chuyen de bat dang thuc boi duong hoc sinh gioi toan 8

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT A2  Bài 1: CMR : với x,y,z x2 + y2 + z  xy + yz + zx HD: Xét hiệu ta có: 2 2 x + y + z − xy − yz − zx  = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  ( ) Dấu xảy x = y = z Bài 2: CMR : với x,y,z x2 + y2 + z  2xy + yz − 2zx HD: Xét hiệu ta có: x + y + z − xy − yz + zx  = ( x − y + z )  Dấu xảy x+z=y Bài 3: CMR : với x,y,z x2 + y + z +  ( x + y + z ) HD: Xét hiệu ta có: 2 ( x −1) + ( y −1) + ( z − 1)  Dấu x=y=z=1 Bài 4: CMR : với a,b ta có : a + b2  a + b      HD : Xét hiệu ta có : a + b2 a + 2ab + b2 −  2a + 2b2 − ( a − 2ab + b2 )  2 = a + 2ab + b2  = ( a + b )  Dấu a=b a + b2 + c2  a + b + c   Bài 5: CMR : với a,b,c ta có :  3   HD: Ta có: a2 + b2 + c2 a + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac  2 2 = 3a + 3b + 3c − ( a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ac )  = 2a + 2b2 + 2c − 2ab − 2bc − 2ac  = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  , Dấu a=b=c 2 Bài 6: CMR : a + b + c 2 2 (a + b + c)  HD: Ta có: 3a + 3b2 + 3c  a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca = 2a + 2b2 + 2c − 2ab − 2bc − 2ac  2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  , Dấu a=b=c GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 7: CMR : a + b 2 ( a + b)   2ab HD: Ta chứng minh: a + b 2 ( a + b)  = 2a + 2b  a + 2ab + b 2 2 = a + b2 − 2ab  = ( a − b )  Dấu a=b ( a + b)  2ab 2 = a + 2ab + b2  4ab = ( a − b )  Ta chứng minh Dấu a=b Bài 8: Cho a,b,c số thực, CMR: a + b2  ab HD: Ta có: 4a + b2 − 4ab = ( 2a − b )  Dấu b=2a Bài 9: Cho a,b,c số thực, CMR : a + b2 +  ab + a + b HD: Ta có: a + b2 + − ab − a − b  = 2a + 2b2 + − 2ab − 2a − 2b  = ( a − 2ab + b2 ) + ( a − 2a + 1) + ( b2 − 2b + 1)  = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1)  2 Dấu a=b=1 Bài 10: Cho a,b,c,d số thực : CMR : a2 + b2 + c2 + d + e2  a (b + c + d + e ) HD: Ta có: a + b2 + c + d + e2 − ab − ac − ad − ae  = 4a + 4b2 + 4c + 4d + 4e2 − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae  = ( a − 4ab + 4b2 ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + ( a − 4ae + 4e2 )  = ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e )  2 2 Dấu xảy a=2b=2c=2d=2e    Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR: 1 + 1 +    a  b  HD: b  a  a + b  a + b   a b ta có: VT = 1 + 1 +  =  +  +  = +  +  + a  b   a  b  b a a b = +  +   + 2.2 = b a a b Dấu = = a + b = a = b = b a 2 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức  x+ y Bài 12: Cho x, y  0, CMR :    xy   HD: Ta có: x + y + xy  xy = x − xy + y  = ( x − y )  , Dấu x=y Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR: a3 + b3  a 2b + ab HD: Ta có: ( a3 − a2b ) + (b3 − ab2 )  = a2 ( a − b ) − b2 ( a − b )  ( ) = ( a − b ) a − b  = ( a − b ) ( a + b )  Dấu a=b Bài 14: Cho a  b  1, CMR: 1 +  2 + a + b + ab HD: Xét hiệu:   1   − −  + 0 2  + a + ab   + b + ab  a (b − a ) b (a − b) = + 0 (1 + a ) (1 + ab ) (1 + b2 ) (1 + ab ) ( b − a ) ( ab − 1)  = (1 + ab ) ( a + 1)( b2 + a ) Dấu a=b a=b=1 Bài 15: CMR : với số thực x,y,z,t ta ln có : x2 + y + z + t  x ( y + z + t ) HD: Ta có: x2 + y2 + z + t − xy − xz − xt  = 4x2 + y2 + 4z + 4t − 4xy − 4xz − 4xt  = ( x − xy + y ) + ( x − xz + z ) + ( x − xt + 4t ) + x  Dấu x= 2y=2z=2t=0 a2 Bài 17: CMR : + b2 + c  ab − ac + 2bc HD: Ta có: a + 4b2 + 4c − 4ab + 4ac − 8bc  = a − 4a ( b − c ) + ( b2 + c − 2bc )  = a − 4a ( b − c ) + ( b − c )  = ( a − 2a + 2c )  Bài 19: CMR : x2 + y2 + z  2xy − 2zx + yz HD: Ta có: x2 + y2 + z − 2xy − yz + 2zx  x2 − 2x ( y − z ) + y − yz + z  x − x ( y − z ) + ( y − z )  = ( x − y + z )  2 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 20: CMR : x + y + z +  x ( xy − x − z + 1) HD: Ta có: x4 + y4 + z +1− 2x2 y2 + 2x2 − 2xz − 2x  (x (x + y − x y ) + ( x − xz + z ) + ( x − x + 1)  − y ) + ( x − z ) + ( x − 1)  2 Dấu x=z=1, y= 1 Bài 21: CMR : a + b2 + c  ab + bc + ca HD: Ta có : a + b2 + c − ab − bc − ca  = 2a + 2b2 + 2c − 2ab − 2bc − 2ca  2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  Bài 22: CMR : a + b2  ab HD: ta có: b b 3b b  3b  a + b − ab  = a − 2a + +  =  a −  + 0 4 2  2 Bài 23: CMR : x2 + xy + y2  HD: Ta có: y y2 3y2 y  3y2  x + x + +  =  x +  + 0 4 2  Bài 24: CMR : a ( a + b )( a + c )( a + b + c ) + b2c2  HD: = a ( a + b + c )( a + b )( a + c ) + b2c2  = ( a + ab + ac )( a + ab + ac + bc ) + b2c  a + ab + ac = x Đặt  bc = y Khi ta có: x ( x + y ) + y  = x2 + xy + y  Bài 25: CMR : ( a + b )( a + b )  ( a + b3 ) HD: Ta có: a + a 2b4 + a 4b2 + b6  a + 2a3b3 + b6 = ( a 4b2 − a3b3 ) + ( a 2b4 − a3b3 )  = a3b2 ( a − b ) + a 2b3 ( b − a )  ( ) = ( a − b ) a3b − a 2b3  = a 2b ( a − b )  Bài 26: CMR : ( a + b ) ( a3 + b3 )  ( a + b4 ) HD: Ta có: a + ab3 + a3b + b4  2a + 2b4 = a − ab3 + b4 − a3b  ( ) ( ) = a3 ( a − b ) + b3 ( b − a )  = a3 − b3 ( a − b )  = ( a − b ) a + ab + b  GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : ( a3 + b3 )  ( a + b ) ( a + b2 ) HD: Ta có: 2a3 + 2b3  a3 + ab2 + a 2b + b3 = a3 − a 2b + b3 − ab2  = a2 ( a − b ) + b2 ( b − a )  = ( a − b ) ( a + b )  ( ) Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: a3 + b3  ( a + b ) HD: Ta có: 4a3 + 4b3  a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 = 3a3 − 3a 2b + 3b3 − 3ab2  = 3a ( a − b ) + 3b2 ( b − a )  = ( a − b ) ( a − b2 )  = ( a − b ) ( a + b )  Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: a3 + b3 + abc  ab ( a + b + c ) HD: Ta có: a3 + b3 + abc  a 2b + ab2 + abc = a3 − a 2b + b3 − ab2  = a2 ( a − b ) + b2 ( b − a )  = ( a − b ) ( a + b )  Bài 30: CMR: ( a + b )  ab ( a + b ) 2 HD: Ta có: a + 2a 2b2 + b4  ab ( a + 2ab + b2 ) = a3b + 2a 2b + ab3 = ( a − a3b ) + ( b4 − ab3 )  = a3 ( a − b ) + b3 ( b − a )  ( ) ( ) = a3 − b3 ( a − b )  = ( a − b ) a + ab + b  Bài 31: CMR: a2 + b2 + c2  a ( b + c ) HD: ta có: a + b2 + c − ab − ac  = 4a + 4b2 + 4c − 4ab − 4ac  = ( a − 4ab + 4b2 ) + ( a − 4ac + 4c ) + 2a  = ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + 2a  2 Bài 32: CMR: a2 + b2 + c2 + d  a (b + c + d ) HD: a + b2 + c + d − ab − ac − ad  = 4a + 4b2 + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad  = ( a − 4ab + 4b2 ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + a  = ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a  2 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 33: CMR: a + b + c +  (a + b + c) HD: Ta có: (a − a ) + (b2 − b ) + ( c2 − c ) + 0 1  1  1  =  a − a +  +  b2 − b +  +  c − c +   4  4  4  2 2 1  1  1  =  a −  +  b −  +  c −   2  2  2  4 Bài 34: CMR: a + b +  4ab HD: ta có: a + b4 − 4ab +  = a + b4 − 2a 2b2 + 2a 2b2 − 4ab +  ( = ( a = a − b 2 − b2 ) ) 2 + ( a 2b − 2ab + 1)  + ( ab − 1)  Bài 35: CMR: x − x +  HD: ta có: ( x4 − 4x2 + 4) + ( 4x2 − 4x + 1)  ( ) = x − + ( x − 1)  2 Không xảy dấu Bài 36: CMR: x − x +  HD: Ta có: 1  1  x − x + +x − x+   4  4  2 1  1  =  x −  +  x −   2  2  Bài 37: CMR: x + 4x +1  3x2 ( x  0) HD: ta có: x3 − 3x + x +  = x ( x − x + ) + x +  = x ( x − ) + x +  , Vì x > Bài 39: CMR: ( x −1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)  −1 HD: ( x −1)( x − 4)( x − 2)( x − 3) +  = ( x − x + )( x − x + ) +  Đặt x − x + = t Khi ta có: ( t −1)( t + 1) +  = t  , Dấu t=0 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 40: CMR: x + x3 + x + x +  HD: Ta có : x3 ( x + 1) + ( x + 1) + x2  = ( x + 1) ( x3 + 1) + x  x ( ) = ( x + 1) x − x + + x  ( ĐPCM) Bài 41: CMR : a + 4b2 + 4c  4ab + 8bc − 4ac HD: Ta có: a + 4b2 + 4c − 4ab − 8bc + 4ac  2 = a + ( 2b ) + ( 2c ) − 2.a.2b − 2.2b.2c + 2.a.2c  = ( a − b + c )  ( ) Bài 42: CMR : a3 + b3 + c3  ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) với a, b, c >0 3 HD: Ta có: 8a3 + 8b3 + 8c3  2a3 + 2b3 + 2c3 + 3a 2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc + 3a 2c + 3ac = 6a3 + 6b3 + 6c3 − 3a 2b − 3ab2 − 3b2c − 3bc − 3a 2c − 3ac  = ( 3a3 − 3a 2b ) + ( 3a3 − 3a 2c ) + ( 3b3 − 3b2 a ) + ( 3b3 − 3b2c ) + ( 3c3 − 3bc ) + (3c3 − 3ac3 )  = 3a2 ( a − b ) + 3a2 ( a − c ) + 3b2 (b − a ) + 3b2 (b − c ) + 3c2 ( c − b ) + 3c ( c − a )  = ( a − b ) ( a − b2 ) + ( a − c ) ( a − c ) + ( b − c ) ( b − c )  = ( a − b ) ( a + b ) + ( a − c )( a + c ) + ( b − c ) ( b + c )  2 Bài 43: CMR: ( a + b + c )  a3 + b3 + c3 + 24abc với a,b,c>0 HD: Ta có: a3 + b3 + c3 + 3( a + b )(b + c )( c + a )  a3 + b3 + c3 + 24abc = ( a + b )( b + c )( c + a )  24abc a + b  ab  Vì b + c  bc , Nhân theo vế ta ĐPCM  c + a  ca  x y x2 y Bài 44: CMR: Với x, y # ta có: + +   +  y x  y x HD: Ta có: x + y + x y  3xy ( x + y ) ( = ( x = ( x ) − xy ( x + y ) + x y − xy ( x + y )  + y )( x + y − xy ) + xy ( xy − x − y )  + y − xy )( x + y − xy )  = ( x − y ) ( x − xy + y )  = x + y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 45: CMR : Nếu a + b  , a + b3  HD: Ta có: b  − a = b3  − 3a + 3a − a3 1 1  = a + b  3a − 3a + =  a −  +  2 4  Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab + bc + ca  a + b2 + c HD: Ta có: a + b2 + c − ab − bc − ca  2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  Bài 47: CMR : a2 + a + 0 a2 − a + HD: Ta có: 1  a + a + =  a + a +  +  0, a 4  1  a − a + =  a − a +  +  0, a 4  Nên VT > Bài 48: CMR : 4a ( a + b )( a + 1)( a + b + 1) + b2  HD: Ta có: 4a ( a + b + 1)( a + 1)( a + b ) + b2  a + ab + a = x = ( a + ab + a )( a + ab + a + b ) + b  đặt b= y = x ( x + y ) + y  2 = 4x2 + 4xy + y2  = ( x + y )  , Dấu x = − y = 2a + 2ab + 2a = −b = b = − Bài 49: CMR : x + y 2 ( x + y)  2a ( a + 1) 2a + 2  xy HD: Ta có:  x + y) ( 2 = x + y  x + y + xy = ( x − y )  x + y    ( x + y )2   xy = x + y + xy  xy = ( x − y )   1 Bài 50: CMR : +  , Với a,b > a b a+b HD: Ta có: ( a + b )  = a + b  4ab = a − b  ( ) ( ) ab a+b GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 51: CMR : a + b4  ab ( a + b2 ) HD: Ta có: a + b4 − a3b − ab3  = a3 ( a − b ) + b3 ( a − b )  ( ) = ( a − b ) a + ab + b  a + b4  a + b  Bài 52: CMR :     HD: Ta có: 8a + 8b4  a + b4 + 4a 2b2 + 2a 2b2 + 4a3b + 4ab3 = 7a + 7b4 − 4a 2b2 − 2a 2b2 − 4a3b − 4ab3  = ( a + b4 + 2a 2b2 ) + ( 6a + 6b4 ) − 4ab ( a + b2 ) − 8a 2b2  ( = ( a = a + b 2 ) − 4ab ( a + b ) + 4a 2b + ( a + b ) − 12a 2b  + b − 2ab ) + ( a + b − 2a 2b )  ( = ( a − b ) + a − b ) 0 Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : ab + bc + ca  HD: Ta có: a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) = = ( ab + bc + ca ) = − ( a + b2 + c )  Dấu a=b=c=0 ( Bài 54: Cho x,y,z  R , CMR : ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  x + y + z 2 2 ) HD: Ta có: 2x2 + y2 + 2z − 2xy − yz − 2zx  3x2 + 3y2 + 3z = x2 + y2 + z + 2xy + yz + 2zx  = ( x + y + z )  Bài 55: CMR : Với x,y khác 0, ta ln có : x + y  HD: x6 y + y x2 Ta có: x y ( x + y )  x8 + y8 = x8 + y8 − x6 y2 − x2 y6  = x6 ( x − y ) − y ( x − y )  = ( x6 − y )( x − y )  = ( x − y )( x + x y + y )( x − y )  ( = x − y ) (x + x2 y + y )  Bài 56: CMR : 2a2 + b2 + c2  2a (b + c ) HD: Ta có: 2a + b2 + c − 2ab − 2ac  = ( a − 2ab + b2 ) + ( a − 2ac + c )  = ( a − b ) + ( a − c )  2 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 57: CMR : a + a3b + ab3 + b4  HD: ta có: a3 ( a + b ) + b3 ( a + b )  = ( a3 + b3 ) ( a + b )  ( ) = ( a + b ) a − ab + b2  Bài 58: CMR : a − 2a b + 2a b − 2ab3 + b4  HD: Ta có: ( a4 − 2a2 ab + a2b2 ) + (b4 − 2ab.b2 + a2b2 )  2 = ( a − ab ) + ( b − ab )  2 Bài 59: CMR : a + b4 + c +  2a ( ab2 − a + c + 1) HD: Ta có: a + b4 + c + − 2a 2b2 + 2a − 2ac − 2a  = ( a + b4 − 2a 2b2 ) + ( a − 2ac + c ) + ( a − 2a + 1)  ( = a − b ) + ( a − c ) + ( a − 1) 2 0 Bài 60: CMR : ( ab + bc + ca )  3abc ( a + b + c ) HD: Ta có: a 2b2 + b2c + c a + 2ab2c + 2abc + 2a 2bc − 3a 2bc − 3ab 2c − 3abc  = a 2b2 + b2c + c a − ab2c − abc − a 2bc  ab = x  Đặt bc = y => x2 + y2 + z − xy − yz − zx  ca = z  = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  2 1 1 1 1 Bài 61: CMR : y  +  + ( x + z )   +  ( x + z ) , Với  x  y  z x z y x z HD: Ta có: y ( x + z) x + z ( x + z) + − 0 xz y xz = y + xz − y ( x + z )  = y2 + xz − xy − yz  = ( y − x )( z − y )  Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR : 1 +  a +1 b +1 HD: Ta có: Quy đồng = 3( a + b + 2)  ( a + 1)(b + 1) = ( ab + a + b + 1)  =  4ab = ( a + b )  4ab = ( a − b )  ( đúng) 10 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Giả sử : a  b  c = Ngoặc 2,  c ( a 2015 − b2015 ) + ( a − b ) ( a2015 + b2015 ) a 2015 b2015 ta có ngoặc 1= − =  , ĐPCM (b + c − a ) (c + a − b) (b + c − a )( c + a − b ) Bài 27: Cho a + b + c = 1, CMR : a + b + c  HD :   2 a = x +  a = x + x +     b = y + = b = y + y +  Đặt 3 Cộng theo vế ta :     2 c = z + c = z + z +   a + b2 + c2 = ( x2 + y + z ) + (1) (x + y + z) + 3 mà : a + b + c = x + y + z + = x + y + z = , Thay vào (1) 1 => a + b + c = x + y + z +  3 a b c + + 3 Bài 28: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: b+c−a a +c −b a +b−c HD : b + c − a = x  x + y = 2c y+z x+z x+ y   Đặt : a + c − b = y =  y + z = 2a , Khi : A = + + x y z a + b − c = z  z + a = 2b    x y  z x  z y =  +  +  +  +  +   = A   y x x z  y z a b c d + + + 2 Bài 29: Cho a,b,c,d>0, CMR: b+c c+d d +a a+b Bài 30: Chứng minh với ba số a, b, c đơi khác : a3 b3 c3 + + = a+b+c ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b ) Bài 31: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn : a + b + c ( b − c ) ( c − a) ( a − b ) 2 a b c + + = , CMR : b−c c−a a−b =0 Bài 32: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích chu vi HD: Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) Ta có: xy = ( x + y + z ) (1) x + y2 = z2 (2) Từ (2) = z = ( x + y ) − xy , thay vào (1) ta có: z = ( x + y ) − ( x + y + z ) = z + z = ( x + y ) − ( x + y ) 2 z + z + = ( x + y ) − ( x + y ) + = ( z + ) = ( x + y − ) 2 33 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức = z + = x + y − = z = x + y − , thay vào (1) ta : xy = ( x + y + x + y − ) = xy − x − y = −8 = ( x − )( y − ) = = 1.8 = 2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z : ( 5;12;13) ; (12;5;13) ; ( 6;8;10 ) ; (8;6;10 ) 34 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức DẠNG 5, TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT CO SI: Bài 1: Cho a  2, CMR : a +  a HD : Ta có : Dấu a = => 1 = = k a = k = k = a Khi ta có : a 3a a 3a 3a VT = + +  + = 1+  1+ = a 4 4a 4 2 1 a  = Dấu  a a = Bài 2: Cho a,b > 0, a + b  1, CMR : a + b + 1 + 5 a b HD : a + b = 1 1 = a = b = = = = k = k = Ta có : Dấu  a a = b 1  1  1  1  Khi : VT =  + a  +  + b  =  + 4a  +  + 4b  − ( a + b ) a  b  a  b   + − ( a + b ) , Mà a + b  = −3 ( a + b )  −3 = VT  + − = x2 + y Bài 3: Cho x  y  0, Tìm GTNN của: P = xy HD : x x y Ta có : P = + , đặt = a = a  = P = a + y y x a 1  a  3a Dấu a = = = = k.2 = k = = P =  +  + a a 4 3.2 P + = 1+ = 2 4 Bài 4: Cho a  3, Tìm GTNN của: S = a + a HD : 1 Ta có : Dấu a = = = = k = k = a  a  8a 8.3 10 S = + +  + = + = 9 3 a 9 10 Vậy Min S = Bài 5: Cho x  1, Tìm Min của: A = x + 2x HD : 1 = = k = k = Ta có : Dấu x = = 2x  3x  5x 5.1  + = 1+ = Khi : A =  +  + 2  2x  35 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 6: Cho x,y sớ thực dương thỏa mãn: x+y  6, Tìm Min của: P = 5x + y + 10 + x y HD : Dấu x  y , Dự đốn có cặp (x ; y) (1 ;5),(2 ;4) , (5 ;1) (4 ;2) nhận thấy cắp (2 ;4) P có giá trị nhỏ Khi ta có : 10 x = = = = k 5.2 = k = ,, = = 3.4.h = h = x  10 x   y  x y => P =  +  +  +  + +  2.5 + 2.2 + = 29 2  x  y  Bài 7: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn : a+2b+3c  20, Tìm Min của: P = a + b + c + + + a 2b c HD : Dấu a=2, b=3, c=4  3a   b   c  a b 3c Khi : P =  +  +  +  +  +  + + +  a   2b   c  4 1 P  + + + ( a + 2b + 3c )  + 20 