Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 15 tọa độ không gian lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ 15: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Điểm vecto   Ba vecto đơn vị i, j, k trục Ox, Oy, Oz:    i (1;0;0) , j (0;1;0) , k (0;0;1) Hai điểm A(x1, y1, z1 ) B(x , y , z ) thì:  AB (x  x1; y  y1; z  z1 ) AB  (x  x1 )  (y  y1 )  (z  z1 ) Điểm M chia đoạn thẳng Ab theo tỉ số k 1 : x1  kx  x   k    y  ky  MA kMB   y  1 k  z1  kz   z  1 k    Hai vecto: u (x, y, z) v (x ', y ', z ') thì:    u v (x x '; y y '; z z '); ku (kx; ky; kz)   u.v xx ' yy ' zz '; u  x  y  z    u; v   y z ; z x x y     y ' z ' z ' z ' x ' y '   x.x ' y.y ' z.z ' cos u, v  x  y  z x '2  y '2  z '2   -    vecto a, b, c đồng phẳng:  a, b  c 0    vecto a, b, c không đồng phẳng:  a, b  c 0 Diện tích thể tích   Diện tích tam giác ABC: S   AB, AC  Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải   Thể tích tứ diện ABCD: V   AB, AC  AD    Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V   AB, AD  AA '    Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: V   AB, AD  AA ' Góc mặt phẳng: mặt phẳng (P) có vecto pháp   tuyến n mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n '    cos((P),(Q)) = cos(n, n ') Góc đường thẳng:   d có VTCP u d’ có VTCP v   cos(d, d ')  cos(u, v) Góc đường thẳng mặt phẳng:   d có VTCP u (P) có VTPT n   sin(d, (P))  cos(u, n) Khoảng cách từ M (x , y0 , z ) đến mặt phẳng:  (Oxy) z ; (Oyz) x ; (Ozx) y0  (P) : Ax  By  Cz  D 0 là: d(M , P)  Ax  By0  Cz0  D A  B2  C Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho M (x , y0 , z0 ) đường thẳng d qua A có    AM , u      VTCP u AB d(M , d)   u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:  d1 qua M1 có VTCP u1; d qua M có VTCP Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải    u1 , u  M1 M    d(d1, d )   u1 , u    Phương trình tổng quát mặt phẳng:  Mặt phẳng qua M (x , y0 ) vecto pháp tuyến n (A, B, C) Ax+By+Cz+D=0, A  B2  C 0 hay A(x  x )  B(y  y0 )  C(z  z ) 0 Phương trình đường thẳng: qua M (x , y0 , z0 ) có vecto phương  u (a, b, c), a  b  c 0  x x  at  Phương trình tham số: d :  y y0  bt, t  R z z  ct  Phương trình tắc a, b, c 0 : x  x y  y0 z  z   a b c Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính R: (x  a)  (y  b)  (z  c) R hay: x  y  z  2Ax  2By  2Cz  D 0, A  B2  C  D  Có tâm I(  A,  B,  C) bán kính R  A  B2  C2  D Vị trí tương đối mặt phẳng: (P): Ax  By  Cz  D 0 (Q): A'x  B ' y  C ' z  D ' 0 - Cắt nhau: A : B : C A ' : B' : C ' - Trùng nhau: A B C D A B C D    ; Song song:    A' B' C' D' A ' B' C ' D ' Vị trí tương đối đường thẳng:  Đi qua A(x A , y A , z A ) có vecto phương u(a, b, c)  Đi qua B(x B , y B , z B ) có vecto phương v(a ', b ', c ')    -Chéo nhau:  u, v  AB 0 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải   -Cắt nhau:  u, v  AB 0 a : b : c a ' : b ' : c ' -Trùng nhau: a : b : c a ' : b ' : c ' (x B  x A ) : (y B  y A ) : (z B  z A ) -Song song: a : b : c a ' : b ' : c ' (x B  x A ) : (y B  y A ) : (z B  z A ) *Hai điểm M1 (x1 , y1, z1 ) M (x , y , z ) nằm hai phía mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D 0 khi: (Ax1  By1  Cz1  D).