Hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4,5 ngày nữa thì hoàn thành công việc.. x y x y y Đáp số: Bài II 2,[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 5:GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A) TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bước 1: Lập phương trình hệ ohương trình: a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng đã biết c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ các đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời Chú ý:Tuỳ bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc ẩn, hệ phương trình hay ph trình bậc hai Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và kiến thức thực tế B) CÁC DẠNG TOÁN ( Minh họa, luyện tập) Dạng 1: Toán quan hệ các số Những kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a b ( víi 0<a 9; b 9;a, b N) + Biểu diễn số có ba chữ số : abc 100a 10b c ( víi 0<a 9; b,c 9;a, b, c N) + Tổng hai số x; y là: x + y + Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2 1 x y + Tổng nghịch đảo hai số x, y là: + Bình phương tổng hai số x, y là: (x + y)2 Ví dụ 1: Mộu số phân số lớn tử số nó là đơn vị Nếu tăng tử và mẫu nó thêm đơn vị thì phân số phân số đã cho Tìm phân số đó? Giải: Gọi tử số phân số đó là x (đk: x 3 ) Mẫu số phân số đó là x + Nếu tăng tử và mẫu thêm đơn vị thì Tử số là x + 1; Mẫu số là x + + = x + 2(x 1) x x 2( T.m.dk cña bµi to¸n) x 1 Vậy phân số ban đầu đã cho là Được phân số ta có phương trình x Ví dụ 2: Tổng các chữ số số có hai chữ số là Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó? Giải : Gọi chữ số hàng chục là x ( (0 < x 9, x N) ; Chữ số hàng đơn vị là y (0<y 9, y N) Vì tổng chữ số là ta có x + y = (1), Số đó là xy 10x y ,Số viết ngược lại là yx 10y x Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì số viết theo thứ tự ngược lại ta có xy 63 yx 10x y 63 10y x 9x 9y 63(2) x y 9 x y 9 2x 2 x 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) x y 9 y 8 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 9x 9y 63 x y 7 Vậy số phải tìm là 18 Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương nó là 85 Giải Gọi số bé là x ( x N ) Số tự nhiên kề sau là x + Vì tổng các bình phương nó là 85 nên ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85 x x 2x 85 2x 2x 84 0 x x 42 0 b 4ac 12 4.1.( 42) 169 169 13 13 x1 6(tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) 13 x2 7(lo¹i) Phương trình có hai nghiệm Vậy hai số phải tìm là và (2) Bài tập: Bài 1: Đem số nhân với trừ thì 50 Hỏi số đó là bao nhiêu? Bài 2: Tổng hai số 51 Tìm hai số đó biết số thứ thì số thứ hai Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số nó là Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho thì số đó giảm 45 đơn vị Bài 4: Tìm hai số kém đơn vị và tích chúng 150 Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số đó lập phương số tạo chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghìn số đã cho theo thứ tự đó ĐÁP SỐ:Bài 1: Số đó là 19; Bài 2: Hai số đó là 15 và 36 Bài 3: Số đó là 61 Bài 4: Hai số đó là 10 và 15 -10 và -15; Bài 5: Số đó là 32 Dạng 2: Toán chuyển động Những kiến thức cần nhớ: s s v ;t t v Nếu gọi quảng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:S = v.t; Gọi vận tốc thực ca nô là v1 vận tốc dòng nước là v2 tì vận tốc ca nô xuôi dòng nước là : v = v1 + v2 Vân tốc ca nô ngược dòng là v = v1 - v2 Ví dụ1: Xe máy thứ trên quãng đường từ Hà Nội Thái Bình hết 20 phút Xe máy thứ hai hết 40 phút Mỗi xe máy thứ nhanh xe máy thứ hai km Tính vận tốc xe máy và quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình? Giải: Gọi vận tốc x thứ là x (km/h), đk: x>3; Vận tốc xe tứ hai là x - (km/h) 10 10 x(km) Trong 20 phút (= giờ) xe máy thứ 11 11 (x 3)(km) Trong 40 phút (= giờ) xe máy thứ 10 11 x (x 3) x 33 Đó là quãng đường tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phương trình (t.m