CHƯƠNG VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Quy tắc cộng Giả sử công việc thực theo phương án A B.: Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A Khi số cách thực công việc : m n cách Phương án A ……… m cách Công việc Phương án B ……… n cách Khi số cách thực công việc : m n cách Tổng qt Giả sử cơng việc thực theo k phương án - Phương án có m1 cách thực - Phương án có m2 cách thực … - Phương án k có mk cách thực Hơn cách thực phương án khơng trùng với cách phương án khác Khi thực cơng việc theo m1 m2 mk cách Quy tắc nhân Giả sử công việc chia thành hai cơng đoạn Cơng đoạn thứ có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn thứ hai Khi cơng việc thực theo m.n cách Công đoạn Công việc m cách Công đoạn n cách Có m.n cách Tổng quát Giả sử cơng việc bao gồm k cơng đoạn - Cơng đoạn có n1 cách thực - Cơng đoạn có n2 cách thực … - Cơng đoạn k có nk cách thực Khi hồn thành cơng việc theo n1.n2 .nk cách B BÀI TẬP MẪU Câu Trên giá sách có sách Ngữ Văn khác nhau, sách Toán khác sách Tiếng Anh khác Từ giá sách này, a) có cách lấy sách? b) có cách lấy ba sách, mơn cuốn? c) có cách lấy hai sách từ hai môn khác nhau? Lời giải a) Công việc lấy sách có ba phương án thực hiện: Phương án 1: Lấy sách Ngữ Văn, có cách thực Phương án 2: Lấy sách Toán, có cách thực Phương án 3: Lấy sách Tiếng Anh, có cách thực Theo quy tắc cộng, có 21 cách chọn sách từ giá sách b) Để chọn ba sách, môn cuốn, ta thực thành ba công đoạn Công đoạn 1: Chọn sách Ngữ Văn, có cách thực Cơng đoạn 2: Chọn sách Tốn, có cách thực Công đoạn 3: Chọn sách Tiểng Anh, có cách thực Từ đó, theo quy tắc nhân, có 7.8 336 cách chọn ba sách, môn c) Để chọn hai sách từ hai mơn khác nhau, ta có ba phương án thực Phương án 1: Chọn sách Ngữ Văn sách Tốn, ta có 6.7 42 cách thực phương án Phương án 2: Chọn sách Ngữ Văn sách Tiếng Anh, có 6.8 48 cách thực phương án Phương án 3: Chọn sách Toán sách Tiếng Anh, có 7.8 56 cách thực phương án Mỗi cách thực phương án không trùng với cách thực phương án khác, nên theo quy tắc cộng, số cách chọn hai sách từ hai môn khác 42 48 56 146 (cách) Câu Tung xúc xắc ba lần liên tiếp ghi lại kết (chẳng hạn, số chấm xuất 2,5 4) Có tất kết khác xảy ra? Lời giải Có thể coi việc tung xúc xắc ba lần liên tiếp công việc gồm ba công đoạn, công đoạn lần tung Mỗi lần tung có khả khác xảy (số chấm xuất 1; 2;; 6) Do đó, theo quy tắc nhân, ta có 6.6 6 216 kết khác xảy Câu Dùng sáu chữ số 0;1; 2;3; 4;5 lập a) mật có bốn chữ số khác nhau? b) số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau? c) số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau? Lời giải a) Kí hiệu mật cần lập abcd , a, b, c, d chữ số khác từ sáu chữ số cho Coi việc chọn mật công việc gồm bốn công đoạn Công đoạn 1: Chọn chữ số a từ sáu chữ số cho, có cách chọn Cơng đoạn 2: Chọn chữ số b từ năm chữ số lại, có cách chọn Cơng đoạn 3: Chọn chữ số c từ bốn chữ số cịn lại, có cách chọn Công đoạn 4: Chọn chữ số d từ ba chữ số cịn lại, có cách chọn Từ đó, theo quy tắc nhân, lập 6.5.4.3 360 mật theo yêu cầu b) Kí hiệu