Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”... Hướng dẫn giải a Áp dụng bất đẳng thức Côsi:..[r]
Trang 1CHUYEN DE 4- HAM SO MU VA LOGARIT
1 KIEN THUC TRONG TAM
Lũy thừa và căn thức:
Khi ø lẻ, b= 4a ©>b" =a (với mọi a)
Khi 7 chan, bac) (với a>0)
b"=a
- Biến đổi lũy thừa: Với các số a>0,b>0,a@ va B tùy ý, ta có:
a“.a) =a°°”:a" :a” = a“°(a# Ỷ =a?
(ab) = a® b*;(a bỳ =a" :b®
- So sanh: Néu O0< a <b thi: a® <b® GS a>0;a* >b* oa<0
Lôgarit:
- Lôgarit cơ SỐ a: œ =log,b<>a” =b (0<a#Z1và b>0)
- Logarit co s6 10: log,, b=1gb hay logb
- Logarit co sé e: log, b= Inb(e ~ 2.7183)
- Tính chất: log 1= 0 va log, a’ =b voi a>0,a¥1
a" =b voi a>0,b>0,a #1
- Bién đổi lôgar1f trong điều kiện xác định:
log, (bc) = log, b+log,c
Trang 2Ham số lũy thừa y = 1”:
Liên tục trên tập xác định của nó
Dao ham (x*)'=ax*"(u*)'=au""w' Dang ky mua file word tron bo
chuyên đề khối 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
(vx) = | (x>0),(au) = _ =, voi u=u(x)>0
Dao ham: (z'} =a Ina;(e*)' =e;
(a") = au'Ina:(e")' —e'u' voi u= u(x)
Đồng biến trên ¡ nếu z >1, nghịch biến trên ¡ nêu O<ø<1
Ham s6 légarit y =log, x:
Liên tục trên tập xác dinh (0;+00), nhan moi gia tri thudc ;
Trang 3
Dao ham (log, x)'= ;(Ina)'= ;(In|x|)'=—
In) =—;{l '=— voi u= (Inz) ~~ 3(In|u) 7 VỚI 1 u(x)
x—>+œ xX xX x20 xX
x0
2 CAC BAI TOAN
Bài toán 4.1: Thực hiện phép tính
Trang 5HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Trang 8a) logs 18 — 18; 3p logs 2 — lees 2 — 25 — 32
b) 5 log, 36—log, 14—3log, /21 = log7 ti =log„7“ =-2
Bài tốn 4.10: Rút gọn các biểu thức:
a) A=log, 2.log,3.log,5.log, 6.log, 7
b) B= aÝ 99:9 _ pllose
Hướng dẫn giải a) A=log, 2.log, 3.log,4.log,5.log, 6.log, 7
_ log log3 log4 log5 log6 log7 log2 _
_ log3 log4 log5 log6 log7 log8 _ log8 _
b) Dat x=,flog b > log, b=x° >b=a*
a) Cho log, 15 = x,log,; L8 = y, tính log.„ 24 theo x, y
b) Cho a=log, 3,b=log,5,c = log, 2, tinh log,,, 63 theo a, b, c
Hướng dẫn giải log; 3.5 _ log, 3+log, 5 và y= log, ¬ _ I#2log;3
log, 2.3 1+log, 3 log,2.3 2+log,3
Do dé log,, 24 = 28273 - log, 5 2(x+I-2y+xy) 3-3 |
b)_ log,,63= log,,(3”.7)= 2log,,s 3+ log,„; 7
lò,2=—lò., Se 3 82 2=— 3
Trang 10a) Theo giâthiết a” =(b—c)(b+c) Xét a=1: ding Dang ky mua file word
tron bo chuyén dé khoi 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soan tin nhan “ lôi muôn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Xét a#1 thi log, (b—c)+log, (b+c)=2>
nên log,,.at+log, a=2log,,.a.log, a
l ~
b) Tacé log, d-—log, d= =
log,a ˆ log, b (log, a)(log, b)
lo <
Tuong tu: log, d—log.d = — =
cần Bc log,b log,c (log, b)(log, c)
log, d—log.d _ log, a _ log.d
Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1 Chứng minh:
a) Nếu log, x=1+log, x.log, z, log, y=1+log, y.log, x thi:
A= log“ x.log , y.log, z.log,a.log, a.log.a=1 x a a
y Zz
b) Nêu x(y ) = y( ˆ y) = ;ứ > ‘) thi x.y" = yg = 2.x"
Trang 11
Ma log, y=1+log, y.log, z, nén log, y= 14—C8e)_ —1-log, z= og, ¥
1—-log, z log, y-l
=> log, z=1+log, y.log, z
Tuong ty trén, ta cting co log alog, y=1 Do đó
3
A= oe, x.log , o} [te y log o} (te z.log ‘ =]
