CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Page 1 C H Ư Ơ N G III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu[.]
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 1: Cho hàm số y f x hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ bên Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f x , y f x có diện tích A 127 40 B 107 C 87 40 D 127 10 Lời giải Chọn B Ta thấy đồ thị hàm số y f x tiếp xúc với trục hồnh hai điểm có hồnh độ 2 nên hàm số có dạng f x a x x 1 2 Mà đồ thị hàm số y f x qua điểm A 0;1 4a a f x 1 2 f x x x 1 4 x x 1 x 1 Xét phương trình hồnh độ giao điểm y f x y f x : x 2 x 1 2 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f x , y f x có diện tích S x x 1 2 2 Câu 2: 107 x x 1 x 1 Cho hình thang cong H giới hạn đường y x , y 0, x 0, x Đường thẳng x k k chia hình H thành hai phần có diện tích S1 S hình vẽ Để S1 S giá trị k thuộc khoảng sau đây? A 3,1;3,3 B 3, 7;3,9 C 3,3;3,5 D 3,5;3, Lời giải Chọn C k S1 x x dx Suy S1 S Câu 3: k 2 k S2 k x x dx 32 32 k 3 k 2 2 k k k 3.447 3 3 3 Cho hàm số y ln x có đồ thị C hình vẽ Đường trịn tâm A có điểm chung y (C) B C A O x B với C Biết C 0;1 , diện tích hình thang ABCO gần với số sau A 3,01 B 2,91 C 3, 09 D 2,98 Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn B y d (C) C B A O e e+ x e Đường thẳng qua C 0;1 song song với trục hoành cắt đồ thị (C ) B(e;1) Gọi (d ) tiếp tuyến (C ) B(e;1) phương trình (d ) y x e (C ) tiếp xúc với đường tròn tâm A B(e;1) (d ) tiếp tuyến chung (C ) đường tròn e tâm A AB (d ) A(e ;0) e Hình thang ABCO có: OA e ; CB e; OC Vậy Câu 4: S ABCO (OA CB)OC e 2,91 2e Cho đồ thị hàm số bậc ba y f x ax3 bx x c đường thẳng y g x có đồ thị hình vẽ sau: Biết AB , diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x , x 17 19 A B 11 12 12 Lời giải C D 11 Chọn B Gọi g x mx m Ta có A 1; m ; B 2; 2m Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN m tm Khi AB 9m m l Ta có f x g x ax3 bx x c Mặt khác ax3 bx x c a x 1 x ax3 bx x c ax3 2ax ax 2a , Đồng hệ số ta đươc a , b 2 , c Vậy y f x x3 x x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x , 19 x S x3 x x dx 12 1 Câu 5: Cho hàm số f x x5 ax bx3 cx dx 36 Biết đồ thị hàm số y f x , y f x Ox giao hai điểm phân biệt có hồnh độ 2, Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x Ox bằng A 846 B 845 m phân số tối giản với m, n * Tổng m n n C 848 D 847 Lời giải Chọn D Do 2,3 nghiệm phương trình f x 0, f x nên f x x x 3 x m 2 Ta có f 36 m 1 Vậy f x x x 3 x 1 2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x Ox S 832 x x 3 x 1 15 m n 847 2 1 Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x x đường thẳng y (m 1) x có giá trị nhỏ 16 A B 48 C 64 D 32 Lời giải Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm là: x x (m 1) x x (1 m) x Gọi hai nghiệm phương trình a b (a b) Theo Vi-et, có a b m 1, ab 4 Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là: Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN b S a b x (1 m) x (1 m) x dx x 4x 3 a 1 m b a3 b a2 b a b a 1 m b ba a a b a b 1 m 4ab a b ab a b 3 m 1 m 1 16 m 1 3 2 m 12 m 1 16 32 S S 3 Đẳng thức xảy m 32 Vậy S Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Giả sử diện tích phần kẻ dọc hình vẽ có diện tích a Tính theo a giá trị tích phân I x 1 f x dx ? 3 A I 50 2a B I 50 a C I 30 2a Lời giải D I 30 2a Chọn A Từ đồ thị suy S f x dx a f 3 8; f 3 Ta có I 2 3 3 x 1 f x dx x 1 d f x x 1 f x 3 f x dx 3 f f 3 S 5.2 5.8 2a 50 2a Vậy I 50 2a Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 8: Cho hàm số f x x3 bx cx d với b , c , d số thự C Biết hàm số g x f x f x f x có hai giá trị cực trị 6 42 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y A ln f x f x f x y g x 18 B ln C ln Lời giải D ln Chọn A Hàm số f x hàm số bậc nên g x hàm số bậc suy g x hàm số bậc hai Ta có f 3 x 3.3! 