Chuyên đề Ôn vào 10 Chuyên HSG Toán 9 (24 chuyên đề)

Chương CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ Căn bậc hai số học  Căn bậc hai số học số thực a không âm số không âm x mà  Với Phép tốn tìm bậc hai số học số gọi phép khai phương Với hai số a, b khơng âm, ta có: Căn thức bậc hai  Cho A biểu thức đại số, người ta gọi thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu  xác định (hay có nghĩa)  Hằng đẳng thức Chú ý  Với thì:   B Một số ví dụ Ví dụ 1: So sánh cặp số sau mà khơng dùng máy tính a) 3; b) ; c) ; d) Giải Tìm cách giải Khi so sánh hai số khơng dùng số máy tính, ta có thể:  So sánh a b  So sánh  Sử dụng kĩ thuật làm trội Trình bày lời giải a) Ta có nên b) Xét nên c) , suy d) Ta có Ví dụ 2: Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa: a) ; b) ; c) Giải Tìm cách giải Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý:  có nghĩa  có nghĩa Trình bày lời giải a) có nghĩa b) có nghĩa c) có nghĩa Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: a) ; b) với Giải Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng: lưu ý: Trình bày lời giải a) Ta có b) với Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) ; b) ; c) Giải a) Ta có: Vậy giá trị nhỏ biểu thức A b) Ta có: Vậy giá trị nhỏ biểu thức B c) Ta có: Vậy giá trị nhỏ C 2015 Khi Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) ; b) Giải Tìm cách giải Thống nhìn biểu thức ta bỏ đưa biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Để tìm giá trị nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng:   Dấu xảy Trình bày lời giải a) Ta có: Vậy giá trị nhỏ A hay b) Ta có: Vậy giá trị nhỏ B 1943 tức Ví dụ 6: Cho số hữu tỉ thỏa mãn Chứng minh biểu thức số hữu tỉ Giải  Ta có:  Tương tự, ta có: Từ (1) ,(2), (3) suy Vì a, b số hữu tỉ nên số hữu tỉ Vậy A số hữu tỉ Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa số hữu tỉ có kết số hữu tỉ Ví dụ 7: Cho số thực thỏa mãn Chứng minh rằng: Giải Tìm cách giải Quan sát phần kết luận giả thiết Định hướng chung nghĩ tới biến đổi phần thức phần kết luận thành dạng bình phương Với suy nghĩ ấy, khai thác phần giả thiết Chúng ta có hai hướng suy luận: Hướng thứ Dùng thừa số để cân bậc Hướng thứ hai Từ giả thiết suy ra: , dùng phương pháp thế, để thức cịn biến Trình bày lời giải Cách Thay vào (1) ta có: Vế trái: Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh Cách Từ giả thiết suy ra: thay vào (1) ta được: (do ) Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh Ví dụ 8: Tính tổng: (Thi Olympic Tốn học, Hy Lạp – năm 2007) Giải Ta có với Suy Thay n từ đến 1003 vào đẳng thức (*) ta được: C Bài tập vận dụng 1.1 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: a) ; b) ; c) ; d) ; e) Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện để A có nghĩa b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa dấu Trường hợp Trường hợp Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa c) Điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: Vậy điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: d) Điều kiện để biểu thức D có nghĩa là: Vậy với biểu thức D có nghĩa e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là: khơng tồn x để biểu thức E có nghĩa 1.2 a) Cho khác thỏa mãn Chứng minh rằng: b) Tính giá trị biểu thức: Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét: Mà b) Áp dụng câu a, ta có: nên: Suy ra: Thay k 2,3,…, 199, ta được: 1.3 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn (thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng công thức ta có: thỏa mãn đẳng thức: 1.4 Tìm số Ta có: Hướng dẫn giải – đáp số Mà ; Nên đẳng thức (*) xảy 1.5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: Đẳng thức xảy khi: Vậy giá trị nhỏ P 1.6 Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng: T Hướng dẫn giải – đáp số Mà Ta có: Tương tự, ta có: Từ (1), (2) (3) thay vào vế trái (*), ta có: 1.7 Cho Tính giá trị biểu thức: Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: ... 2,3,…, 199 , ta được: 1.3 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn (thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng công... Suy ra: 1.18 Cho thỏa mãn Tính giá trị biểu thức (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2015 – 2016) Hướng dẫn giải – đáp số Từ... lời giải Từ đề ta có điều kiện: - Trường hợp 1: Xét - Trường hợp 2: Xét x y khác Ta có: Vì Ví dụ 8: Cho Tính giá trị biểu thức (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Tỉnh Quảng