số tự nhiên cần lập abcd , a, b, c, d chữ số khác từ sáu chữ số cho, a 0 Đầu tiên, có cách chọn chữ số a Tiếp theo, có cách chọn chữ số b từ chữ số cịn lại Tiếp tục, có cách chọn chữ số c cách chọn chữ số d Từ đó, theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3 300 số tự nhiên có bốn chữ số khác lập từ chữ số cho c) Kí hiệu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác câu b Đầu tiên, có cách chọn chữ số d từ ba chữ số lẻ 1;3;5 Tiếp theo, có cách chọn chữ số a từ chữ số khác cịn lại Tiếp theo, có cách chọn chữ số c từ số cịn lại Cuối cùng, có cách chọn chữ số b từ chữ số cịn lại Từ đó, theo quy tắc nhân, có 3.4.4.3 144 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác lập từ chữ số cho Câu Trong cơng viên, có đường nối bốn địa điểm A, B, C D Hình Có cách chọn đường từ A đền D ? Chỉ tính đường qua địa điểm nhiều lần Lời giải Có hai phương án để từ A đến D Phương án 1: Đi từ A qua B đến D Có cách chọn đường từ A đến B , có chọn đường từ B đến D Theo qui tắc nhân, có: 3.2 6 cách chọn đường từ Đi từ A qua B đến D Phương án 2: Đi từ A qua C đến D Có cách chọn đường từ A đến C , có chọn đường từ B đến D Theo qui tắc nhân, có: 3.4 12 cách chọn đường từ Đi từ A qua C đến D Áp dụng qui tắc cộng, có 12 18 cách chọn đường từ A đến D C BÀI TẬP Trong hộp có chứa bóng màu trắng đánh số từ đến 8; 10 bóng màu xanh đánh số từ đến 10; 12 bóng màu cam đánh số từ đến 12 Từ hộp này, có cách a) Chọn bóng? b) Chọn ba bóng có ba màu khác đôi một? c) Chọn hai bóng có hai màu khác nhau? Có ba hộp, hộp thứ có cầu dán nhãn A, B ; hộp thứ hai chứa cầu dán nhãn a, b, c ; hộp thứ ba có chứa cầu dán nhãn 1, Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu a) Hãy vẽ sơ đồ hình để thể tất kết xảy ra? b) Có kết xảy ra? Ba lớp trường lên kế hoạch dã ngoại, lớp chọn năm địa điểm Có kết xẩy cách chọn địa điểm ba lớp? Mã xác thực (OTP – One Time Password) ngân hàng gửi vào điện thoại khách hàng cho lần giao dịch dãy kí tự từ chữ số từ đến Có thể tạo mã xác thực khác vậy? Tung đồng xu lần liên tiếp ghi lại kết (? Ví dụ kí hiệu SSNSN để kết lần tung sấp, sấp, ngửa, sấp, ngửa) Có kết khác xẩy ra? Mã số nhân viên cơng ty có kí tự, gồm chữ (từ chữ A, B, C , D, E , F ) chữ số ( từ chữ số 0;1 ;9 ) Cơng ty tạo mã số nhân viên theo cách này? Có đường nối bốn làng A, B, C , D Hình Có cách chọn đường khác a) từ A qua B đến D ? b) từ A đến D ? Tung đông thời hai xúc xắc khác ghi lại số chấm xuất mõi xúc xắc Có kết xẩy mà tổng số chấm xuất hai mặt bội 5? Sử dụng chữ số 0;1; 2;3; lập số tự nhiên a) có ba chữ sơ khác nhau? b) có ba chữ số khác bé hơm 300? c) có chữ số khác bé 100? 10 Một khóa tổ hợp với đĩa quay có 40 vạch số ) xem Hình 7) Mật mã khóa dãy số gồm số kí hiệu a b c , số kí tự từ đến 39 Để mở khóa, cần quay mặt số ngược chiều kim đồng hồ điểm mốc gặp vạch số a lần thứ ba, quay vạch số theo chiều ngược lại điểm mốc gặp vạch số b lần thứ hai, cuối quay mặt số ngược chiều kim đồng hồ điểm mốc gặp vạch số c lần Nếu a, b, c phải khác đơi một, có cách chọn mật mã cho khóa tổ hợp trên?