Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 8 nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LƠGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Ngun hàm vơ tỉ: Với   thì: x 1 u 1  ; x dx    C u u '.dx    C  Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số m n a m a n ,… Các dạng tích phân vơ tỉ: b  a b  a dx : nhân hợp liên hiệp (trục mẫu) px  q  px  r x k dx : trục tử xk b dx   x  m   x  n  : Đặt t  xm  xn a b  a px x m dx : Đặt u  x  m b k  x dx : Đặt x k sin t k cos t a b  a x m :Đặt t  x  x  m b x  mdx : Đặt u  x  m , dv dx a b   x    a b R  x, a b R  x, a dx px  qx  r x  : Đặt t   k  x dx : Đặt x k sin t k cos t  k  x dx : Đặt x k tan t k cot t Trang b  R  x, x  k dx : Đặt x  a b  R  x; x  x   n  a k k sin t cos t  x   dx : Đặt t  n x    b R  x,  x       x  dx : Đặt x        sin t a b  R  x, px  qx  r dx : Đặt a px  qx  r t  x p px  qx  r t  x r Nguyên hàm mũ lôgarit: x e dx e x u c e u ' dx e ax a dx  ln a  c u c au a u '.dx  ln a  c  a  0, a 1 x u Các dạng tích phân phần: b x P  x  e dx : Đặt u P  x  , dv e x dx a b x  ln xdx : Đặt u ln x, dv  x dx a b x sin  xdx : Đặt u e x , dv sin  xdx x cos  xdx : Đặt u e x , dv cos  xdx e a b e a CÁC BÀI TỐN Bài tốn 8.1: Tính a)   x  x dx b)  x x  x  dx Hướng dẫn giải  12  23 43 x  x dx  x  x  dx  x  x  C   a)  b)  x 3  x  56  116 74 32 x  dx  x  x  x  dx  x  x  x  C 11    Trang Bài tốn 8.2: Tính a)     dx x x x x x  x dx b)   Hướng dẫn giải    x x x dx   x  dx 2 x  C a)  x x  x     1     dx   x  dx 2 x  x  C b)  x  x  x  Bài tốn 8.3: Tính a) I   b) J  dx x 3  x  dx  ax  b  ax  c , a 0, b c Hướng dẫn giải a) I  1 1     x   dx x   x  dx  x        7     b) J   3   x  3   x     C 21   ax  b  b c   a  b  c   ax  c dx  ax  b  Bài tốn 8.4: Tính a) E  x   ax  c   C  x   2dx b) F   xdx x2 Hướng dẫn giải a) E   x 2  1   x   dx  x   dx  x   C x  x  x2      x   dx   x     x    C dx  x     3 x2   b) F  Bài toán 8.5: Tính: a) A   x  3 x  3dx b) B  1  x dx Hướng dẫn giải Trang a) Đổi biến: Đặt t  x   x t   dx 2t.dt A 2  2t  3 dt 2  2t  3t  dt  t  2t  C   x  3  x  1  C 5 b) Đặt t 1  x  x   t   dx    t  dt t1  Q 2 dt 2   t  1  dt t 2  t  ln t   C  Bài toán 8.6: Tính: a)    x  ln  x C dx  x 1 x  b)  x2  dx Hướng dẫn giải a) Đặt t   x  x t   dx 2t.dt  1 x t dt   dx 2 2    dt x t 1  t  1   2 dt     dt 2t  ln t   ln t   C  t  t 1  2  x  ln 1 x  C  x 1 b) Đặt t   x  x t   dx 2t.dt  1 x t dt   dx 2 2    dt x t 1  t  1   2 dt     dt 2t  ln t   ln t   C  t  t 1  2  x  ln 1 x  C  x 1  b) Đặt t  x  x   dt    x   dx  x2   dx x2   dt t Trang  dx dt  ln t  C ln x  x   C t x 9 7/3 x 1 dx Bài tốn 8.7: Tính: a) K  3 x  b) L   dx x 1  x  Hướng dẫn giải t3  a) Đặt t  x   x   dx t dt 3 Khi