Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 10 số phức và ứng dụng lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Số phức phép toán Tập hợp số phức £ , đơn vị ảo i với i = −1 - Số phức (dạng đại số): z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) a phần thực, b phần ảo z Kí hiệu Re z = a, lm z = b - Số phức liên hiệp số phức: z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) z = a − bi z số thực ⇔ phần ảo z ⇔ z = z z số ảo ⇔ phần thực z ⇔ z = − z z = số phức vừa số thực vừa số ảo - Môđun số phức: z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) z = a2 + b2 = z z - Phép toán: ( a + bi ) + ( a '+ b ' i ) = ( a + a ') + ( b + b ') i ( a + bi ) − ( a '+ b ' i ) = ( a − a ') + ( b − b ') i ( a + bi ) ( a '+ b ' i ) = ( aa '− bb ') + ( ab '+ ba ') i z ≠ : z −1 = ( a, b, a ', b ' ∈ ¡ ) 1 z' z'z z'z = z; = z '.z −1 = = z z z zz z Chú ý: 1) i m = 1; i m +1 = i; i m + = −1; i m +3 = −1 2) z = z; z + z ' = z + z '; zz ' = z.z ' z'  z' z' z' = ÷= , z z z z 3) zz ' = z z ' ; z = z ;  Số phức dạng lượng giác - Cho số phức: z = a + bi với a, b ∈ ¡ , z ≠ , ta có r ( cos ϕ + i sin ϕ ) với r > 2 dạng lượng giác số phức: z = a + bi ⇔ r = a + b ,cos ϕ = a b ,sin ϕ = r r ϕ acgumen z với số đo rađian Trang Góc lượng giác ( Ox, OM ) = ϕ + k 2π tức acgumen sai khác k 2π với k ( i − )  cos 12π − i.sin 12π ÷ 1− i z Khi z = khơng có dạng lượng giác dạng lượng giác không xác định - Nếu z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , z ' = r ' ( cos ϕ '+ i sin ϕ ' ) có: zz ' = rr ' cos ( ϕ + ϕ ' ) + i sin ( ϕ + ϕ ' )  z r =  cos ( ϕ − ϕ ') + i sin ( ϕ − ϕ ' )  , z ' ≠ z' r' Công thức Moa-vrơ Với n số nguyên, n ≥  r ( cos ϕ + i sin ϕ )  = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) n Đặc biệt: ( cos ϕ + i sin ϕ ) = cos nϕ + i sin nϕ n Căn bậc hai, bậc n số phức - Số phức z bậc hai số phức w ⇔ z = w Ta viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc thu gọn trình tìm bậc hai w - Số phức z bậc n số phức w ⇔ z n = w Đặc biệt đơn vị: ( cos ϕ + i sin ϕ ) = n ⇔ cos nϕ + i sin nϕ = cos + i sin ⇔ ϕ = k 2π , k = 0,1, 2, , n − n Do phương trình z n = có n nghiệm phức (là bậc n đơn vị) zk = cos k 2π k 2π + i sin , k = 0,1, 2, , n − n n Kết tổng của đơn vị Phương trình bậc hai, bậc n Phương trình bậc hai Az + Bz + C = với A ≠ 0, B, C số phức Lập biệt thức: ∆ = B − AC Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép z = −B 2A Nếu ∆ ≠ ta tìm bậc hai ω ∆ phương trình có nghiệm phân biệt z1,2 = −B ± ω 2A Định lý Viet: Nếu α β hai nghiệm phương trình bậc hai: Trang Ax + Bx + C = thì: S = α + β = − B C P = α β = A A Đảo lại, hai số phức α β nghiệm phương trình bậc hai: x − ( α + β ) x + α β = n n −1 - Phương trình bậc n: A0 z + A1 z + + An−1 z + An = A0 , A1 , , An n + số phức cho trước, A0 ≠ , n số nguyên dương ln có n nghiệm phức, khơng thiết phân biệt Hệ phương trình - Dùng biến đổi tích số, rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… hệ phương trình đại số để giải - Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) z ' = x '+ y ' i , ( x ', y ' ∈ ¡ ) vào hệ, đồng để tìm x, y, x ', y ' Biểu diễn số phức: - Biểu diễn hình học: Số phức z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) biểu diễn điểm M ( x; y ) hay vectơ 4i ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy gọi mặt phẳng phức Trục thực trục i −1 hoành trục ảo trục tung uuuu r uuuur - Nếu z , z ' biểu diễn M , M ' z + z ' biểu diễn OM + OM ', z − z ' biểu diễn uuuu r uuuur uuuuuu r OM − OM ' = M ' M Tập điểm biểu diễn số phức: - Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z + x + yi ( x, y ∈ ¡ ) - Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ x y hay quanh hệ M điểm khác để xác định dạng loại tập điểm cần tìm CÁC BÀI TỐN Bài tốn 10.1: Thực phép tính sau: 33 10 1+ i  A= ÷ − ( − i ) + ( + 3i ) ( − 3i ) + i 1− i  B = + ( + i ) + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) 20 Hướng dẫn giải 1+ i ( 1+ i) + i + 2i − + 2i = = = =i − i − i2 1+1 2 Ta có: Trang 33 1+ i  33 16 Nên:  ÷ = i = ( i ) i = i Và ( − i ) = + i − 2i = −2i 1− i  Nên ( − i ) 10 = ( −2i ) = −32i Từ tính C = 13 − 32i 1− ( 1+ i) 1− (1+ i) − q 21 D = u = = Ta có 1− q 1− ( 1+ i) −i 21 mà ( + i ) 21 = ( + i ) ( + i ) 20 = ( + i ) ( 2i ) 21 10 = − ( + i ) 210 = −210 − i.210 Vậy: D = + ( 210 + i.210 ) −i = −210 + ( 210 + 1) i Bài toán 10.2: Cho số phức z thỏa mãn: a) z −i z +1 = z + Tính z+2 z + 2i b) z − = i Tính + ( + i ) z z +1 Hướng dẫn giải a) Ta có z +1 = z + ⇔ z + = ( z + 3) ( z + ) , z ≠ z+2  z = −2 + i ⇔ z2 + 4z + = ⇔   z = −2 − i Với z = −2 − i, z − i −2 − 2i 10 z −i 26 = = + i⇒ = 13 z + 2i −2 + 3i 13 13 z + 2i Với z = −2 + i, z −i −2 z −i = = + i⇒ = z + 2i −2 + i 5 z + 2i b) Đặt z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ Ta có: z − ) = i ⇔ a + b + a − − bi = −b + ( a + 1) i z +1 a + b + a − = −b  a = 1, b = −2 ⇔ ⇔  a = −2, b = −b = a + Với a = 1, b = −2 , + ( + i ) z = + ( + i ) ( + 2i ) = 3i = Với a = −2, b = , + ( + i ) z = + ( + i ) ( −2 − i ) = −3i = Bài toán 10.3: Cho số phức z Hỏi số sau số thực hay số ảo Trang ( ) a) z + z b) z−z ( ) z3 + z Hướng dẫn giải Ta tính số phức liên hiệp: ( ) a) z + z b) z−z ( ) = z−z ( ) ( ) z3 + z ( ) 2 = z + z = z + z Vậy z + z z + z3 =− z−z ( ) z3 + z Vậy số thực z−z ( ) z3 + z số ảo Bài tốn 10.4: Tìm bậc hai số phức a) + 3i b) 17 + 20 2i Hướng dẫn giải a) x, y ∈ ¡ Giả sử: ( x + yi ) = + 3i ( ) ⇔ x − y − + xy − i =  12  x − x =  x =  x − y = ⇔ ⇔ ⇔ y = y = 2 xy = x   x 2 Từ có bậc hai là: z1 = + 3i, z2 = −2 − 3i b) x, y ∈ ¡ Giả sử: ( x + yi ) = 17 + 20 2i ( ) ⇔ x − y − 17 + xy − 10 i =  x = 5, y = 2  x − y − 17 = ⇔ ⇔  xy − 10 =  x = −5, y = −2 Vậy có hai bậc hai + 2i, −5 − 2i Bài tốn 10.5: Tìm bậc hai w = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ¢ ) bậc hai w = a + bi ( a, b ∈ ¡ )  x2 − y = a ⇔ ( x + yi ) = x − y + xyi = a + bi ⇔  ( *) xy = b  Trang  x2 − y = a  x2 − y = a  2  ⇔ 4 x y = b ⇔ ( x + y ) − ( x − y ) = b  xyb ≥    xyb ≥  a2 + b2 + a x =   x2 − y = a  a2 + b2 − a  2 2 ⇔ x + y = a + b ⇔  y =  xyb ≥    xyb ≥   Vậy bậc hai cần tìm w = a + bi là:  ±   Hay  ±   a2 + b2 + a +i a + b2 + a −i a + b − a ÷ b ≥ ÷  a + b − a ÷ b < ÷  Bài tốn 10.6: Tìm bậc ba số phức 1+ i Hướng dẫn giải Đặt z = x + iy , x, y ∈ ¡ bậc ba ⇔ x3 − 3xy + i ( 3x y − y ) =   x − 3xy = ⇔ 3 x y − y =  1+ i 1+ i :z = 2 1+ i 2  ( x − y ) ( x + y + xy ) = ⇔ 2 ( x + y ) ( x + y − xy ) = 3 - Xét x + y = ⇒ y = − x nên x − x = −1  −1  −1 ⇒x = = ÷ ⇒x= 2  2 Trang −1 + i Ta có được: z1 = 2 Do đó: y = - Xét x + y − xy =  ( x − y ) ( x − y ) + xy  = x− y =      ⇔ Ta có hệ:  ( x − y ) − xy =  xy =  Từ có bậc ba là: z = −1 + i ; z = 2 ( ) −i 2( − +1 z3 = ( ) +i 2( +1 ) −1 ) +1 Bài tốn 10.7: Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: ( ) a) z.z + z − z = − 3i b) z = phần thực z hai lần phần ảo Hướng dẫn giải a) Đặt z = x + iy , x, y ∈ ¡ ( ) 2 2 Ta có: z.z + z − z = x + y + 3.2iy = x + y + yi  15  x = ± x + y = ⇔ Do đó: z.z + z − z = − 3i ⇔  y = −  y = −  ( Vậy z = ) 2 15 i 15 i − z = − − 2 2  z =  a + b = ⇔ b) Giả sử z = a + bi, a, b ∈ ¡ Ta có:  a = 2b a = 2b a = a = 2b a = −2 ⇔ ⇔ hay  b = − b = b = ± Vậy có hai số phức cần tìm: z = −2 − i 5, z = + i Bài tốn 10.8: Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: Trang ( ) a) z − z + − i = có ( − z ) i + z số ảo ( b) ( z + i ) + z − = z − 3i 2 ) Hướng dẫn giải a) Đặt z = x + yi, x, y ∈ ¡ Khi đó: z − z + − i =  y =  2 ⇔ + ( y − 1) i = ⇔ + ( y − 1) = ⇔  y = −  ( ) mà: ( − z ) i + z = ( ( − x ) − yi ) ( x + ( − y ) i ) = ( x ( − x ) + y ( − y ) ) + ( ( − x ) ( − y ) − xy ) i ( ) nên ( − z ) i + z số ảo phần thực: x ( − x ) + y ( − y ) =  x=  3 2 Với y = , ta có x − x + = ⇔  x = −   x=  2 Với y = − , ta có x − x + = ⇔  x = −  Vậy z = 3 1 + i , z = − + i , z = − i, z = − − i 2 2 2 2 ( 2 b) Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Khi đó: ( z + 1) + z − = z − 3i ⇔ ( x + ( y + 1) i ) + ( x − ) + yi = ( x − ( y + 3) i ) 2 ) 2 ⇔ x − ( y + 1) + x ( y + 1) i + ( x − ) + y = x − ( y + 3) − x ( y + ) i 2  x − ( y + 1) + ( x − ) + y = x − ( y + 3) ⇔ 2 x ( y + 1) = −4 x ( y + 3)  x − ( y + 1) + ( x − ) + y = x − ( y + 3) ⇔ 2 x ( y + ) = Trang 7    y = −  y = −  x = ⇔ hay  ⇔ 497 2 y − 10 y + 21 = ( ∆ < )   x = 497 = 4x   36 Vậy z = 497 − i 36 Bài toán 10.9: Viết dạng lượng giác số phức: ( ) a) − i ( + i ) b) 1− i 1+ i Hướng dẫn giải π π  π  π   ÷+ i sin  − ÷÷,1 + i =  cos + i sin ÷ 4  3     a) − i =  cos  −  (  )  π π  π π  nên − i ( + i ) = 2 cos  − + ÷+ i sin  − + ÷     4   π   π  = 2 cos  − ÷+ i sin  − ÷  12     12  b) 1− i   π π  π π  = cos  − − ÷+ i sin  − − ÷  1+ i 2  4     7π =  cos  −   12   7π   ÷+ i sin  − ÷   12   Bài tốn 10.10: Tìm acgumen số phức a) z = + ( ) −1 i b) z = + + i Hướng dẫn giải a) Ta có: z = + (  −1  −1 i = 2 −  +i ÷  2 − ÷ 2 −   )  2+ 2−  ÷ = 2 −  +i  ÷ 2   Dùng công thức hạ bậc: cos a = Ta tính được: cos π = + cos 2a − cos 2a , sin a = 2 + π 2− sin = Trang Vậy acgumen số phức π + kπ , k ∈ ¢ ( ) b) Biểu diễn hình học số phức z = + + i số phức z tương ứng với điểm A + 3,1 Đặt ϕ = ·AOH ta có tan ϕ = ⇒ sin 2ϕ = = AH = = 2− OH + ( ( ) ) 2− tan ϕ = + tan ϕ + − ( ) = 2( − ) = 4( − ) 2 2− 8−4 − tan ϕ = Tương tự cos 2ϕ = + tan ϕ Suy ra: 2ϕ = π π π + 2l π ⇔ ϕ = + l π Chọn ϕ = + k 2π 12 12 Vậy acgumen z = + + i π + k 2π ( k ∈ ¢ ) 12 Bài tốn 10.11: Viết dạng lượng giác số phức a) − ( cos ϕ + i sin ϕ ) + cos ϕ + i sin ϕ b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  ( + cos ϕ + i sin ϕ ) Hướng dẫn giải a) − ( cos ϕ + i sin ϕ ) ( − cos ϕ ) − i sin ϕ = + cos ϕ + i sin ϕ ( + cos ϕ ) + i sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − i.sin cos sin − i cos ϕ 2 = tan 2 = −i.tan ϕ = ϕ ϕ ϕ cos ϕ + i.sin ϕ 2cos + i.sin cos 2 2 2sin - Khi tan ϕ  π ϕ  π  > dạng lượng giác là: tan cos  − ÷+ i sin  − ÷ 2  2   - Khi tan ϕ π π ϕ < dạng lượng giác là: − tan  cos + i sin ÷ 2 2 - Khi tan ϕ = khơng có dạng lượng giác Trang 10 Mà (1): z + w5 = nên: z = ⇒ w = −1 z = −1 ⇒ w = Vậy hệ có hai nghiệm ( z , w ) là: ( 1; −1) ( −1;1) Bài toán 10.26: Giải hệ phương trình:    b)     x + iy − z = 10  a)  x − y + 2iz = 20 ix + 3iy − + i z = 30 ( )  z −1 =1 z −i z − 3i =1 2+i Hướng dẫn giải  x + iy − z = 10  x + iy − z = 10   ⇔  x − y + 2iz = 20 a) Ta có:  x − y + 2iz = 20 ix + 3iy − + i z = 30  x + y + i − z = −30i ( ) ( )   ( i + 1) y − ( + i ) z = −10 4 y − ( + i ) z = −20 − 30i Khử x ta có hệ:   