( y − 2) + 4= y −1 Dấu đẳng thức xảy y − = ⇔ y = 1, x = 16 Câu ( ) Cho x, y hai số dương thỏa mãn ln ( x + 1) + ln y ≥ ln x + x + y + Giá trị nhỏ x + y là: A + B 2 C D + Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang2 Website: tailieumontoan.com Chọn A Theo ta có ln ( x + 1) y ≥ ln ( x + 1) + y    ln ( x + 1) y ≥ ln ( x + 1) + y    ⇔ ( x + 1) y ≥ ( x + 1) + y ⇔ xy ≥ ( x + 1) ( x + 1) ⇔ y≥ 2 x Do ( x + 1) x+ y = x+ x = 2x + cauchy 1 + ≥ x + = + x x  2 x = x  Dấu đẳng thức xảy  x > ⇔= x   y = ( x + 1)  x Câu = ;y 2 2 Cho hai số thực dương a; b thỏa mãn a + b > log a +b2 (2a + 4b) ≥ Giá trị lớn biểu thức P = a + b − A 10 B 10 C 10 D 10 Lời giải Chọn A Do a + b > nên từ log a2 +b2 (2a + 4b) ≥ ⇒ 2a + 4b ≥ a + b > a + b > Suy ra:  2 ( a − 1) + ( b − ) ≤ Khi P = a + b − = 1( a − 1) + 1( b − ) ≤ (1 2 + 12 ) ( a − 1) + ( b − )  ≤ 2.5 = 10   (Áp dụng BĐT Bu-nhi-a- Cốp -xki)  a −1 b −   = 10 a= 1+   2  Đẳng thức xảy ( a − 1) + ( b − ) =5 ⇔   b= + 10 a + b >    Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang3 Website: tailieumontoan.com Vậy Pmax Câu  10 a = +  = 10  b= + 10  Cho m = log a A P log a b + 16 log b a Tính giá trị nhỏ P ab với a > 1, b > = B C D Lời giải Chọn A 1 log a ab = + log a b ⇒ log a b = 3m − Ta có m = 3 Lại có P = log a b + 16 log b a = ( 3m − 1) + 16 3m − 16 Đặt t = 3m − 1( t ≠ ) khảo sát hàm P= t + thấy P = 12 t Dấu xảy t =2 ⇒ m =1 Câu x y Cho số thực a, b > số dương x, y thay đổi thỏa mãn a= b= ab Giá trị lớn P biểu thức = A 40 16 − y x B 16 C D Lời giải Chọn C  log t a = x  x = log a t  1   x y Đặt a =b =ab =t ⇔  y =log b t ⇔ log t b = ⇔ + =1 y x y ab = t   log t ab =   Khi ta có P = Có: 16 −  1 16 16 − y =16 1 −  − y =16 − − y x y  y 8  cauchy 16 8 − y = 16 −  + + y  ≤ 16 − 3 y = 16 − 3.4 = y y y y y  y 2,= x Vậy Pmax = đạt khi= x 2,= y Dấu xảy khi= Câu ( ) Cho x, y số thực dương, thỏa mãn log x + log y ≤ log x + y Tìm giá trị nhỏ 2 Pmin biểu thức = P 4x + y A Pmin= 27 + 12 B Pmin= 27 + C Pmin = 12 D Pmin= 12 + Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang4 Website: tailieumontoan.com Lời giải: Chọn A ( ) log x + log y ≤ log 3x + y ⇔ xy ≥ x + y ⇔ x( y − 3) ≥ y Từ đây, x, y số thực 2 dương nên ta suy y > x ≥ y2 = y +3+ y −3 y −3   36 Do đó, P ≥  y + + + 27 ≥ 12 + 27  + y= 5( y − 3) + y −3 y −3  27 Dấu xảy y = 3+ ,x = 6+ 10 Câu 4x + Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ x + y += x − y −1 Tìm giá trị nhỏ 2y = x2 + y biểu thức P A − B −1 C −1 D + Lời giải Chọn B Ta có: x + y +1 = x + x − y −1 ⇔ x + y +1 + x + y + = 22 x + y + x + y (*) 2y ′ ( t ) 2t.ln + > ∀ t ∈  ⇒ g ( t ) đồng biến  Xét hàm g ( t= ) 2t + t , ta có: g= Khi phương trình (*) ⇔ x + y = x + y + ⇔ y = x − Chú ý: Bài giải GV chưa hoàn tất y = b= a b Biết giá trị nhỏ Câu Xét số thực dương a , b , x , y thỏa mãn a > , b > a 2x biểu thức P = xy + 3x + 2y có dạng m + n 14 (với m, n số tự nhiên), tính S= m + n A 48 B 34 C 30 D 38 Lời giải Chọn D ( ) 2x = log a a b a 2x = a b 2x= + log a b   ⇔ Theo ta có: a = b= a b ⇔  y ⇔ 4 4   y= + log b a  y = log b a b b = a b 2x y 4 ( ) x (1 + log a b ) = ⇔ y (1 + log b a ) = Do đó: P = xy + 3x + 2y = (1 + log a b )(1 + log b a ) + (1 + log a b ) + (1 + log b a ) = 16 + 8log b a + 8log a b + + log a b + + 8log b a = 30 + 14 log a b + 16 log b a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang5 Website: tailieumontoan.com Đặt t = log a b Vì a , b > nên log a b > log a = Khi P =30 + 14t + 16 16 ≥ 30 + 14t = 30 + 14 t t 16 14 Vậy P đạt giá trị nhỏ 30 + 14 14t = hay b = a ⇒ t= t 14 m = 30 Ta có:  ⇒ S = m + n = 38 n = Câu 10 Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức: ( xy − 1) xy −1 = (x + y + 1) x +y Tìm giá trị nhỏ ymin y B ymin = A ymin = C ymin = D ymin = Lời giải Chọn D Do x , y số thực dương đẳng thức ( xy − 1) xy −1 = (x + y + 1) x +y Khi ta có log ( xy − 1) + ( xy= − 1) log ( x + y + 1) + ( x + y + 1) Suy xy − > (1) Xét hàm số = f ( t ) log t + t Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) Nên từ (1) ta f ( xy −= 1) f ( x + y + 1) ⇔ xy − = x + y ⇔ y ( x − 1) = x + Do y > , x + > nên x − > ⇔ x > Xét hàm số g ( x) = x2 + Suy y = 2x −1 x2 +  ; +∞  2x −1 2  Bảng biến thiên g ( x) Dựa vào bảng biến thiên suy ymin = x =  Mức độ Câu Cho hai số thức a, b thỏa mãn 16.2a + 2b = = P (1 − 2ab ) Tính giá trị lớn biểu thức a + 2b ab + ab Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang6 Website: tailieumontoan.com A B C D Lời giải Chọn C Từ giải thiết suy − 2ab > Theo ra: a + 2b = 16ab.2 (1 − 2ab ) (1 − 2ab ) ⇔ a a + 2b ( a + = 2b ) a + 2b 16ab ⇔ 2a + 2b ( a + 2= b) (1 − 2ab ) ⇔ 2a + 2b ( a + 2= b ) 22− ab ( − 4ab ) 24 ab = Xét hàm số f (t ) = t.2t với t ∈ D (1) ( 0; +∞ ) Do hàm số liên tục D có f ' (t )= 2t + t.2t.ln t > 0, ∀t ∈ D suy hàm số đồng biến D Khi (1) ⇔ a + 2b = − 4ab ⇔ a (1 + 4b ) = − 2b suy − 2b > ⇔ b < 1 1  b +1− b  ab + ab 2= ab(1 + 4b)= b(2 − 2b)= b (1 − b ) ≤  = 4 2  Ta có P=  a=   Vậy max P = xảy  b =  Câu Cho ≤ x, y ≤ thỏa mãn 2019 nhỏ biểu thức S= A − 245 ( 2x B 2− x − y x + 2020 = Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị y − y + 2024 − y )( y − x ) − 15 xy Khi M m bao nhiêu? 