x 0 t 1, x  t 2 2  t5 t3  46 K   t  2t  dt      31  15  15 3 1  3 2  b) L   x   x  dx    x  1   x  1   22 3 1   a Bài tốn 8.8: Tính: a) A  a /2 a 2  x dx b) B   dx a  x2 Hướng dẫn giải a) Đặt x a sin t với    t  dx a cos t 2  Khi x 0 t 0, x a t   /2  /2 a2 A a  cos t cos tdt a cos tdt  0 2  /2   cos 2t  dt  /2 a  sin 2t   a2  t    2 0 b) Đặt x a sin t với     t  dx a cos tdt 2 Khi x 0 t 0; x   /6 B a  t   /6 a cos tdt   dt  a cos t Trang b Bài tốn 8.9: Tính: a) C  b dx  b) D  x b x  b dx  Hướng dẫn giải x   b  2b C  b dt ln t t b  2b b b b) D   ln   x  bdx  x  x  b  b b  x2  b  b  x b b b  nên D  2   b b  x b  x2 x2  b b x b  dx  dt t x b dx b  ln  2  x2 dx x4  dx dx b  D  b  Bài tốn 8.10: Tính: a) K   b dx   dx  x2  b  a) Đặt t  x  x  b  dt    b) L  x x 1/2   1 dx x4 1 Hướng dẫn giải t a) Đặt x   dx  1 dt t2 1/2 K  t  t dt  b) L  1/2 1/2 2   t  d   t    1 5  2  3  1  x dx  dx   x  1/2  1 x2  x     x x  1 2   1 13     ln x    x     ln   x x 13     1/2 Bài tốn 8.11: Tính: a) A  x  2  x dx b) B x  x dx Hướng dẫn giải Trang    t    dx cot dt 2  a) Đặt x sin t   Khi x 0 t 0, x 1 t   /2 A  sin t cos tdt   4   /2 sin 2tdt  /2  /2  cos 4t  sin 4t    t      8 0 16 b) Đặt t   x  x 1  t  xdx  tdt Khi x 0 t 1, x 1 t 0 B   t 2  1  t7  t   t  dt  t  2t  1 t dt   t  t    105 7 2 Bài tốn 8.12: Tính: a) I  a/ x dx  b) x2  x 1 J  xdx a  x2  a  x2  Hướng dẫn giải 1  x  x    x    ,  x  x  1 ' 2 x  2  a) Ta có  1 3 Đặt x  A   x      B  x  1  C 2 4  Đồng A 1, B  2, C  nên   1 2x 1 1   I   x      2 0  1  1  x   x    2 2        dx     x 1    x  x   ln  x   x  x       Trang  3 1    ln     3 a/ b) J  xdx  a  x2  a  x2 xdx 2 Đặt t 1  a  x  dt  a 1 J dt 2 t  t a 1   a 1 a 1 2 a2  x2  2a   4096 Bài toán 8.13: Tính: a) K   128 x2  a 1  xdx  xdx  t  1 dt x b) L   dx x2  5x  Hướng dẫn giải a) Đặt x t 12 dt 12t11dt Khi x 128 t  2, x 4096 t 2 2  t14 t4  K 12  dt 12  t  t   dt t 1 t  1 2  t10 t  12    ln t    10 5  2  464  31  12   ln  5  1  b) Đặt t  x   x   1  x   x   dt    dx x  2 x     1   dt    dx   x 2 x 3 L  2 dx  x    x  3 : 2dt  t ln t 1 dx  x    x  3 2 1 ln  2dt t 2 1 Bài tốn 8.14: Tính: a) A   x  1 dx x2  2x  1/2 b) B   x dx  1 x  Hướng dẫn giải Trang a) Đặt t  1 dt  x    dx  x 1 t t 1/2 A  dt  t 1  1  /2 Do A  dt Đặt u t  t   t 1  du u  1 du  1  /2   ln u  1 ln u 1  1  2t 2dx  dt  b) Đặt t  x   x  1 t  x2  2 x2  2 3/2 3/2 dt D   3t   t 3 1   ln   t   1   dt  t 1    t 3/2  2 ln   6  12  23  Bài toán 8.15: Tính: 1 a) I n  1  x  n n 1 x n dx n b) J n  x  xdx  Hướng dẫn giải a) I n    x  n  x n 1  xn  xn 1 x  xn dx   n n  xd n  n  1 x n  xn dx  xn   x  n    xn n  dx    xn  n  xn xn   x  n n 1 x n n  xn dx dx xn   x  n dx  n n  xn b) u  x n , dv   xdx n Khi