x = − 11i  Từ có x = − 11i Vậy hệ có nghiệm:  y = −3 − 9i  z = − 7i  b) Ngoài cách giải đại số, cách viết z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) tính tốn Ta có cách giải hình học biểu diễn sau: Ta có tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn z − z0 = ⇔ z − z0 = z − z1 z − z1 đường trung trực đoạn thẳng A0 A1 với A0 , A1 theo thứ tự biểu diễn số phức z0 , z1 Do z −1 = nên điểm M biểu diễn số z = x + yi, với x, y ∈ ¡ phải nằm đường phân giác y = x z −i Còn điều kiện z − 3i = chứng tỏ phần ảo z Vậy z = + i z +i 2 4 Bài tốn 10.27: Khơng giải phương trình z + ( − i ) z + + 5i = Hãy tính: z1 + z2 , z1 + z2 Hướng dẫn giải Theo hệ thức Viet ta có: S = z1 + z2 = −2 + i, P = z1 z2 = + 5i Do z12 + z22 = S − P = ( −2 + i ) − ( + 5i ) = −3 − 14i Trang 20 z14 + z24 = ( z12 + z22 ) − z12 z22 = ( −3 − 14i ) − ( + 5i ) 2 = −155 + 24i Bài toán 10.27: Cho số phức z1 , z2 thõa mãn điều kiện z  z  z1 − z2 = z1 = z2 > Tính T =  ÷ +  ÷  z2   z1  Hướng dẫn giải Đặt z1 = w ta z2 w − z2 = z2 w = z2 > z2 Hay w − = w = Giả sử w = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Khi ta có ( a − 1) + b = a + b = ⇔ a = - Với w = ,b = ± 2 π π + i = cos + i sin 2 3 4π 4π 4π 4π 1 + i sin w = cos  ÷ = cos − i sin 3 3  w 4 z  z  4π 1 Do T =  ÷ +  ÷ = w4 +  ÷ = 2cos = −1 z z w    2  1 4 z  z  1 - Với w = − i , tương tự T =  ÷ +  ÷ = w4 +  ÷ = −1 2  w  z2   z1  Bài toán 10.29: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z + − 3i = b) z −i =1 z+i Hướng dẫn giải a) Giả sử: z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) , Ta có: z + − 3i = ⇔ ( x + ) + ( y − ) i = ⇔ ( x + ) + ( y − 3) = 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −2;3) , bán kính R = Trang 21 b) Giả sử: z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) , ta có: z −i = ⇔ z − i = z + i ⇔ x + ( y − 1) i = x + ( y + 1) i z+i ⇔ x + ( y − 1) = x + ( y + 1) ⇔ y = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z trục thực Ox Bài tốn 10.30: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: ( ) a) z − i = z − z + 2i b) z − z z =4 Hướng dẫn giải a) Gọi z = x + yi, x, y ∈ ¡ Ta có: z − i = z − z + 2i ⇔ x + ( y − 1) i = ( y + 1) i ⇔ x + ( y − 1) = ( y + 1) 2 x2 x2 Vậy tập hợp cần tìm parabol y = ⇔ y= 4 ( ) b) Gọi z = x + yi, x, y ∈ ¡ Ta có: z − z = ⇔ xyi = ⇔ xy = ⇔ xy = xy = −1 Vậy tập hợp cần tìm hai hyperbol y = 1 y = − x x Bài toán 10.31: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z bậc hai a + i, a thay đổi b) z−2 π có acgumen z+2 Hướng dẫn giải a) Viết z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )   x2 − y = a y = z = a+i ⇔  ⇔ 2x 2 xy =  x2 − y = a  Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hyperbol y = Vì với điểm ( x, y ) hyperbol này, tìm 2x a = x − y nên M vạch nên toàn hai nhánh hyperbol Trang 22 Vậy tập hợp điểm biểu diễn bậc hai hyperbol y = ( z − z − z + zz − + z − z = = z+2 z+2 z+2 z+2 b) Ta có số phức ) ( ( ) 2x π có acgumen ) z z − + z − z = l + i , l số thực dương Viết z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ( ( ) ) ( ) 2 thì: z.z − + z − z = x + y − + yi nên z z − + z − z = l + i , ( l > ) ⇔ x + y − + yi = l + l 3i ( l > )  x + y − = l ( l > ) ⇔ ⇔ y = ( x + y − ) 3, y > 4 y = l ( 2 Mà: y = x + y − ) 2  16  ⇔ x + y− ÷ − =0 3  Vậy M chạy cung trịn có tâm điểm biểu diễn i có bán kính nằm phía trục 3 thực Bài toán 10.32: Chứng minh rằng: w = z a) Nếu z bậc hai số phức w b) Nếu z1 khác z2 : z1 = z2 z1 + z2 số ảo z1 − z2 