18 ; g x f x f x 18 có hai nghiệm x1 , x2 g x1 42 , g x2 6 Xét phương trình tìm cận tích phân để tính diện tích: f x f x f x f x f x 18 1 g x 18 g x 18 x x1 Suy f x f x 18 g x x x2 Diện tích hình phẳng S x2 x1 x2 f x f x f x g x dx dx g x 18 g x 18 x1 x2 x1 g x dx g x 18 x x1 t1 g x1 18 Đặt t g x 18 dt g x dx Đổi cận x x2 t2 g x2 18 12 Do S Câu 9: dt 12 12 ln t 60 ln12 ln 60 ln ln ln t 60 60 Cho hai hàm số y f ( x) y g ( x) , biết hàm số f ( x) ax3 bx cx d g ( x) qx nx p với a, q có đồ thị hình vẽ diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số f ( x) g ( x) 10 f (2) g (2) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f ( x) y g ( x) A P = 11 B P = 19 a Tính P a b b C P = 24 D P = 21 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Chọn B Ta có: f ¢(x ) - g ¢ (x ) = ax + (b - q ) x + (c - n ) x + d - p = ax (x - 1)(x - 2) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số f ¢(x ) g ¢(x ) 10 nên: S f x g x dx g x f x dx 10 S ax x 1 x dx ax x 1 x dx 10 S a x x 1 x dx a x x 1 x dx 10 a a 10 a 20 4 Khi đó: f ¢(x ) - g ¢ (x ) = 20x (x - 1)(x - 2) Þ f (x ) - g (x ) = ò éêë f ¢(x ) - g ¢ (x )ùúûdx = ò éêë20x (x - 1)(x - 2)ùúûdx = 5x Mà f (2) - g (2) = nên: - 20x + 20x + C 5.24 - 20.23 + 20.22 + C = Þ C = Þ f (x ) - g (x ) = 5x - 20x + 20x Câu 10: Suy S x 20 x 20 x dx 16 Do P = 19 Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị C hình vẽ Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN có ba điểm chung với C A, B, C BC AB Biết 4 24 diện tích hình phẳng S Giá trị f x dx 2 321 161 159 A 2 B C D 160 80 160 Đường thẳng d : y kx Lời giải Chọn C Phương trình giao điểm C d là: f x g x a x x 1 x Theo giả thiết, ta có: S f x g x 24 24 a x x 1 x dx a 5 24 1 2 x x 1 x 5 kx x x 1 x 5 24 24 * Gọi A 2; 2k , B 1; k , C 5; 5k 4 BC AB 2 42 4k 32 3k k k Đường thẳng nằm góc phần tư thứ thứ ba nên hệ số góc dương nên ta chọn k Vậy f x Và 2 1 x x x 1 x 4 24 f x dx 321 160 Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol P : y x hai tiếp tuyến P điểm A, B có hồnh độ 1 A B C D Lời giải Chọn D Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y y = x2 + 4 y = 2x + y = 2x + O x Xét hàm số y x y x Ta có A 1;5 , B 1;5 hai điểm thuộc P Tiếp tuyến P A 1;5 là: y 2 x 1 y 2 x Tiếp tuyến P B 1;5 là: y x 1 y x Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y x 3, y 2 x nghiệm phương trình: x 2 x x Khi diện tích hình phẳng giới hạn P hai tiếp tuyến P A, B là: 0 1 1 1 S x x 3 dx x x 3 dx x x x x x x 3 1 0 1 2 Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn ba đồ thị hàm số y x , y x 1, y 2 x A log e B log e C log e D 2log2 e Lời giải Chọn A y y= y = 2x x+1 2 x y = 2x + Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y x 1, y 2 x nghiệm phương trình: Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x 2 x x Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y x , y x nghiệm phương trình: 1 2x x 2x x 1 x 2 Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y x , y 2 x nghiệm phương trình: x 2 x x x x Khi diện tích hình phẳng giới hạn ba đồ thị hàm số là: 2 2x 1 S x x 1 dx 2 x x 1 dx x x x2 4x x2 x 2 1 ln 0 0 1 log e Câu 13: Diện tích miền phẳng giới hạn đường: y x , y x y là: A S 1 ln 2 B S ln C S 47 50 D S 3 ln Lời giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường Ta có: 2x x x 2x x x x 2 2x x2 1 Diện tích cần tìm là: S 1 dx x 1 dx x 2x ln 0 ln 2 1 x Page 10 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y g x gần với giá trị đây? A B C D Lời giải Chọn A Gọi phương trình Parabol y ax bx c , từ kiện đề ta có hệ phương trình a c 4a 2b c b 1 f x x x 4ac b c 4a 1 2 độ , tức phương trình g x 3ax 2bx c có nghiệm Giả sử g x ax bx cx d đồ thị qua I 1; có cực trị có hồnh Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình a a b c d b 3 3 c g x x x 8 12a 4b c c d x1.x2 x3 6 d a Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình 3 x x x3 x 8 x1 1 x2 x3 1 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y g x S 1 f x g x dx 1 g x f x dx 1 x3 x x3 x 3 3 x d x x dx 8 4 8 4 1 6, 22 Page 35 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 49: Cho hai hàm số f x ax bx cx g x dx ex 2, a, b, c, d , e Biết đồ thị hàm số y f x y g x cắt điểm có hồnh độ 3; 1; Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số cho có diện tích 316 191 253 A B C 15 12 Lời giải D 97 Chọn C Xét phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y f x y g x : h x ax3 b d x c e x Hàm số y f x y g x cắt điểm có hoành độ 3; 1; nên h x a x 3 x 1 x Xét h 6 a.3.1 2 6 a Vậy hàm số: h x x 3 x 1 x Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số cho có diện tích bằng: S 2 3 3 h x dx x 3 x 1 x 253 12 Câu 50: Cho hàm số f ( x) ax x x hàm số g ( x) bx cx , có đồ thị hình vẽ bên Gọi S1 ; S diện tích hình phẳng gạch chéo hình vẽ, biết S1 A 1361 640 B 271 320 C 571 640 221 Khi S bằng: 640 D 791 640 Lời giải Chọn D Từ đồ thị ta thấy hoành độ giao điểm đồ thị hàm số g ( x) với trục hồnh điểm cực trị hàm số f ( x) Do đó: f ( x) k g ( x) Hay: 4ax3 x k bx3 cx Page 36 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN k Suy ra: b 3a Hay: g ( x) 4ax3 x , suy ra: c f ( x) g ( x) ax x x 4ax x ax 1 4a x x x 2 0 Khi đó: S1 f ( x) g ( x) dx ax 1 4a x3 x x dx 221 a 640 791 1 Vậy S x x3 x dx 640 34 1 Câu 51: Cho hàm số f x x ax3 bx cx d a , b , c , d thỏa mãn f '' x f '' 4 f x hàm số g x Biết đồ thị hàm số y g x có ba điểm cực trị A m , g m , x 1 B 0; g , C 1; g 1 Gọi y h x hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm A , C D 2, b Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y x 1 h x x 1 A 44 15 B 56 15 C 46 15 D 64 15 Lời giải Chọn A f ' x x3 3ax 2bx c f '' x 12 x 6ax 2b 1 Vì f '' x f '' nên a 1 4 g ' x x 1 f ' x x f x x 1 đồ thị hàm số y g x có ba điểm cực trị A m , g m , B 0; g , C 1; g 1 nên g ' f ' c g ' 1 f ' 1 f 1 1 b d Suy f x x x bx b x x x 1 b Lại có đồ thị hàm số y g x có điểm cực trị A m , g m , C 1; g 1 nên A , C thuộc đồ thị hàm số y f ' x x 1 ' x3 x 2bx 2x2 x b 2x Page 37 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Mà D 2; b thuộc đồ thị hàm số nên hàm số y h x có phương trình dạng y 2x2 xb Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y f x y x 1 h x x 1 : x x x 1 b x 1 x x b x 1 x4 x 1 x x2 x 2 x 1 Diện tích hình phẳng cần tìm S x 1 44 x x x 2dx 2 15 Câu 52: Cho hai hàm số f x ax bx3 cx x g x mx nx x với a, b, c, m, n Biết hàm số y f x g x có ba điểm cực trị 3;1 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y f x y g x A 935 36 B 941 36 C 937 36 D 939 36 Lời giải Chọn C Vì f x ax bx3 cx x g x mx nx x nên hàm số y f x g x có bậc lớn bậc Mặt khác hàm số y f x g x có ba điểm cực trị 3;1 Do y f x g x có ba nghiệm đơn 3;1 Suy f x g x k x 3 x 1 x Từ dạng hàm số f x g x suy f x g x có hệ số tự 4, k Do đó: f x g x x 3 x 1 x Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y f x y g x là: S 3 f x g x dx x 3 x 1 x dx 3 1 937 x 3 x 1 x dx x 3 x 1 x dx 3 31 36 Page 38 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 53: Cho hàm số y f x xác định liên tục đoạn 3;3 Biết diện tích hình phẳng S1 , S giới hạn đồ thị hàm số y f x đường thẳng y x M , m Tính tích phân f x dx bằng? 3 A m M B m M C M m D m M Lời giải Chọn D 1 1 3 3 3 3 x f x dx M x 1dx f x dx f x dx M M 3 3 1 1 m f x x 1dx m x 1dx f x dx f x dx m 3 3 3 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx M m Câu 54: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x x đường thẳng y m ; x 0; x Có giá trị nguyên tham số m [ 4040; 3] để S 2021 A 2019 B 2020 C 2021 Lời giải D 2018 Ta có x x ( x 1) 2 x R ; dấu xảy x 1 Suy x x 3 x [0;1] m [ 4040; 3] nên: 1 S x x m dx x x m dx 1 x x 1 dx m dx m 0 S 2021 6062 m 2021 m 3 m { 2020; ; 3} Page 39 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Vậy có 2018 giá trị nguyên m Câu 55: Goị S diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol y x x đường thẳng y m ; x ; x Có giá trị nguyên tham số m 4040; 3 để S 2021 A 2019 B 2020 C 2021 Lời giải D 2018 Chọn D S diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol y x x đường thẳng y m ; x ; x 1; Vậy S x x m dx x x m dx x3 S x x mx m 0 m 4040; 3 1 2021 m 3 Thỏa mãn yêu cầu m Vậy có 2018 giá trị m 3 1 m m 2021 Câu 56: Cho f x ax3 bx cx d a hàm số nhận giá trị khơng âm đoạn 2;3 có đồ thị f x hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số g x xf x ; h x x f x f x đường thẳng x 2; x 72 Tính f 1 A f 1 B f 1 1 C f 1 D f 1 62 Lời giải Chọn A Từ hình vẽ ta có f x x x x x f x x x C Diện tích hình phẳng là: 3 2 S g x h x dx xf x x f x f x dx Do xf x x f x f x 0, x 2;3 nên S xf x x f x f x dx Page 40 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 9 1 Ta có: S x f x dx x f x f 3 f C C 2 2 2 3 C4 2 Mà S 72 C C 72 C 52 Do f x 0, x 2;3 f x x x f 1 Câu 57: Cho hình phẳng D giới hạn đường y x x; y 1; y x , hình vẽ Diện tích D 78 A B 72 C 72 D 73 Lời giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x 1 i) x x x x ii) x x x x x x iii) x 1 Ta có: S x x x dx x x dx x x dx 1 x 1 x x dx x 1 dx x 1 dx 1 x 1 x3 x x3 x x 0 1 Page 41 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 78 Vậy S 78 Câu 58: Cho hai hàm đa thức f x ax3 bx cx d g x mx nx p Biết đồ thị hai hàm số y f x y g x cắt ba điểm có hồnh độ 1; 2; đồng thời cắt trục tung M , N cho MN Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số cho có diện tích A 125 B 253 24 253 16 C D 253 12 Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y f x y g x là: ax3 bx cx d mx nx p ax3 b m x c n x d p Do đồ thị hai hàm số y f x y g x cắt ba điểm có hồnh độ 1; 2; nên ta a x 1 x x ax b m x c n x d p Mà f g yM yn MN Suy a Do đó: f x g x Khi đó: S 1 x 1 x x 4 f x g x dx 1 253 x 1 x x dx 16 Page 42 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 59: Cho hàm số y e x có đồ thị C Diện tích hình phẳng giới hạn C , tiếp tuyến C điểm M 1; e đường thẳng y x e 2e e A 2e B C 2e 3e 2e Lời giải D e 2e Chọn D Ta có phương trình tiếp tuyến C điểm M 1; e y y 1 x 1 e e.x 1 Xét phương trình e x e.x x 1; e x x x 1 e.x x x e e 1 0 e 1 x Từ đồ thị ta có S e x dx e x e.x dx e x x e x x e 2e 1 0 1 1 e e 1 e 1 e 2e 2 2e Câu 60: Cho hai hàm số f x ax bx cx g x dx ex (a, b, c, d , e ) Biết đồ thị hàm số y f x y g x cắt điểm có hồnh độ 3 ; 1 ; Hình phẳng giới hạn đồ thị cho có diện tích A B C D Lời giải Chọn D Page 43 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Phương trình hồnh độ giao điểm: ax bx cx dx ex a x 3 x 1 x 1 a x 3 x 1 x 1 có: 3a a Khi đó: diện 2 Ta có: ax3 b d x c e x x ta Cho tích cần tìm là: S x 3 x 1 x 1 dx 3 Câu 61: Cho đường cong C y x 27 x3 đường thẳng y m cắt C hai điểm phân biệt nằm góc phần tư thứ hệ tọa độ Oxy chia thành hai miền phẳng có diện tích S1 S hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A m B m 1 C m D m 2 Lời giải Chọn C Giả sử đường thẳng y m cắt đồ thị C điểm có hồnh độ a, b a b 8a 27 a m Ta có: 8b 27b m Phương trình hồnh độ giao điểm: x 27 x3 m x 27 x3 m Xét hàm số f ( x) x 27 x3 m có F x f ( x)dx x a a 0 27 x mx C Lại có: S1 f ( x)dx f ( x)dx F (0) F (a ) b b a a S f ( x)dx f ( x)dx F (b) F (a ) Theo S1 S F (0) F (a ) F (b) F (a ) F (b) F (0) Vì F b 4b 27 b mb Page 44 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 27b b mb 4b Do 8b 27b3 m m 32 27 Chọn đáp án C Câu 62: Cho đường thẳng y x a đồ thị hàm số y x Gọi S1 , S diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 S a thuộc khoảng đây? 9 B ; 5 5 8 A ; 3 9 5 C ; 5 2 Lời giải 2 3 D ; 3 2 Xét phương trình tương giao đường thẳng y x a hàm số y x ta có: xa x x x a 0 (x ) 1 1 x a x a 1 4 x a 2 1 1 x a x a (do a 0) 4 2 1 1 1 1 x a a a a a b 4 4 4 2 b Ta có: b b xdx S S1 xdx S S xdx S 3 0 b a2 8 b2 b b x a dx b b ab a 3a 3 b b b a b b a (do b b a 0) b 2a Page 45 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN a 1 1 a 2a a a 4 1 a a a a a a a 2a 4 9 5 Vậy a ; 5 2 Câu 63: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y x3 x y x x Lời giải x Ta có x x x x x x x x 1 x 2 S x 2 x x x dx 1 x x x dx 1 x 1 x x dx x x x dx 2 x x3 x x3 37 x2 x2 1 12 Câu 64: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x đường thẳng y x A 36 B 36 C D 4 Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y x đường thẳng y x x x2 2x x2 2x x 2 Diện tích hình phẳng cần tính S x3 2 x x dx x x dx x 0 2 Câu 65: Cho đồ thị C : y f x x Gọi H hình phẳng giới hạn đồ thị C , đường thẳng x trục Ox Cho điểm M thuộc C điểm A 9;0 Gọi V1 thể tích khối trịn xoay cho H quay quanh trục Ox , V2 thể tích khối trịn xoay cho tam giác AOM quay quanh trục Ox Biết V1 2V2 Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn đồ thị C đường thẳng OM Page 46 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A B 27 16 C D 3 Lời giải Chọn B Ta có: V1 x.dx 81 3 Giả sử M a; a , ta có V2 MH OA a.9 3 a V1 2V2 81 27 6 a a 27 3 ; x , Phương trình đường thẳng OM y Suy M 27 27 2 x2 27 x dx x x Diện tích cần tính S x 16 3 x parabol y x a , Gọi S1 , S diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 S a thuộc khoảng sau Câu 66: Cho đường thẳng y Page 47 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 16 ; 16 32 A 0; 1 32 C ; B 1 ; 32 D Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm 1 x x a x x a x x 4a 2 Ta có: 32a , theo giả thuyết a 32 32a x1 Khi hồnh độ giao điểm x 32a Ta có x1 x 1 3 S1 S x a x dx x x a dx 0 x1 x1 x2 x3 3x x3 3x ax ax 0 x1 x13 x12 x22 x23 x12 x13 ax1 ax2 ax1 8 x22 x23 3x x2 ax2 a 8 93 32a 32 32a 96 a 0 27 9 32a 32a 32a 96a 32a 64a 81 288a 4096a 1152a 81 a 4096a 864a a 27 128 Do a số thực dương nên a 27 ; 128 16 32 Page 48 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 67: Cho hai hàm số f x ax bx3 cx x g x mx3 nx x ; với a, b, c, m, n Biết hàm số y f x g x có ba điểm cực trị 1 ; Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số f x y g x A 32 B 64 125 12 Lời giải C D 131 12 Chọn D Ta có f x g x hàm bậc nên f x g x Ax Bx3 Cx x f x g x Ax3 3Bx 2Cx Hàm số y f x g x có ba điểm cực trị 1 ; nên ta có hệ phương trình: A 12 4 A 3B 2C 2 f x g x x3 x x 108 A 27 B 6C B 3 256 A 48 B 8C C Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f x y g x S 3x 1 131 x x dx 12 Page 49