Phần HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG Chương IX PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ Trục tọa độ Trục toạ độ (gọi tắt trục) đường thẳng xác định điểm O (gọi điểm gốc) vectơ e có độ dài gọi vectơ đơn vị trục Ta kí hiệu trục (O; e ) Hệ trục tọa độ ( O ; i , j ) ( O ; i ) ( O ; j ) vng góc với Điểm gốc O chung Hệ trục tọa độ gồm hai trục ( O ; i ) ( O ; j ) hai trục gọi gốc tọa độ Trục gọi trục hoành kí hiệu Ox , trục gọi trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i j vectơ đơn vị Ox Oy Hệ trục toạ độ (O; i , j ) cịn kí hiệu Oxy Tọa độ vectơ a Oxy ( x ; y ) Trong mặt phẳng , cặp số biểu diễn xi yj gọi toạ độ vectơ a , kí hiệu a ( x; y ), x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ a Chú ý: a x; y a xi yj Nếu cho a x; y b x; y x x a b y y Tọa độ điểm Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm M tuỳ ý Toạ độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M Nhận xét: Nếu OM x; y cặp số x; y M x; y , x tọa độ điểm M , kí hiệu gọi hoành độ, y gọi tung độ điểm M M x; y OM xi yj Hinh x y Chú ý: Hồnh độ điểm M cịn kí hiệu Ms tung độ điểm M cịn kí hiệu M Khi ta viết M xM ; yM Biểu thức toạ độ phép toán vectơ a a1 ; a2 , b b1 ; b2 số thực k Ta có công thức sau: Cho hai vectơ a b a1 b1 ; a2 b2 ; a b a1 b1 , a2 b2 ka ka1 ; ka2 ; a.b a1b1 a2b2 ; Áp dụng toạ độ vectơ Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng Cho hai điểm A xA ; yA B xB ; y B Ta có: AB xB xA ; yB y A Tọa độ trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác Cho hai điểm A xA ; y A B xB ; y B xM Toạ độ trung điểm M xM ; yM đoạn thẳng AB là: x A xB y yB , yM A 2 A x ; y , B x ; y ,C x ; y G x ;y Cho tam giác ABC có A A B B C C Tọa độ trọng tâm G G tam giác ABC là: xG x A xB xC y yB yC , yG A 3 Ứng dụng biểu thức tọa độ phép toán vectơ Cho hai vectơ a a1 ; a2 , b b1 ; b2 hai điểm A x A ; y A , B xB ; y B a b a1b1 a2b2 0 a b phương a1b2 a2b1 0 ; a a12 a22 AB xA yB y A a1b1 a2b2 a b cos a; b (a, b a b a12 a22 b12 b22 xB ; B BÀI TẬP MẪU 0) khác Ta có: Bài Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm M , N , P biểu diễn Hình a) Tìm toạ độ điểm M , N , P OM , ON , OP b) Hãy biểu thị vectơ qua hai vectơ i j c) Tìm toạ độ vectơ PM , PN , PO, NM Hình Giải M 1;3 , P 3;0 , N 2; 1 a) Theo Hình ta có toạ độ điểm M , N , P là: OM i j ; ON i j ; OP i 0 j b) Ta có: c) Ta có: PM xM xP ; yM y p 3;3 2;3 ; PN xN xP ; y N yP 3; 5; 1 ; PO xO xP ; yO yP 3;0 3;0 NM xM xN ; yM yN ;3 1 3; Bài Cho hai vectơ a 3; , b 1;5 a b , a b , 10 a , b a) Tìm tọa độ vectơ: b) Tính tích vơ hướng: a.b, 2a 5b Giải a) Ta có: a b 1 ; 2;9 a b 1 ; 4; 1 10a 10 3;10 4 30; 40 2b 1 ; 5 2; 10 b) Ta có: a b 3 1 5 20 17 2a 6; Bài Cho ba vectơ 5b 5; 25 2a 5b 