Hướng dẫn giải a) Nếu z bậc hai w z = w 2 Nên z = z = w Vậy: z = b) Với điều kiện z1 ≠ z2 , z = w z1 + z2 z + z2  z1 + z2  số ảo ⇔ + ÷ z1 − z2 z1 − z2  z1 − z2  ⇔ ( z1 + z2 ) ( z1 − z2 ) + ( z1 − z2 ) ( z1 + z2 ) = ( ) ⇔ z1 z1 − z2 z2 = ⇔ z1 = z2 Trang 23 Bài tốn 10.33: Tìm số nguyên dương n: a) z n số thực, số ảo với số phức z = + i n n+  −i   5−i  b) Nhỏ cho z1 =  ÷ số thực z2 =  ÷ số ảo  − 3i   − 3i  Hướng dẫn giải   a) Ta có: z = + i =  cos π π + i sin ÷ 6   n n Áp dụng cơng thức Moivre z =  cos z n số thực ⇔ z n số ảo ⇔ b) Ta có: nπ nπ  + i sin ÷ 6  nπ = kπ ⇔ n = k , k ∈ ¥ * nπ π = ( 2k + 1) ⇔ n = ( 2k + 1) , k ∈ ¥ −i π π = + i = cos + i sin 2 6 − 3i n n  −i   π π nπ nπ nên z1 =  + i sin ÷ =  cos + i sin ÷ = cos 6 6  − 3i   z1 số thực ⇔ sin nπ = ⇔ n = 6k , với k nguyên dương n+ 5−i π π  5−i  = + i =  cos + i sin ÷ nên z2 =  Ta có ÷ − 3i 4   − 3i    π π  =   cos + i sin ÷ 4    z2 số ảo ⇔ cos ( n+ = n+  ( n + ) π + i sin ( n + ) π   cos ÷ 4   n + 2) π = ⇔ n + = 4l + ⇔ n = 4l , với l ngun dương Bài tốn 10.34: Tính sin 4ϕ cos 4ϕ theo lũy thừa sin ϕ cos ϕ Hướng dẫn giải Ta tính ( cos ϕ + i sin ϕ ) theo cách: ( cos ϕ + i sin ϕ ) = cos 4ϕ + i sin 4ϕ Trang 24 ( cos ϕ + i sin ϕ ) = cos ϕ + ( cos3 ϕ ) ( i sin ϕ ) + ( cos ϕ ) ( i sin ϕ ) + ( cos ϕ ) ( i sin ϕ ) + i sin ϕ = cos ϕ − 6cos ϕ sin ϕ + sin ϕ + ( 4cos ϕ sin ϕ − 4cos ϕ sin ϕ ) i Từ có: cos 4ϕ = cos ϕ − 6cos ϕ sin ϕ + sin ϕ sin 4ϕ = 4cos3 ϕ sin ϕ − 4cos ϕ sin ϕ Bài toán 10.35: Cho z = cos ϕ + i sin ϕ ( ϕ ∈ ¡ ) Chứng minh rằng: n a) z + 1 n = 2cos n ϕ ; z − = 2i.sin nϕ với số nguyên n ≥ zn zn b) cos ϕ = 1 ( cos 4ϕ + 4cos 2ϕ + 3) ,sin ϕ = ( sin 5ϕ − 5sin 3ϕ + 10sin ϕ ) 16 Hướng dẫn giải a) Ta có z = cos ϕ + i sin ϕ ( ϕ ∈ ¡ n nên z = cos nϕ + i sin nϕ , n Do z + ) = cos nϕ − i sin nϕ nên: zn 1 = 2cos nϕ , z n − n = 2i sin nϕ n z z b) Khi n = ta có: z + 1 = 2cos ϕ , z − = 2i sin ϕ z z 1 1 1 1 ⇒ cos ϕ =  z + ÷;sin ϕ =  z − ÷ nên 2 z 2i  z 1   cos ϕ =   z + ÷ = z  2  =  1 1 2  z + z + C4  z + z ÷ + C      1 2cos 4ϕ + 4.2cos 2ϕ + ) = ( cos 4ϕ + 4cos 2ϕ + ) ( 1   1 1    sin ϕ =   z − ÷ =  z − ÷− C51  z − ÷+ C52  z − ÷ z   i  z  z  z     2i  = 1 2sin 5ϕ − 2C51 sin ϕ + 2C52 sin ϕ ) = ( sin 5ϕ − 5sin 3ϕ + 10sin ϕ ) ( 16 Bài toán 10.37: Cho số thực a, b cho sin a ≠0 Với số nguyên n ≥ , tính tổng Trang 25 S = cos b + cos ( a + b ) + cos ( 2a + b ) + + cos ( na + b ) T = sin b + sin ( a + b ) + sin ( 2a + b ) + + sin ( na + b ) Hướng dẫn giải Đặt α = cos a + i sin a, β = cos b + i sin b thì: S + iT = [ cos b + i sin b ] + cos ( a + b ) + i sin ( a + b )  +  cos ( 2a + b ) + i sin ( 2a + b )  + cos ( na + b ) + i sin ( na + b )  = β + βα + βα + + βα n = β ( + α + α + + α n ) =β a − α n +1 (để ý α ≠ sin ≠ ) 1−α =β − cos ( n + 1) a − i sin ( n + 1) a − cos a − i sin a = n +1 a  na   na  cos + b + i sin + b  ÷  ÷ Từ suy ra: a   2    sin sin S= n +1 n +1 a sin a na    na  2 cos  + b ÷, T = sin  + b ÷ a a     sin sin 2 sin Bài toán 10.38: Tính tổng hữu hạn: A = − Cn2 + Cn4 − Cn6 + − B = Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + − Hướng dẫn giải n k k Ta có: ( + i ) = ∑ Cn i = + Cni − Cn − Cn i + Cn + Cn i − Cn − Cn i + n k =0 = − Cn2 + Cn4 − Cn6 + − + i ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + − ) = A + Bi Mặt khác: (1+ i) n n   π π  nπ nπ   =   cos + i sin ÷ = 2n /2  cos + i sin ÷ 4  4       n /2 Vậy A =  cos nπ  nπ n /2  ÷ B =  sin    ÷  Bài toán 10.39: Chứng minh: Trang 26 1 nπ  + Cn4 + Cn8 + =  2n−1 + 