đkiện bài toán) Vậy vận tốc xe máy thứ là 33 km/h Vận tốc xe máy thứ hai là 30 km/h Quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km Ví dụ 2: Đoạn đường AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A và ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp D cách A là 60 km Tính vận tốc ô tô và xe máy ? Giải Gọi vận tốc ô tô là x (km/h), đk: x > Gọi vận tốc xe máylà y(km/h), đk: y > 80 100 Thời gian xe máy để gặp ô tô là y (giờ) Quãng đường ô tô là 100 km nên thời gian ô tô là y (giờ) 100 80 x y (1) ta có phương trình 60 Quãng đường xe máy là 60 km nên thời gian xe máy là y (giờ) 120 Quãng đường ô tô lag 120 km nên thời gian ô tô là y (giờ) 120 60 9 (2) y 10 Vì ô tô trước xe máy 54 phút = 10 nên ta có phương trình x (3) 100 80 100 80 x y x y 0 120 60 40 20 x y 10 y 10 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x 100 80 60 12 x y 0 x 50 x 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) y 40 160 80 12 100 80 0 x x y y 10 Vậy vận tốc ô tô là 50 km/h Vận tốc xe máy là 40 km/h Ví dụ 3: Một ô tô trên quãng đường dai 520 km Khi 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h và hết quảng đường còn lại T ính vận tốc ban đầu ô tô biết thời gian hết quảng đường là Giải: Gọi vận tốc ban đầu ô tô là x (km/h), đk: x>0.Vận tốc lúc sau ô tô là x+10 (km/h) 240 280 Thời gian ô tô hết quảng đường đầu là x (giờ) Thời gian ô tô hết quảng đường đầu là x 10 (giờ) Vì thời gian ô tô hết quảng đường là nên ta có phương trình 240 280 8 x 55x 300 0 x x 10 b 4ac ( 55)2 4.( 300) 4225 4225 65 55 65 55 65 x1 60(TMDK);x 5(loai) 2 Phương trình có hai nghiệm Vậy vận tốc ban đầu ô tô là 60 km/h Bài tập: Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h Qua 15 phút ô tô thứ hai khởi hành từ A cùng hướng với ô tô thứ với vận tốc 40 km/h Hỏi sau thì ô tô gặp nhau, điểm gặp cách A bao nhiêu km? Một ca nô xuôi dòng 50 km ngược dòng 30 km Biết thời gian xuôi dòng lâu thời gian ngược dòng là 30 phút và vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngược dòng là km/h Tính vận tốc lúc xuôi dòng? Hai ô tô cùng khởi hành cùng lúc từ A đến B cách 150 km Biết vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút Tính vânl tốc ô tô Một thuyền trên dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 10 phút Tính vận tốc thực thuyền biết bè thả phải 10 xuôi hết dòng sông Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc đó bè nứa trôi tự từ A đến B Ca nô đến B thì quay lại A ngay, thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết 15 Trên đường ca nô ngược A thì gặp bè nứa điểm cách A là 50 km Tìm vận tốc riêng ca nô và vận tốc dòng nước? (giê) Đáp án:1 ; 20 km/h; Vận tốc ô tô thứ 60 km/h Vận tốc ô tô thứ hai là 50 km/h 25 km/h ; Vận tốc ca nô là 15 km/h Vận tốc dòng nước là km/h Dạng 3: Toán làm chung công việc Những kiến thức cần nhớ: - Nếu đội làm xong công việc sau x thì ngày đội đó làm x công việc - Xem toàn công việc là (4) Ví dụ 1: Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm thì hoàn thành 25% công việc Hỏi làm riêng thì người hoàn thành công việc bao lâu? Giải:Ta có 25%= ;Gọi thời gian mình người thứ hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ) Thời gian mình người thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ) 1 Sau người thứ làm x công việc, Sau người thứ hai làm y công việc 1 1 (1) x y 16 16 Hai người cùng làm thì xong 16 Vậy sau hai người cùng làm công việc,Ta có ph trình: 1 Người thứ làm giờ, người thứ hai làm thì 25%= công việc Ta có phương trình x y 1 1 3 3 1 1 x y 16 x y 16 x y 16 1 1 3 x y y 16 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x y x 24 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) y 48 Vậy làm riêng thì người thứ hoàn thành công việc 24 h, Người thứ hai hoàn thành công việc 48 h Ví dụ 2: Hai thợ cùng đào mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc Nếu họ làm riêng thì đội hoàn thành công việc nhanh đội là Hỏi làm riêng thì đội phải làm bao nhiêu thì xong công việc? Giải :Gọi thời gian đội làm mình xong công việc là x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm mình xong công việc là x + (giờ) 1 c«ng viÖc c«ng viÖc Mỗi đội làm x Mỗi đội làm x 11 35 12 Vì hai đội thì sau 55 phút = 12 12 (giờ) xong Trong hai đội làm 35 công việc 1 12 35x 70 35 12x 24x Theo bài ta có phương trình x x 35 12x 46x 70 0 6x 23x 35 0 ( 23)2 4.6.( 35) 529 840 1369 1369 37 23 37 23 37 VËy ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 5(thoa m·n); x2 2(lo¹i) 12 12 Ta có Vậy đội thứ hoàn thành công việc Đội hai hoàn thành công việc Chú ý:+ Nếu có hai đối tượng cùng làm công việc biết thời gian đại lượng này hơn, kém đại lượng ta nên chọn ẩn và đưa phương trình bậc hai + Nếu thời gian hai đại lượng này không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đưa dạng hệ phương trình để giải Ví dụ 3: Hai người thợ cùng sơn cửa cho ngôi nhà thì ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày nghỉ người thứ hai làm tiếp ngày thì xong việc Hỏi người làm mình thì bao lâu xong công việc? Giải:Gọi thời gian để mình người thứ hoàn thành công việc là x (x>2; ngày) Gọi thời gian để mình người thứ hai hoàn thành công việc là y (x>2; ngày) 1 Sau ngày người thứ làm x công việc Sau ngày người thứ hai làm y công việc (5) 1 1 y Cả hai người làm xong ngày nên Sau ngày hai người làm công việc Ta có pt x + = (1) 1 Người thứ làm ngày người thứ hai làm ngày thì xong công việc ta có pt: x y (2) 1 1 1 1 x y 2 x 6 x y (tho¶ m·n ®k) y 3 1 1 x Từ (1) và (2) ta có hệ pt x y Vậy người thứ làm mình xong công việc ngày Người thứ hai làm mình xong công việc ngày Bài tâp: Hai người thợ cùng làm công việc thì xong 18 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm thì 1/3 công việc Hỏi người làm mình thì bao lâu xong công việc? Để hoàn thành công việc hai tổ phải làm Sau làm chung thì tổ hai điều làm việc khác Tổ đã hoàn thành công việc còn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì bao lâu xong công việc đó? Hai đội công nhân cùng đào mương Nếu họ cùng làm thì ngày xong công việc Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh đội là ngày Hỏi làm riêng thì đội phải làm bao nhiêu ngày để xong công việc? Hai bình rỗng giống có cùng dung tích là 375 lít ậ binmhf có vòi nước chảy vào và dung lượng nước chảy là Người ta mở cho hai vòi cùng chảy vào bình sau thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình cùng đầy lúc người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ.Tính xem vòi thứ chảy bao nhiêu lít nước Kết quả: 1) Người thứ làm mình 54 Người thứ hai làm mình 27 2) Tổ thứ làm mình 10 Tổ thứ hai làm mình 15 3) Đội thứ làm mình ngày Đội thứ hai làm mình ngày 4) Mỗi vòi thứ chảy 75 lít Dạng 4: Toán có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ: - Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài) S x.y - Diện tích tam giác ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng) 2 - Độ dài cạnh huyền : c = a + b2 (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vuông) n(n 3) - Số đường chéo đa giác (n là số đỉnh) Ví dụ 1: Tính các kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết tăng kích thước thêm cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2 Giải: Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y (cm; x, y > 0) Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là x.y (cm2) Theo bài ta có pt x.y = 40 (1) Khi tăng chiều thêm cm thì diện tích hình chữ nhật là Theo bài ta có pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48 3x + 3y + = 48 x + y = 13(2) Từ (1) và (2) suy x và y là nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = Ta có ( 13) 4.40 9 3 13 13 X1 8;X 5 2 Phương trình có hai nghiệm Vậy các kích thước hình chữ nhật là (cm) và (cm) Ví dụ 2: Cạnh huyền tam giác vuông m Hai cạnh góc vuông kém 1m Tính các cạnh góc vuông tam giác? Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ là x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vuông thứ hai là x + (m) (6) Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình 12 4.( 12) 49 7 Ph ¬ng tr×nh co hai nghiÖm phan biÖt 17 1 x1 3 (tho¶ m·n);x 4(lo¹i) 2 2 x2 + (x + 1)2 = 52 2x 2x 24 x x 12 0 Vậy kích thước các cạnh góc vuông tam giác vuông là m và m Bài tâp : Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó? Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần và chiều rộng tăng lần thì chu vi ruộng không thay đổi Bài 3: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh? Bài 4: Một cái sân hình tam giác có diện tích 180 m Tính cạnh đáy sân biết tăng cạnh đáy m và giảm chiều cao tương ứng m thì diện tích không đổi? Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao là 35 m hai đáy 30 m và 50 m người ta làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng Các tim đừng là đường trung bình hình thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường đó biết diện tích phần làm đường diện tích hình thang Đáp số: Bài 1: Diện tích hình chữ nhật là 60 m2 Bài 2: Diện tích hình chữ nhật là 3750 m2 Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh Bài 4: Cạnh đày tam giác là 36 m Bài 5: Chiều rộng đoạn đường là m Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng x Những kiến thức cần nhớ : + x% = 100 + Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm tỉnh A là x a a 100 x x x Sè d©n n¨m sau lµ (a+a ) (a+a ) 100 100 100 Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58 x 2000000 20000 100 Gọi lãi suất cho vay là x (%),đk: x > Tiền lãi suất sau năm là (đồng) Sau năm vốn lẫn lãi là 200000 + 20000 x (đồng) x (2000000 20000 x ) 20000 x 200x (đồng) 100 Riêng tiền lãi năm thứ hai là Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả là 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (đồng) 200x2 + 40000x +2000000 (đồng) Theo bài ta có phương trình 200x + 40 000x + 2000000 = 2420000 x2 + 200x – 2100 = Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn) Vậy lãi suất cho vay là 10 % năm Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ là bao nhiêu Giải Gọi x là số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600 Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là 600 – x (sản phẩm) 18 21 x (600 x ) 100 (sản phẩm) Số sản phẩm vượt mức tổ I là 100 (sản phẩm).Số sản phẩm vượt mức tổ II là (7) Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ là 120 sản phẩm ta có pt 18x 21(600 x ) 120 100 100 x = 20 (thoả mãn yêu cầu bài toán) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I là 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II là 400 (sản phẩm) Bài tập: Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả là 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm năm? Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ đã sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ là bao nhiêu? Kết quả: Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Bài 2: Lãi suất cho vay là 9% năm Bài 3: Tổ I giao 400 sản phẩm Tổ II giao 600 sản phẩm Dạng 6: Các dạng toán khác m V (V lµ thÓ tich dung dich; m lµ khèi l îng; D lµ khèi l îng riªng) D Những kiến thức cần nhớ : Khèi l îng chÊt tan - Khối lượng nồng độ dung dịch = Khèi l îng dung m«i (m tæng) Ví dụ : (Bài trang 59 SGK) Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước là x (g) đk x > 40 % Nồng độ muối dung dịch đó là x 40 40 % Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng dung dịch là: x 240 Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình 40 40 10 x 280x 70400 0 x 40 x 240 100 Giải pt ta x1 = -440 ( loại); x2 = 160 (thoả mãn đk bài toán) Vậy trước đổ thêm nước dung dịch có 160 g nước Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ nó là 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng Giải Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ là x (g/cm3) Đk x > 0,2 Khối lượng riêng chất lỏng thứ là x – 0,2 (g/cm3) (cm3 ) (cm3 ) x , Thể tích chất lỏng thứ là x , Thể tích chất lỏng thứ hai là (cm ) x x , Thể tích hỗn hợp là 14 14x 12, 6x 1,12 0 Theo bài ta có pt x x 0, 0, Giải pt ta kết x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk) Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ là 0,8 (g/cm3) Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai là 0,6 (g/cm3) Bài tập: (8) Bài 1: Một phòng họp có 240 ghế xếp thành các dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế thì phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành bao nhiêu dãy ghế Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 thì số sách giá thứ số sách ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu ngăn? Bài 3: Người ta trồng 35 cây dừa trên đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng là 20 m thành hàng song song cách theo hai chiều Hàng cây ngoài cùng trồng trên biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp? Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng tôi số trứng anh thì tôi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng tôi số trứmg anh tôi bán đồng thôi” Hỏi người có bao nhiêu trứng? Bài 5: Một hợp kim gồm đồng và kẽm đó có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì hợp kim mà đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim? Kết quả: Bài 1: Có 60 dãy ghế Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng là 5m Bài 4: Người thứ có 40 Người thứ hai có 60 Bài 5: 25 gam 10 gam C- CÁC BÀI VỀ GIẢI TOÁN ( MỨC ĐỘ- YÊU CẦU- BIỂU ĐIỂM) ĐÃ THI CÁC NĂM TRƯỚC Câu III (1,0 điểm) Hải Dương 2012;Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông kém 7cm Tính độ dài các cạnh tam giác vuông đó Giải:Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (điều kiện 0< x < 15) => độ dài cạnh góc vuông còn lại là (x + )(cm) Vì chu vi tam giác là 30cm nên độ dài cạnh huyền là 30–(x + x +7)= 23–2x (cm) x + (x + 7) = (23 - 2x) Theo định lí Py –ta- go ta có phương trình x - 53x + 240 = (1) Giải phương trình (1) nghiệm x = 5; x = 48 Đối chiếu với điều kiện có x = (TM đk); x = 48 (không TM đk) Vậy độ dài cạnh góc vuông là 5cm, độ dài cạnh góc vuông còn lại là 12 cm, độ dài cạnh huyền là 30 – (5 + 12) = 13cm Hải Dương Ngày 1-2012 Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch 600 thóc Năm nay, đơn vị thứ làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái Do đó hai đơn vị thu hoạch 685 thóc Hỏi năm ngoái, đơn vị thu hoạch bao nhiêu thóc? Giải: Gọi x, y là số thóc đơn vị thứ và đơn vị thứ hai thu hoạch năm ngoái, điều kiện: <x, y < 600 x y 600 - Lập luận hệ 0,1x 0, 2y 85 - Giải hệ được: x = 350 (TM); y = 250 (TM) - KL: Đơn vị thứ 350 (tấn); đơn vị thứ hai 250 (tấn) Hải Dương Ngày 2-2012 Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km Lúc xe máy từ A để tới B Lúc 30 phút cùng ngày, xe ô tô từ A để tới B với vận tốc lớn vận tốc xe (9) máy 15 km/h (hai xe chạy trên cùng đường đã cho) Hai xe nói trên tới B cùng lúc Tính vận tốc xe Giải: Gọi vận tốc xe máy là x km/h (x > 0) Khi đó vận tốc ô tô là x +15 (km/h) 90 90 ( h) ( h) ( h) Thời gian xe máy hết quãng đường AB là x Thời gian xe ô tô hết quãng đường AB là x 15 ; 30’= 90 90 Theo bài ta có phương trình x x 15 (*) Giải phương trình (*) có x = 45 (t/m); x = -60 (loại) (Tuyển sinh lớp 10 Hải Dương 2009-2010 ) Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc hai xe ô tô, biết quãng đường AB dài là 300km (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2011 – 2012- đợt 1) Câu III: ( điểm) Một hình chữ nhật có chu vi là 52 m Nếu giảm cạnh 4m thì hình chữ nhật có diện tích 77 m2 Tính kích thước hình chữ nhật ban đầu Đáp số x + y = 26 và ( x – 4)( y – ) = 77 => các kích thước là 11m và 15 m (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2011 – 2012- đợt 2) Câu III: ( điểm) Hai người thợ quét sơn ngôi nhà Nếu họ cùng làm ngày thì xong công việc Hai người làm cùng ngày thì người thứ chuyển làm việc khác, người thứ hai làm mình 4,5 ngày thì hoàn thành công việc Hỏi làm riêng thì người hoàn thành công việc đó bao lâu? 1 1 4,5 6.( ) 1;3( ) 1 y 9; x 18 x y x y y Đáp số: Bài II (2,0 điểm).Hà Nội 2012 Giải bài toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: 12 Hai người cùng làm chung công việc thì xong Nếu người làm mình thì người thứ hoàn thành công việc ít người thứ hai là Hỏi làm mình thì người phải làm bao nhiêu thời gian để xong công việc? 12 x Giải:Gọi thời gian người thứ hoàn thành mình xong công việc là x (giờ), ĐK Thì thời gian người thứ hai làm mình xong công việc là x + (giờ) 1 Mỗi người thứ làm x (cv), người thứ hai làm x (cv) 12 12 1: Vì hai người cùng làm xong công việc nên hai đội làm = 12 (cv) Do đó ta có phương trình 1 x2 x x ( x 2) 12 5x2 – 14x – 24 = x x 12 , ’ = 49 + 120 = 169, 13 13 13 20 x x 4 5 (loại) và 5 => (TMĐK) Vậy người thứ làm xong công việc giờ, người thứ hai làm xong công việc 4+2 = Câu 2: 1,5 điểm: Nghệ An 2012 (10) Quãng đường AB dài 156 km Một người xe máy từ A, người xe đạp từ B Hai xe xuất phát cùng lúc và sau họ gặp Biết vận tốc người xe máy nhanh vận tóc người xe đạp là 28 km/h Tính vận tốc xe? Giải: Gọi vân tốc xe đạp là x (km/h), điều kiện x > 0, Thì vận tốc xe máy là x + 28 (km/h) Trong giờ: + Xe đạp quãng đường 3x (km), + Xe máy quãng đường 3(x + 28) (km), theo bài ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156 Giải tìm x = 12 (TMĐK) Trả lời: Vận tốc xe đạp là 12 km/h và vận tốc xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h) Bài 3( điểm) Quảng Ninh 2012 Quãng đường từ A đến B dài 50km.Một người dự định xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi giờ,người dừng lại 30 phút để nghỉ.Muốn đến B đúng thời gian đã định,người đó phải tăng vận tốc thêm km/h trên quãng đường còn lại.Tính vận tốc ban đầu người xe đạp 50 ( h) Giải :Gọi x(km/h) là vtốc dự định; x > ; có 30 phút = ½ (h) Th gian dự định : x Quãng đường sau 2h : 2x (km) Quãng đường còn lại : 50 – 2x (km) Vận tốc trên quãng đường còn lại : x + ( km/h) 50 x 50 2 50 x x x ( h) Th gian quãng đường còn lại : x Theo đề bài ta có PT: Giải ta : x = 10 (thỏa ĐK bài toán) Vậy Vận tốc dự định : 10 km/h Câu (2,5 điểm)- Tuyên Quang 2012 Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B chạy ngược dòng từ B đến A hết tất Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là km/giờ Bài giải: Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng là x km/giờ ( x > 4) Vận tốc 30ca nô xuôi dòng là x +4 (km/giờ), ngược dòng là x - (km/giờ) Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là x giờ, ngược dòng 30 từ B đến A là x 30 30 4 Theo bài ta có phương trình: x x (4) (4) 30( x 4) 30( x 4) 4( x 4)( x 4) x 15 x 16 0 x x = 16 Nghiệm x = -1 <0 nên bị loại Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng là 16km/giờ Bài (2,0 điểm)Bắc Ninh 2012 Giải bài toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m Nếu tăng thêm chiều dài 3m và chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 45m2 Hãy tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn Giải : Gọi chiều dài hcn là x (m); chiều rộng là y (m) (0 < x, y < 17) x y 34 : 17 x 12 y 5 (thỏa mãn đk) Theo bài ta có hpt : ( x 3)( y 2) xy 45 (11) Vậy : chiều dài = 12m, chiều rộng = 5m Câu 4: (2,5 điểm) Hòa Bình - 2012 x3 x x3 x 21 a) Phương trình x2 – x – = có nghiệm x1, x2 Tính giá trị X = b) Một phòng họp dự định có 120 người dự họp, họp có 160 người tham dự nẹn phải kê thêm dãy ghế phải kê them ghế thì vừa đủ Tính số dãy ghế dự định lúc đầu Biết số dãy ghế lúc đầu phòng nhiều 20 dãy ghế và số ghế trên dãy là Bài (2 điểm) Tìm số