Nếu một trong các số x+y—z,y+z—x,z+x—y băng 0 thì cả ba số đều bằng 0 và dẫn đến
x= y=z=O0, mau thuan
Do đó x+ y—z,y+z—x,z+x— y khác 0
x(log y).(y+z-x)= y(log x) (z+x-y)
Tir gid thiét thi: { y(log z).(z+ x— y) = z(log y).(x+ y-z)
z(logx).(x+ y—z}= x(logz) (y+z-x)
Ta có: x(log y).(y + z-x) = y(logx)(z+x- y)
Trang 12
< ylo8.—————= zÌ08 y.————
> y(logx).(z +x— y) = x(log y)(y +Z — x) : đúng
Chứng minh tương tự: yÝ.z” = z”.X”
Bài toán 4.16: Cho các số thục a2 b, c thỏa mãn l<a<b<c Chứng
log, (log, b) + log, (log, c)+log, (log, a) >0
Hướng dẫn giải
Vi l<a<b nén log, b >1=> log„(Iog„5) > log, (log„ b) > 0
Tacó l<a<c nên log a<]
Suy ra 0 > log, (log, a) > log, (log, a)
Do do log, (log, b)+log, (log, c) +log, (log, a)
> log, (log, b) + log, (log, c) + log, (log, a)
= log, (log, b.log, c.log a) = log, (1) =0
2 13 Bài toán 4.17: Trong khai triển nhị thức P(x) = 2 3+ we ,„x>0
Trang 13
1 ĐK: x>0,xz— Ta có:
a) tim! x—>0 X = tna lim og,(1+x) 1 x—>0 X Ina
b) x->+œ lim (1+) = e'im +“ - 4 Dang ky mua file word tron bo Xx x—>0 xX H
chuyên đề khối 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Trang 15Vay in| 4 5 | = Jab
Bài toán 4.24: Tính các giới hạn sau:
Trang 16b) Ta có: lim(cot xIn (1+ x)) = ñimnH++3) = im 0ng+3)) = lim +x _ =
x0 x0 tan x x0 (tan x)' x0 tan” x +1
nén lim(1 + x)" = lime) — eMenxn(xv) =e
Bài toán 4.26: Tính giới hạn sau:
a) lim x->+œ x—Alx?—]1 1 Inx b) "ai XIE X—7Z
Trang 17HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
Trang 18
y'=5x'—5*In5+e*”*(Inx+T)=5+xˆ —5*In5+ x” (Inx +1)
Bài toán 4.28: Tìm đạo hàm của các hàm sô sau:
y"-[3y'- 12y = (64e*" —2e*)-13(4e** — 2e*) -12(e** + 2e*) =0
Trang 20HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Hướng dẫn giải
2x
a) D=(Cs;-1)t/(E+2).y'==—¬
Khi x<—1 thì y'< 0 nên hàm số nghịch biến trên (_—œ;-l)
Khi x >l thì y'>0 nên hàm số đồng biến trên (1; +00)
Ham sô không có cực trị
b) D=(-1+0),y'=1-——=—2-, y'=06 x=0
l+x 14+x
y'>0,V+x e(0;+œ) nên hàm số đồng biến trên (0;+00)
y<0,Vxe (—1:0) nên hàm số nghịch biến trên (—1:0)
Tacó y"= > >0 nên đạt cực tiêu tại x = Ö, y.„ =0
(1+ x)
Bài toán 4.33: Cho ø, b, c là các sự thực dương Chứng minh hàm số
Trang 21Do đó r6)=X[y==] x sym sym
a‘b* (Ina—Inb)+a‘*c* (Ina-Inc)
Trang 22Hướng dẫn giải
a) Tacó log;4>l và log, <0, suy ra log, 4> log, =
b) Tacé log, 1,1>0 nên 3°" > 3° =1 (vi 3>1) va log, 0,99 <0 nén 7°" <7? =1 (vi 7>1)
Suy ra 3°" > 7log, 0,99
Bài toán 4.37: Hãy so sánh các số:
a) log, 27 > log, 25 b) log, 9 > log, 25
Hướng dẫn giải a) log, 27 > log, 25 > log, 25
b) log,9=log, 3 = log, 27 > log, 25
Trang 23Bài toán 4.39: Chứng minh:
a) log,(øm+])>log„.,(m+2) với mọi số nguyén n> 1
b) a" +b" <c",néu m>1, a+b=c voi a>0,b>0
Hướng dẫn giải
3) — A=log, (n-+1)=og,n{ 1+ +) =14 to, KH Đăng ký mua file word
trọn bộ chuyên đề khôi 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
B=1 og„.¡(n +2) og, (m1) 2)=1 —— |= ] Log, 1+) ——
Ta có Leto 1+2 > tog,[ 142] >1og, (14+)
Trang 24Cho z,b,c >0 Chứng minh a“.b”.c° >a”.b°.c*
Cho a, 5, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn Chứng minh:
Vì zư>b>c>0 nên a“”.b”*°>c*®°?b°*°=c“°
-Xéta>c>b:BĐT Gada’ >be? ce
—b a
Vi a>c>b>O0 nen Do’ cc <a a" =a”
Không mất tính tổng quát, ta giả str a là cạnh lớn nhất trong các cạnh của tam giác Khi đó, ta có
Trang 25tg, y-5] +08, (2-5 ] roe 1-5} +108, (x-3)=8
Hướng dẫn giải a) BĐT <> log(abe) > < log(a“.b°.°)
©(a+b+c)log(abe)< 3(log a“ +logb’ +log c°}
©(a+b+c)(loga+ logb+ loge) < 3(aloga+blogb + clogec)
& (a—b)(loga—logb) +(b—c)(logb—logc)+(c-—a) (loge —loga) >0
BDT này đúng vì cơ số I0>1 nên x>y>0 =>logx>log y hoặc 0< x< y—>logx<logy nên
(x- y)(logx— log y)>0, Vx>0,Vy >0
2
b) Ta có: lang) "xả VỚI mỌI 4
Và vì 1 <x, y,z,f < Ì nên hàm nghịch biên, do đó:
VT >log, y” +log, zˆ +log, rˆ + log, x”
= 2(log, y+log, z+log,t+log, x)
> 8.4/log, y.log, z.log, t.log, x = #1 =8
Bài toán 4.42: Chứng minh:
a) nn! >(n+1)',Vne¥ ,n>3
b) x" +y" ="Yx"""+y""! với ø nguyên, „>2 và x, y >0
Hướng dẫn giải a) Với nE¥,n>3, bat dang thirc trong đương
Trang 26Suy ra f (z) > Ì với mọi f€ (0: +00) —> dpcm
Bài toán 4.43: Chứng minh các bất đăng thức sau với mọi x >0
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
a) Xét hàm số ƒ(x)=e”—x—l,x>0 thì ƒ'{x)=eÌ—1>0,Vx >0 nên ƒ đồng biến trên (0;+s) vì ƒ liên tục trên |0:+=) nên ƒ đồng biến trên |0: +œ): x>0 => f (x )> f (0)=0: dpcm
Trang 27nên ƒ đồng biến trên 0i5 ]:x>0= /(3)> /(0)=0:đpơm
b) Nếu x<0 thì BĐT đúng Nếu x>0, vì xẲ—2x+2>0,Vx nên
Trang 28
2
x a) e@& +†€OSX22†X—-—,VA
Vì đe +e ”>2 và To? nén f'(x)>0,Vx>0
l+x
Do đó ƒ (x) đồng biến trên |0:+=) nên f (x) > f (0) =0Q=> dpcm
Bài toán 4.46: Cho 0< x< 1;0< y<1 va x# y Ching minh rang:
LÍm-* _m-_* |>4
y—x\ ly l—x Hướng dẫn giải
Do x # y, không giảm tổng quát, giả sử y > x Xét hàm số
Trang 29
ƒ()=——-4r với 0<r<1= /'(y)~Cƒ—) l—í f(L—r)
Vậy #0) là hàm đồng biến trên (0:1) mà y>x nên ta có ƒ(y)>#Œ) hay
f'(x)= Jf SBE (ta) = —(4#.In4 -(I+4)n(I+4'))<0 x x
nên ƒ nghịch bién: a>b>0O=> f(a)< f(b): dpom
Bài toán 4.48: Cho p > l,g >Ï thỏa p+= pạ và a,b>90
Trang 30Bài toán 4.49: Cho ,b >0 và ø+b= 1 Chứng minh bất đắng thức
o” <ae' +be’,vx,vy Dang ky mua file word trọn bộ chuyên đề
khối 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Hướng dẫn giải
Tacó b=1-—a do do 0<a<1 nén BDT:
Bài toán 4.50: Cho a,b,c > 0 Ching minh
a) a’ +b" >1 b) (a+b) +(b+c)' +(c+a) >2
Hướng dẫn giải a) Nếu >1 hoặc b>1 thì ø”+“ >1
Nếu 0<ø,b<1 Xét ƒ(x)=(I+x} —I—=øx,x>0,0<ø <1
Ho)na(teay anal iJ
Trang 32k=0
Két quả C?, = Sai = 293 930
Bài tập 4.5:
a) Tinh log „ 50 theo log, 15 = a,log, 10 =0
b) Tinh In6,25 theo c=In2,d =In5
Hướng dẫn
a) Đưa về cơ số 3 Kết quả 2ø+2b— 2
b) Đưa về cơ số e Kết quả 2đ — 2c
Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu a’ +b* =7Tab thi log, — = 29g; a+log,b)
b) Néu log,,18 = a,log,,54=b, thi ab+5(a—b)=1
Trang 33Bài tập 4.§: Tìm đạo hàm của các hàm sô sau:
In(x* +1
Hướng dẫn xlog, x° 2Vx° +1
Vx +1 x
2 In(x?+]) b) Kết quả y'= —
Dùng định nghĩa và kẹp giới hạn Kết quả f '(x) =e",
Bài tập 4.9: Cho ƒ liên tục trên ¡ :
Suy ra Š mil =10" va (5V7 =10°
,Vx,y€¡ Tính f'(x)
Trang 34
Kêt quả log ` wt > og) + logv7 2