2n /2 cos ÷ 2  1 nπ  Cn1 + Cn5 + Cn9 + =  2n−1 + 2n /2 sin ÷ 2  Hướng dẫn giải Ta có ( + i ) = n n ∑C i k =0 n = + Cn1 − Cn2 − Cn3i + Cn4 + Cn5i − Cn6 − Cn7i + k k n ( − i ) = ∑ ( −1) Cnk i k = − Cn1i + Cn2 + Cn3i − Cn4 − Cn5i + Cn6 + Cn7i + n n k =0 n Và = ( + 1) = n n n ∑C k =0 k n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = ( − 1) = ∑ ( −1) Cnk = Cn0 − Cn1 + Cn2 + + ( −1) Cnn n n n k =0 n −1 Do Cn + Cn + Cn + = Cn + Cn + Cn + = ( ) n −1 n /2 Suy Cn + Cn + Cn + = + cos r ur nπ ⇒ đpcm Bài toán 10.40: Các vectơ u , u ' mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z , z ' Chứng minh: r ur r ur a) Tích vơ hướng u.u ' thỏa mãn: u.u ' = ( zz '+ z z ' r ur r b) Nếu u ≠ u , u ' vng góc ) z' số ảo; z Hướng dẫn giải a) Viết z + x + yi , z ' = x '+ y ' i ( x, y , x ', y ' ∈ ¡ ) r ur thì: u.u ' = xx '+ yy ' và: zz '+ z z ' = ( x − yi ) ( x '+ y ' i ) + ( x + yi ) ( x '− y ' i ) = ( xx '+ yy ' ) r ur Nên: u.u ' = r ur ( zz '+ z z ' ) b) u.u ' = ⇔ zz '+ z z ' = Do ddos: r ur z' z' z'  z' z' số ảo u.u ' = ⇔ + = ⇔ +  ÷ = ⇔ z z z z z Bài toán 10.41: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 Trang 27 a) Trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào? b) Giả sử z1 = z2 = z3 Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác khi: z1 + z2 + z3 = Hướng dẫn giải uuur a) G trọng tâm tam giác ABC khi: OG = r uuu r uuur uuu OA + OB + OC ( ) uuu r uuu r uuur Vì OA, OB, OC theo thứ tự biểu diễn z1 , z2 , z3 nên G biểu diễn số phức ( z1 + z2 + z3 ) b) Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O nên tam giác ABC tam giác trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức G ≡ hay z1 + z2 + z3 = Bài toán 10.42: Giải hệ phương trình:  x3 − 3xy = −1 a)   y − x y = − 2 x + y = xy + b)  2  x + y + 21 = y + 10 x Hướng dẫn giải a) Điều kiện x + y ≠ Xét số phức z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) thì: z = x − xy + ( x y − y ) i  x − 3xy = −1 ⇔ x3 − 3xy + ( 3x y − y ) i = −1 + i Hệ   y − x y = − 2π 2π   ⇔ z = −1 + i =  cos + i sin ÷ 3   2π 2π  ⇔ z =  cos + i sin 9  8π 8π   + i sin ÷;  cos 9   14π 14π    + i sin ÷;  cos ÷ 9    Suy nghiệm hệ: 2π 8π 14π    3  x = cos  x = cos  x = cos hay  hay   π π 3  y = sin  y = sin  y = sin 14π  9   b) Xét số phức z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) z = x − y + xyi 2 x + y = xy +  xy − x − y + = ⇔  2 2  x + y + 21 = y + 10 x  x − y − 10 x + y + 21 = Hệ  Trang 28 ⇔ ( x − y − 10 x + y + 21) + ( xy − x − y + ) i = ⇔ ( x − y − xyi ) − ( 10 + 4i ) ( x + yi ) + 21 + 4i = ⇔ z − ( + 2i ) z + 21 + 4i = ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ z = + 2 + + 2 i hay z = − 2 + − 2 i  x = + 2  x = − 2 Suy nghiệm hệ phương trình:  hay   y = + 2  y = − 2 Bài tốn 10.43: Phân tích thành a) Nhân tử bậc của: f ( x ) = cos ( n arccos x ) b) Tổng phần tử đơn của: P ( x ) = x2 x4 − Hướng dẫn giải a) f ( x ) = cos ( n arccos x ) = ⇔ n arccos x = π 2k + kπ ⇔ x = cos π 2n Theo định nghĩa hàm số lượng giác ngược 1  2k +  0≤ ÷π ≤ π hay − ≤ k ≤ n − tức k = 0,1.,,,.n − 2  2n  n −1 n 2k +  2k −    f ( x ) = cos ( n arccos x ) = a0 ∏  x − cos π ÷ = a0 ∏  x − cos π÷ 2n 2n   k =0  k =1  Đặt arccos x = v từ cơng thức MOIVRE ta có: cos ( nv ) = cos nv − Cn2 cos n −2v sin v + Cn4 cos n −4v sin v + = x n − Cn2 x n −2 ( − x ) + Cn4 x n−4 ( − x ) + 2 n n −1 Nên hệ số cao a0 = + Cn + Cn + + Cn = Vậy: cos ( n arccos x ) = n −1 n  ∏  x − cos k =1 2k −  π÷ n  x2 x2 x2 = = b) Ta có: P ( x ) = x − ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − i ) ( x + i ) Áp dụng công thức nội suy Lagrăng cho f ( x ) = x số x1 = 1, x2 = −1; x3 = i, x4 = −i,ϕ ( x ) = ∏ ( x − xi ) : Trang 29 f ( xi ) f ( x) =∑ ϕ ( x ) i =1 ϕ ' ( xi ) ( x − xi ) Do P ( x ) = = 1 i i − − + C [ x ] ( x − 1) ( x + 1) ( x − i ) ( x + i ) 1 − + R x ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) [ ] Bài toán 10.44: Chứng minh: a) x 3m + x3n +1 + x p + Mx + x + với m, n, p nguyên dương ka + k −1 ka ka +1 b) f ( x ) = x + x + + x k chia hết cho: g ( x ) = x k −1 + x k −2 + + Hướng dẫn giải a) Để chứng minh đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g ( x ) , ta cần chứng minh nghiệm g ( x ) nghiệm f ( x ) Nếu gọi w nghiệm x + x + w2 + w + = hay w2 = − w − nên w3 = − w2 − w = w + − w = Thay w vào đa thức thứ ta có: w3m + w3n+1 + w3 p + = + w + w2 = Vậy w nghiệm đa thức x + x + (đpcm) b) Gọi ε nghiệm g ( x ) , ta có: g ( ε ) = ε k −1 + ε k − + + = nên ε giá trị bậc k đơn vị, nghĩa ta có ε k = Do f ( ε ) = ε ka1 + ε ka2 +1 + + ε kak + k −1 = + ε + + ε k −1 = Vì vậy, nghiệm g ( x ) nghiệm f ( x ) nên f ( x ) Mg ( x ) (đpcm) Bài toán 10.45: Cho n số nguyên dương đa đa thức P ( x ) với hệ số thực sau P ( x ) = ( m + 1) x ( x + 1) 2n+2 + ( 3m − ) x n Tìm tất giá trị thực m để x + x + 1| P ( x ) Hướng dẫn giải { } 2 Xét x + x + = ⇔ x ∈ ω , ω Khi P ( ω ) = ( m + 1) ω ( ω + 1) n+ + ( 3m − ) ω n = ( m + 1) ω n+ + ( 3m − ) ω n = ( m + 1) ω n + ( 3m − ) ω n = ( 4m − 1) ω n Trang 30 Theo giả thiết, suy P ( ω ) = ⇔ m = Bài tốn 10.46: Tìm tất đa thức p ( x ) ∈ Z [ x ] monic bậc hai cho tồn đa thức q ( x ) ∈ Z [ x ] mà hệ số đa thức r ( x ) = p ( x ) q ( x ) thuộc { −1;1} Hướng dẫn giải Dễ thấy p ( x ) = x + ax ± , với a ∈ ¢ Giả sử r ( x ) = an x n + an −1 x n−1 + + a1x + a0 , ∈ { −1;1} , i = 0,1, , n Gọi z nghiệm phức r ( x ) z > ta có n −1 a z = z = −∑ i z i = i = an n Suy z n n ( z − 1) ≤ z n n i n−1 i n−1 i z − z ≤∑ z =∑ z = ∑ z −1 i = an i =0 i =0 n −1 −1 ⇒ z n ( z − ) ≤ −1 ⇒ z < Vậy nghiệm r ( x ) có mơđun nhỏ Từ gọi z1 , z2 nghiệm p ( x ) ta có z1 < , z2 < , ta cịn có z1 z2 = z1 z2 = Khơng tính tổng qt ta giả sử z1 ≥ z2 ⇒ ≤ z1 < 2,0 < z2 ≤ Ta lại có: a = z1 + z2 ≤ z1 + z2 < + = ⇒ a ∈ { −2; −1;0;1;2} Với a = , ta có q ( x ) = x + Với a = ±1 , ta có q ( x ) = 2 Với a = ±2 Kiểm tra p ( x ) = x ± x + có q ( x ) = x m1 , với p ( x ) = x ± x − khơng thỏa mãn có nghiệm có mơđun lớn Vậy có đáp số p ( x ) x ± 1, x ± x ± 1, x ± x + Bài toán 10.47: Cho đa thức P ( x ) = rx + qx + px + p, q, r số thực với r > Xét dãy số ( an ) : a0 = 1; a1 = − p, a2 = p − q an +3 = − pan+ − qan +1 − ran ( n ≥ ) Chứng minh đa thức P ( x ) có nghiệm thực khơng có nghiệm bội dãy ( an ) có vô số số âm Hướng dẫn giải Trang 31 Từ điều kiện đề suy phương trình đặc trưng phương trình sai phân x + px + qx + r = có nghiệm thực âm hai nghiệm phức liên hợp Giả sử ba nghiệm − a, R ( cos α + i sin α ) , R ( cos α − i sin α ) với a > 0, R > , < α < π n n n an = C1 ( − a ) + C2 R n ( cos α + i sin α ) + C3 R n ( cos α − i sin α ) C1 , C2 , C3 số đó, C2 , C3 số phức liên hợp Đặt C2 = R * ( cos ϕ + i sin ϕ ) với ϕ ∈ [ 0;2π ) , ta có an = C1 ( − a ) + R n ( R * ( cos ϕ + i sin ϕ ) ( cos nα + i sin nϕ ) ) n + R* ( cos ϕ − sin ϕ ) ( cos nα − i sin nϕ ) = C1 ( −a ) + R n R * ( cos ( nα + ϕ ) ) n Giả sử ngược lại tồn n cho an ≥ với n ≥ n0 Khi ta có ≤ an+1 + aan ( ) = R n +1R * cos ( ( n + 1) α + ϕ ) + a R n R * ( cos ( nα + ϕ ) ) ( ) = R n R * R cos ( ( n + 1) α + ϕ ) + a cos ( nα + ϕ ) = R n R *.C.cos ( nα + ϕ * ) ( C > 0,ϕ * ∈ [ 0;2 ) ) với n ≥ n0 Điều khơng xảy < α < π nên tồn vô số n cho: 3π π  nα + ϕ * ∈  + k 2π , + kπ ÷ 2  BÀI LUYỆN TẬP + i tan x Bài tập 10.1: Tính: a) − i tan x ( 1+ i) ( 1− i) b) Hướng dẫn a) Nhân số phức liên hiệp mẫu Kết cos x + i sin x b) Kết Bài tập 10.2: Tìm phần thực phần ảo số phức: a) z +i với số phức z = x + iy ( x, y ∈ ¡ iz − ( ) ( b) z = + + i + + i ) ( ) + + + i ) 2017 Hướng dẫn Trang 32 a) Tính trực tiếp Kết −2 xy x + ( y + 1) y − x2 − x + ( y + 1) − qn b) Dùng tổng n số hạng cấp số nhân S n = u1 1− q ( tách lũy thừa + i ) = −8 Bài tập 10.3: Cho z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) Chứng minh z ≥ a + b Khi đẳng thức xảy Hướng dẫn Tính trực tiếp Kết b = ± a Bài tập 10.4: Viết số phức sau dạng lượng giác: a) − ( cos ϕ + i sin ϕ ) ;cos ϕ − i sin ϕ b) sin ϕ + i cos ϕ ;sin ϕ − i cos ϕ Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa lượng giác công thức lượng giác Kết cos ( ϕ + π ) + i sin ( ϕ + π ) ;cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ ) π π π  π    − ϕ ÷+ i sin  − ϕ ÷;cos  ϕ − ÷+ i sin  ϕ − ÷ 2 2 2  2    b) Kết cos  Bài tập 10.5: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm số có acgumen dương nhỏ a) z + − i ≤ b) z − 5i ≤ Hướng dẫn a) Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) tìm tập điểm thỏa mãn Kết z = i b) Kết 12 16 + i 5 Bài tập 10.6: Giải phương trình tập số phức: a) z + ( − 3i ) z − ( + i ) = b) z − z + z + z − = Hướng dẫn a) Lập ∆ Kết 2i, −1 + i b) Biến đổi tích nhờ nhẩm nghiệm, dự đoán nghiệm Trang 33 Kết + i;1 − i; − + 13 13 − ; 6 Bài tập 10.7: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a) số ảo z −i b) z − i + + z + i = Hướng dẫn a) Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) tính trực tiếp z −i Kết trục ảo Oy trừ I ( 0;1) b) Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) biến đổi tương đương Kết Elip Bài tập 10.8: Chứng minh rằng: n n −1 a) Nếu phương trình an z + an −1 z + + a2 z + a1 z + a0 = với hệ số thực có nghiệm phức z0 z0 nghiệm phương trình b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự số: −1 + i; −1 − i;2i;2 − 2i nằm đường tròn Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa nghiệm số phức liên hiệp b) Lập phương trình đường trịn qua A, B, C thử tọa độ D Hay nhận xét AC AD, BA BD vng góc nên thuộc đường trịn đường kính CD Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z = −1 ( ) b) z + z = z −1 =1 z −3 Hướng dẫn a) z = −1 ⇔ z = i ⇔ z = −i hay z = i Kết 2 ( ± i ) ( −1 ± i ) 2 b) Kết z1 = ( + i ) z2 = ( − i ) Bài tập 10.10: Chứng minh đa thức P ( z ) hàm số chẵn z ∈ £ tồn Q ( z ) thỏa mãn: P ( x ) = Q ( z ) Q ( − z ) , z ∈ £ Hướng dẫn Chứng minh quy nạp theo m số nghiệm khác đa thức P ( z ) , tức tồn Q ( z ) thỏa mãn P ( z ) ≡ Q ( z ) Q ( −z ) Trang 34 ... = ( + i ) ( + i ) 20 = ( + i ) ( 2i ) 21 10 = − ( + i ) 210 = − 210 − i. 210 Vậy: D = + ( 210 + i. 210 ) −i = − 210 + ( 210 + 1) i Bài toán 10. 2: Cho số phức z thỏa mãn: a) z −i z +1 = z + Tính... + ( + i ) ( −2 − i ) = −3i = Bài toán 10. 3: Cho số phức z Hỏi số sau số thực hay số ảo Trang ( ) a) z + z b) z−z ( ) z3 + z Hướng dẫn giải Ta tính số phức liên hiệp: ( ) a) z + z b) z−z ( )... 2a − cos 2a , sin a = 2 + π 2− sin = Trang Vậy acgumen số phức π + kπ , k ∈ ¢ ( ) b) Biểu diễn hình học số phức z = + + i số phức z tương ứng với điểm A + 3,1 Đặt ϕ = ·AOH ta có tan ϕ = ⇒ sin