có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là và đem số đó chia cho tổng các chữ số nó thì thương là và dư là Bài (2 điểm) Gọi số cần tìm có chữ số là ab , với a, b {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, a 0 Theo giả thiết ta có hệ phương trình: a b 5 10 a b 7( a b ) a b 5 a b a b 5 a b a b 5 a b a 8 b 3 (t/m đk) Vậy số cần tìm là: 83 Câu 3: (1,5 điểm) Bắc Giang - 2012 Một ôtô tải từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau 30 phút thì ôtô taxi xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng đường AB Gọi độ dài quãmg đường AB là x (km) x>0 x Thời gian xe tải từ A đến B là 40 h x Thời gian xe Taxi từ A đến B là : 60 h Do xe tải xuất phát trước 2h30phút = nên ta có pt x x = 40 60 Û x - x = 300 Û x = 300 Giá trị x = 300 có thoả mãn ĐK Vậy độ dài quãng đường AB là 300 km Câu (1,0đ) Đăk lắc-2012 Hai ô tô từ A đến B dài 200km Biết vận tốc xe thứ nhanh vận tốc xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ đến B sớm xe thứ hai Tính vận tốc xe Giải: Gọi vận tốc xe thứ hai là x (km/h) Đk: x > Vận tốc xe thứ là x + 10 (km/h) 200 Thời gian xe thứ quảng đường từ A đến B là : x 10 (giờ) 200 Thời gian xe thứ hai quảng đường từ A đến B là : x (giờ) 200 200 1 x 10 Xe thứ đến B sớm so với xe thứ hai nên ta có phương trình: x Giải phương trình ta có x1 = 40 , x2 = -50 ( loại) x1 = 40 (TMĐK) Vậy vận tốc xe thứ là 50km/h, vận tốc xe thứ hai là 40km/h Câu 4: (1,5 điểm)- Cần Thơ 2012 (12) Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau thì ô tô bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do đó để đến B đúng hạn xe phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc đầu ô tô 120 ( h) Giải: Gọi x (km/h) là vt dự định; x > => Thời gian dự định : x Sau h ô tô x km => quãng đường còn lại 120 – x ( km) 120 x 120 1 x 6 x => x = 48 (TMĐK) => KL Vt lúc sau: x + ( km/h) Pt Câu (2,0 điểm) Vĩnh phúc-2012 Một hình chữ nhật có chiều rộng nửa chiều dài Biết giảm chiều 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm nửa Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho Giải: Gọi chiều dài hình chữ nhật đã cho là x (m), với x > 4.Vì chiều rộng nửa chiều dài nên chiều rộng là: x x x2 (m) => diện tích hình chữ nhật đã cho là: x = (m2) 2 x Nếu giảm chiều m thì chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật là: x − va −2 (m) x x2 đó, diện tích hình chữ nhật giảm nửa nên ta có phương trình: (x − 2)( −2)= ⋅ 2 2 x x ⇔ −2 x − x +4= ⇔ x − 12 x +16=0 ………….=> x 1=6+2 √ (thoả mãn x>4); x 2=6 −2 √ (loại vì không thoả mãn x>4) Vậy chiều dài hình chữ nhật đã cho là 6+2 √ (m) Câu : ( 1,5 điểm ) Đồng Nai 2012 Một đất hình chữ nhật có chu vi 198 m , diện tích 2430 m Tính chiều dài và chiều rộng đất hình chữ nhật đã cho Giải:Gọi x ( m ) là chiều dài đất hình chữ nhật ( 49,5 < x < 99 ) Chiều rộng đất hình chữ nhật là : 99 – x ( m ) Theo đề bài ta có phương trình : x ( x – 99 ) = 2430 Giải : x1 = 54 ( nhận ) ; x2 = 45 ( loại ) Vậy chiều dài đất hình chữ nhật là 54 ( m ) Chiều rộng đất hình chữ nhật là : 99 – 54 = 45 ( m ) Câu 3( 1,5điểm): Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng thì còn thừa lại tấn, còn xếp toa 16 thì có thể chở thêm Hỏi xe lửa có toa và phải chở bao nhiêu hàng Giải Câu 3: Gọi x là số toa xe lửa và y là số hàng phải chở Điều kiện: x N*, y > 15x = y - Theo bài ta có hệ phương trình: 16x = y + Giải ta được: x = 8, y = 125 (thỏa mãn) Vậy xe lửa có toa và cần phải chở 125 hàng Câu3( 1,5điểm):: Hai ô tô khởi hành cùng lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai là 0,4 Tính vận tốc ô tô GiảiCâu 3: Gọi vận tốc ô tô thứ là x (km/h) Suy vận tốc ô tô thứ hai là: x – 10 (km/h) (Đk: x > 10) 120 120 Thời gian để ô tô thứ và ô tô thứ hai chạy từ A đến B là x (h) và x - 10 (h) 120 120 0, x - 10 Theo bài ta có phương trình: x Giải ta x = 60 (thỏa mãn).Vậy vận tốc ô tô thứ là 60 km/h và ô tô thứ hai là 50 km/h - (13)