du nx dx, v  J n  x  1 x  3 1  x 2n  x n  x  1  xdx 0 Trang 0  2n 2n J n  J n  J n   J n  2n  Vậy J n  2n  n  1 2n 1.n! J  n  2n  3.5  2n   x Bài toán 8.16: Tìm hàm số f số thực a  thỏa mãn điều kiện: f  t t dt  2 x với x  a Hướng dẫn giải Gọi F  t  nguyên hàm hàm số f  t t2 Theo định nghĩa tích phân, ta có với x  F  x   F  a   2 x Cho x a ta a 9 F  x   F    2 x nên F '  x   f  x 1    f  x   x3 x x x Bài tốn 8.17: Tính: a) x x    dx b) x   5 x   3x dx Hướng dẫn giải a)  x 3 x  4x 6x 9x dx   2.6   dx  2  C ln ln ln x x x x  5 x x x x   1   5  1 3x 3 x  b)  3x dx  3x     dx   ln  C   ln Bài tốn 8.18: Tính: a) e sin x cos xdx b) e x dx  e x Hướng dẫn giải a) e sin x cos xdx esin x d  sin x  esin x  C t x b) Đặt t e x dt e dx  dx  dt 1 1  1  dx  dt  dt     x e  e t  t  t   t   t  t  dt x Trang 10  1 ex  ln t   ln t    C  ln x C  2 e 1 Bài toán 8.19: Tính: a) 2x   tan x  e dx b)  x  1 dx x   xe  x Hướng dẫn giải a)   tan  e x dx   tan x  tan x  e x dx  tan x.e x  dx tan x.e x  C x b) Đặt t 1  xe x dt  x  1 e dx  x  1 dx x   xe  x    t1 1 t1 xe x  C ln C  dt ln t t  xe x x Bài tốn 8.20: Tính: a) I  x e dx b) J  e   3x dx Hướng dẫn giải x x x a) Đặt u  x , v ' e x J  x e dx e x  x e dx  Đặt u  x , v ' e x  x x x e dx x e   xe x dx 2 xe x  I  x Do J e x  3x  x   C b) Đặt t  x   3x t   dx  tdt J t t t t te dt Đặt u t , v ' et te dt t.e  e  C  nên J   3x  9e Bài toán 8.21: Tính: a) x e ln xdx x  C b)  x ln xdx Hướng dẫn giải x a) Đặt u ln x, dv dx Khi du  dx, v  x Ta có: ln xdx x ln x  x  x dx x ln x  dx x ln x  x  C Trang 11 32 b) Đặt u ln x, v '  x  u '  , v  x Ta có: x  32 x ln xdx  x ln x  Bài tốn 8.22: Tính: a) 12 32 32 3 x dx  x ln x  x  C  ln x   x dx b) x ln x dx 1 x Hướng dẫn giải a)  ln x   x dx  ln x  d  ln x   ln x  C x2 x ,v  , du  xdx Khi du  b) Đặt u ln x 1  x 1 x x ln x x2 x x dx  ln   dx 1 x 1 x 1 x x2 x  x2 x 1   ln    1 dx  ln  ln  x  x  C 1 x  1 x  1 x 2 Bài tốn 8.23: Tìm ngun hàm a) I  x ln  x  dx b) J  x cos  x  dx   Hướng dẫn giải x a) Đặt u ln  x  , dv  x dx Khi du  dx, v  x ln  x  Ta có: I   x4 x ln  x  x x3 4 dx   16  C b) Đặt u  x , dv cos  x  dx Khi du 2 xdx, v  Ta có: J  x sin  x   x sin  x  dx Đặt u  x, dv sin  x  dx Khi du dx, v  x sin  x  dx  nên J  sin  x  cos  x  : x cos  x  cos  x  x cos  x  sin  x   dx   C 2 x sin  x  x cos  x  sin  x    C 2 Trang 12 Bài tốn 8.24: Tính: x b) J  e  cos x  x sin x  dx a) I  sin  ln x  dx   Hướng dẫn giải a) Đặt u ln x x eu nên dx eu du A sin u.eu du sin ud  eu  sin u.e u  cos u.eu du sin u.eu  cos u.d  eu  sin u.e u  cos u.eu  sin u.eu du   Từ suy A  x sin  ln x   cos  ln x   C 2 b) Đặt u e x , dv cos x Khi du 2 xe x dx, v sin x e x2 2 cos xdx e x sin x  2 xe x sin xdx 2 x x nên J  e  cos x  x sin x  e sin x  C  Bài tốn 8.25: Tính: a) K   x  x  1 e dx x b) L   x   e x dx Hướng dẫn giải x a) Đặt u  x  x  1, dv e x dx Khi du  x  1 dx, v e K  x 21  x  1 e x  1 x  x  1 e dx 3e    x  1 e dx x 0 Đặt tiếp u 2 x  1, dv dx K 2  e  1 b) Đặt u  x  2, dv e x dx Khi du 3 x dx, v e x 1 L e  x    3x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L 4 ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A   ln dx x e 1 b) B  xe x   x  dx Hướng dẫn giải x a) Đặt u  x  x  1, dv e x dx Khi du  x  1 dx, v e K  x  x  1 e x  1 x x  x  1 e dx 3e    x  1 e dx 0 Trang 13 Đặt tiếp u 2 x  1, dv dx K 2  e  1 b) Đặt u  x  2, dv e x dx Khi du 3 x dx, v e x 1 L e x  x    3x 2e x dx 0 Dùng tích phân phần lần L 4 ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A   ln dx b) B  xe x 1 x x e 1 dx Hướng dẫn giải x x a) Đặt t  e   e t   dx  2tdt t 1  dt Đặt t tan u B  A  t 1 1 ex dx  b) B  1 x ex   x  dx   ex 1 ex  e ex  dx    dx     1 x 0 1 x  1 x    Bài tốn 8.27: Tính: a)  e x cos xdx b) J e x sin xdx Hướng dẫn giải a) Đặt u cos x, dv e x , du  sin x, v e x    I cos x.e x  e x sin xdx   e  sin xd  e x  0   e   sin x.e  x     e x cos xdx   e  I Do I   e  I   e    1 2x 2x 2x b) J    cos x  d    e   cos x   e sin xdx 40 20 Dùng phần lần liên tiếp J  2  e  1 Trang 14 1  x  1x  Bài tốn 8.28: Tính a) I    x   e dx x 0.5  b) J  3x dx x x   Hướng dẫn giải a) I  e  x x 0,5 Đặt u e  x  1x  dx   x   e dx x 0,5  x x  x  1x  , dv dx Khi du  x  x  e dx, v  x   x  x  1x  Ta có:  x   e dx  xe x x 0,5  Suy I  xe x x 0,5 2  0,5 e x x dx 0,5  e 2,5 1 3 x dx J  E dx 1 b) Xét E  x  3 x 0 1 3x  3 x 1 dx  ln  3x  3 x   ln J  E  x x 3 ln ln 3 0 1 2 Do đó: J    5 ln  ln 3  1  x2 Bài toán 8.29: Tính: a) A   dx  2x 1 x b) B  x e sin xdx  Hướng dẫn giải 1  x2  x2 dx  dx a) A   x x    1 0 Đặt x  t Do A  1    1  x2 2t  t 2x  x2 dx  dt  dx x t x       1 0 x  x2 1 Đặt x sin t A  x dx   x dx  b) Đặt u  x sin x, dv e x dx Trang 15 1 B e x sin x  e x  x sin x  x cos x  dx x 0 1 x e sin1  xe sin xdx  x x e cos xdx Từ tính B e sin1 dx x   e  1  x  1 sin x J  dx b) x     Bài tốn 8.30: Tính a) I   Hướng dẫn giải a) Đặt x  t dx  dt Khi x   t 1, x   t 1 dx  Ta có I   x e  x      1 1 dt et  dt   t t e  t  e  t          1 ex I  x dx   e  1  x  1 nên I I  I  t 1 dt    Vậy I  1 sin t 3x.sin x dt  dx x   1    1 3t  b) Đặt x  t dx  dt nên:  J     Do J  sin xdx    cos x  dx  J     2  Bài tốn 8.31: Tính a) A  ln x  x dx b) B  x ln xdx  Hướng dẫn giải 3 a) A  x ln  x  x   b) Đặt u ln x, dv  x dx Khi du   x ln x  B     1 2x  1   dx  3ln  2ln     dx 3ln    x  x    2 dx , v  x6 x x 5dx 32  ln   Trang 16 e e Bài tốn 8.32: Tính a) C  x ln xdx  b) D   x  x  1 ln xdx Hướng dẫn