(Ax  By  Cz1  D)  Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:  Đường thẳng d qua A có vecto phương u mặt phẳng (P) qua M có vecto  pháp tuyến n  - Cắt nhau: u.n 0  Song song: u.n 0 A  (P)  - Đường thẳng thuộc mặt phẳng u.n 0 A  (P) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S(I;R) Gọi IH = d khoảng cách từ tâm I đến (P) thù: a)Nếu dR: mp(P) khơng có điểm chung với mặ cầu Ứng dụng giải tốn khơng gian: Đưa tọa độ Oxyz vào tốn hình học khơng gian túy, cách chọn hệ trục thuận lợn để giải toán CÁC BÀI TỐN Bài tốn 15.1: Cho hình bình hành ABCD với A( 3;  2;0) , B(3;  3;1) , C(5; 0; 2)   Tìm tọa độ đỉnh D tính góc hai vecto AC BD Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải   Ta có BA ( 6;1;  1), BC (2;3;1) Vì tọa độ hai vecto khơng tỉ lệ nên ba điểm A,B,C không thẳng hàng Gọi D(x, y, z) Tứ giác ABCD hình bình hành  x  2  x      AD BC   y  3   y 1 Vậy D( 1;1;1) z 1  z 1     Ta có AC (8; 2; 2), BD ( 4; 4;0) , đó:      32  cos(AC, BD)   Vậy (AC, BD) 120o 72 32 Bài tốn 15.2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2;  1), B(2;  1;3), C( 4, 7, 5) a) Tính diện tích độ dài đường cao h A b) Tính độ dài đường phân giác BD Hướng dẫn giải    a) Ta có AB (1;  3; 4), AC ( 5;5;6), BC (  6;8; 2)    AB, AC  ( 38;  26;  10)   2 Vậy SABC   AB, AC   38  26 10  554 2 hA  2SABC 554 277   BC 104 13 b) Gọi D(x; y; z) Ta có DA BA 26    DC BC 104  1 Vì D nằm A, C nên DA  DC 2 74  11  Từ tìm D   ; ;1  DB   3  Bài tốn 15.3: Tính diện tích tứ giá ABCD có tọa độ A(2;5;-4), B(1;6;3), C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải   AB (  1;1;7), AC ( 6;  6;16) , hai vecto không phương tọa độ khơng tỉ lệ suy A, B, C khơng thẳng hàng có:   DC ( 2; 2;14) 2AB  AB CD Vậy ABCD hình thang nên SABCD SABC  SADC  1     AB, AC    AD, AC  3 1046 2 Bài toán 15.4: Cho tứ diện ABCD có: A(-1;2;0), B(0;0;1), C(0;3;0), D(2;1;0) a) Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD b) Tìm hình chiếu D lên mặt phẳng (ABC) Hướng dẫn giải    a) Ta có AB (1;  1;1), AC (1;1;0), AD (3;  1;0)  1 Nên  AB, AC  ( 1;1; 2)  SABC   AB, AC       2      1 Và  AB, AC  AD   VABCD   AB, AC  AD  b) Gọi H(x;y;z) hình chiếu D mặt phẳng (ABC) thì:   AH (x 1; y  2; z), DH (x  2; y  1; z) Ta có:    DH.AB 0      DH.AC 0      AB, AC  AH 0 18   x 11  x  2y  z 0  15    y   x  y 3 11  x  y  3z     12  z 11   18 15 12  Vậy H  ; ;   11 11 11  Bài tốn 15.5: Tìm khoảng cách hai đường thẳng sau:  x 1  t  a) d :  y   t z 1   x 2  3t  d ' :  y   3t  z 3  Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) d : x y  z 1   1 2 d': x y z   1 3 Hướng dẫn giải  a) d qua điểm M1 (1;  1;1) , có vecto phương u1 (1;  1;0) d’ qua điểm  M (2;  2;3) có vecto phương u ( 1;1;0)      Vì u1 u phương u1 , u không phương với M1M (1;  1; 2) nên hai đường thẳng song song    M1M , u     2 Vậy d(d;d ') d(M1, d ')  u2  b) d qua M(0;4;-1) có VTCP u ( 1;1;  2)  d’ qua M’(0;2;0) có VTCP u ' ( 1;3;3)        Ta có  u, u ' (9;5;  2), MM ' (0;  2;1) nên  u, u ' 0 nên chéo      u, u ' MM '  10  21 12     Do d(d, d ')   81  25  110  u, u '   Bài tốn 15.6: Tìm điểm M mặt phẳng (Oxz) cách ba đểm A(1;1;1), B(-1;1;-0), C(3;1;-1) Hướng dẫn giải M thuộc (Oxz) M  x;0; z  Ta có: MA MB MC AM BM  (x  1)   (z  1) (x  1) 1  z   2 2 2 (x  1)   (z  1) (x  3)   (z 1) AM CM  x   4x  2z 1    4x  4z 8 z   7 5 Vậy M  ;0;   6 6 Bài toán 15.7: Cho hai điểm A(2;0;-1), B(0;-2;3) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Tìm tọa độ điểm C  Oy để tam giác ABC có diện tích 11 thỏa mãn OC  b) Tìm điểm D  (Oxz) để ABCD hình thang có cạnh đáy AB Hướng dẫn giải   a) Gọi C(0; y;0)  AB ( 2;  2; 4), AC (  2; y;1) Ta có: SABC  11     AB, AC   11  (2  4y)  36  (2y  4)  11   2  20y  32y  12 0  y  y  (loại) Vậy C(0;-1;0)  b) Gọi D(x;0; z)  (Oxz)  DC (  z;  1;  z)   ABCD hình thang AB, DC hướng  x 1 z     x 1, z  Vậy D(1;0;  2) 2 2 Bài tốn 15.8: Tìm tọa độ điểm H hình chếu a) A( 2;1;0) đường thẳng BC với B(0;3;  1), C(  1;0; 2) b) D(1;1;1) lên mặt phẳng (ABC) với A(4;1; 4), B(3;3;1), C(1;5;5)   a) H(x; y; z) thuộc BC nên BH tBC Hướng dẫn giải Do x  t, y   3t, z  3t  x  t, y 3  3t, z   3t   Ta có AH  BC nên AH.BC 0 11 ( t  2)( 1)  (  3t  2)( 3)  (z  1)3 0  t   11 24 14  Vậy hình chiếu H   ; ;   9 9 Cách khác: lập mp(P) qua A vng góc với BC tìm giao điểm H   b) Ta có AB ( 1; 2;3), AC (  3; 4;1) nên mp (ABC) có VTCP: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải     n  AB, AC  (14;10; 2) hay (7;5;1) (P) : 7(x  4)  5(y  1)  1(z  4) 0 hay 7x  5y  z  37 0 Đường thẳng d qua A, vng góc với (ABC) có phương trình tham số:  x 1    y 1  5t Thế x,y,z vào (P) t  25 z 1  t   81 13 33  Vậy hình chiếu có tọa độ H  ; ;   25 25  Bài tốn 15.9: a) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc trục Oy tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) VABCD 5 b) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(0;4;1), B(1:0:1), C(3;1;-2) Hướng dẫn giải a) Gọi D(0;y;0) thuộc trục Oy Ta có:    AB (1;  1; 2), AD ( 2; y  1;1), AC (0;  2; 4)      AB, AC  (0;  4;  2)   AB, AC  AD  4y  Theo giả thiết VABCD 5      AB, AC  AD 5     4y  30  y  7; y 8 Vậy có điểm D trục Oy: (0;-7;0) (0;8;0)   b) Ta có AC (3;  3;  3), BC (2;1;  3) nên lập phương trình mặt phẳng (ABC): 3xx+y+2z-6=0 Gọi H(x; y; z) trực tâm tam giác ABC    AH (x; y  