245 D − C 147 89 Lời giải Chọn B 2− x − y Ta có 2019= 20192− y x + 2020 ⇔ = 2019 x y − y + 2024 x + 2020 ( y − 2) ⇔ 2019 x ( x += 2020 ) 20192− y ( y − ) + 2020    + 2020 (1) Xét hàm = số f ( t ) 2019t ( t + 2020 ) khoảng [ 0; 2] , có = f ′ ( t ) 2019t ln 2019 ( t + 2020 ) + 2t.2019 > 0; ∀t ∈ [ 0; 2] Suy f ( t ) hàm đồng biến [ 0; 2] Từ (1) suy f ( x= ) f ( − y ) ⇒ x + y= Do = x + y ≥ xy ⇔ xy ≤ ⇒ ≤ xy ≤ Lại có S= ( x − y )( y − x ) − 15 xy= x y − ( x + y ) − 14 xy Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang7 Website: tailieumontoan.com = x y − ( x + y ) − xy ( x + y )  − 14 xy   2 = x y − ( − xy ) − 14 xy = x y − xy − 16 t xy ∈ [ 0;1] S = f ( t ) = 4t − 2t − 16 Đặt =  49 1 m = f ( t ) = f   = −  [0;1] 4 Xét hàm số f ( t ) = 4t − 2t − 16 [ 0;1] ta   M = max f ( t ) = f (1) = −10 [0;1]  49 245 Suy M m = − ( −10 ) = 4 Câu ( Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 6.3 y + y + = x + log x + y x 2y ln A e ) Giá trị nhỏ biểu thức P= B e − ln C e.ln D e ln Lời giải Chọn D Đặt t =log ( x + y ) ⇔ 3t =x + y ⇔ x =3t +1 − y +1 Khi phương trình 6.3 y + y + = x + log ( x + y ) trở thành: 2.3 y +1 + y + 1= 3t +1 − y +1 + t ⇔ 3.3 y +1 + y + 1= 3t +1 + t ⇔ y + + y + 1= 3t +1 + t (1) x ) 3x +1 + x khoảng ( 0; +∞ ) Xét hàm số: f (= f ′ ( x ) 3x +1.ln + > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) suy hàm số ln đồng biến Ta có: = Do (1) suy f ( y + 1) = f ( t ) ⇔ y + =t ⇔ y + =log ( x + y ) ⇔ y +1 − y = x ⇔ x =2.3 y P Khi = x 3y y y ln − y = = g ( y ) có ⇒ g ′ ( y ) = =0 ⇔ y = 2y y ln y   Lập bảng biến thiên hàm số khoảng ( 0; +∞ ) suy ra= P g=   e ln ( 0;+∞ )  ln  Câu Trong nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2 + y ( x + y ) ≥ Giá trị lớn biểu thức T= x + y bằng: A B C D Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang8 Website: tailieumontoan.com  2 x + y > (I )  2  x + y ≥ x + y Bất PT ⇔ log x2 + y ( x + y ) ≥ ⇔  2  x y < + <  ( II )  0 < x + y ≤ x + y Xét T= x + y TH1: ( x; y ) thỏa mãn (II) < T = x + y ≤ x + y < Không tồn maxT 1  TH2: ( x; y ) thỏa mãn (I) x + y ≤ x + y ⇔  x −  + ( y − 1) ≤ 4  2 Khi = x + 2y   1 1 2  1 2  x −  + ( y − 1) + ≤  +    x −  + ( y − 1)  + 4 4  2     9 9 ⋅ + = ≤ 1  Suy ra: max T =⇔ ( x; y ) =  ;2 2  Câu Giá trị lớn biểu thức Cho số thực x ; y thỏa mãn x + xy + 12 y = = P log ( x − y ) 2 A max P = 3log 2 B max P = log 12 C max P = 12 D max P = 16 Lời giải Chọn B suy ra: Điều kiện x ≠ y Từ x + xy + 12 y = Nếu y = x =4 ⇒ P =2 Nếu y ≠ ta có: P= log ( x − y ) ⇔ ( x − y ) = 4.2 P 2  x  − 1 4 P ( x − y ) 4.2  2y  = ⇒ = 2 x + xy + 12 y  x  x  2y  + 2y +   4t − 8t + x P Đặt ⇔ P ( t + 2t + 3) = 4t − 8t + = t ,t ∈  , = t + 2t + 2y ⇔ ( P − ) t + ( P + ) t + 3.2 P − = Xét với ( P ≠ ) Để phương trình có nghiệm: ∆′ ≥ ⇔ ( P + ) − ( P − )( 3.2 P − ) ≥ ⇔ −2 ( P ) + 24.2 P ≥ ⇔ ≤ P ≤ 12 ⇒ P ≤ log 12 Vậy max P = log 12 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang9 Website: tailieumontoan.com Câu t = −2   x = −4 y x   Dấu đẳng thức= xảy t ⇒ y =  2y   x + xy + 12 y =    x+ y+z Cho số thực x, y, z thỏa mãn log16  = x ( x − 2) + y ( y − 2) + z ( z − 2) 2  2x + y + 2z +1  x+ y−z bằng? Tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức F = x+ y+z A − B C − D Lời giải Chọn B Ta có:   x+ y+z log16  = x ( x − 2) + y ( y − 2) + z ( z − 2) 2  2x + y + 2z +1  ⇔ log16 ( x + y + z ) + ( x += y + z ) log16 ( x + y + z + 1) + ( x + y + z ) ⇔ log16 ( x + y + z ) + ( x = + y + z ) log16 ( x + y + z + 1) + ( x + y + z ) ⇔ log ( x + y + z ) + ( x + y += z ) + log ( x + y + z + 1) + ( x + y + z ) + ⇔ log 4 ( x + y + z ) + ( x + = y + z ) log ( x + y + z + 1) + ( x + y + z + 1) Xét hàm số: f ( t )= log t + t ( t > ) Hàm số đồng biến tập xác định Suy ra: f ( ( x + y + = z ) ) f ( x + y + z + 1) ⇒ ( x + y + z )= x + y + z + ⇔ x2 + y + z − x − y − z + = (S )  I (1;1;1)  Ta có mặt cầu: ( S ) :  10 R =  Ta có: = F x+ y−z ⇔ ( F − 1) x + ( F − 1) y + ( F += 1) z ( P ) x+ y+z Để mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) có điểm chung: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Trang10 Website: tailieumontoan.com d  I ; ( P )  ≤ R ⇔ F −1+ F −1+ F +1 ( F − 1) + ( F + 1) ≤ 10 ⇔ 3F − F − 13 ≤ ⇔ − 10 + 10 ≤F≤ 3 Tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức F = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 x+ y−z x+ y+z Trang11 ... hướng dẫn giải DẠNG TỐN:Đây dạng tốn tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số HƯỚNG GIẢI: B1:Tính giới hạn hàm số +∞ −∞ B2:Kết giới hạn , suy tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:...Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 47: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (CHƯA CÓ PHẦN KIẾN THỨC CẦN NHỚ) BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Xét số thục dương a, b, x, y thỏa mãn a > 1,... > (1) Xét hàm số = f ( t ) log t + t Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) Nên từ (1) ta f ( xy −= 1) f ( x + y + 1) ⇔ xy − = x + y ⇔ y ( x − 1) = x + Do y > , x + > nên x − > ⇔ x > Xét hàm số g ( x)