giải a) Đặt u ln x, dv  xdx Khi du  e e  x2  C  ln x    1 e2 x ln xdx    e x ln xdx Đặt u ln x, dv  xdx Khi du  e e 2ln x dx, v  x x dx x2 ,v  x e x2 e2 e2  x ln xdx  ln x  xdx    e  1  C   21 4 1   b) Đặt u ln x, dv  x  x  dx thì: e e  x3 x   x3 x2 1 D    x  ln x     x  dx   x 1  e  x2 x  e3 e 2e3 e 31   e     1 dx    3 36  1 e Bài toán 8.33: Tính: a) I    ln x ln x dx b) J  dx x x Hướng dẫn giải e a) I    ln x   b) J 2 ln xd  e d   ln x     ln x   2      4ln  x  x ln x  x   dx  2 x 4  ln  1  /2 Bài tốn 8.34: Tính: a) A  cos x ln  sin x  dx  /4 b) B ln x dx x 1 Hướng dẫn giải  /2 a) A  ln  sin x  d  sin x  sin x.ln  sin x   /4  /2  /4  /2  cos xdx  /4 Trang 17  /2 2 2  ln  sin x  ln  4  /4 x  1  b) B  x ln   x 1   x 2x dx 3ln  6ln 1 3  ln x dx Bài tốn 8.35: Tính: a) C  x    b) D   x ln x  x   x2 1  dx Hướng dẫn giải 3 3  ln x dx  1   a) C   ln x  d    x  1 x  x  1  x 1  3  ln 3    dx  1x  dx 1 27    ln    x 1  16  x   b) Đặt u ln x  x  , dv   D  x  1.ln x  x   x2 1 thì: 3 dx 2ln   Bài tốn 8.36: Tính: e a) I    x  ln x  dx  b) I   x ln x x  2ln x  x  1 dx Hướng dẫn giải e a) Ta có I    x  ln x  dx  e   x ln x     ln x  dx   x ln x e e   x ln x e  ln x  ln x e 2 dx   dx 2 x   dx 2  e  1  J  x ln x  x ln x 1 e  ln x dx Tính J   x ln x Đặt t 1  x ln x  dt   ln x  dx Khi x 1 t 1 , x e t 1  e 1e nên J  dt t 1e ln t ln   e  nên I 2  e  1  ln   e  Trang 18 b) I  x  2ln x  x  1  1 2ln x  dx     dx 3   x  1  x  1    x  1 2 2 1 ln x ln x    2 dx   2 dx 3 x  1  x  1 12  x  1  x  1 Tính J  ln x  x  1 Đặt u ln x, dv  dx dx  x  1 ln x J   x  1 Khi du  dx 1 , v  x  x  1 2 dx ln  1          dx  x x   x  1  x  x  1 18  1  ln  x  ln      ln    ln     18  x  x   18    ln  ln  18 12 ln  ln   2   ln    ln  12 72  18 12  Suy I  ln 2  xe x I  dx b)  x  x  x dx Bài toán 8.37: Tính: a) I   x x e  e  Hướng dẫn giải ln ln x xe x I  dx  dx a) Ta có x x   x e  e  0  e  1 Đặt u  x, dv  ex e x  1 ln x  Ta có: I  x e 1 ln Tính J  e dx Khi du dx, v  ln dx ln   x  e  ln e e 1 x dx 1 x dx dt Đặt e x t x ln t  dx  1 t x Khi x 0  t 1; x ln  t 2 Trang 19 2 2 dt 1  J     dt ln t  ln t  1 t t  1  t t    2ln  ln nên I  ln  ln 1 1 Tính xe x  x  1 xe x 1 2 xe x xe x I  dx  dx   dx   dx b) Ta có 2 2     x  x  x  x  x          0 0 x dx Đặt u  xe , dv  x Khi du  x  1 e dx; v  1 xe x xe x dx   Ta có:  x 1 0  x  1 dx  x  1 x 1 1  x  1 e x dx  x 1 1 e e e   e x dx   e x dx   2 e Thay vào ta I  Bài toán 8.38: Chứng minh F  x  nguyên hàm f  x  :   a) F  x  ln x   x  C ; f  x   1  x2 x     C; f  x   cos x 2 4 b) F  x  ln tan  Hướng dẫn giải x 1 a) x    đpcm F ' x   x  x2 1 x2 1 b) F ' x    1 x  x  2cos    tan    2 4 2 4 1     cos x x  x   2cos    sin    sin  x   2 2 4 2 4  Trang 20