5 8 25 30 200 170 nên m 6;1 , n 0; , p 1;1 Tìm tọa độ vectơ: a) m n p m n p b) Giải a) Ta có: m n p 1;1 1 7; b) Ta có: m n p 0 12 p 2 p 2; 2 D 2;2 , E 6; F 2;6 Bài Cho tam giác DEF có tọa độ a) Tìm tọa độ trung điểm M cạnh EF b) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác DEF Giải a) Ta có: xM xE xF y yF 4, yM E 4 2 2 M 4; Vậy tọa độ trung điểm M cạnh EF b) Ta có: xG xD xE xF 10 y y E y F 10 , yG D 3 3 10 10 G ; Vậy tọa độ trọng tâm G tam giác DEF 3 A 2; , B 6;3 C 5;5 Bài Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh a) Tìm tọa độ điểm H chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A b) Tính độ dài ba cạnh tam giác ABC số đo góc C Giải H x; y a) Xét điểm , ta có AH x 2; y , BH x 6; y 3 , BC 1; H chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A nên ta có: AH BC x 1 y 0 x y 0 1 x 2 y 3 1 0 x y 15 0 Hai vectơ BH , BC phương 2 x y x y 15 Từ (1) (2) ta hệ phương trình 28 x y 19 28 19 H ; Vậy 5 b) Ta có: Suy ra: AB 4;1 , CB 1; , CA 3; 3 AB AB 42 12 17, CB CB 1 22 5, AC AC 32 32 3 CA CB 3 1 3 10 cos C cos CA, CB CA CB 10 2 Vậy C 71 34 C BÀI TẬP: Các toán sau xét mặt phẳng Oxy Cho hai vectơ a 1; , b 3;0 a 3b a) Tìm tọa độ vectơ: b) Tính tích vơ hướng: Cho ba vectơ a.b, 3a 2b m 1;1 , n 2; , p 1; 1 m n p a) b) Tìm tọa độ vectơ: p n m M 3; 3 N 7; 3 P 3; Câu Cho tam giác MNP có tọa độ đỉnh , a) Tìm tọa độ trung điểm E cạnh MN b) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác MNP A 1; 3 B 3; 1 C 6; Câu Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh , a) Tính độ dài ba cạnh tam giác ABC số đo góc B b) Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Câu Cho năm điểm A 2; B 0; C 3; 3 D 2; E 1; 1 , , , , Trong điểm cho, tìm điểm: a) Thuộc trục hoành; b) Thuộc trục tung; c) Thuộc đường phân giác góc phần tư thứ Câu Cho điểm M 4; Tìm tọa độ: a) Điểm H hình chiếu vng góc điểm M trục Ox ; b) Điểm M đối xứng với M qua trục Ox ; c) Điểm K hình chiếu vng góc điểm M trục Oy ; d) Điểm M đối xứng với M qua trục Oy ; e) Điểm C đối xứng với M qua gốc O Câu Cho ba điểm A 1;1 B 2; C 4; , , a) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD A 1;1 B 7; 3 C 4; M 2; 3 Câu Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh , , cho điểm , N 3; a) Chứng minh bốn điểm A , M , N , C thẳng hàng b) Chứng minh trọng tâm tam giác ABC MNB trùng Câu Cho bốn điểm M 6; N 7; 3 P 0; Q 1; 3 , , , Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng a Câu 10 Tính góc hai vectơ b trường hợp sau: a) a 1; c) , a 2; b 5; 3 , ; b 3; a 4; 3 b 6; b) , ; Câu 11 Cho điểm A(1; 4) Gọi B điểm đối xứng với điểm A qua gốc toạ độ O Tìm toạ độ điểm C có tung độ , cho tam giác ABC vuông C Câu 12 Cho vectơ a (2; 2) Hãy tìm toạ độ vectơ đơn vị e hướng với vectơ a