CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Page 1 C H Ư Ơ N G III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu[.]
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 195: Cho hai đường tròn O1 ;10 O2 ;6 cắt hai điểm A , B cho AB đường kính đường trịn O2 ;6 Gọi D hình phẳng giới hạn hai đường tròn Quay D quanh trục O1O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành A V 36 B V 68 C V 320 D V 320 Lời giải Chọn D Chọn hệ tọa độ Oxy với O2 O , O2C Ox , O2 A Oy Cạnh O1O2 O1 A2 O2 A2 102 62 O1 : x y 100 Phương trình đường trịn O2 : x y 36 Kí hiệu H1 hình phẳng giới hạn đường y 100 x , trục Ox , x , x 2 Kí hiệu H hình phẳng giới hạn đường y 36 x , trục Ox , x , x Khi thể tích V cần tính thể tích V2 khối trịn xoay thu quay hình H2 xung quanh trục Ox trừ thể tích V1 khối trịn xoay thu quay hình H1 xung quanh trục Ox Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ta có V2 r 63 144 3 112 Lại có V1 y dx 100 x dx 2 0 Do V V2 V1 144 112 320 3 Câu 196: Cho hàm số y f x ax bx cx d , a, b, c, d có đồ thị C Biết đồ thị C tiếp xúc với đường thẳng y điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y f x cho hình vẽ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị C trục hoành quay xung quanh trục Ox A 725 35 B 729 35 C 6 D 35 Lời giải Chọn B Từ hình vẽ ta có f x x f x x3 x d Ta có y đường thẳng có hệ số góc nên y tiếp tuyến điểm cực trị x0 có hồnh độ âm hàm số f x f x0 Từ hình vẽ ta thấy f x có điểm cực trị âm x 1 f 1 d f x x3 x x 2 Xét phương trình f x x 1 Khi thể tích vật thể tạo xoay hình phẳng H quanh trục Ox là: V x x dx 2 729 35 Câu 197: Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly cm chiều cao cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V cm3 vật thể cho Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A 12 B 12 72 C D 72 Lời giải Chọn A Xét hệ trục Oxy hình vẽ Gọi P : y ax bx c qua điểm O 0;0 , A 2;6 , B 2;6 , ta có hệ phương a 0a 0b c trình sau 4a 2b c b 4a 2b c c Vậy P : y 2 x x2 y Khi khối trịn xoay tạo thành tích V y.dy 12 Câu 198: Cho H hình phẳng giới hạn parabol y x , cung trịn có phương trình y x trục hoành Diện tích hình H Page CHUN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A 4 12 B 4 C 2 D 4 Lời giải Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm parabol cung trịn ta x nên ta có x Ta có diện tích S x dx 1 3x x x 1 3 x dx x x dx x dx 3 1 Đặt: x 2sin t dx cos tdt ; x t ; x t 4 S t sin 2t Câu 199: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y cos x , trục hoành đường thẳng x 0, x Khối tròn xoay tạo thành D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V ( 1) B V ( 1) C V D V Lời giải Chọn A Áp dụng cơng thức tính thể tích vật thể tròn xoay V cos x dx x sin x 1 Câu 200: Gọi H hình phẳng giới hạn parabol y x x , đường thẳng y x 12 trục hồnh Biết thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục hoành a a (a, b số nguyên dương phân số tối giản) giá trị a b b b A 31 B C 36 D 37 Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn A ⬥ Xét phương trình hồnh độ giao điểm y x x , y x 12 trục hoành x x x 12 x x 16 x x x2 4x x x 12 x ⬥ Khi cho hình phẳng H quay quanh trục hoành ta khối trịn xoay tích 4 V x x dx x 12 dx 2 2 4 x dx x 12 dx 2 x 2 5 x 12 12 32 16 16 15 a 16 ⬥ Suy Vậy a b 31 b 15 Câu 201: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x , y x quanh trục Ox Đường thẳng x a a cắt đồ thị hàm số y x M Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Tìm a cho V 2V1 A a B a 2 C a D a Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Chọn D x x Ta có Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x , y x quanh trục Ox : V xdx = 8 Ta có M a; a Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hình nón có chung đáy: Hình nón N1 có đỉnh O , chiều cao h1 OK a , bán kính đáy R MK a Hình nón N có đỉnh H , chiều cao h2 HK a , bán kính đáy R MK a 1 V1 R h1 R h2 3 a a 13 a a 43 a 2 Theo đề V 2V1 8 a a 3 Câu 202: Gọi V thể tích khối trịn xoay giới hạn đồ thị hàm số y x a y a a x , a , quay quanh trục Ox Giá trị a để V đạt giá trị lớn A a B a C a D a Lời giải Chọn B Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình : V 2 a ax a a x dx 2 a ax x a 2 a x x a x a a a x dx a x 2 a V x3 a a | a a , a 20 3 Xét hàm số f (a ) a a , a a l f (a ) a 4a a 2 Bảng biến thiên Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Hàm số có cực trị a đạt a Vậy a điểm cực đại Do giá trị lớn hàm số V đạt giá trị lớn Câu 203: Cho hàm số y f x có đạo hàm khác liên tục đến cấp hai đoạn 1;3 ; đồng thời f 1 , f 1 f ( x) f x xf x e f x , x 1;3 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y xung quanh trục hoành 26 A B 26 x f x ln ln x 1 3 26 C , y 0, x 1, x quay D 3 Lời giải Chọn A Ta có: f ( x) e f x f x xf x e f x f x e f x f x xf x f x x f x e f x x x f x dx dx e C f x f x Do f (1) 0, f (1) C e f x x f x f x e f x x f x e f x dx xdx e f x x2 C1 x2 x2 1 f x f x ln Do f (1) nên C1 e 2 Thể tích vật thể trịn xoay cần tính 3 x f x ln x3 26 dx = x dx = V 3 ln x D miền giới hạn hai đường cong y f x ax bx c y g x x mx n Biết S D đồ thị hàm số y g x có đỉnh I 0; Khi cho miền Câu 204: Gọi giới hạn hai đường cong hai đường thẳng x 1; x quay quanh trục Ox , ta nhận vật thể tròn xoay tích V a , a, b số nguyên dương Giá trị b biểu thức P a b3 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y y=f(x) O x y=g(x) A P 2101 B P 1342 C P 2021 Lời giải D P 63706 Chọn D Parabol y g x có đỉnh I 0; suy m 0; n y g x x Phương trình hồnh độ giao điểm y f x y g x : ax bx c x a 1 x bx c 1 Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình hồnh độ giao điểm y f x y g x có dạng a 1 x 1 x a 1 x x a 1 x x dx 1 Ta có S D a 1 a 1 a b 2 Với a , từ 1 ta suy ra: x bx c x x c 2 Vì hai đường y f x x x y g x x nằm khác phía trục Ox nên ta lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x x x qua trục Ox ta đồ thị hàm số y x2 2x 2 x2 2x 2 x x x 0, x 1;0 Xét x x x 2 x 2 0 x x x 2, x 0; 2 2 Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm là: V x dx x x dx 1 2 259 a 259; b 15 15 Vậy P 2592 153 63706 C hàm số bậc hai y g ( x) mx nx p có đồ thị P Biết C P qua điểm (1; 2), (3;1), (5;3) , đồng thời phần hình phẳng giới hạn C P có diện tích Gọi Câu 205: Cho hàm số bậc ba y f ( x) ax bx cx d có đồ thị Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay phần hình phẳng quanh trục hồnh Hỏi V gần giá trị giá trị sau? A 14 B 16 C Lời giải D Do P : y g ( x) mx nx p qua điểm (1; 2), (3;1), (5;3) nên ta có hệ: m m n p 9m 3n p n 2 25m 5n p 29 p 29 (3 x 16 x 29) Vậy P : y g ( x) x x 8 Vì C P cắt ba điểm (1; 2), (3;1), (5;3) nên f ( x) g ( x) a ( x 1)( x 3)( x 5) a ( x3 x 23 x 15) Mà 5 3 f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x) dx ( f ( x) g ( x))dx ( f ( x) g ( x))dx a ( x x 23 x 15)dx a ( x x 23 x 15)dx 8a Nên a 1 1 f ( x) ( x3 x 23 x 15) (3 x 16 x 29) ( x3 x x 14) 8 8 Vậy thể tích khối tròn xoay V ( f ( x) g ( x))dx ( g ( x) f ( x))dx 3 9, 424 Câu 206: Cho khối V giới hạn hình chữ nhật OABC nằm mặt phẳng vng góc với đáy, mặt cong hai đáy song song Biết phương trình đường cong mặt phẳng Oxy y x x , chiều cao OC Tính thể tích V Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN B 4 A 6 C 5 Lời giải D 3 Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y x x trục Ox là: x 4x x2 x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x trục Ox 4 S x x dx x dx 2 0 Đặt x 2sin t ( t ; ) suy dx cos t.dt 2 Khi S cos 2t 4sin t cos t.dt cos t.dt dt 2t sin 2t 2 2 2 2 2 Vậy thể tích khối V 2 6 Câu 207: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn 100 m , trục nhỏ 80 m chia thành phần đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp elip Phần nhỏ trồng phần lớn trồng rau Biết lợi nhuận thu 2000 m trồng 4000 m trồng rau Hỏi thu nhập từ mảnh vườn bao nhiêu? A 31904000 B 23991000 C 10566000 D 17635000 Lời giải Chọn B Page 10 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Dựa vào đồ thị ta có hệ phương trình: a.0 b a 20 vB a.3 60 b vB 3 60 Suy vB t 20t t Vậy quãng đường chất điểm B giây là: 3 0 S B vB t dt 20tdt 90 m Khi đó, khoảng cách hai chất điểm bằng: 180 90 90 (m) Câu 224: Một ô tô chạy với vận tốc 12 m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t 4t 12 , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? A 20 m B 10 m C 16 m D 18 m Lời giải Chọn D Thời gian ô tô chuyển động từ lúc đạp phanh đến dừng v t 4t 12 t Qng đường tơ cịn di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng 3 0 s v t dt 4t 12 dt 18 m Câu 225: Một vật chuyển động 10 giây với vận tốc v m / s phụ thuộc vào thời gian t s có đồ thị hình vẽ Quãng đường vật chuyển động 10 giây A 63 m B 67 m C 61 m D 65 m Lời giải Page 30 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn B Vận tốc chuyển động vật giây đầu v1 t Vận tốc chuyển động vật từ giây thứ đến giây thứ v2 t t 4 22 Vận tốc chuyển động vật từ giây thứ đến giây thứ 10 v3 t t 3 Ta có S t v t , suy 10 10 67 3 1 22 S v1 t dt v2 t dt v3 t dt 2dt t dt t dt 4 3 7 Câu 226: Một vật chuyển động với vận tốc v km / h phụ thuộc thời gian t h có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị mổ phần đường parabol có đỉnh I 2;7 trục đối xứng parabol song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng IA Tính quãng đường s mà vật di chuyển A s 15,81 km B s 17,33 km C s 23, 33 km D s 21,33 km Lời giải Chọn D Parabol y ax bx c a qua điểm 0;3 có đỉnh I 2;7 nên có c a 1 b 2 b y x x 2a c 4a 2b c Page 31 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Đường thẳng IA qua A 4;3 nhận vectơ IA 2; 4 làm vectơ phương, suy có vectơ pháp tuyến n 4; Phương trình đường thẳng IA x y 3 y 2 x 11 Quãng đường s mà vật di chuyển là: s t 4t 3 dt 2t 11 dt 64 km Câu 227: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh đần với vận tốc vt 8t ( m / s ) Đi 5( s ) , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a 75 m / s Quãng đường S (m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn gần với giá trị đây? A S 94, 00( m ) B S 166, 7( m ) D S 95, 70( m ) C 110, 7( m ) Lời giải Quãng đường ô tô từ lúc xe lăn bánh đến phanh: 5 t2 S1 v1 (t )dt 8tdt 100( m) 20 0 Vận tốc v2 (t )(m / s ) ô tô từ lúc phanh đến dừng hẳn thoả mãn v2 (t ) (75)dt 75t C , v2 (5) v1 (5) 40 C 415 Vậy v2 (t ) 75t 415 Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thoả mãn v2 (t ) t 83 ( s) 15 Quãng đường ô tô từ lúc xe phanh đến dừng hẳn: S2 83 15 83 15 32 v t dt 75t 415dt (m) 5 Quãng đường cần tìm: S S1 S 100 32 332 ( m) 3 Câu 228: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc vt 8t m / s Đi s , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a 75 m / s Quãng đường S m ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn gần với giá trị đây? A S 94, m B S 166, m C S 110, m D S 95, m Lời giải Chọn C Quãng đường s giây đầu 8t dt 100 m Vận tốc thời điểm giây thứ v5 8.5 40 m / s Page 32 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Phương trình vận tốc tơ chuyển động chậm dần với gia tốc a 75 m / s v t 40 75t Xe dừng hẳn v t 40 75t t 15 15 Quãng đường ô tô bắt đầu hãm phanh 80 75t dt Quãng đường ô tô 100 32 m 32 110, m Câu 229: Hàng ngày anh An làm xe máy cung đường từ nhà đến quan 15 phút Hôm di chuyển đường với vận tốc vo anh gặp chướng ngại vật nên anh hãm phanh chuyển động chậm dần với gia tốc a 6m / s Biết tổng quãng đường từ lúc anh nhìn thấy chướng ngại vật quãng đường anh 3s kể từ lúc hãm phanh 35,5m Tính vo A vo 45km / h C vo 60km / h B vo 40km / h D vo 50km / h Lời giải Chọn A Khi chưa hãm phanh quãng đường anh An tính theo cơng thức S t v0 t Suy quãng đường anh An 2s trước hãm phanh S1 2v0 Sau hãm phanh xe chuyển động với vận tốc v t 6t v0 Quãng đường anh An 3s kể từ lúc hãm phanh S 6t v0 dt 3t v0t 27 3v0 Khi ta có S1 S 35,5 2v0 27 3v0 35,5 v0 12,5 m / s 45km / h Câu 230: Một vật chuyển động với vận tốc v phụ thuộc thời gian t có đồ thị vận tốc hình Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I 2; với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển Page 33 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A s 18,75 km B s 31, km C s 12, km Lời giải D s 31, 25 km Chọn D Gọi P : v t at bt c Vì P qua A 0;1 có đỉnh I 2; nên ta có 1 c c c b a b b 2a a 2b 7 8 a 2b c a phương trình v t Ngoài t ta có v 7 t 7t 25 7 25 Vậy quãng đuờng cần tìm là: s t t dt dt 31, 25 ( km) 4 0 Câu 231: Một lều vải du lịch dạng hình cong hình bên Khung bao gồm đáy hình vng cạnh 2m hai xương dây a , b nằm đường parabol đỉnh S Biết chiều cao lều SO 135cm , O tâm đáy Tính thể tích lều A 27 10 B 26 C D 30 11 Lời giải Chọn A Page 34 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Gắn hệ trục hình vẽ Ta tính OA OB Gọi phương trình đường a y ax bx c, a Ta có a qua điểm A 2;0 , B 27 2;0 , S 0; 20 27 a a b c 40 27 27 y x2 Suy ta có hệ 2a 2b c b 40 20 27 27 c c 20 20 27 Gọi I 0; y ; y 0; 20 Mặt phẳng vng góc Oy I cắt hình cho theo thiết diện hình vng MNPQ có diện tích S y Theo giả thiết điểm M , N , P, Q có tung độ y Mà hai điểm M , P thuộc đường a có phương trình y Suy x MP 27 27 x 40 20 54 40 y 54 40 y 54 40 y 54 40 y x M ; y , P ; y 3 27 3 3 54 40 y 3 S y MN MN 108 80 y 3 108 80 y 27 Page 35 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Suy thể tích lều V 27 20 27 20 0 S y dy 108 80 y 27 dy m3 27 10 Câu 232: Gọi H phần hình phẳng giới hạn đồ thị C hàm số đa thức bậc ba với đồ thị P hàm số bậc hai hình vẽ bên Diện tích hình phẳng H A 37 12 B 12 11 12 Lời giải C D 12 Chọn A Dựa vào giả thiết hình vẽ ta có: + C đồ thị hàm số có dạng f x ax3 bx cx a, b, c , a + P đồ thị hàm số có dạng g x dx ex d , e , d C P cắt điểm có hồnh độ f x g x a x 1 x 1 x Với x , ta có f g a 1 1 a Do 2 1 1 x 1; x 1; x Diện tích hình phẳng H S f x g x dx x 1 x 1 x dx nên ta có 37 12 Câu 233: Cho hàm số y f ( x) liên tục thỏa mãn f (4) Đồ thị hàm số y f '( x) hình vẽ bên Để giá trị lớn hàm số h( x) f ( x) x2 x 3m đoạn 4;3 khơng vượt q 2022 tập giác trị m A (; 2022] B (674; ) C (;674] D (2022; ) Page 36 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Chọn C h '( x) f '( x) ( x 1) Trên (4;1) , h '( x) , (1;3), h '( x) , h '(1) Hàm số h( x) đạt cực tiểu đoạn 4;3 x a h(4) 3m ; b h(3) f (3) 15 3m 4 Gọi S1 [( x 1) f '( x)]dx; S [ f ( x) ( x 1)]dx x2 x2 Nhận thấy S1 S x f ( x) f ( x) x 4 1 12 15 f (1) f (4) f (3) f (1) f (4) f (3) f (3) 2 2 Vậy, b a , max h( x) a 3m 2022 m 674 x[ 4;3] Vậy, tập giá trị m, (;674] Câu 234: Cho hàm số f x x3 ax2 bx c với a , b , c số thực Biết hàm số g x f x f x f x có hai giá trị cực trị 4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y A ln f x y g x 12 B ln C ln18 Lời giải D ln Chọn D Xét hàm số g x f x f x f x Ta có g x f x f x f x f x f x 12 g m 4 Theo giả thiết ta có phương trình g x có hai nghiệm m , n g n Page 37 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f x x m g x 12 f x f x f x 12 g x 12 x n Diện tích hình phẳng cần tính là: Xét phương trình n f x S 1 dx g x 12 m ln g x 12 n m g x 12 f x m g x 12 dx n n m f x f x 12 dx g x 12 n g x g x 12 dx m ln g n 12 ln g m 12 ln ln 16 ln Câu 235: Cho hàm số y f x hàm đa thức bậc Biết hàm số y f x có đồ thị C hình vẽ diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C trục hoành Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x đoạn 3;2 Khi giá trị M m A 16 B 32 C 27 D Lời giải Chọn B x 2 Dựa vào đồ thị ta thấy f x , x nghiệm kép x Do f x a x x 1 a x x x4 3x2 Suy f x f x dx a 2x C Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C trục hoành nên f x dx f x 2 2 f 1 f 2 3 a 6 a 4 Vậy f x x4 x2 x C 3 Dựa vào đồ thị ta có nhận xét f x x 2, x Page 38 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f x x 2 f x x 2 Do ta có bảng biến thiên Vậy M 32 C m 8 C Do M m 3 Câu 236: Cho hàm số y f x có đạo hàm Đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Đặt h x f x x Mệnh đề đúng? y -2 O x -2 A h 4 h 2 h 2 B h 2 h 4 h 2 C h 2 h 4 h 2 D h 2 h 2 h 4 Lời giải Chọn B Ta có h ' x f ' x x, y ' f ' x x 1 Nghiệm phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y f ' x đường thẳng y x Page 39 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x 2 Dựa vào đồ thị trên: f ' x x x , ta có bảng biến thiên x Mặt khác dưa vào đồ thị ta có 2 2 2 h ' x dx h ' x dx hay h ' x dx h ' x dx h h 2 h h h 2 h Câu 237: Cho hàm đa thức bậc bốn y f x có đồ thị hàm số y f x hình sau Biết f 148 diện tích phần tơ màu Tìm số giá trị nguyên dương tham số 21 21 m để hàm số g x f x x2 m có điểm cực trị A 12 B 11 C 10 Lời giải D Vô số Page 40 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn B Vì diện tích phần tơ màu f ( x) dx 148 nên 21 148 147 148 f 4 f 0 f 4 21 21 21 147 Xét hàm số h x f x x2 Suy ra: h 12 21 x Ta có: h x f x 2x f x x h x f x Vẽ đường thẳng d : y x ta thấy: x 2 h x x x Vì diện hình phẳng giới hạn đồ thị y f x đường thẳng d phần bên trái trục tung nhỏ phần nằm bên phải trục tung nên ta có: x x 2 f ( x) dx 0 f ( x) dx 1 h x dx h x dx h h 2 h h h 2 h 2 40 Ta có bảng biến thiên hàm số h x sau: Page 41 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ta có: g x h x m nên số điểm cực trị hàm số g x số điểm cực trị hàm số h x m cộng với số nghiệm bội lẻ phương trình h x m Mà h x có điểm cực trị nên h x m có điểm cực trị Yêu cầu toán tương đương với phương trình h x m có hai nghiệm bội lẻ m 12 m 12 Vậy có 11 giá trị nguyên dương tham số m thỏa mãn Câu 238: Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hàm số y f x hình bên Xét hàm số g x f x x Hỏi mệnh đề sau đúng? A g 1 g 2 g 3 B g 2 g 3 g 1 C g 2 g 3 g 1 D g 1 g 3 g 2 Lời giải Chọn D Ta có g x f x x f x x Vẽ đồ thị hàm số y f x đường thẳng y x hệ trục hình vẽ sau: Page 42 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , đường thẳng y x đường thẳng x 2 , x Ta có S1 f x x dx 2 1 1 g x d x g x g 1 g 2 2 2 2 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , đường thẳng y x đường thẳng x , x 3 1 Ta có S1 f x x dx g x dx g x g 3 g 1 21 2 Mà ta có: g 1 g 2 g 2 g 1 S 1 g 3 g 1 g 1 g 3 g 2 S g 3 g 1 S S 2 g 2 g 3 g g g g 2 2 Chọn đáp án D Câu 239: Cho hai hàm số f ( x) ax x bx 2d g ( x) cx x d có bảng biến thiên sau: Page 43 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Biết đồ thị hai hàm số cho cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 x22 x32 30 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f ( x), y g ( x), x 3, x A 1321 12 B 1123 12 1231 12 Lời giải C D 2113 12 Chọn A Ta có f '( x) 3ax x b Từ BBT ta thấy , nghiệm phương trình a Ta có , nghiệm phương trình f '( x) 3ax x b nên . b 3a c Từ, suy g ( x) cx x d , nên . d c 2 a c a c b 3d b d 3a c 1 1 Từ BBT ta thấy g ( x) có đỉnh I ( ; 4) c , suy g ( ) 4 d d c c c a Ta có phương trình f ( x) g ( x) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 ax3 (3 a ) x (3d 2) x 3d có nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 , nên ta có 3 a x1 x2 x3 a d x x x x x x 2 3 a Nên ta có x12 x2 x32 30 ( x1 x2 x3 ) 2( x1 x2 x2 x3 x3 x1 ) 30 3.( 4) 3 a 3 a 3d ) a 30 29a 26a ( ) 2( ) 30 ( a a a a a Vì a c , nên a , suy c 1, d 3, b 9 a 29 Từ đây, ta f ( x) g ( x) x x x 10 Ta có diện tích hình phẳng giới hạn đường y f ( x), y g ( x), x 3, x S 3 f ( x) g ( x) dx x x x 10 dx 3 1321 12 Page 44