4 Bài 8: Cho a  2, Tìm Min của: S = a + a HD : 1 Dấu a=2=> = = h.2 = h = , Khi ta có : a 3.2  a a  3a S =  + +  +  33 + = + = 64 4 4 8 a  1 Bài 9: Cho  a  , Tìm Min của: S = 2a + a HD ; 1 Dấu a = = = = k = k = , Khi ta có : a 1   S =  + 8a + 8a  − 14a  3 64 − 14a , mà a  = −14a  −7 = S  3.4 − = a  1 Bài 10: Cho a  10, b  100, c  1000, Tìm Min của: A = a + + b + + c + a b c HD : 1 = k 10 = k = Dấu a = 10 = = , Tương tự với b c, a 10 100 Khi ta có : 99.10 101  a  99a B= +  + = , Tương tự với b c + 10 100 100  a 100  100 Bài 11: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c  1, Tìm Min của: P = a + b + c + 1 + + a b c HD : 1  1  1  Dấu a = b = c = , Khi P =  + 9a  +  + 9b  +  + 9c  − ( a + b + c ) a  b  c  P  + + − ( a + b + c ) Mà a + b + c  = −8 ( a + b + c )  −8 Vậy P  + + − = 10 36 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 12: Cho a,b,c ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của: P = ab + bc + ca HD : a+b+ 1 Ta có : Dấu a = b = c = = ab = 3 a.b  3 3 1 b+c+ c+a+ , ca  3 Tương tự ta có : bc  3 3  2a + 2b + 2c  Cộng theo vế ta : P  3  + = 3 3  1 Bài 13: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c  , Tìm Min của: P = a + b + c + + + a b c HD : 1  1  1  Dấu a = b = c = = P =  + 4a  +  + 4b  +  + 4c  − ( a + b + c ) a  b  c  15 P  + + − = 2 Bài 14: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c  1, 1 1 Tìm Min của: P = a + b + c +  + +  a b c HD : 2  2  2  Dấu a = b = c = = P = 18a +  + 18b +  + 18c +  − 17 ( a + b + c ) a  b  c  = P  19 Bài 15: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1, , Tìm Min của: a3 b3 c3 A= + + 2 (1 − a ) (1 − b ) (1 − c ) HD : Khi : 1− a 1− a b3 1− b 1− b + +  a , Tương tự ta có : + +  b 8 8 (1 − b ) Dấu a = b = c = a3 (1 − a ) c3 (1 − c ) + 1− c 1− c +  c 8 Cộng theo vế ta : A  (a + b + c) = 4 Bài 16: Cho a,b số thực dương thỏa mãn: a + b  , Tìm của: S = ab + ab HD : 1 = = = 16ab ab   Khi ta có : S = 16ab +  − 15ab  16 − 15ab ab   −15 mà a + b  ab =  ab = ab  = −15ab  4 Ta có : Dấu a = b = 37 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Vậy S  2.4 − 15 15 17 = 8− = 4 Bài 17: Cho a,b số thực thỏa mãn: a + b  , Tìm A = a + b + 1 + a b2 HD : 1  1  = A =  8a + 8a +  +  8b + 9b +  − 15 ( a + b ) a   b   = S  3.4 + 3.4 −15.1 = 1 Bài 18: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a + b + c  , Tìm Min P = a + b + c + + + a b c HD : Dấu a = b = c = 1  1  1  Khi đoa : P =  8a + 8a +  +  8b + 8b +  +  8c + 8c +  − 15 ( a + b + c ) a   b   c   45 27 P  3.4 + 3.4 + 3.4 − 15 = 36 − = 2 1 Bài 19: Cho a,b,c sơ thực dương thỏa mãn: a + b + c  , Tìm Min: A = a + b + c + + + a b c HD : Dấu : a = b = c = 1   1  1  31 1  = P =  a + +  +  b2 + +  +  c + +  +  + +  8a 8a   8b 8b   8c 8c   a b c   3 3  27 P + + +  = 4 4 a+b+c  Bài 20: Cho x,y số thực dương thỏa mãn: x + y  Dấu a = b =    Tìm Min của: A = 1 −  1 −   x  y  HD : Dấu : x = y = = A = , Ta cần chứng minh A     Xét 1 −  1 −   = ( x − 1)( y − 1)  x y  x  y  =  x2 + y2 + 8x2 y2 ,  ( x + y ) , Nên ta cần chứng minh : ( x + y)  x + y + 8x y = xy (1 − xy )  ( x + y) BĐT do:  xy  1 = Min A = x = y = 4 a+b ab + Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của: P = ab a + b HD :  a+b ab =  Dấu :  m ab a + b = m = a = b  Khi ta có :  38 GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a+b ab a + b 3.2 ab 3.2 + + 2 + = 1+ = 4 ab 4 ab a + b ab 1 + Bài 22: Cho a + b  a,b>0, Tìm của: P = 2 a +b ab HD : Dấu a = b = 1   Khi : P =  +  + + 2  a + b 2ab  2ab ( a + b ) 2ab P= P ( a + b) +  + = 6 2 4ab ( a + b ) ( a + b ) (a + b) Bài 23: Cho a,b>0 a + b  , Tìm Min của: P = 1+ a + b 2 + 2ab HD : 1 = Khi : 2 1+ a + b 3.2ab 1   + => P  = P =  +  + + 2 2  + a + b 6ab  3ab ( a + b + 6ab + 1) 3ab ( a + b ) + 4ab + 3ab Dấu : a = b = Mặt khác : a + b  ab = ab  = P  + = + 3 1 + a + b = 6ab  Dấu a = b = a = b = a + b =  Bài 24: Cho a,b>0, a + b  , Tìm Min của: P = 1 + + 4ab a + b ab HD : Dấu a = b =       + + 4ab   +  4ab + Khi : P =  + + 2 4ab  4ab  a + b 2ab   2ab  ( a + b)  a + b = 2ab  1 4ab  = a = b = P + +  Dấu a 2b = 16 4ab ( a + b)  a + b = 1 1 Bài 25: Cho a,b>0 a + b  , Tìm Min của: S = 3 + + a + b a b ab HD : Dấu a = b = a3 + b3 + 3a 2b + 3ab2 = ( a + b ) 1 Khi : 3 = = a +b 2a b 2ab 1 1 25 S= 3+ + + +  2 a + b 2a b 2ab 2a b 2ab ( a + b ) + ab ( a + b ) 39 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 25 S ( a + b) + (a + b) , Vì 4ab  ( a + b ) ( a + b) = ab  => S  20 , Dấu a = b = Bài 26: Cho a,b,c>0 a + b2 + c = , Tìm Min của: P = a + b + c + abc HD : 1 , Khi : = 3, a = abc 3 1 Tìm m cho : = a = b = c = m = m.abc  abc  P = a +b+c +  44 + + 9abc  9abc 9abc 9abc  2 , Ta lại có : a + b + c  3 ( abc ) =  3 ( abc ) = a 2b 2c  P + 27 9abc 12 3 = P  + = =4 = 9abc  = =  = 9abc 3 3 3 3 1 1 1 Bài 27: Cho x,y,z>0 + + = , Tìm Max : P = + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z x y z HD : 1 1 Dấu xảy x = y = z = = x = y + z = = + + + 2x + y + z x y z x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nên : P   + + +  +  + + +  +  + + +  16  x x y z  16  x y y z  16  x y z z  Dấu a = b = c =  4 4  + +  =1 16  x y z  Bài 28 : Cho a,b,c số thực dương a + b + c = 1, CMR: a + b + b + c + c + a  HD : Dấu : a = b = c = = a + b = b + c = c + a = 3 +a+b 2 2 Khi ta có : , ( a + b ) + (b + c ) + ( c + a )  => ( a + b )  3 3 2 +a+b +b+c +c+a +3 +3 =2 Tương tự ta có : VT  2 Bài 29: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max A = a + b + b + c + c + a HD : Dấu : a = b = c = = a + b = b + c = c + a = 3 2 a+b+ + 2 3 Nên : a + b = 3 ( a + b )  3 3 Tương tự ta có : 2 2 b+c+ + a+c+ + 9 3 c + a  3 b+c  4 40 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 2(a + b + c) + = 18 x2 y2 z2 Bài 30: Cho x,y,z>0 xyz=1, CMR: + +  1+ y 1+ z 1+ x HD : x2 1+ y Ta có Dấu x = y = z = = = = =  = 1+ y  Cộng theo vế ta : P  y2 1+ z z2 1+ x x2 + y Khi : + +  y z +  x , tương tự ta có : 1+ y 1+ z 1+ x 4 3 Cộng theo vế ta : P  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) − = ( x + y + z ) − = 4 4 Bài 31: Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn : xy + yz + zx = , Tìm Min : P = 3x2 + y2 + z HD :   x + y  xy   Ta có :  x + z  xz , Cộng theo vế ta : P  ( xy + yz + zx ) = 10   2  y + z  yz Dấu x=y=1, z=2 Bài 32: Cho x,y số thực dương thỏa mãn : x + y + xy = , Tìm Min : P = x2 + y2 HD : x + y) ( t2 = + t  = t  −8 t  Ta có : = x + y + xy  x + y + 4 ( x + y) = Hay ( x + y )  16 = P = x + y  x + y =  = x = y = Dấu  x = y  x + y + xy =  Bài 33 : Cho a,b số thực thỏa mãn :  a  3,8  b  11 a+b=11, Tìm Max : P = ab HD : Dấu a = 3, b = = 8a = 3b ( 33 + 5.3) = 24 1 (8a + 3b ) 1 = 3 ( a + b ) + 5a   ( 3.11 + 5a )  Khi : P = ( 8a.3b )  24 24 96 96 96 Bài 34: Cho x,y > 0, x + y  6, CMR : A = x ( x −1) + y ( y −1)  12 HD : Dấu x = y = Khi : A = ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + ) + ( y + ) − ( x + y ) − 18 A  2.3x + 2.3 y − ( x + y ) −18 => A  ( x + y ) − ( x + y ) −18 = ( x + y ) −18  30 −18 = 12 Bài 35: Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn : a + b + c = 1, CMR : S = a + b + b + c + c + a  16 HD : Dấu a = b = c = = a + b = b + c = c + a = 3 41 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức +a+b Co si ngược ta có : , ( a + b)  2 +b+c +c+a 2 , Tương tự ta có : (b + c )  (c + a)  3 2(a + b + c) S  + = = S  = Cộng theo vế ta : 2 Bài 36: Cho a,b > 1, CMR: a b −1 + b a −1  ab HD : Dấu : b −1 = a −1 = = a = b = Co si ngược ta có : (b −1) + = ab a ( b − 1)  a 2 a − + ab b ( a − 1)  b = 2 Cộng theo vế ta : ab ab a ( b − 1) + b ( a − 1)  + = ab 2 x2 y2 z2 Bài 37: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: P = + + y+z x+z x+ y HD : Dáu x = y = z = x y+z Khi : = = = k = y+z k x2 y+z Nên : +  x , Tương tự ta có : y+z x+ y+z x+ y+z P+  x + y + z = P  =1 2 x2 y2 Bài 38: Cho x,y > 1, CMR : + 8 y −1 x −1 HD : Dấu x = y , Thay vào ta : x2 x2 + = = x = y = x −1 x −1 y2 x2 + ( y − 1)  x Khi : + ( x − 1)  y y −1 x −1 VT  ( x + y ) − ( y −1) − ( x −1) = Bài 39: Cho a,b,c > 0, thỏa mãn: a + b2 + c = , CMR: a b c 3 + 2+ 2 b +c a +c a +b 2 HD : Dấu a = b = c = 42 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức a2 a 2a 2a 27a a 3  a  =  =  Khi :  2  = 2  b + c  (1 − a ) (1 − a2 )(1 − a2 ) 2a2 27 3 3 3 3 2 3 Tương tự ta có : VT  a +b +c = (a + b + c ) = 2 2 43 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức BẤT ĐẲNG THỨC CHƯA SOẠN Bài : Cho a + b = x + y, a2 + b2 = x + y2 , Chứng minh : a2010 + b2010 = x2010 + y2010 HD: Từ a + b = x + y = a − x = y − b Mặt khác: a2 + b2 = x + y2 = a2 − x = y2 − b2 = ( a + x )( a − x ) = ( y + b )( y − b )  a − x = 0,(1) = ( a + x )( a − x ) = ( y + b )( a − x ) =   a + x = b + y,(2) a − x = = b = y = a2010 + b2010 = x 2010 + y2010 Với  a + b = x + y a + b = x + y = a = y = b = c = a2010 + b 2010 = x 2010 + y 2010 Với  a + x = b + y Bài : Cho x+y=2, CMR: x2011 + y2011  x2012 + y2012 HD : Xét ( x 2012 + y 2012 ) − ( x 2011 + y 2011 ) = x 2011 ( x − 1) + y 2011 ( y − 1) = x2011 (1 − y ) + y 2011 ( y − 1) Do x-1=1-y Vậy ( x 2012 + y 2012 ) − ( x 2011 + y 2011 ) = (1 − y ) ( x 2011 − y 2011 ) Giả sử : x  y = x2011  y2011 x1   y : (1 − y ) ( x 2011 − y 2011 )  ( dpcm ) Tương tự lấy y  x = y2011  x2011 y   x đo (1 − y ) ( x 2011 − y 2011 )  ( dpcm ) dấu = x=y=1 Bài 3: CMR: A = a b c + + 3 b+c −a a +c −b a +b −c HD: Đặt b + c − a = x  0, c + a − b = y  0, a + b − c = z  , từ đó: y−z x+z x+ y a= ,b = ,c = thay vào A ta 2 y + z x + z x + y  y x   x z   y z   A= + + =  +  +  +  +  +    ( + + )  2x 2y 2z  x y   z x   z y   Bài 4: CMR: a, b, c độ dài cạnh tam giác A  x −  +  − 1 + ( z − 1)  => 2  2  44 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 7: Cho a, b, c  a + b + c  1, CMR: 1 + + 9 a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Đặt x = a2 + 2bc, y = b2 + 2ac, z = c2 + 2ab 1 Khi x+y+z= ( a + b + c )  + +  với x + y + z  x y z Áp dụng Co si cho số : x + y + z  3 xyz ta 1 1 + +  33 x y z xyz 1 1 1 1 => ( x + y + z )  + +   mà x + y + z  => + +  đảng thức xảy x=y=z= x y z x y z Bài 8: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn: a+b+c=3 CMR: a + b2 + c  HD: Theo giả thiết ta có: ( − x )( − b )( − c )  = + ( ab + bc + ca ) − ( a + b + c ) − abc  Cộng hai vế với a + b2 + c2 sau thu gọn ta được: ( a + b + c )  a + b2 + c + abc + = a + b2 + c + abc  , Mà abc  = a + b2 + c  Đẳng thức xảy ba số a,b,c có số 0, số số Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: x2 + y3  x3 + y4 , CMR : x3 + y3  , dấu xảy ? HD: Áp dụng BĐT si cho hai số dương ta có: x + x3  2x2 , y2 + y4  y3 x + x3 + y + y  x + y = x + y  ( x + y − x3 − y )  x + y Do x2 + y3  x3 + y4 Mà x2 +1  2x, y4 +1  y2 Nên 1+ x2 +1+ y4  2x + y2  2x2 + y3  x2 + y3 + x3 + y4 x3 + y3  dấu x=y=1 Bài 10: CM: x2 + y2 − xy  x + y −1 HD: x + y − xy  x + y − = ( x + y − xy )  ( x + y − 1) => 2x2 + y2 − 2xy  2x + y − => ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1)  đúng, dấu x=y=1 2 Bài 11: CMR khơng có giá trị x thỏa mãn: HD: Ta có: −4 ( x − 1) +1 − mà −4 ( x − 1) +1 −4 −5  x − 2x + 2  0, −5  => đpcm Bài 12: Cho a, b số dương thỏa mãn: a3 + b3 = a5 + b5 , CMR: a + b2  + ab HD: Ta có: a + b2  + ab = a + b2 − ab  = ( a + b ) ( a + b2 − ab )  a + b = a3 + b3  a + b => ( a3 + b3 )( a3 + b3 )  ( a + b ) ( a5 + b5 ) = 2a3b3  ab5 + a5b => ab ( a − 2a 2b2 + b4 )  = ab ( a − b2 )  a, b dương Bài 13: Cho số a, b, c 0;1 , CMR: a + b2 + c3 − ab − bc − ca  HD: Do a,b,c 0;1 Nên (1 − a )(1 − b )(1 − c )  = − a − b − c + ab + bc + ca − abc  => a + b + c − ab − bc − ca  − abc  1, Do a,b,c 0;1 nên b2  b, c3  c , từ ta có: a + b2 + c3 − ab − bc − ca  a + b + c − ab − bc − ca  45 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 14: Cho a>0, b>0 a+b=1, CMR: 1 +  a +1 b +1 HD: 1 +  = ( a + + b + 1)  ( a + 1)( b + 1) =>  ( ab + a + b + 1) a+b=1 a +1 b +1 2 =>  4ab + =  4ab = ( a + b )  4ab => ( a − b )  với a, b Bài 15: Cho a, b, c ba số dương 1 a+b c+b + = , CMR : + 4 2a − b 2c − b a c b HD: 1 bc ab + = = 2a − b = 2c − b = a c b a c a+b c+b a+b c+b c c a a ac => + = + = + + +  44  ab bc 2a − b 2c + b b a b c b c a Áp dụng BĐT Cô si cho số a, b, c dương , dấu a=b=c Bài 16: Cho a,b,c số thỏa mãn hai điều kiện sau:  a  b, ax2 + bx + c = vô nghiệm, a+b+c =3 CMR: b−a HD: a+b+c  = a + b + x  ( b − a ) = 4a + c  2b (*) Do  a  b nên ta có b−a Vì phương trình ax + bx + c = vô nghiệm nên b  4ac a+b+c b2 b2 b2 3 = 4a + c  4a +  4a = 2b từ suy ra: (*) hay => c  b−a 4a 4a 4a Bài 17: Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn : a3 + b3 = a − b , CMR : a + b2 + ab  Bài 18: Cho x,y,z ba cạnh tam giác: CMR: A = x y − ( x + y + z )  Bài 19: CMR : x + 2012 x − 2011x + 2012  với x Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: −2  a, b, c, d  a + 2b + 3c + 5d = 10 CMR: a + 2b2 + 3c + 5d  140 1 1 1 1 + +   + +  Bài 21 : CMR : x + yz y + xz z + xy  xy yz xz  HD : 1 1   yz + xz + xy  2 Ta có : x + yz  x yz = x yz Khi : VT   + + =     x yz y xz z xy   xyz   y+z x+z x+y + + 2   x + y + z   1   VT    = + + , Dấu ‘’=’’ x=y=z xyz  xyz   yz zx xy  Bài 22 : CHứng minh : x1 + 1 1 = x2 + = x3 + = = xn + , x1 = x2 = x3 = = xn x2 x3 x4 x1 : x1.x2 x3 xn = Bài 23 : Cho a, b, c, d >0, CMR :  a+b b+c c+d d+a + + + 3 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b 46 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 24: Chứng minh a, b, c sớ thực thỏa mãn: 1 + + = a + b + c = abc , a b c 1 + + =2 a2 b c Bài 25: Cho a + b + c = p , CMR: 2bc + b2 + c2 − a2 = p ( p − a ) Bài 26: Cho x + y = a, x + y2 = b, x + y3 = c , CMR: a − 3ab + 2c = 4 Bài 27: Cho a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = , Tính giá trị của: M = a + b + c Bài 28: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: ( a + b + c ) = a2 + b + c , CMR: a2 b2 c2 + + =1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 1 b+c c+a a+b + + Bài 29: Cho + + = , tính giá trị của: M = a b c a b c 2 a b c a b c + + = , CMR: Bài 30: Cho + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b a.x + b.y2 + c.z Bài 31: Cho a.x + b.y + c.z = , Rút gọn: A = 2 bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab ( x − y ) a b c Bài 32: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = , CMR: a.x + by2 + cz2 = x y z a b c a b c + + = , CMR: Bài 33: Cho + + =0 2 b−c c−a a−b ( b − c ) ( c − a) ( a − b ) Bài 34: Chứng minh nếu: x + y + z = −3 thì: Bài 35: C ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = ( x + 1)( y + 1)( z + 1) ho a ,b thỏa mãn: a  1, b  , CMR: 3 1 +  2 + ab 1+ a 1+ b 2018 2018 = a2020 + b 2020 , Tìm GTLN của: P = ( a + 1) + ( b + 1) Bài 36: Cho a, b không âm thỏa mãn: a + b 2 HD: Ta có: P = a2 + b2 + ( a + b ) +  + ( a + b ) , Bài 37: Cho a, b, c số thỏa mãn hai điều kiện  a  b, a.x2 + bx + c = vô nghiệm, a+b+c 3 Chứng minh rằng: b−a HD: a+b+c  = a + b + c  ( b − a ) = 4a + c  2b Do  a  b , nên bất đẳng thức: b−a Vì phương trình: ax + bx + c = vô nghiệm nên b  4ac b2 b2 b2 = 4a + c  4a +  4a = 2b 4a 4a 4a a+b+c 3 Từ suy ra: b−a = c  47 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức ... ( a8 + b8 + c8 )  ( a8 + b8 + c8 ) + a3 ( a5 + b5 + c5 ) + b3 ( a5 + b5 + c5 ) + c3 ( a5 + b5 + c5 ) = ( a8 + b8 + c8 )  ( a3 + b3 + c3 )( a5 + b5 + c5 ) Bài 70: Cho a+b=2, CMR : a8 + b8 ... Hợp Đức Bài 79: CMR : ( a8 + b8 + c8 )  ( a3 + b3 + c3 )( a5 + b5 + c5 ) HD: Ta có: ( a8 + b8 )  ( a3 + b3 )( a5 + b5 ) ( b8 + c8 )  ( b3 + c3 )( b5 + c5 ) ( c8 + a8 )  ( a3 + c3 )( a5 + c5... ( a + b2 + ab ) = a + b2 + ab  Bài 68: CMR : ( a8 + b8 )  ( a3 + b3 )( a5 + b5 ) HD: Ta có: 2a8 + 2b8  a8 + a3b5 + a5b3 + b8 = ( a8 − a5b3 ) + ( b8 − a3b5 )  = a5 ( a3 − b3 ) − b5 (