4;z  1), BH (x  1; y; z  1) , ta có: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải    AH.BC 0     BH.AC 0   H  (ABC)  25   x 19 2x  y  3z  0  11    H : y   x  y  z 0 19 3x  y  2z  0   14   z 19  IA IB  Gọi I(x;y;z) đường tròn ngoại tiếp: IA IC I  (ABC)   29 37  Từ giải tâm I   ; ;   13 13 26  Bài toán 15.10: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x  8y  7z  0 a) Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) b) Tìm điểm C nằm mp (P) cho ABC tam giác Hướng dẫn giải   a) Gọi I  x; y; z   AB (2;0;2), AI (x; y; z  13)     Vì AI AB phương nên có số k cho AI kAB hay  x 2k    y 0  z  2k   y 0   x  z  0 Mặt khác I  (P)  3x  8y  7z  0 Vậy ta có hệ: 11  x   y 0   x  z    y     3x  8y  7z  0    z   4  11 I  ;0;   5  Ta có AB 2 , gọi điểm C(x; y; z) CA 2  x  y  (z  3) 8   Ta có CB 2   x  z  0 C  (P) 3x  8y  7z  0   Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Hình chóp S.OMAN có chiều cao SO=1 không đổi, tứ giác đáy nằm mặt phẳng Oxy có diện tích: 1 1 S SAOM  A AON  OM.AH  ON.AK  (m  n)  : không đổi 2 2 b) Phương trình mặt phẳng (SMN) x y z   1  nx  my  mnz  mn 0 m n d(A, (SMN))  n.1  m.1   mn 2 n  m  m n 1: không đổi Vậy (SMN) tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán knhs R=1 Bài toán 15.25: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp S.ABCD có đáyABCD hình thoi, AC cắt BD gốc O Biết A(2;0; 0), B(0;1;0),S(0;0; 2) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Hướng dẫn giải a) C(  2; 0;0), D(0;  1;0), M(  1;0; 2)   SA (2;0;  2), BM (  1;  1; 2)  cos(SA, BM)  cos(SA, BM)   (SA, BM) 30 o    Ta có: SA.BM ( 2;0;  2), AB (  2;1;0)    SA, BM  AB    Nên d  SA, BM      SA, BM    b) MN AB, CD nên N trung điểm SO, N(0;  ; 2)    SM ( 1;0;  2),SB (0;1;  2),SN (0;  ;  2)   Và  SA,SM  (0; 2;0) Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta có:  1    2 VS.ABM   SA,SM  SB  , VS.AMN   SA,SM  SN  6 Vậy: VS.ABMN VS.ABM  VS.AMN  Bài toán 15.26: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Chứng minh đường thẳng qua G đỉnh tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh Gọi A’ trọng tâm tam giác BCD Chứng minnh GA 3 GA ' Hướng dẫn giải Ta giải phương pháp tọa độ Trong không gian tọa độ Oxyz, giả sử A(x1; y1; z1), B(x ; y ; z ), C(x 3; y3;z ), D(x ; y ; z ) trọng tâm A’ tam giác BCD, trọng tâm tứ diện G:  x  x  x y  y3  y z  z3  z  A ' ; ;  3    x  x  x  x y1  y  y3  y z1  z  z3  z  G ; ;  4   Do đó:   3x  x  x  x 3y1  y  y3  y 3z1  z  z3  z  GA  ; ;  4      3x1  x  x  x 3y1  y  y3  y 3z1  z  z3  z  GA  ; ;  12 12 12     GA 3 Suy ra: GA  3GA '  G, A, A ' thẳng hàng GA ' Tương tự có đpcm Bài toán 15.27: Cho tứ diện nội tiếp mặt cầu tâm O có AB=AC=AD Gọi G trọng tâm ACD, E, F trung điểm BG, AE Chứng minh OF  BG  OD  AC Hướng dẫn giải Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải