CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Page 1 C H Ư Ơ N G III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu[.]
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 125: Cho hai hàm số f ( x) ax bx cx 3 g x mx nx Biết đồ thị hàm 2 số y f x y g x cắt ba điểm có hồnh độ 2;1;3 Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho có diện tích 253 235 253 A B C 48 48 24 Lời giải D 125 24 Chọn C Ta có phương trình hồnh độ giao điểm ax bx cx 3 mx nx ax b m x c n x 1 2 Ta có phương trình 1 có ba nghiệm x 2; x 1; x Với x 2 thay vào ta có 8a b m c n Với x thay vào ta có a b m c n Với x thay vào ta có 27 a b m c n a 8a b m c n 3 Do ta có hệ a b m c n 3 b m 1 27 a b m c n 3 c n Suy f ( x) g ( x) x x2 x 2 Vậy S f ( x) g ( x) dx 2 2 2 x x x dx 2 3 5 63 253 x x x dx x3 x x dx 2 2 24 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 126: Cho hàm số f x x mx nx 2021 với m , n số thực Biết hàm số g x f x f x f x có hai giá trị cực trị e2022 12 e 12 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y A 2019 f x y g x 12 B 2020 D 2022 C 2021 Lời giải Chọn C Ta có f x x 2mx n , f x 12 x 2m , f 3 x 12 Suy g x x3 m x n 2m 12 x 2021 n 2m g x x m x n 2m 12 Vì hàm số g x có hai giá trị cực trị nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 Ta có bảng biến thiên hàm số g x sau: Từ suy g x1 e 2022 12 g x2 e 12 g x f x f x f x Mặt khác 3 g x f x f x f x f x f x 12 g x g x f x 12 g x g x f x 12 Xét phương trình hồnh độ giao điểm: 1 g x f x 12 g x f x x x1 g x 12 g x 12 g x 12 x x2 Khi diện tích hình phẳng giới hạn đường y x2 f x g x f x 12 S 1 dx dx g x 12 g x 12 x1 x1 x2 x2 f x y g x 12 g x g x 12 dx x1 ln g x 12 x2 x1 ln g x2 12 ln g x1 12 2022 2021 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 127: Cho hàm số f x x ax3 bx cx d với a, b, c, d số thự C Biết hàm số g x f x f x f x có giá trị cực trị Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x y g x 24 B ln A ln C ln D ln Lời giải Chọn D f x x 3ax 2bx c, f x 12 x 6ax 2b, f x 24 x 6a, f 4 x 24 g x f x f x f 4 x g x f x f x 24 g x f x 24 g x f x f x f x g x f f x g x g x 24 1 g x 24 g x 24 Phương trình hồnh độ giao điểm y f x y : g x 24 f x x m g x g x 24 x n Với g x f x f x f x hàm bậc ba với hoành độ cực trị x m, x n Giả sử hàm g x có giá trị cực trị tương ứng g m 0, g n Khi diện tích hình phẳng đường y n S m f x y là: g x 24 n n f x g x g x 24 g x dx dx dx ln g x 24 g x 24 g x 24 g x 24 m m Câu 128: Cho hàm số f x x3 ax bx c với a , b, c n m ln số thực Biết hàm số g x f x f x f x có hai giá trị cực trị 5 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y A ln f x y g x B ln C 3ln Lời giải D ln10 Chọn C Xét hàm số g x f x f x f x Ta có g x f x f x f x f x f x Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN g m 5 Theo giả thiết ta có phương trình g x có hai nghiệm m, n g n Xét phương trình f x f x f x x m g x f x 1 g x x n g x g x Diện tích hình phẳng cần tính là: n f x S 1 dx g x m ln g x n m g x f x m g x dx n n m f x f x dx g x n g x g x dx m ln g n ln g m ln 3ln Câu 129: Cho hai hàm số f ( x) g ( x) liên tục hàm số f '( x) ax3 bx cx d , g '( x) qx nx p với a, q có đồ thị hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f '( x) y g '( x) 10 f (2) g (2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f ( x ) y g ( x ) A B 15 16 Lời giải C D 16 Chọn C Đặt h( x) f ( x) g ( x) h '( x ) f '( x ) g '( x ) Xét phương trình hoành độ giao điểm f x g x f x g x Vì hai đồ thị y f '( x) y g '( x) cắt điểm có hồnh độ 0; 1; nên phương trình có nghiệm x 0; x x Do đó, ta có h '( x) f '( x) g '( x) kx( x 1)( x 2) k Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ta có diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f '( x) y g '( x ) : 2 0 S f '( x ) g '( x )dx k x x 1 x dx k x x 1 x dx k Theo đề: S 10 Do đó: k 20 h '( x) 20 x( x 1)( x 2) x4 h( x ) 20 x ( x 1)( x 2)dx 20 x 3x x dx 20 x x C Vì f (2) g (2) h(2) f (2) g (2) C Do đó: h( x) x 20 x3 20 x Xét phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) h( x ) x 20 x 20 x x x Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 0 S f ( x ) g ( x )dx h( x )dx x 20 x 20 x dx Câu 130: Cho hàm số f ( x) x bx cx d với b , c , d 16 số thực Biết hàm số g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) có hai giá trị cực trị Diện tích hình phẳng giới hạn f ( x) đường thẳng y y g ( x) 12 A ln B ln162 C ln D ln2 Lời giải Chọn D Ta có f ( x) x3 bx cx d f ( x) x 2bx c f ( x) 12 x 2b f ( x) 12 Xét hàm số g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) Ta có g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 12 Theo giả thiết g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) có cực trị -3 g (m) 3 g ( x) có hai nghiệm phân biệt m , n g ( n) Xét phương trình f ( x) 1 g ( x) 12 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x m g ( x) 12 f ( x) g ( x) 12 f ( x) f ( x) f ( x) 12 x n Diện tích hình phẳng cần tính là: n n g ( x) 12 f ( x) f ( x) S 1 dx dx g ( x) 12 g ( x) 12 m m n f ( x) f ( x) f ( x) 12 f ( x) dx g ( x ) 12 m n n f ( x) f ( x) 12 g ( x) dx dx g ( x ) 12 g ( x ) 12 m m ln g ( x) 12 n ln g (n) 12 ln g (m) 12 m ln18 ln ln Câu 131: Cho hàm f x số thỏa f x 0, x 1; f e xf x ln x f x x f x , x 1; , mãn Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị e2 y xf x , y 0, x e, x e A S B S C S D S Lời giải Chọn A Ta có: xf ' x ln x f x x f x x f ' x f x ln x xg x ln x g x x , x 1; với g x g x ln x g x g x ln x Do f e x f x x , x 1; g x ln xdx g x x x , x 1; f x dx g x x g x x dx xdx dx x C g x ln x x C , x 1; g e e2 C e2 Suy g x ln x x , x 1; g x x2 0, x 1; ln x Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y xf x x ln x , x 1; g x x e2 e2 e e Ta có S xf x dx Câu 132: Cho đường cong tích S1 , (C ) : y x k x parabol P : y x2 tạo thành hai miền phẳng có diện hình vẽ S2 Biết S A ln x e2 dx ln x x 2 e , giá trị S B C D 12 Lời giải Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d x x kx x x x x k x x k Hai đồ thị cắt ba điểm phân biệt nên phương trình x x k có hai nghiệm phân biệt k x , x khác thỏa mãn x1 x Do ta có x2 1 x1 k x1 x1 Trên đoạn [ x1 ; ] , x kx x x x kx x x kx d x x1 3 x x kx d x x1 Theo ra, diện tích S nên x x kx 8 3 x1 x14 x13 6kx12 32 x14 x13 x12 x1 x12 32 x14 x13 32 ( x1 2) x13 x12 x1 16 x1 2 Với x1 k , x x x x , x [ ;1] , ta có x x3 S x x x dx x |10 12 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 133: Cho hàm số y x x x có đồ thị C đường thẳng d qua gốc tọa độ tạo thành hai miền phẳng có diện tích S1 S2 hình vẽ Biết S1 27 m Khi S , giá trị 2m n n B 50 A 143 D 142 C 50 Lời giải Chọn D Gọi a hoành độ giao điểm C d a a 3a Khi đó, đường thẳng d có hệ số góc là: k a2 a a Đường thẳng d qua gốc tọa độ nên có phương trình d : y a a x a 3 Ta có: S1 x x x a a x dx 4 a 27 3 3 x x x a a x 2 0 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 27 3 3 a a a a a a2 2 27 a a a 8 Do đó, d : y x Phương trình hồnh độ giao điểm C d là: 3 x x3 x 3x x3 x x 4 4 Phương trình có nghiệm: x1 , x2 x3 S2 1 x 3 135 x x dx 4 128 Do đó: m 135 , n 128 Vậy: 2m n 142 Câu 134: Cho hàm số f x x ax bx cx d a, b, c, d có ba điểm cực trị 2,1 Gọi y g x hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y f x Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y f x y g x có giá trị thuộc khoảng A 34; 35 B 36; 37 C 37;38 D 35; 36 Lời giải Chọn C Theo ra, ta có: f x 12 x x 1 x 12 x3 x x f x x x3 24 x 48 x d Khi f 2 d 112, f 1 d 23, f d 16 Giả sử g x mx nx p Theo ra, ta có: g 2 4m 2n p d 112 4m 2n p d 112 m 13 m n p d 23 n 32 g 1 m n p d 23 pd g 4m 2n p d 16 4m 2n p d 16 Do vậy, f x g x x x3 24 x 48 x d 13 x 32 x p x x3 11x 16 x Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x 2 x Suy f x g x x x 2 Vậy S 3x x3 11x 16 x dx 37,31358 37;38 2 Câu 135: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị đường cong hình bên Biết hàm số f x đạt cực trị hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2 x1 f x1 f x2 Gọi S1 , S diện tích hình phẳng hình bên S3 diện tích phần tơ đậm Tính tỉ số A B S2 S3 16 Lời giải C D 16 Chọn D x1 x2 đơn vị ta thu đồ thị hàm số bậc y g x nhận gốc toa độ làm tâm đối xứng nên g x hàm lẻ có dạng + Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang phải đoạn g x ax bx hàm số g x có hai điểm cực trị x 1 x Có: g x 3ax b g 1 3a b b 3a Suy ra: g x a x3 x x1 x2 đơn vị ta thu đồ thị hàm x x g 1 bậc y k x có đồ thị đường thẳng qua gốc tọa độ, điểm A ; hay + Tịnh tiến đồ thị hàm số y h x sang phải đoạn A 1; a Phương trình đường thẳng y k x y ax Ta có: S1 g x dx 1 a S 1 g 1 S1 a 4 Page 10 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN m m n p 5 m n p 5 m n p m n p n n 2m n 1 2m p 7 Do đó: y g x x x 4 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số y f x y g x : x 7 11 x3 x x x x x3 x x x 4 4 x 1 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S x3 1 11 11 11 x x dx x3 x x dx x3 x x dx 4 4 4 1 4 11 9 11 9 x3 x x dx x3 x x dx 8, 25 4 4 3 1 a, b, c, d , e Biết đồ thị hàm số y f x y g x cắt ba điểm có hồnh độ 3; 1; Câu 180: Cho hai hàm số f x ax3 bx cx g x dx ex Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A 253 12 B 125 12 C 253 48 D 125 48 Lời giải Chọn C f x g x a x 3 x x 1 a x x 3 x a ( x x x 6) Page 53 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Đồng hệ số với phương trình ax b d x c e x f x g x 3 suy ra: 6a a x x2 5x 6 Do S 253 x 3 x 1 x dx 48 3 - HẾT -Câu 181: Cho hàm số f x x mx nx 2022 với m , n số thực Biết hàm số g x f x f x f x có hai giá trị cực trị e 2022 12 e 12 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y A 2023 f x y g x 12 B 2020 C 2021 Lời giải D 2022 Chọn C Ta có f x x 2mx n , f x 12 x 2m , f 3 x 12 Suy g x x3 m x n 2m 12 x 2022 n 2m g x x m x n 2m 12 Vì hàm số g x có hai giá trị cực trị nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 Ta có bảng biến thiên hàm số g x sau: Từ suy g x1 e 2022 12 g x2 e 12 g x f x f x f x Mặt khác 3 g x f x f x f x f x f x 12 g x g x f x 12 g x g x f x 12 Xét phương trình hồnh độ giao điểm: 1 g x f x 12 g x f x x x1 g x 12 x x2 g x 12 g x 12 Page 54 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f x y g x 12 Khi diện tích hình phẳng giới hạn đường y x2 f x g x f x 12 S 1 dx dx g x 12 g x 12 x1 x1 x2 x2 g x g x 12 dx ln g x 12 x1 x2 x1 ln g x2 12 ln g x1 12 2022 2021 Câu 182: Cho hàm số f x ax bx cx x g x mx3 nx x với a, c, b, m, n Biết hàm số y f x g x có ba điểm cực trị 2; 1;3 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y f x y g x A 131 B 131 125 12 Lời giải C D 125 Chọn B + Ta có: f x g x 4ax3 b m x c n x 1 + Mặt khác, hàm số y f x g x có ba điểm cực trị 2; 1;3 nên f x g x a x x 1 x 3 2 + Từ 1 , suy ra: 6a a Do đó: f x g x x x 1 x 3 3 Vậy diện tích hình phẳng S 2 f x g x dx 2 2 131 x x 1 x 3 dx Câu 183: Cho hàm số bậc ba y f x ax3 x cx d parabol y g x có đồ thị hình vẽ Biết đồ thị y f x y g x cắt ba điểm phân biệt A, B, C có hồnh độ 2;1; thỏa mãn AB Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y f x y g x A 71 B 238 C 71 D 13 Page 55 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Chọn C Ta có: A 2; f x A , B 1; f xB AB 1 f 2 f 1 f 2 f 1 2 8a 2c d a c d 3a c 1 2 Theo giả thiết AB Mặt khác, f x g x a x x 1 x a x3 x x Nhận xét đồ thị y g x parabol nhận Oy làm trục đối xứng g x kx m Đồng hệ số phương trình * ta có: c 4a 3a c 1 a Từ, suy Vậy f x g x x x x c a c Vậy S 71 f x g x dx 2 Câu 184: Cho hàm số y f x x ax bx c có đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt Biết hàm số g x f x f x f x f x có điểm cực trị x1 x2 x3 g x1 , 2 g x2 , g x3 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số h x Ox A ln 2 B ln 2 C ln D f x trục g x 1 ln Lời giải Chọn A f x x 2ax b Ta có: f x x 2a f x f 4 x Xét: g x f x f x f x f x f x f x 2 f x x x1 g x f x x x2 x x3 Xét: h x f x ; h x f x Do đó: g x 1 Page 56 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x3 S x1 f x dx g x 1 x2 x1 f x dx g x 1 f x x3 g x dx x2 x x g x g x dx dx x1 g x x2 g x ln g x x2 x1 ln g x x3 x2 1 ln g x2 ln g x1 ln g x3 ln g x2 2 1 1 ln ln 3 ln ln ln ln ln ln ln 2 2 2 Câu khác đề gốc tý với xem g x vô nghiệm x1 ; x3 Câu 185: Cho đường cong C : y x3 mx parabol P : y x tạo thành hai miền phẳng có diện tích S1 , S hình vẽ Biết S1 , giá trị S A B 12 Lời giải C D Chọn C Xét phương trình hồnh độ giao điểm P C , có: x x x mx x x m () Từ đồ thị ta thấy phương trình () có hai nghiệm trái dấu nên m Và hai nghiệm x1 1 4m 1 4m , x2 2 Page 57 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ta có S1 x x mx dx x1 x x mx x x14 x13 mx12 3 x14 x13 6mx12 32 4m 4m 4m 6m 32 2 () Nhận thấy m 2 nghiệm phương trình () , nên x2 Câu 186: Vậy S x2 0 3 x x mx dx x x x dx Cho hàm số f x ax bx c có đồ 12 thị C , biết f 1 Tiếp tuyến d điểm có hồnh độ x C cắt C hai điểm có hồnh độ Gọi A 2022 B 5614 1011 S1; S2 diện tích hình phẳng Tính S2 , biết C 2005 2022 S1 401 2022 D 2807 1011 Lời giải Chọn B Giả sử tiếp tuyến d có phương trình y g x mx n Page 58 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Tiếp tuyến d điểm có hồnh độ x C cắt C hai điểm có hồnh độ 2, nên ta có: f x g x a x 1 x x , a Theo giả thiết: S1 401 401 f x g x dx 2022 2022 1 a x 1 x x dx 1 401 a 401 2005 a 2022 2022 2022 Do 2 2005 S f x g x dx x 1 x x dx 2022 0 2005 5614 x 1 x x dx 2022 1011 Câu 187: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ, biết y f x đạt cực tiểu điểm x thỏa mãn f x 1 f x 1 chia hết cho x 1 x 1 Gọi S1 , S lần 2 lượt diện tích hình phẳng hình Tính 2S1 S A B C D Lời giải Chọn D Theo ra, ta có: f x ax b x 1 1, a f b f x ax 1 x 1 f x ax 1 x 1 2 f x a x 1 1 5a x 1 8a x 1 2a 1 1 x3 3x f x 1 x 1 2a a f x x x 1 2 2 x3 3x 1 dx Vậy S1 S 0 x3 3x 1 dx 4 Page 59 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f x x3 ax bx c Câu 188: Cho hàm số với a, b, c số thực Biết hàm sồ g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) có hai giá trị cực trị 4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y A ln f ( x) y g ( x) 12 B ln C ln18 Lời giải D ln Chọn D Ta có f x x ax bx c f x x 2ax b f x 12 x 2a f x 12 Ta lại có f ( x) g x 12 f x f x 12 f ( x) 1 g ( x) 12 g ( x) 12 f x f x f x 12 f x f x 12 f ( x) 1 f x f x 12 g ( x) 12 f x f x f x 12 Ta có g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 12 Suy ra: f x f x 12 g x f ( x) 1 g x 12 f x f x f x 12 g x 12 Gọi x1 , x2 nghiệm g ( x) Khi x1 , x2 nghiệm f x f x 12 g ( x1 ) Theo giả thiết ta có g x2 4 x2 S x1 g x dx g x 12 g x2 12 ln g x1 12 g x x g x 12 dx x2 x2 d g x 12 x1 g x 12 ln g x 12 |xx12 ln ln ln 16 Câu 189: Cho hai hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục hàm số f ( x ) ax bx cx d , g '( x ) qx nx p với a, q có đồ thị hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn f (2) g (2) Biết diện tích hình phẳng a giới hạn hai đồ thị hàm số y f ( x ) y g ( x ) Tính T a b2 b hai đồ thị hàm số y f ( x ) y g ( x ) Page 60 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN C 5 Lời giải B 55 A D 16 Chọn A Dựa vào đồ thị ta có: f ( x) g '( x) a x x 1 x a x x x , với a Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f ( x) y g( x) bằng: f ( x) g ( x) a x x x a Suy f ( x) g '( x) x 15 x 10 x Mặt khác, f ( x ) g '( x ) ax b q x c n x d p a b q 15 Do đó, c n 10 d p Ta có f ( x) b c q n x x x dx r , g ( x) x x px s 3 ● f (2) g (2) 20 b q c n d p r s Thế vào ta r s 4 ● f x g x x b q x3 c n x2 d p x r s x x x3 x x Page 61 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f ( x) y g ( x) bằng: f x g x dx 4 2 x x x dx Suy a 4, b Vậy T a b Câu 190: Cho hàm số y f x ax bx c Tiếp tuyến d qua điểm A có hồnh độ x cắt đồ thị hàm số y f x hai điểm khác A có hồnh độ x 4 x Gọi S1 , S2 diện tích phần gạch sọc Tính tỉ số A 20 B S2 S1 28 28 C D 20 Lời giải Chọn B Gọi phương trình tiếp tuyến d y g x Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y f x tiếp tuyến d là: x 4 f x g x f x g x x x f x g x m x x x với m Theo giả thiết ta có: +) S1 0 f x g x dx f x g x dx m x x x 4 4 dx 4 2 0 896m +) S f x g x dx f x g x dx m x x x dx 32m S2 S1 28 Page 62 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 191: Cho hàm số bậc ba y f x ax3 bx x d đường thẳng y g x có đồ thị hình vẽ bên Biết AB 65 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y g x bao nhiêu? Lời giải Giả sử d : y mx n với m y g x hàm nghịch biến Do A, B d nên tọa độ hai điểm A 1; m n , B 3;3m n Mặt khác AB 65 1 3m n m n 2 65 m (l ) 65 4m m (t / m) Suy y g x x n Xét phương trình: f x g x ax3 bx x d x n ax3 bx x d n Mà f x g x a x 1 x 1 x 3 ax3 3ax ax 3a Đồng hệ số ta a Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị S x 1 x 1 x 3 dx 1 16 Câu 192: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị đường cong hình vẽ bên Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị thoả mãn x2 x1 đồ thị qua M x ; f x x0 x1 ; Page 63 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN g x hàm số bậc hai có đồ thị qua hai điểm cực trị đồ thị hàm y f x điểm M Tính tỉ số S1 ( S S2 diện tích hai hình phẳng tạo đồ thị hai hàm f x , S2 g x hình vẽ bên) A 32 B 29 C 33 D 35 Lời giải Chọn A Đặt y f x ax bx cx d , suy f ' x ax bx c Khơng tính tổng qt tốn ta tịnh tiến gốc toạ độ trùng với điểm cực đại hàm số bậc ba hình vẽ Khi x1 0; x2 x1 2; x0 x1 1 Hàm số y f ' x có toạ độ hai điểm cực trị x1 x2 nên f ' x ax x ax ax f x ax ax d Đồ thị hàm số y f x qua gốc toạ độ nên d f x ax ax Page 64 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ta có f 1 f a Đồ thị parabol P qua gốc toạ độ nên có dạng P : y mx nx P qua điểm A 2; a B 1; a nên ta có hệ 4m 2n 4a 4m 2n 4a 6m 12a m 2a m n 4a 2m 2n 8a n m 4a n 2a Do parabol P có phương trình P : y ax ax Khi S1 ax 3ax 2ax 2ax dx 1 5a 8a ; S ax 3ax 2ax 2ax dx 12 5a S1 12 Suy S 8a 32 Câu 193: Cho hàm số y f x 4 x3 ax bx c có đồ thị cắt trục hồnh ba điểm có hoành độ 3, 1, 1; F x nguyên hàm f x y g x hàm số bậc hai qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y F x Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y F x y g x A 128 15 B 64 15 C 16 D 64 Lời giải Chọn A Vì hàm số y f x 4 x3 ax bx c có đồ thị cắt trục hồnh ba điểm có hoành độ 9a 3b c 108 a 12 b 3, 1, nên ta có hệ phương trình a b c 4 a b c c 12 hay y f x 4 x3 12 x x 12 Ta có F x 4 x3 12 x x 12 dx x x3 x 12 x C 1 1 Mặt khác ta có F x x f x x x C y g x x x C 4 4 hàm số bậc hai qua điểm cực trị đồ thị hàm số y F x Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y F x y g x ta có: Page 65 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x x3 x 12 x C x x C x x3 x x x 1 x x 1 x 1 x 3 x x 1 x x 3 Khi S F x g x dx 3 x x x x 3dx 3 1 4 x x x x 3 dx x x x x 3 dx 3 1 1 x5 x5 2 x x3 x 3x x x3 x 3x 3 3 1 17 27 47 17 128 15 15 15 15 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y F x y g x 128 15 làm trục đối xứng Biết diện tích hình phẳng phần giới hạn đồ thị hàm số y f x , y f x Câu 194: Cho hàm số f x hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị nhận đường thẳng x hai đường thẳng x 5, x 2 có giá trị 127 50 Diện tích hình phẳng giới hạn y f x trục hoành A 81 50 B 91 50 C 71 50 D 61 50 Lời giải Chọn A Đặt f x k x x 2 ,k Page 66 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Khi f x 2k x x 2k x 2 x k x 5 x x 14 Xét hàm g x f x f x k x x x x x 5 x 2 Suy g x x 4 x Từ ta suy 2 4 2 5 5 4 g x dx g x dx g x dx 4 2 5 4 k x x x x dx k x x x x dx 23 52 127 127 k k k k 10 10 50 2 Vậy S 2 f x dx x x 5 5 5 2 dx 81 50 Page 67